Persamaan Diferensial: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 8 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Waktu paruh: k = ln 2 / t_½
Hukum pendinginan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor integrasi: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integral

Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integral umum: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva: ∫_a^b (f − g) dx

Metode

Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk e^x, 1/x, sin, dan cos.
Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

Turunan

Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′
Aturan hasil bagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Aturan rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Turunan umum: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metode

Kenali strukturnya: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi.
Terapkan aturan pangkat pada setiap pangkat x.
Gunakan aturan hasil kali, hasil bagi, atau rantai bila diperlukan.
Sederhanakan, dan hitung nilainya di titik tersebut jika diminta.

Metode numerik

Bisection: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolasi linear: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Batas galat trapesium: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metode

Untuk akar: periksa pergantian tanda pada bisection, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan pertahankan enam angka atau lebih pada tabel iterasi.
Untuk nilai tabel: interpolasikan secara linear di antara dua titik yang bertetangga.
Untuk integral: cari h = (b − a)/n, daftarkan f di setiap simpul, terapkan bobot (1, 2, …, 2, 1 untuk trapesium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan kalikan dengan h/2 atau h/3.
Untuk PD: melangkahlah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau kemiringan rata-rata (Heun), satu baris per langkah, sampai mencapai t yang diminta.

2Soal latihan

1.Persamaan diferensialSedang

Sebuah komponen baja tempa bersuhu 420 °C dibiarkan mendingin di bengkel bersuhu 21 °C. Setelah 32 menit suhunya 174 °C. Benda tersebut mengikuti hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Berapa lama setelah awal, t, yang diperlukan untuk mencapai 67 °C?

T₀ = 420 °CT_a = 21 °CT(32) = 174 °CT = 67 °C

t = min

2.Persamaan diferensialSulit

Sebuah tangki berisi 100 L air murni. Air garam dengan 0,1 kg garam per liter mengalir masuk dengan laju 20 L/menit, dan larutan yang tercampur rata mengalir keluar dengan laju yang sama. Setelah berapa menit t tangki berisi 3 kg garam?

V = 100 Lm₀ = 0 kgc = 0,1 kg/Lr = 20 L/min

t = min

3.IntegralSedang

Hitung I = ∫₁⁴ 2/x dx.

f(x) = 2/x[1, 4]

I =

4.IntegralSulit

Daerah di antara garis y = 6x dan parabola y = 3x² diputar mengelilingi sumbu x. Cari volume V benda padat itu.

y = 6xy = 3x²

V =

5.TurunanSedang

Misalkan f(x) = (−2x + 1)⁵. Tentukan f′(−1).

f(x) = (−2x + 1)⁵x = −1

f′(−1) =

6.TurunanSulit

Garis singgung f(x) = x² + x − 3 di x = −1 memotong sumbu y di y = b. Tentukan b.

f(x) = x² + x − 3x = −1

b =

7.Metode numerikSedang

Hampiri ∫₀¹ sin x dx dengan kaidah trapesium, n = 2, dan bandingkan dengan nilai eksak. Carilah galat mutlak |E| = |T − I|.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 1]n = 2

|E| =

8.Metode numerikSulit

Lakukan satu langkah metode Runge–Kutta klasik (RK4) dengan h = 0,2 untuk y′ = e^−ty, y(0) = 1. Carilah y₁ ≈ y(0,2).

y′ = e^−tyy(0) = 1h = 0,2

y₁ =

3Larutan

1.Persamaan diferensial

Jawaban: t = 72,12 min

Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.

Konstanta pendinginan

k = ln(399/153)/32 = 0,02995 min⁻¹

Waktu untuk mencapai target

t = ln(399/46)/0,02995 = 72,12 min

Jawaban

t = 72,12 min

2.Persamaan diferensial

Jawaban: t = 1,783 min

Hasil

m(t) = 10 + (−10)·e^−t/5

Selesaikan untuk t

e^−t/5 = (10 − 3)/(10 − 0) = 0,7

t = 5·ln(1,429) = 1,783 min

Jawaban

t = 1,783 min

3.Integral

Jawaban: I = 2,773

Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.

Antiturunan

F(x) = 2·ln x

Substitusikan batasnya

I = 2·(ln 4 − ln 1) = 2·ln 4 = 2,773

Jawaban

I = 2,773

4.Integral

Jawaban: V = 120,6

Volume benda putar: memutar daerah di bawah y = f(x) dari x = a sampai x = b mengelilingi sumbu x menghasilkan benda padat yang penampangnya di x berupa cakram berjari-jari f(x). Menjumlahkan cakram-cakram itu memberi V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Bila daerah terletak di antara kurva luar R(x) dan kurva dalam r(x), setiap irisan berupa cincin (washer): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Kuadratkan jari-jari sebelum Anda menguranginya.

Titik potong

6x = 3x² → x = 0, x = 2

Metode cincin (washer)

V = π∫₀² ((6x)² − (3x²)²) dx

Integralkan

V = π(36·2³/3 − 9·2⁵/5) = π·38,4 = 120,6

Jawaban

V = 120,6

5.Turunan

Jawaban: f′(−1) = −810

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Aturan rantai

f′(x) = 5·(−2x + 1)⁴·(−2)

Substitusikan

f′(−1) = 5·3⁴·(−2) = −810

Jawaban

f′(−1) = −810

6.Turunan

Jawaban: b = −4

Titik dan kemiringan

f(−1) = −3

f′(x) = 2x + 1 → f′(−1) = −1

Garis singgung di x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −3 − (−1)·(−1) = −4

Jawaban

b = −4

7.Metode numerik

Jawaban: |E| = 0,009617

Integrasi numerik: bagi [a, b] menjadi n pita selebar h = (b − a)/n dengan simpul x₀ … xₙ. Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Galat trapesium mengecil seperti h² (batas (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, jadi Simpson biasanya jauh lebih akurat untuk simpul yang sama.

Nilai eksak

I = 0,459698

Kaidah trapesium

T = (0,5/2)·(0 + 2·0,479426 + 0,841471) = 0,450081

Galat

|E| = |0,450081 − 0,459698| = 0,009617

Jawaban

|E| = 0,009617

Galat relatif: 2,092%.

8.Metode numerik

Jawaban: y₁ = 1,179

Penyelesaian numerik y′ = f(t, y): metode Euler melangkah menurut kemiringan di awal setiap langkah: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metode Heun (Euler yang diperbaiki) merata-ratakan kemiringan di awal dan pada prediksi Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Metode Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat kemiringan: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Galat global Euler sebanding dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.

Empat kemiringan

k₁ = f(0, 1) = 1

k₂ = f(0,1, 1,1) = 0,895834

k₃ = f(0,1, 1,089583) = 0,896768

k₄ = f(0,2, 1,179354) = 0,789883

Gabungkan

y₁ = 1 + (0,2/6)(1 + 2·0,895834 + 2·0,896768 + 0,789883) = 1,179

Jawaban

y₁ = 1,179

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations