Untuk suatu relasi, uji setiap sifat pada setiap pasangan dan berikan satu contoh penyangkal jika sifat itu gagal.
Untuk suatu fungsi, hitung panah yang tiba di setiap elemen B: paling banyak satu berarti injektif, paling sedikit satu berarti surjektif.
Teori graf
Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf beraturan
|E| = n·k/2
Pohon dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun pohon
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
sirkuit: semua derajat genap; lintasan: tepat 2 derajat ganjil
Sirkuit Hamilton di Kn
(n − 1)!/2
Pembaruan Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan dengan panjang L
(Mᴸ)ij
Metode
Tuliskan derajat setiap simpul; jumlah derajat sama dengan dua kali banyaknya sisi.
Untuk soal Euler, periksa bahwa graf terhubung dan hitung simpul berderajat ganjil.
Untuk pohon, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, buat tabel jarak sementara dan tetapkan simpul belum tetap dengan jarak terkecil di setiap putaran.
Untuk pohon rentang minimum, urutkan sisi menurut bobot dan lewati setiap sisi yang membentuk siklus (Kruskal), atau tumbuhkan satu pohon dari simpul awal (Prim).
Teori bilangan & aritmetika modular
Pembagian dengan sisa
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Kelipatan persekutuan terkecil
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Invers
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruensi linear
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Metode
Reduksi dulu setiap bilangan modulo n; sisa berada di antara 0 dan n − 1.
Untuk FPB, bagi berulang kali dengan algoritma Euclid; sisa taknol terakhir adalah FPB.
Untuk invers, jalankan algoritma yang diperluas dan ambil koefisien a; tambahkan n jika negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mengalikan a⁻¹; gabungkan dua kongruensi dengan menuliskan x = r₁ + m₁k.
Untuk pangkat, tuliskan eksponen dalam biner dan kuadratkan berulang; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Soal latihan
1.Logika proposisional & pembuktianSedang
Anda ingin membuktikan q → ¬p dengan kontrapositif. Implikasi mana yang Anda buktikan sebagai gantinya? Klik implikasi itu.
q → ¬p
1¬¬p → ¬q
2¬q → ¬¬p
3q ∧ ¬¬p
4¬p → q
2.Logika proposisional & pembuktianSulit
Pernyataan mana yang ekuivalen dengan ¬∀x ∃y R(x, y), dengan negasi dipindahkan sampai ke dalam? Klik pernyataan itu.
¬∀x ∃y R(x, y)
1∃y ∀x ¬R(x, y)
2∃x ∀y ¬R(x, y)
3∀x ∃y ¬R(x, y)
4∀x ∀y ¬R(x, y)
3.Himpunan, relasi & fungsiSedang
Dalam kelompok berisi 47 mahasiswa, 22 berbicara bahasa Prancis (F), 25 berbicara bahasa Jerman (G), dan 24 berbicara bahasa Spanyol (S). 16 berbicara Prancis dan Jerman, 7 Prancis dan Spanyol, 9 Jerman dan Spanyol, dan 6 berbicara ketiganya. Berapa yang tidak berada di ketiga himpunan?
|U| = 47
|(F ∪ G ∪ S)′| =
4.Himpunan, relasi & fungsiSulit
Relasi ekuivalensi R pada {1, …, 9} memiliki kelas {5, 6}, {1, 2, 4, 7}, {3, 8, 9}. Berapa pasangan terurut yang dimuat R? Sebut bilangan ini |R|.
{5, 6}{1, 2, 4, 7}{3, 8, 9}
|R| =
5.Teori grafSedang
Sebuah pohon memiliki 2 simpul berderajat 4, 3 simpul berderajat 5, dan semua simpul lainnya adalah daun (derajat 1). Berapa daun L yang dimilikinya?
2 × deg 43 × deg 5
L =
6.Teori grafSulit
Ada berapa jalan tertutup dengan panjang 3 yang dimulai dan berakhir di B? Jalan boleh mengulang simpul dan sisi. Sebut bilangan ini N.
M = matriks ketetanggaanL = 3
N =
7.Teori bilangan & aritmetika modularSedang
Carilah bilangan bulat positif terkecil x dengan x ≡ 3 (mod 7) dan x ≡ 4 (mod 10).
x ≡ 3 (mod 7)x ≡ 4 (mod 10)
x =
8.Teori bilangan & aritmetika modularSulit
Sebuah kunci RSA memakai p = 7, q = 29, dan e = 19. Dekripsikan teks sandi c = 186: carilah pesan m.
p = 7q = 29e = 19c = 186
m =
3Larutan
1.Logika proposisional & pembuktian
Jawaban: ¬¬p → ¬q
Ekuivalensi logis: dua rumus ekuivalen (≡) jika bernilai sama pada setiap baris tabel kebenaran. Tautologi bernilai 1 pada setiap baris, kontradiksi bernilai 0 pada setiap baris, dan kontingensi bukan keduanya. Hukum yang berguna: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b dan ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapositif); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; dan hukum distributif, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Bagian-bagian implikasi
a = q, b = ¬p
Kontrapositif
¬b → ¬a = ¬¬p → ¬q
Jawaban
¬¬p → ¬q
Kontrapositif ekuivalen dengan pernyataan asli, jadi membuktikannya berarti membuktikan pernyataan itu.
2.Logika proposisional & pembuktian
Jawaban: ∃x ∀y ¬R(x, y)
Kuantor dan argumen: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) dan ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Pindahkan negasi ke dalam, tukar setiap kuantor yang dilewatinya, dan negasikan rumus di dalamnya dengan hukum proposisional, seperti ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Sebuah argumen valid jika kesimpulannya bernilai 1 pada setiap baris yang semua premisnya bernilai 1. Satu baris dengan premis benar dan kesimpulan salah adalah contoh penyangkal dan menunjukkan bahwa argumen itu tidak valid.
Pindahkan negasi ke dalam
¬∀x ∃y R(x, y) ≡ ∃x ∀y ¬R(x, y)
Jawaban
∃x ∀y ¬R(x, y)
Pilihan lain mempertahankan kuantor tanpa perubahan, mengubah urutan kuantor, atau menegasikan rumus di dalam dengan salah.
3.Himpunan, relasi & fungsi
Jawaban: |(F ∪ G ∪ S)′| = 2
Himpunan dan diagram Venn: A ∪ B memuat elemen di A atau B (atau keduanya), A ∩ B elemen di keduanya, A − B elemen A yang tidak ada di B, dan komplemen A′ semua yang ada di U tetapi tidak di A. Dalam diagram Venn setiap ekspresi himpunan adalah gabungan daerah-daerah, jadi hitunglah daerah demi daerah. Inklusi–eksklusi: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, dan |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Bagian tengah dan pasangan
F ∩ G ∩ S: 6
F ∩ G saja: 16 − 6 = 10
F ∩ S saja: 7 − 6 = 1
G ∩ S saja: 9 − 6 = 3
Himpunan tunggal
F saja: 22 − 10 − 1 − 6 = 5
G saja: 25 − 10 − 3 − 6 = 6
S saja: 24 − 1 − 3 − 6 = 14
Jawaban
|F ∪ G ∪ S| = 45
|(F ∪ G ∪ S)′| = 47 − 45 = 2
Jawaban
|(F ∪ G ∪ S)′| = 2
4.Himpunan, relasi & fungsi
Jawaban: |R| = 29
Relasi: relasi R pada himpunan X adalah himpunan pasangan terurut (x, y). R refleksif jika (x, x) ∈ R untuk setiap x di X; simetris jika (x, y) ∈ R selalu disertai (y, x) ∈ R; antisimetris jika (x, y) dan (y, x) keduanya di R hanya bila x = y; dan transitif jika (x, y) dan (y, z) di R mengharuskan (x, z) ∈ R. Relasi ekuivalensi bersifat refleksif, simetris, dan transitif, serta membagi X menjadi kelas-kelas yang saling lepas.
Pasangan per kelas
|R| = 2² + 4² + 3² = 29
Jawaban
|R| = 29
5.Teori graf
Jawaban: L = 15
Euler, Hamilton, dan pohon: graf terhubung memiliki sirkuit Euler (setiap sisi sekali, kembali ke awal) jika setiap simpul berderajat genap, dan lintasan Euler yang bukan sirkuit jika tepat dua simpul berderajat ganjil; lintasan itu berjalan dari satu simpul ganjil ke simpul ganjil lainnya. Sirkuit Hamilton mengunjungi setiap simpul sekali; Kn memiliki (n − 1)!/2 sirkuit seperti itu. Pohon dengan n simpul memiliki n − 1 sisi, dan graf terhubung dengan m sisi masih memiliki pohon rentang setelah m − n + 1 sisi dihapus.
Lema jabat tangan untuk pohon
L + 23 = 2(L + 5) − 2
L = 15
Jawaban
L = 15
Jalan pintas: L = 2 + Σ (d − 2) atas simpul berderajat d ≥ 3.
6.Teori graf
Jawaban: N = 4
Derajat: derajat suatu simpul adalah banyaknya sisi yang bertemu di simpul itu. Setiap sisi memiliki dua ujung, jadi jumlah derajat sama dengan dua kali banyaknya sisi: Σ deg(v) = 2|E| (lema jabat tangan). Karena itu banyaknya simpul berderajat ganjil selalu genap. Kn memiliki n(n − 1)/2 sisi, graf beraturan-k dengan n simpul memiliki nk/2, dan pohon dengan n simpul memiliki n − 1 sisi.
Matriks ketetanggaan
A: 0 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 0 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0
Satu langkah lagi
(M³)BB = 0·1 + 4·0 + 1·1 + 1·1 + 2·1 = 4
Jawaban
N = 4
7.Teori bilangan & aritmetika modular
Jawaban: x = 24
Invers dan kongruensi: a memiliki invers modulo n tepat ketika FPB(a, n) = 1. Algoritma Euclid yang diperluas menuliskan 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruensi a·x ≡ b (mod n) dengan FPB(a, n) = 1 memiliki penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruensi x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus saling prima memiliki satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorema sisa Cina). φ(n) Euler menghitung bilangan dari 1 sampai n yang saling prima dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Kongruensi pertama
x = 3 + 7k
Kongruensi kedua
3 + 7k ≡ 4 (mod 10) → 7k ≡ 1 (mod 10)
k ≡ 3·1 ≡ 3 (mod 10)
Hasil
x = 3 + 7·3 = 24
x = 24
periksa: 24 mod 7 = 3, 24 mod 10 = 4
Jawaban
x = 24
8.Teori bilangan & aritmetika modular
Jawaban: m = 46
Pangkat modular dan RSA: hitung aᵏ mod n dengan pengkuadratan berulang: tulis k dalam biner, kuadratkan, reduksi setelah setiap langkah, dan kalikan pangkat yang bitnya 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) untuk bilangan prima p yang tidak membagi a, sehingga eksponen dapat direduksi modulo p − 1. RSA: pilih bilangan prima p dan q, n = p·q dan φ(n) = (p − 1)(q − 1); eksponen publik e saling prima dengan φ(n), dan eksponen privat adalah d = e⁻¹ mod φ(n). Enkripsi dengan c = mᵉ mod n dan dekripsi dengan m = cᵈ mod n.