Persamaan Diferensial: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 8 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Waktu paruh: k = ln 2 / t_½
Hukum pendinginan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor integrasi: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integral

Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integral umum: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva: ∫_a^b (f − g) dx

Metode

Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk e^x, 1/x, sin, dan cos.
Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

Turunan

Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′
Aturan hasil bagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Aturan rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Turunan umum: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metode

Kenali strukturnya: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi.
Terapkan aturan pangkat pada setiap pangkat x.
Gunakan aturan hasil kali, hasil bagi, atau rantai bila diperlukan.
Sederhanakan, dan hitung nilainya di titik tersebut jika diminta.

Metode numerik

Bisection: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolasi linear: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Batas galat trapesium: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metode

Untuk akar: periksa pergantian tanda pada bisection, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan pertahankan enam angka atau lebih pada tabel iterasi.
Untuk nilai tabel: interpolasikan secara linear di antara dua titik yang bertetangga.
Untuk integral: cari h = (b − a)/n, daftarkan f di setiap simpul, terapkan bobot (1, 2, …, 2, 1 untuk trapesium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan kalikan dengan h/2 atau h/3.
Untuk PD: melangkahlah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau kemiringan rata-rata (Heun), satu baris per langkah, sampai mencapai t yang diminta.

2Soal latihan

1.Persamaan diferensialSedang

Selesaikan y″ + 3y′ + 2y = 0 dengan y(0) = 5 dan y′(0) = 4. Cari y(0,5).

y″ + 3y′ + 2y = 0y(0) = 5y′(0) = 4

y(0.5) =

2.Persamaan diferensialSulit

Sebuah tangki berisi 1000 L air yang melarutkan 20 kg garam. Air garam dengan 0,25 kg garam per liter mengalir masuk dengan laju 2 L/menit, dan larutan yang tercampur rata mengalir keluar dengan laju yang sama. Setelah berapa menit t tangki berisi 112 kg garam?

V = 1000 Lm₀ = 20 kgc = 0,25 kg/Lr = 2 L/min

t = min

3.IntegralSedang

Hitung I = ∫₁⁴ x·ln x dx.

∫₁⁴ x ln x dx

I =

4.IntegralSulit

Tentukan luas A daerah antara parabola y = 4 − x² dan sumbu x.

y = 4 − x²

A =

5.TurunanSedang

Misalkan f(x) = x·e^2x. Tentukan f′(0,5).

f(x) = x·e^2xx = 0,5

f′(0.5) =

6.TurunanSulit

Garis singgung f(x) = −x² + 4x − 3 di x = 1 memotong sumbu y di y = b. Tentukan b.

f(x) = −x² + 4x − 3x = 1

b =

7.Metode numerikSedang

Kaidah trapesium dipakai untuk ∫₀² sin x dx. Galatnya paling besar (b − a)³·M/(12n²) dengan M = maks|f″| pada [0, 2]. Carilah jumlah pita terkecil n yang menjamin galat di bawah 0,0001.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 2]ε = 0,0001

n =

8.Metode numerikSulit

Lakukan satu langkah metode Runge–Kutta klasik (RK4) dengan h = 0,1 untuk y′ = cos t − y, y(0) = −1. Carilah y₁ ≈ y(0,1).

y′ = cos t − yy(0) = −1h = 0,1

y₁ =

3Larutan

1.Persamaan diferensial

Jawaban: y(0.5) = 5,181

Persamaan linear orde dua: untuk y″ + b·y′ + c·y = 0 coba y = e^rt: ini memberi persamaan karakteristik r² + b·r + c = 0. Dua akar real r₁ ≠ r₂ memberi y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lebih); akar ganda r memberi y = (A + Bt)·e^rt (redaman kritis); akar kompleks −α ± jω memberi y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berosilasi). Nilai awal y(0) dan y′(0) menentukan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n adalah frekuensi alami dan ζ rasio redaman: ζ < 1 berosilasi. Dengan masukan konstan, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya adalah nilai tunak K ditambah respons bebas.

Akar karakteristik

(r + 1)(r + 2) = 0 → r = −1, −2

Konstanta dari nilai awal

A + B = 5, −1A − 2B = 4

A = 14, B = −9

Hitung nilainya

y(0,5) = 14·e^−0,5 + (−9)·e⁻¹ = 5,181

Jawaban

y(0,5) = 5,181

2.Persamaan diferensial

Jawaban: t = 255,4 min

Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.

Hasil

m(t) = 250 + (−230)·e^−t/500

Selesaikan untuk t

e^−t/500 = (250 − 112)/(250 − 20) = 0,6

t = 500·ln(1,667) = 255,4 min

Jawaban

t = 255,4 min

3.Integral

Jawaban: I = 7,34

Integrasi parsial: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, dari aturan perkalian. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih sederhana saat diturunkan (pangkat x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang dapat Anda integralkan (eˣ, sin x, cos x, atau x bila u = ln x). Untuk integral tentu, hitung u·v pada kedua batas: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua putaran.

Pilih u dan dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Antiturunan

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Limit

(8·ln 4 − 4) − (0 − 0,25) = 7,34

Jawaban

I = 7,34

4.Integral

Jawaban: A = 10,67

Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.

Pembuat nol

4 − x² = 0 → x = ±2

Integralkan

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Jawaban

A = 10,67

5.Turunan

Jawaban: f′(0.5) = 5,437

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Aturan perkalian

f′(x) = u′v + uv′ = e^2x·(1 + 2·x)

Substitusikan

f′(0,5) = 2,718·(1 + 1) = 5,437

Jawaban

f′(0,5) = 5,437

6.Turunan

Jawaban: b = −2

Titik dan kemiringan

f(1) = 0

f′(x) = −2x + 4 → f′(1) = 2

Garis singgung di x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 0 − 2·1 = −2

Jawaban

b = −2

7.Metode numerik

Jawaban: n = 82

Integrasi numerik: bagi [a, b] menjadi n pita selebar h = (b − a)/n dengan simpul x₀ … xₙ. Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Galat trapesium mengecil seperti h² (batas (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, jadi Simpson biasanya jauh lebih akurat untuk simpul yang sama.

Batas turunan kedua

M = |sin(π/2)| = 1

Selesaikan untuk n

n² > 8·1/(12·0,0001) = 6667

n > 81,65 → n = 82

Jawaban

n = 82

8.Metode numerik

Jawaban: y₁ = −0,8098

Penyelesaian numerik y′ = f(t, y): metode Euler melangkah menurut kemiringan di awal setiap langkah: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metode Heun (Euler yang diperbaiki) merata-ratakan kemiringan di awal dan pada prediksi Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Metode Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat kemiringan: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Galat global Euler sebanding dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.

Empat kemiringan

k₁ = f(0, −1) = 2

k₂ = f(0,05, −0,9) = 1,89875

k₃ = f(0,05, −0,905062) = 1,903813

k₄ = f(0,1, −0,809619) = 1,804623

Gabungkan

y₁ = −1 + (0,1/6)(2 + 2·1,89875 + 2·1,903813 + 1,804623) = −0,8098

Jawaban

y₁ = −0,8098

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations