Untuk suatu relasi, uji setiap sifat pada setiap pasangan dan berikan satu contoh penyangkal jika sifat itu gagal.
Untuk suatu fungsi, hitung panah yang tiba di setiap elemen B: paling banyak satu berarti injektif, paling sedikit satu berarti surjektif.
Teori graf
Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf beraturan
|E| = n·k/2
Pohon dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun pohon
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
sirkuit: semua derajat genap; lintasan: tepat 2 derajat ganjil
Sirkuit Hamilton di Kn
(n − 1)!/2
Pembaruan Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan dengan panjang L
(Mᴸ)ij
Metode
Tuliskan derajat setiap simpul; jumlah derajat sama dengan dua kali banyaknya sisi.
Untuk soal Euler, periksa bahwa graf terhubung dan hitung simpul berderajat ganjil.
Untuk pohon, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, buat tabel jarak sementara dan tetapkan simpul belum tetap dengan jarak terkecil di setiap putaran.
Untuk pohon rentang minimum, urutkan sisi menurut bobot dan lewati setiap sisi yang membentuk siklus (Kruskal), atau tumbuhkan satu pohon dari simpul awal (Prim).
Teori bilangan & aritmetika modular
Pembagian dengan sisa
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Kelipatan persekutuan terkecil
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Invers
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruensi linear
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Metode
Reduksi dulu setiap bilangan modulo n; sisa berada di antara 0 dan n − 1.
Untuk FPB, bagi berulang kali dengan algoritma Euclid; sisa taknol terakhir adalah FPB.
Untuk invers, jalankan algoritma yang diperluas dan ambil koefisien a; tambahkan n jika negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mengalikan a⁻¹; gabungkan dua kongruensi dengan menuliskan x = r₁ + m₁k.
Untuk pangkat, tuliskan eksponen dalam biner dan kuadratkan berulang; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Soal latihan
1.Logika proposisional & pembuktianSedang
Rumus mana yang ekuivalen secara logis dengan q → p? Klik rumus itu.
q → p
1q ∨ ¬p
2¬q → ¬p
3¬q ∨ p
4¬q ∧ p
2.Logika proposisional & pembuktianSulit
Premis b → c; ¬c diberikan. Kesimpulan mana yang mengikuti dari premis-premis itu? Klik kesimpulan itu.
b → c¬c
1¬b ∧ c
2b
3c
4¬b
3.Himpunan, relasi & fungsiSedang
Dari 62 mahasiswa tahun pertama, 37 lulus Matematika (M), 21 lulus Fisika (P), dan 26 lulus Kimia (C). 16 lulus M dan P, 14 lulus M dan C, 5 lulus P dan C, dan 4 lulus ketiganya. Berapa yang tidak berada di ketiga himpunan?
|U| = 62
|(M ∪ P ∪ C)′| =
4.Himpunan, relasi & fungsiSulit
Pada X = {1, 2, …, 12} relasi x ~ y berlaku jika x ≡ y (mod 4). Berapa elemen dalam kelas ekuivalensi [11]?
X = {1, …, 12}x ~ y ⟺ 4 | (x − y)
|[11]| =
5.Teori grafSedang
Sebuah graf terhubung memiliki 19 simpul dan 25 sisi. Berapa sisi k yang harus dihapus agar tersisa pohon rentang?
|V| = 19|E| = 25
k =
6.Teori grafSulit
Algoritma Dijkstra berjalan dari A. Klik simpul yang ditetapkan (dijadikan permanen) pada putaran 5; A sendiri adalah putaran 1.
awal: Aputaran 5
1A
2B
3C
4D
5E
6F
7.Teori bilangan & aritmetika modularSedang
Carilah invers 18 modulo 31: bilangan x dengan 0 < x < 31 dan 18·x ≡ 1 (mod 31).
a = 18n = 31
18−1 mod 31 =
8.Teori bilangan & aritmetika modularSulit
Sebuah kunci RSA memakai bilangan prima p = 7 dan q = 41 serta eksponen publik e = 23. Carilah eksponen privat d (0 < d < φ(n)).
p = 7q = 41e = 23
d =
3Larutan
1.Logika proposisional & pembuktian
Jawaban: ¬q ∨ p
Ekuivalensi logis: dua rumus ekuivalen (≡) jika bernilai sama pada setiap baris tabel kebenaran. Tautologi bernilai 1 pada setiap baris, kontradiksi bernilai 0 pada setiap baris, dan kontingensi bukan keduanya. Hukum yang berguna: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b dan ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapositif); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; dan hukum distributif, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Hukumnya
a → b bernilai 0 hanya jika a = 1 dan b = 0, jadi sama dengan ¬a ∨ b.
q → p ≡ ¬q ∨ p
Periksa dengan tabel kebenaran
p = 1, q = 1: 1 | 1 1 1 0
p = 1, q = 0: 1 | 0 0 1 1
p = 0, q = 1: 0 | 1 1 0 0
p = 0, q = 0: 1 | 1 1 1 0
Jawaban
¬q ∨ p
Kolom setelah garis adalah pilihan dalam urutan yang ditampilkan.
2.Logika proposisional & pembuktian
Jawaban: ¬b
Kuantor dan argumen: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) dan ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Pindahkan negasi ke dalam, tukar setiap kuantor yang dilewatinya, dan negasikan rumus di dalamnya dengan hukum proposisional, seperti ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Sebuah argumen valid jika kesimpulannya bernilai 1 pada setiap baris yang semua premisnya bernilai 1. Satu baris dengan premis benar dan kesimpulan salah adalah contoh penyangkal dan menunjukkan bahwa argumen itu tidak valid.
Baris dengan semua premis benar
b = 0, c = 0: ¬b ∧ c = 0, b = 0, c = 0, ¬b = 1
Kesimpulan
¬b (modus tollens)
Jawaban
¬b
3.Himpunan, relasi & fungsi
Jawaban: |(M ∪ P ∪ C)′| = 9
Himpunan dan diagram Venn: A ∪ B memuat elemen di A atau B (atau keduanya), A ∩ B elemen di keduanya, A − B elemen A yang tidak ada di B, dan komplemen A′ semua yang ada di U tetapi tidak di A. Dalam diagram Venn setiap ekspresi himpunan adalah gabungan daerah-daerah, jadi hitunglah daerah demi daerah. Inklusi–eksklusi: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, dan |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Bagian tengah dan pasangan
M ∩ P ∩ C: 4
M ∩ P saja: 16 − 4 = 12
M ∩ C saja: 14 − 4 = 10
P ∩ C saja: 5 − 4 = 1
Himpunan tunggal
M saja: 37 − 12 − 10 − 4 = 11
P saja: 21 − 12 − 1 − 4 = 4
C saja: 26 − 10 − 1 − 4 = 11
Jawaban
|M ∪ P ∪ C| = 53
|(M ∪ P ∪ C)′| = 62 − 53 = 9
Jawaban
|(M ∪ P ∪ C)′| = 9
4.Himpunan, relasi & fungsi
Jawaban: |[11]| = 3
Relasi: relasi R pada himpunan X adalah himpunan pasangan terurut (x, y). R refleksif jika (x, x) ∈ R untuk setiap x di X; simetris jika (x, y) ∈ R selalu disertai (y, x) ∈ R; antisimetris jika (x, y) dan (y, x) keduanya di R hanya bila x = y; dan transitif jika (x, y) dan (y, z) di R mengharuskan (x, z) ∈ R. Relasi ekuivalensi bersifat refleksif, simetris, dan transitif, serta membagi X menjadi kelas-kelas yang saling lepas.
Kelasnya
[11] = {3, 7, 11}
|[11]| = 3
Jawaban
|[11]| = 3
5.Teori graf
Jawaban: k = 7
Euler, Hamilton, dan pohon: graf terhubung memiliki sirkuit Euler (setiap sisi sekali, kembali ke awal) jika setiap simpul berderajat genap, dan lintasan Euler yang bukan sirkuit jika tepat dua simpul berderajat ganjil; lintasan itu berjalan dari satu simpul ganjil ke simpul ganjil lainnya. Sirkuit Hamilton mengunjungi setiap simpul sekali; Kn memiliki (n − 1)!/2 sirkuit seperti itu. Pohon dengan n simpul memiliki n − 1 sisi, dan graf terhubung dengan m sisi masih memiliki pohon rentang setelah m − n + 1 sisi dihapus.
Sisi pohon rentang
19 − 1 = 18
Sisi yang dihapus
k = 25 − 18 = 7
Jawaban
k = 7
6.Teori graf
Jawaban: F
Lintasan terpendek dan pohon rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu simpul per putaran: simpul belum tetap dengan jarak sementara terkecil. Jaraknya lalu final, dan setiap tetangga v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membangun pohon rentang minimum dengan mengambil sisi dari yang ringan ke berat dan melewati sisi yang akan membentuk siklus; algoritma Prim menumbuhkan satu pohon dari simpul awal dengan selalu menambahkan sisi teringan yang keluar dari pohon. Pohon rentang dengan n simpul memiliki n − 1 sisi.
Dijkstra putaran demi putaran
1. A (0): B: 15, C: 13
2. C (13): E: 20
3. B (15): D: 26
4. E (20): F: 21
5. F (21): D: 24
6. D (24)
putaran 5
F
Jawaban
F
7.Teori bilangan & aritmetika modular
Jawaban: 18−1 mod 31 = 19
Invers dan kongruensi: a memiliki invers modulo n tepat ketika FPB(a, n) = 1. Algoritma Euclid yang diperluas menuliskan 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruensi a·x ≡ b (mod n) dengan FPB(a, n) = 1 memiliki penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruensi x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus saling prima memiliki satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorema sisa Cina). φ(n) Euler menghitung bilangan dari 1 sampai n yang saling prima dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Algoritma Euclid yang diperluas
Setiap sisa r ditulis sebagai r ≡ t·18 (mod 31).
r = 31, t = 0
r = 18, q = 1, t = 1
r = 13, q = 1, t = −1
r = 5, q = 2, t = 2
r = 3, q = 1, t = −5
r = 2, q = 1, t = 7
r = 1, q = 2, t = −12
Invers
1 ≡ −12·18 (mod 31)
x = 19
periksa: 18·19 = 342 = 11·31 + 1
Jawaban
18−1 mod 31 = 19
8.Teori bilangan & aritmetika modular
Jawaban: d = 167
Pangkat modular dan RSA: hitung aᵏ mod n dengan pengkuadratan berulang: tulis k dalam biner, kuadratkan, reduksi setelah setiap langkah, dan kalikan pangkat yang bitnya 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) untuk bilangan prima p yang tidak membagi a, sehingga eksponen dapat direduksi modulo p − 1. RSA: pilih bilangan prima p dan q, n = p·q dan φ(n) = (p − 1)(q − 1); eksponen publik e saling prima dengan φ(n), dan eksponen privat adalah d = e⁻¹ mod φ(n). Enkripsi dengan c = mᵉ mod n dan dekripsi dengan m = cᵈ mod n.