Untuk suatu relasi, uji setiap sifat pada setiap pasangan dan berikan satu contoh penyangkal jika sifat itu gagal.
Untuk suatu fungsi, hitung panah yang tiba di setiap elemen B: paling banyak satu berarti injektif, paling sedikit satu berarti surjektif.
Teori graf
Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf beraturan
|E| = n·k/2
Pohon dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun pohon
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
sirkuit: semua derajat genap; lintasan: tepat 2 derajat ganjil
Sirkuit Hamilton di Kn
(n − 1)!/2
Pembaruan Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan dengan panjang L
(Mᴸ)ij
Metode
Tuliskan derajat setiap simpul; jumlah derajat sama dengan dua kali banyaknya sisi.
Untuk soal Euler, periksa bahwa graf terhubung dan hitung simpul berderajat ganjil.
Untuk pohon, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, buat tabel jarak sementara dan tetapkan simpul belum tetap dengan jarak terkecil di setiap putaran.
Untuk pohon rentang minimum, urutkan sisi menurut bobot dan lewati setiap sisi yang membentuk siklus (Kruskal), atau tumbuhkan satu pohon dari simpul awal (Prim).
Teori bilangan & aritmetika modular
Pembagian dengan sisa
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Kelipatan persekutuan terkecil
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Invers
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruensi linear
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Metode
Reduksi dulu setiap bilangan modulo n; sisa berada di antara 0 dan n − 1.
Untuk FPB, bagi berulang kali dengan algoritma Euclid; sisa taknol terakhir adalah FPB.
Untuk invers, jalankan algoritma yang diperluas dan ambil koefisien a; tambahkan n jika negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mengalikan a⁻¹; gabungkan dua kongruensi dengan menuliskan x = r₁ + m₁k.
Untuk pangkat, tuliskan eksponen dalam biner dan kuadratkan berulang; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Soal latihan
1.Logika proposisional & pembuktianSedang
Rumus mana yang ekuivalen secara logis dengan ¬(q ↔ r)? Klik rumus itu.
¬(q ↔ r)
1¬q ↔ ¬r
2q ∧ ¬r
3¬q ∨ ¬r
4q ↔ ¬r
2.Logika proposisional & pembuktianSulit
Premis a → b; b → c; ¬c diberikan. Kesimpulan mana yang mengikuti dari premis-premis itu? Klik kesimpulan itu.
a → bb → c¬c
1¬a ∧ c
2a
3c
4¬a
3.Himpunan, relasi & fungsiSedang
R = {(2, 4), (3, 1), (3, 2), (4, 2)} adalah relasi pada {1, 2, 3, 4}. Berapa bilangan terkecil k pasangan terurut yang harus ditambahkan ke R agar simetris?
R = {(2, 4), (3, 1), (3, 2), (4, 2)}
k =
4.Himpunan, relasi & fungsiSulit
Ada berapa fungsi surjektif (pada) f: A → B jika |A| = 5 dan |B| = 2? Sebut bilangan ini N.
|A| = 5|B| = 2
N =
5.Teori grafSedang
Sebuah graf terhubung memiliki 8 simpul dan 17 sisi. Berapa sisi k yang harus dihapus agar tersisa pohon rentang?
|V| = 8|E| = 17
k =
6.Teori grafSulit
Ada berapa jalan tertutup dengan panjang 2 yang dimulai dan berakhir di E? Jalan boleh mengulang simpul dan sisi. Sebut bilangan ini N.
M = matriks ketetanggaanL = 2
N =
7.Teori bilangan & aritmetika modularSedang
Carilah invers 62 modulo 67: bilangan x dengan 0 < x < 67 dan 62·x ≡ 1 (mod 67).
a = 62n = 67
62−1 mod 67 =
8.Teori bilangan & aritmetika modularSulit
Ada berapa penyelesaian N yang dimiliki 26x ≡ 18 (mod 42) dalam {0, 1, …, 41}?
26x ≡ 18 (mod 42)
N =
3Larutan
1.Logika proposisional & pembuktian
Jawaban: q ↔ ¬r
Ekuivalensi logis: dua rumus ekuivalen (≡) jika bernilai sama pada setiap baris tabel kebenaran. Tautologi bernilai 1 pada setiap baris, kontradiksi bernilai 0 pada setiap baris, dan kontingensi bukan keduanya. Hukum yang berguna: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b dan ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapositif); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; dan hukum distributif, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Hukumnya
¬(a ↔ b) bernilai 1 tepat ketika a dan b berbeda, yaitu a ↔ ¬b.
¬(q ↔ r) ≡ q ↔ ¬r
Periksa dengan tabel kebenaran
q = 1, r = 1: 0 | 1 0 0 0
q = 1, r = 0: 1 | 0 1 1 1
q = 0, r = 1: 1 | 0 0 1 1
q = 0, r = 0: 0 | 1 0 1 0
Jawaban
q ↔ ¬r
Kolom setelah garis adalah pilihan dalam urutan yang ditampilkan.
2.Logika proposisional & pembuktian
Jawaban: ¬a
Kuantor dan argumen: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) dan ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Pindahkan negasi ke dalam, tukar setiap kuantor yang dilewatinya, dan negasikan rumus di dalamnya dengan hukum proposisional, seperti ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Sebuah argumen valid jika kesimpulannya bernilai 1 pada setiap baris yang semua premisnya bernilai 1. Satu baris dengan premis benar dan kesimpulan salah adalah contoh penyangkal dan menunjukkan bahwa argumen itu tidak valid.
Baris dengan semua premis benar
a = 0, b = 0, c = 0: ¬a ∧ c = 0, a = 0, c = 0, ¬a = 1
Kesimpulan
¬a (modus tollens dua kali)
Jawaban
¬a
3.Himpunan, relasi & fungsi
Jawaban: k = 2
Relasi: relasi R pada himpunan X adalah himpunan pasangan terurut (x, y). R refleksif jika (x, x) ∈ R untuk setiap x di X; simetris jika (x, y) ∈ R selalu disertai (y, x) ∈ R; antisimetris jika (x, y) dan (y, x) keduanya di R hanya bila x = y; dan transitif jika (x, y) dan (y, z) di R mengharuskan (x, z) ∈ R. Relasi ekuivalensi bersifat refleksif, simetris, dan transitif, serta membagi X menjadi kelas-kelas yang saling lepas.
Pasangan yang ditambahkan
{(1, 3), (2, 3)}
Hitung
k = 2
Jawaban
k = 2
4.Himpunan, relasi & fungsi
Jawaban: N = 30
Fungsi dan pencacahan: fungsi f: A → B memberi setiap elemen A tepat satu bayangan di B. f injektif (satu-satu) jika elemen berbeda punya bayangan berbeda, surjektif (pada) jika setiap elemen B adalah bayangan, dan bijektif jika keduanya berlaku. Dengan |A| = m dan |B| = n ada nᵐ fungsi, n!/(n − m)! fungsi injektif (m ≤ n), dan menurut inklusi–eksklusi Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ fungsi surjektif. |𝒫(A)| = 2ᵐ dan |A × B| = m·n.
Hitung
N = C(2, 0)·25 − C(2, 1)·15 = 30
Jawaban
N = 30
5.Teori graf
Jawaban: k = 10
Euler, Hamilton, dan pohon: graf terhubung memiliki sirkuit Euler (setiap sisi sekali, kembali ke awal) jika setiap simpul berderajat genap, dan lintasan Euler yang bukan sirkuit jika tepat dua simpul berderajat ganjil; lintasan itu berjalan dari satu simpul ganjil ke simpul ganjil lainnya. Sirkuit Hamilton mengunjungi setiap simpul sekali; Kn memiliki (n − 1)!/2 sirkuit seperti itu. Pohon dengan n simpul memiliki n − 1 sisi, dan graf terhubung dengan m sisi masih memiliki pohon rentang setelah m − n + 1 sisi dihapus.
Sisi pohon rentang
8 − 1 = 7
Sisi yang dihapus
k = 17 − 7 = 10
Jawaban
k = 10
6.Teori graf
Jawaban: N = 3
Derajat: derajat suatu simpul adalah banyaknya sisi yang bertemu di simpul itu. Setiap sisi memiliki dua ujung, jadi jumlah derajat sama dengan dua kali banyaknya sisi: Σ deg(v) = 2|E| (lema jabat tangan). Karena itu banyaknya simpul berderajat ganjil selalu genap. Kn memiliki n(n − 1)/2 sisi, graf beraturan-k dengan n simpul memiliki nk/2, dan pohon dengan n simpul memiliki n − 1 sisi.
Matriks ketetanggaan
A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 0 1
E: 0 1 1 0 0 1
F: 0 0 0 1 1 0
Tetangga bersama
(M²)EE = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 = 3
Jawaban
N = 3
7.Teori bilangan & aritmetika modular
Jawaban: 62−1 mod 67 = 40
Invers dan kongruensi: a memiliki invers modulo n tepat ketika FPB(a, n) = 1. Algoritma Euclid yang diperluas menuliskan 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruensi a·x ≡ b (mod n) dengan FPB(a, n) = 1 memiliki penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruensi x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus saling prima memiliki satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorema sisa Cina). φ(n) Euler menghitung bilangan dari 1 sampai n yang saling prima dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Algoritma Euclid yang diperluas
Setiap sisa r ditulis sebagai r ≡ t·62 (mod 67).
r = 67, t = 0
r = 62, q = 1, t = 1
r = 5, q = 12, t = −1
r = 2, q = 2, t = 13
r = 1, q = 2, t = −27
Invers
1 ≡ −27·62 (mod 67)
x = 40
periksa: 62·40 = 2480 = 37·67 + 1
Jawaban
62−1 mod 67 = 40
8.Teori bilangan & aritmetika modular
Jawaban: N = 2
Invers dan kongruensi: a memiliki invers modulo n tepat ketika FPB(a, n) = 1. Algoritma Euclid yang diperluas menuliskan 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruensi a·x ≡ b (mod n) dengan FPB(a, n) = 1 memiliki penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruensi x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus saling prima memiliki satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorema sisa Cina). φ(n) Euler menghitung bilangan dari 1 sampai n yang saling prima dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).