Persamaan Diferensial: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 8 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Waktu paruh: k = ln 2 / t_½
Hukum pendinginan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor integrasi: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integral

Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integral umum: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva: ∫_a^b (f − g) dx

Metode

Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk e^x, 1/x, sin, dan cos.
Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

Turunan

Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′
Aturan hasil bagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Aturan rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Turunan umum: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metode

Kenali strukturnya: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi.
Terapkan aturan pangkat pada setiap pangkat x.
Gunakan aturan hasil kali, hasil bagi, atau rantai bila diperlukan.
Sederhanakan, dan hitung nilainya di titik tersebut jika diminta.

Metode numerik

Bisection: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolasi linear: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Batas galat trapesium: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metode

Untuk akar: periksa pergantian tanda pada bisection, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan pertahankan enam angka atau lebih pada tabel iterasi.
Untuk nilai tabel: interpolasikan secara linear di antara dua titik yang bertetangga.
Untuk integral: cari h = (b − a)/n, daftarkan f di setiap simpul, terapkan bobot (1, 2, …, 2, 1 untuk trapesium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan kalikan dengan h/2 atau h/3.
Untuk PD: melangkahlah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau kemiringan rata-rata (Heun), satu baris per langkah, sampai mencapai t yang diminta.

2Soal latihan

1.Persamaan diferensialSedang

Sekaleng minuman soda bersuhu 5 °C dikeluarkan dari lemari es ke ruangan bersuhu 28 °C. Setelah 17 menit suhunya 14 °C. Benda tersebut mengikuti hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Berapa lama setelah awal, t, yang diperlukan untuk mencapai 11 °C?

T₀ = 5 °CT_a = 28 °CT(17) = 14 °CT = 11 °C

t = min

2.Persamaan diferensialSulit

Selesaikan y′ + 0,5y = 6e^−2t dengan y(0) = 2. Cari y(1,5).

y′ + 0,5y = 6e^−2ty(0) = 2

y(1.5) =

3.IntegralSedang

Hitung I = ∫₀² e^2x dx.

f(x) = e^2x[0, 2]

I =

4.IntegralSulit

Tentukan luas A daerah yang dibatasi oleh y = 2x² dan y = 4x.

y = 2x²y = 4x

A =

5.TurunanSedang

Misalkan f(x) = x·e^x. Tentukan f′(1).

f(x) = x·e^xx = 1

f′(1) =

6.TurunanSulit

Garis singgung f(x) = 2x² + 2x − 2 di x = 1 memotong sumbu y di y = b. Tentukan b.

f(x) = 2x² + 2x − 2x = 1

b =

7.Metode numerikSedang

Kelajuan sebuah kendaraan diukur setiap 10 s (tabel). Taksir jarak s yang ditempuh dari t = 0 sampai t = 40 s dengan kaidah trapesium.

h = 10 sn = 4

s = m

8.Metode numerikSulit

Lakukan satu langkah metode Runge–Kutta klasik (RK4) dengan h = 0,1 untuk y′ = cos t − y, y(0) = −1. Carilah y₁ ≈ y(0,1).

y′ = cos t − yy(0) = −1h = 0,1

y₁ =

3Larutan

1.Persamaan diferensial

Jawaban: t = 10,35 min

Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.

Konstanta pendinginan

k = ln(-23/-14)/17 = 0,0292 min⁻¹

Waktu untuk mencapai target

t = ln(-23/(−17))/0,0292 = 10,35 min

Jawaban

t = 10,35 min

2.Persamaan diferensial

Jawaban: y(1.5) = 2,635

Faktor integrasi

μ = e^0,5t

(e^0,5ty)′ = 6e^−1,5t

Penyelesaian umum

y = 6/(−1,5)·e^−2t + C·e^−0,5t = −4·e^−2t + C·e^−0,5t

Kondisi awal

2 = −4 + C → C = 6

Hitung nilainya

y(1,5) = −4·0,04979 + 6·0,4724 = 2,635

Jawaban

y(1,5) = 2,635

3.Integral

Jawaban: I = 26,8

Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.

Antiturunan

F(x) = e^2x/2

Substitusikan batasnya

I = (e⁴ − 1)/2 = (54,6 − 1)/2 = 26,8

Jawaban

I = 26,8

4.Integral

Jawaban: A = 2,667

Titik potong

2x² = 4x → x = 0, x = 2

Integralkan atas dikurangi bawah

A = [2x² − 0,6667x³]₀² = 2,667

Jawaban

A = 2,667

5.Turunan

Jawaban: f′(1) = 5,437

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Aturan perkalian

f′(x) = u′v + uv′ = e^x·(1 + 1·x)

Substitusikan

f′(1) = 2,718·(1 + 1) = 5,437

Jawaban

f′(1) = 5,437

6.Turunan

Jawaban: b = −4

Titik dan kemiringan

f(1) = 2

f′(x) = 4x + 2 → f′(1) = 6

Garis singgung di x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 2 − 6·1 = −4

Jawaban

b = −4

7.Metode numerik

Jawaban: s = 630 m

Integrasi numerik: bagi [a, b] menjadi n pita selebar h = (b − a)/n dengan simpul x₀ … xₙ. Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Galat trapesium mengecil seperti h² (batas (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, jadi Simpson biasanya jauh lebih akurat untuk simpul yang sama.

Jumlah berbobot

10 + 2·10 + 2·16 + 2·21 + 22 = 126

Kaidah trapesium

s = (10/2)·126 = 630 m

Jawaban

s = 630 m

8.Metode numerik

Jawaban: y₁ = −0,8098

Penyelesaian numerik y′ = f(t, y): metode Euler melangkah menurut kemiringan di awal setiap langkah: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metode Heun (Euler yang diperbaiki) merata-ratakan kemiringan di awal dan pada prediksi Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Metode Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat kemiringan: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Galat global Euler sebanding dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.

Empat kemiringan

k₁ = f(0, −1) = 2

k₂ = f(0,05, −0,9) = 1,89875

k₃ = f(0,05, −0,905062) = 1,903813

k₄ = f(0,1, −0,809619) = 1,804623

Gabungkan

y₁ = −1 + (0,1/6)(2 + 2·1,89875 + 2·1,903813 + 1,804623) = −0,8098

Jawaban

y₁ = −0,8098

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations