Matematika Diskrit: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 8 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Logika proposisional & pembuktian

Baris tabel kebenaran: 2ⁿ
Implikasi: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Negasi implikasi: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Bikondisional: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Hukum distributif: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Negasi kuantor: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Metode

Hitung banyaknya variabel yang berbeda: tabel kebenaran memiliki 2ⁿ baris, dimulai dengan semuanya bernilai 1.
Beri setiap subformula kolomnya sendiri dan isi kolom-kolom itu dari dalam ke luar.
Terapkan aturan setiap penghubung: → bernilai 0 hanya untuk 1 → 0, ↔ bernilai 1 jika kedua sisi sama.
Untuk ekuivalensi, bandingkan kolom akhir baris demi baris; untuk suatu argumen, lihat hanya baris yang semua premisnya bernilai 1.
Untuk menegasikan pernyataan berkuantor, pindahkan ¬ ke dalam, tukar ∀ dan ∃, lalu negasikan rumus di dalamnya.

Himpunan, relasi & fungsi

Dua himpunan: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Tiga himpunan: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
Selisih dan komplemen: A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
Himpunan kuasa dan hasil kali Kartesius: |𝒫(A)| = 2^|A|, |A × B| = |A|·|B|
Himpunan bagian berukuran k: C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
Fungsi A → B: nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
Relasi pada n elemen: 2^n²; reflexive 2^{n² − n}; symmetric 2^n(n+1)/2
Komposisi: (g ∘ f)(x) = g(f(x))

Metode

Gambar diagram Venn dan tentukan daerah demi daerah mana yang termasuk dalam ekspresi himpunan.
Untuk soal pencacahan, isi daerah dari tengah ke luar: semua himpunan, lalu pasangan, lalu himpunan tunggal, lalu bagian luar.
Gunakan inklusi–eksklusi sebagai pemeriksaan: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Untuk suatu relasi, uji setiap sifat pada setiap pasangan dan berikan satu contoh penyangkal jika sifat itu gagal.
Untuk suatu fungsi, hitung panah yang tiba di setiap elemen B: paling banyak satu berarti injektif, paling sedikit satu berarti surjektif.

Teori graf

Lema jabat tangan: Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf beraturan: |E| = n·k/2
Pohon dan hutan: |E| = n − 1, |E| = n − c
Daun pohon: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: sirkuit: semua derajat genap; lintasan: tepat 2 derajat ganjil
Sirkuit Hamilton di K_n: (n − 1)!/2
Pembaruan Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan dengan panjang L: (Mᴸ)_ij

Metode

Tuliskan derajat setiap simpul; jumlah derajat sama dengan dua kali banyaknya sisi.
Untuk soal Euler, periksa bahwa graf terhubung dan hitung simpul berderajat ganjil.
Untuk pohon, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, buat tabel jarak sementara dan tetapkan simpul belum tetap dengan jarak terkecil di setiap putaran.
Untuk pohon rentang minimum, urutkan sisi menurut bobot dan lewati setiap sisi yang membentuk siklus (Kruskal), atau tumbuhkan satu pohon dari simpul awal (Prim).

Teori bilangan & aritmetika modular

Pembagian dengan sisa: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Kelipatan persekutuan terkecil: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Invers: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruensi linear: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Metode

Reduksi dulu setiap bilangan modulo n; sisa berada di antara 0 dan n − 1.
Untuk FPB, bagi berulang kali dengan algoritma Euclid; sisa taknol terakhir adalah FPB.
Untuk invers, jalankan algoritma yang diperluas dan ambil koefisien a; tambahkan n jika negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mengalikan a⁻¹; gabungkan dua kongruensi dengan menuliskan x = r₁ + m₁k.
Untuk pangkat, tuliskan eksponen dalam biner dan kuadratkan berulang; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).

2Soal latihan

1.Logika proposisional & pembuktianSedang

Rumus mana yang ekuivalen secara logis dengan (q ∧ r) → p? Klik rumus itu.

(q ∧ r) → p

1q ∧ (r → p)
2q → (r → p)
3(q → p) ∧ (r → p)
4(q → r) → p

2.Logika proposisional & pembuktianSulit

Argumen dengan premis a → b; c → b dan kesimpulan a → c tidak valid. Klik baris tabel kebenaran yang merupakan contoh penyangkal.

a → bc → b∴ a → c

1a = 1, b = 1, c = 1
2a = 1, b = 1, c = 0
3a = 1, b = 0, c = 1
4a = 1, b = 0, c = 0
5a = 0, b = 1, c = 1
6a = 0, b = 1, c = 0
7a = 0, b = 0, c = 1
8a = 0, b = 0, c = 0

3.Himpunan, relasi & fungsiSedang

Setiap angka dalam diagram Venn adalah banyaknya elemen di daerah itu. Carilah |B ∪ C|.

|U| = 44

|B ∪ C| =

4.Himpunan, relasi & fungsiSulit

Ada berapa fungsi f: A → B jika |A| = 3 dan |B| = 3? Sebut bilangan ini N.

|A| = 3|B| = 3

N =

5.Teori grafSedang

Ada berapa sirkuit Hamilton H yang berbeda pada graf lengkap K₇? Sirkuit yang hanya berbeda dalam simpul awal atau arahnya dianggap sama.

K₇

H =

6.Teori grafSulit

Pakai algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(F) lintasan terpendek dari A ke F pada graf berbobot.

awal: Aakhir: F

d(F) =

7.Teori bilangan & aritmetika modularSedang

Carilah invers 19 modulo 37: bilangan x dengan 0 < x < 37 dan 19·x ≡ 1 (mod 37).

a = 19n = 37

19⁻¹ mod 37 =

8.Teori bilangan & aritmetika modularSulit

Enkripsikan pesan m = 76 dengan kunci publik RSA (n, e) = (221, 7). Carilah teks sandi c.

n = 221e = 7m = 76

c =

3Larutan

1.Logika proposisional & pembuktian

Jawaban: q → (r → p)

Ekuivalensi logis: dua rumus ekuivalen (≡) jika bernilai sama pada setiap baris tabel kebenaran. Tautologi bernilai 1 pada setiap baris, kontradiksi bernilai 0 pada setiap baris, dan kontingensi bukan keduanya. Hukum yang berguna: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b dan ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapositif); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; dan hukum distributif, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Hukumnya

Eksportasi: (a ∧ b) → c ≡ a → (b → c). Keduanya bernilai 0 hanya jika a = 1, b = 1, dan c = 0.

(q ∧ r) → p ≡ q → (r → p)

Periksa dengan tabel kebenaran

p = 1, q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1

p = 1, q = 1, r = 0: 1 | 1 1 1 1

p = 1, q = 0, r = 1: 1 | 0 1 1 1

p = 1, q = 0, r = 0: 1 | 0 1 1 1

p = 0, q = 1, r = 1: 0 | 0 0 0 0

p = 0, q = 1, r = 0: 1 | 1 1 0 1

p = 0, q = 0, r = 1: 1 | 0 1 0 0

p = 0, q = 0, r = 0: 1 | 0 1 1 0

Jawaban

q → (r → p)

Kolom setelah garis adalah pilihan dalam urutan yang ditampilkan.

2.Logika proposisional & pembuktian

Jawaban: a = 1, b = 1, c = 0

Kuantor dan argumen: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) dan ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Pindahkan negasi ke dalam, tukar setiap kuantor yang dilewatinya, dan negasikan rumus di dalamnya dengan hukum proposisional, seperti ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Sebuah argumen valid jika kesimpulannya bernilai 1 pada setiap baris yang semua premisnya bernilai 1. Satu baris dengan premis benar dan kesimpulan salah adalah contoh penyangkal dan menunjukkan bahwa argumen itu tidak valid.

Premis dan kesimpulan baris demi baris

a = 1, b = 1, c = 1: 1 1 | 1

a = 1, b = 1, c = 0: 1 1 | 0

a = 1, b = 0, c = 1: 0 0 | 1

a = 1, b = 0, c = 0: 0 1 | 0

a = 0, b = 1, c = 1: 1 1 | 1

a = 0, b = 1, c = 0: 1 1 | 1

a = 0, b = 0, c = 1: 1 0 | 1

a = 0, b = 0, c = 0: 1 1 | 1

Contoh penyangkal

a = 1, b = 1, c = 0

Jawaban

a = 1, b = 1, c = 0

Argumen dengan bentuk ini tampak seperti aturan yang valid, tetapi satu baris cukup untuk menunjukkan bahwa itu tidak benar.

3.Himpunan, relasi & fungsi

Jawaban: |B ∪ C| = 33

Himpunan dan diagram Venn: A ∪ B memuat elemen di A atau B (atau keduanya), A ∩ B elemen di keduanya, A − B elemen A yang tidak ada di B, dan komplemen A′ semua yang ada di U tetapi tidak di A. Dalam diagram Venn setiap ekspresi himpunan adalah gabungan daerah-daerah, jadi hitunglah daerah demi daerah. Inklusi–eksklusi: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, dan |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.

Daerah-daerah ekspresi

A′ ∩ B ∩ C′: 10

A ∩ B ∩ C′: 10

A′ ∩ B′ ∩ C: 1

A ∩ B′ ∩ C: 3

A′ ∩ B ∩ C: 7

A ∩ B ∩ C: 2

Jumlahkan

|B ∪ C| = 10 + 10 + 1 + 3 + 7 + 2 = 33

Jawaban

|B ∪ C| = 33

4.Himpunan, relasi & fungsi

Jawaban: N = 27

Fungsi dan pencacahan: fungsi f: A → B memberi setiap elemen A tepat satu bayangan di B. f injektif (satu-satu) jika elemen berbeda punya bayangan berbeda, surjektif (pada) jika setiap elemen B adalah bayangan, dan bijektif jika keduanya berlaku. Dengan |A| = m dan |B| = n ada nᵐ fungsi, n!/(n − m)! fungsi injektif (m ≤ n), dan menurut inklusi–eksklusi Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ fungsi surjektif. |𝒫(A)| = 2ᵐ dan |A × B| = m·n.

Hitung

N = 3³ = 27

Jawaban

N = 27

5.Teori graf

Jawaban: H = 360

Euler, Hamilton, dan pohon: graf terhubung memiliki sirkuit Euler (setiap sisi sekali, kembali ke awal) jika setiap simpul berderajat genap, dan lintasan Euler yang bukan sirkuit jika tepat dua simpul berderajat ganjil; lintasan itu berjalan dari satu simpul ganjil ke simpul ganjil lainnya. Sirkuit Hamilton mengunjungi setiap simpul sekali; K_n memiliki (n − 1)!/2 sirkuit seperti itu. Pohon dengan n simpul memiliki n − 1 sisi, dan graf terhubung dengan m sisi masih memiliki pohon rentang setelah m − n + 1 sisi dihapus.

Hitung

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Jawaban

H = 360

6.Teori graf

Jawaban: d(F) = 22

Lintasan terpendek dan pohon rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu simpul per putaran: simpul belum tetap dengan jarak sementara terkecil. Jaraknya lalu final, dan setiap tetangga v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membangun pohon rentang minimum dengan mengambil sisi dari yang ringan ke berat dan melewati sisi yang akan membentuk siklus; algoritma Prim menumbuhkan satu pohon dari simpul awal dengan selalu menambahkan sisi teringan yang keluar dari pohon. Pohon rentang dengan n simpul memiliki n − 1 sisi.

Dijkstra putaran demi putaran

Setiap baris: simpul yang ditetapkan, jarak finalnya, dan tetangga yang jaraknya membaik.

A (0): B: 5, C: 1

C (1): G: 14

B (5): D: 19, G: 6

G (6): E: 17

E (17): F: 28

D (19): F: 22

F (22)

Lintasan terpendek

A → B → D → F

d(F) = 22

Jawaban

d(F) = 22

7.Teori bilangan & aritmetika modular

Jawaban: 19⁻¹ mod 37 = 2

Invers dan kongruensi: a memiliki invers modulo n tepat ketika FPB(a, n) = 1. Algoritma Euclid yang diperluas menuliskan 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruensi a·x ≡ b (mod n) dengan FPB(a, n) = 1 memiliki penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruensi x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus saling prima memiliki satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorema sisa Cina). φ(n) Euler menghitung bilangan dari 1 sampai n yang saling prima dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Algoritma Euclid yang diperluas

Setiap sisa r ditulis sebagai r ≡ t·19 (mod 37).

r = 37, t = 0

r = 19, q = 1, t = 1

r = 18, q = 1, t = −1

r = 1, q = 18, t = 2

Invers

1 ≡ 2·19 (mod 37)

x = 2

periksa: 19·2 = 38 = 1·37 + 1

Jawaban

19⁻¹ mod 37 = 2

8.Teori bilangan & aritmetika modular

Jawaban: c = 15

Pangkat modular dan RSA: hitung aᵏ mod n dengan pengkuadratan berulang: tulis k dalam biner, kuadratkan, reduksi setelah setiap langkah, dan kalikan pangkat yang bitnya 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) untuk bilangan prima p yang tidak membagi a, sehingga eksponen dapat direduksi modulo p − 1. RSA: pilih bilangan prima p dan q, n = p·q dan φ(n) = (p − 1)(q − 1); eksponen publik e saling prima dengan φ(n), dan eksponen privat adalah d = e⁻¹ mod φ(n). Enkripsi dengan c = mᵉ mod n dan dekripsi dengan m = cᵈ mod n.

Pengkuadratan berulang

7 = 4 + 2 + 1

76¹ ≡ 76 (mod 221)

76² ≡ 30 (mod 221)

76⁴ ≡ 16 (mod 221)

76⁷ ≡ 76·30·16 ≡ 15 (mod 221)

Teks sandi

c = 15

Jawaban

c = 15

ExamProblems · examproblems.com/courses/discrete-mathematics