Untuk suatu relasi, uji setiap sifat pada setiap pasangan dan berikan satu contoh penyangkal jika sifat itu gagal.
Untuk suatu fungsi, hitung panah yang tiba di setiap elemen B: paling banyak satu berarti injektif, paling sedikit satu berarti surjektif.
Teori graf
Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf beraturan
|E| = n·k/2
Pohon dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun pohon
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
sirkuit: semua derajat genap; lintasan: tepat 2 derajat ganjil
Sirkuit Hamilton di Kn
(n − 1)!/2
Pembaruan Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan dengan panjang L
(Mᴸ)ij
Metode
Tuliskan derajat setiap simpul; jumlah derajat sama dengan dua kali banyaknya sisi.
Untuk soal Euler, periksa bahwa graf terhubung dan hitung simpul berderajat ganjil.
Untuk pohon, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, buat tabel jarak sementara dan tetapkan simpul belum tetap dengan jarak terkecil di setiap putaran.
Untuk pohon rentang minimum, urutkan sisi menurut bobot dan lewati setiap sisi yang membentuk siklus (Kruskal), atau tumbuhkan satu pohon dari simpul awal (Prim).
Teori bilangan & aritmetika modular
Pembagian dengan sisa
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Kelipatan persekutuan terkecil
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Invers
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruensi linear
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Metode
Reduksi dulu setiap bilangan modulo n; sisa berada di antara 0 dan n − 1.
Untuk FPB, bagi berulang kali dengan algoritma Euclid; sisa taknol terakhir adalah FPB.
Untuk invers, jalankan algoritma yang diperluas dan ambil koefisien a; tambahkan n jika negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mengalikan a⁻¹; gabungkan dua kongruensi dengan menuliskan x = r₁ + m₁k.
Untuk pangkat, tuliskan eksponen dalam biner dan kuadratkan berulang; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Soal latihan
1.Logika proposisional & pembuktianSedang
Apakah (r → p) ∧ (r ∧ ¬p) tautologi, kontradiksi, atau kontingensi? Klik jawaban Anda.
(r → p) ∧ (r ∧ ¬p)
1tautologi
2kontradiksi
3kontingensi
2.Logika proposisional & pembuktianSulit
Argumen dengan premis p ∨ q; p dan kesimpulan ¬q tidak valid. Klik baris tabel kebenaran yang merupakan contoh penyangkal.
p ∨ qp∴ ¬q
1p = 1, q = 1
2p = 1, q = 0
3p = 0, q = 1
4p = 0, q = 0
3.Himpunan, relasi & fungsiSedang
Dari 40 mahasiswa tahun pertama, 18 lulus Matematika (M), 25 lulus Fisika (P), dan 11 lulus keduanya. Berapa yang berada di M tetapi tidak di P?
|U| = 40|M| = 18|P| = 25|M ∩ P| = 11
|M − P| =
4.Himpunan, relasi & fungsiSulit
Diagram panah menunjukkan fungsi f: A → B dengan A = {1, 2, 3, 4} dan B = {a, b, c, d}. Klik deskripsi yang sesuai dengan f.
f = {(1, a), (2, c), (3, c), (4, b)}
1injektif, tidak surjektif
2surjektif, tidak injektif
3bijektif
4bukan keduanya
5.Teori grafSedang
Ada berapa sirkuit Hamilton H yang berbeda pada graf lengkap K5? Sirkuit yang hanya berbeda dalam simpul awal atau arahnya dianggap sama.
K5
H =
6.Teori grafSulit
Algoritma Dijkstra berjalan dari A. Klik simpul yang ditetapkan (dijadikan permanen) pada putaran 5; A sendiri adalah putaran 1.
awal: Aputaran 5
1A
2B
3C
4D
5E
6F
7.Teori bilangan & aritmetika modularSedang
Carilah bilangan bulat positif terkecil x dengan x ≡ 2 (mod 3) dan x ≡ 6 (mod 8).
x ≡ 2 (mod 3)x ≡ 6 (mod 8)
x =
8.Teori bilangan & aritmetika modularSulit
Ada berapa penyelesaian N yang dimiliki 44x ≡ 28 (mod 46) dalam {0, 1, …, 45}?
44x ≡ 28 (mod 46)
N =
3Larutan
1.Logika proposisional & pembuktian
Jawaban: kontradiksi
Ekuivalensi logis: dua rumus ekuivalen (≡) jika bernilai sama pada setiap baris tabel kebenaran. Tautologi bernilai 1 pada setiap baris, kontradiksi bernilai 0 pada setiap baris, dan kontingensi bukan keduanya. Hukum yang berguna: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b dan ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapositif); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; dan hukum distributif, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Tabel kebenaran baris demi baris
p = 1, r = 1: r → p = 1, ¬p = 0, r ∧ ¬p = 0, (r → p) ∧ (r ∧ ¬p) = 0
p = 1, r = 0: r → p = 1, ¬p = 0, r ∧ ¬p = 0, (r → p) ∧ (r ∧ ¬p) = 0
p = 0, r = 1: r → p = 0, ¬p = 1, r ∧ ¬p = 1, (r → p) ∧ (r ∧ ¬p) = 0
p = 0, r = 0: r → p = 1, ¬p = 1, r ∧ ¬p = 0, (r → p) ∧ (r ∧ ¬p) = 0
Klasifikasikan
(r → p) ∧ (r ∧ ¬p): 0, 0, 0, 0
0 pada setiap baris: kontradiksi.
Jawaban
kontradiksi
2.Logika proposisional & pembuktian
Jawaban: p = 1, q = 1
Kuantor dan argumen: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) dan ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Pindahkan negasi ke dalam, tukar setiap kuantor yang dilewatinya, dan negasikan rumus di dalamnya dengan hukum proposisional, seperti ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Sebuah argumen valid jika kesimpulannya bernilai 1 pada setiap baris yang semua premisnya bernilai 1. Satu baris dengan premis benar dan kesimpulan salah adalah contoh penyangkal dan menunjukkan bahwa argumen itu tidak valid.
Premis dan kesimpulan baris demi baris
p = 1, q = 1: 1 1 | 0
p = 1, q = 0: 1 1 | 1
p = 0, q = 1: 1 0 | 0
p = 0, q = 0: 0 0 | 1
Contoh penyangkal
p = 1, q = 1
Jawaban
p = 1, q = 1
Argumen dengan bentuk ini tampak seperti aturan yang valid, tetapi satu baris cukup untuk menunjukkan bahwa itu tidak benar.
3.Himpunan, relasi & fungsi
Jawaban: |M − P| = 7
Himpunan dan diagram Venn: A ∪ B memuat elemen di A atau B (atau keduanya), A ∩ B elemen di keduanya, A − B elemen A yang tidak ada di B, dan komplemen A′ semua yang ada di U tetapi tidak di A. Dalam diagram Venn setiap ekspresi himpunan adalah gabungan daerah-daerah, jadi hitunglah daerah demi daerah. Inklusi–eksklusi: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, dan |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Daerah
M ∩ P: 11
M − P: 18 − 11 = 7
P − M: 25 − 11 = 14
(M ∪ P)′: 40 − (7 + 14 + 11) = 8
Jawaban
|M − P| = 7
Jawaban
|M − P| = 7
4.Himpunan, relasi & fungsi
Jawaban: bukan keduanya
Fungsi dan pencacahan: fungsi f: A → B memberi setiap elemen A tepat satu bayangan di B. f injektif (satu-satu) jika elemen berbeda punya bayangan berbeda, surjektif (pada) jika setiap elemen B adalah bayangan, dan bijektif jika keduanya berlaku. Dengan |A| = m dan |B| = n ada nᵐ fungsi, n!/(n − m)! fungsi injektif (m ≤ n), dan menurut inklusi–eksklusi Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ fungsi surjektif. |𝒫(A)| = 2ᵐ dan |A × B| = m·n.
Injektif?
f(2) = f(3) = c → tidak injektif
Surjektif?
d tidak menerima panah → tidak surjektif
Jawaban
bukan keduanya
Jawaban
bukan keduanya
5.Teori graf
Jawaban: H = 12
Euler, Hamilton, dan pohon: graf terhubung memiliki sirkuit Euler (setiap sisi sekali, kembali ke awal) jika setiap simpul berderajat genap, dan lintasan Euler yang bukan sirkuit jika tepat dua simpul berderajat ganjil; lintasan itu berjalan dari satu simpul ganjil ke simpul ganjil lainnya. Sirkuit Hamilton mengunjungi setiap simpul sekali; Kn memiliki (n − 1)!/2 sirkuit seperti itu. Pohon dengan n simpul memiliki n − 1 sisi, dan graf terhubung dengan m sisi masih memiliki pohon rentang setelah m − n + 1 sisi dihapus.
Hitung
H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12
Jawaban
H = 12
6.Teori graf
Jawaban: E
Lintasan terpendek dan pohon rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu simpul per putaran: simpul belum tetap dengan jarak sementara terkecil. Jaraknya lalu final, dan setiap tetangga v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membangun pohon rentang minimum dengan mengambil sisi dari yang ringan ke berat dan melewati sisi yang akan membentuk siklus; algoritma Prim menumbuhkan satu pohon dari simpul awal dengan selalu menambahkan sisi teringan yang keluar dari pohon. Pohon rentang dengan n simpul memiliki n − 1 sisi.
Dijkstra putaran demi putaran
1. A (0): B: 3, C: 9
2. B (3): D: 8, E: 10
3. D (8): F: 21
4. C (9)
5. E (10)
6. F (21)
putaran 5
E
Jawaban
E
7.Teori bilangan & aritmetika modular
Jawaban: x = 14
Invers dan kongruensi: a memiliki invers modulo n tepat ketika FPB(a, n) = 1. Algoritma Euclid yang diperluas menuliskan 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruensi a·x ≡ b (mod n) dengan FPB(a, n) = 1 memiliki penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruensi x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus saling prima memiliki satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorema sisa Cina). φ(n) Euler menghitung bilangan dari 1 sampai n yang saling prima dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Kongruensi pertama
x = 2 + 3k
Kongruensi kedua
2 + 3k ≡ 6 (mod 8) → 3k ≡ 4 (mod 8)
k ≡ 3·4 ≡ 4 (mod 8)
Hasil
x = 2 + 3·4 = 14
x = 14
periksa: 14 mod 3 = 2, 14 mod 8 = 6
Jawaban
x = 14
8.Teori bilangan & aritmetika modular
Jawaban: N = 2
Invers dan kongruensi: a memiliki invers modulo n tepat ketika FPB(a, n) = 1. Algoritma Euclid yang diperluas menuliskan 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruensi a·x ≡ b (mod n) dengan FPB(a, n) = 1 memiliki penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruensi x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus saling prima memiliki satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorema sisa Cina). φ(n) Euler menghitung bilangan dari 1 sampai n yang saling prima dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).