Matematika Diskrit: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 8 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Logika proposisional & pembuktian

Baris tabel kebenaran: 2ⁿ
Implikasi: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Negasi implikasi: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Bikondisional: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Hukum distributif: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Negasi kuantor: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Metode

Hitung banyaknya variabel yang berbeda: tabel kebenaran memiliki 2ⁿ baris, dimulai dengan semuanya bernilai 1.
Beri setiap subformula kolomnya sendiri dan isi kolom-kolom itu dari dalam ke luar.
Terapkan aturan setiap penghubung: → bernilai 0 hanya untuk 1 → 0, ↔ bernilai 1 jika kedua sisi sama.
Untuk ekuivalensi, bandingkan kolom akhir baris demi baris; untuk suatu argumen, lihat hanya baris yang semua premisnya bernilai 1.
Untuk menegasikan pernyataan berkuantor, pindahkan ¬ ke dalam, tukar ∀ dan ∃, lalu negasikan rumus di dalamnya.

Himpunan, relasi & fungsi

Dua himpunan: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Tiga himpunan: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
Selisih dan komplemen: A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
Himpunan kuasa dan hasil kali Kartesius: |𝒫(A)| = 2^|A|, |A × B| = |A|·|B|
Himpunan bagian berukuran k: C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
Fungsi A → B: nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
Relasi pada n elemen: 2^n²; reflexive 2^{n² − n}; symmetric 2^n(n+1)/2
Komposisi: (g ∘ f)(x) = g(f(x))

Metode

Gambar diagram Venn dan tentukan daerah demi daerah mana yang termasuk dalam ekspresi himpunan.
Untuk soal pencacahan, isi daerah dari tengah ke luar: semua himpunan, lalu pasangan, lalu himpunan tunggal, lalu bagian luar.
Gunakan inklusi–eksklusi sebagai pemeriksaan: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Untuk suatu relasi, uji setiap sifat pada setiap pasangan dan berikan satu contoh penyangkal jika sifat itu gagal.
Untuk suatu fungsi, hitung panah yang tiba di setiap elemen B: paling banyak satu berarti injektif, paling sedikit satu berarti surjektif.

Teori graf

Lema jabat tangan: Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf beraturan: |E| = n·k/2
Pohon dan hutan: |E| = n − 1, |E| = n − c
Daun pohon: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: sirkuit: semua derajat genap; lintasan: tepat 2 derajat ganjil
Sirkuit Hamilton di K_n: (n − 1)!/2
Pembaruan Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan dengan panjang L: (Mᴸ)_ij

Metode

Tuliskan derajat setiap simpul; jumlah derajat sama dengan dua kali banyaknya sisi.
Untuk soal Euler, periksa bahwa graf terhubung dan hitung simpul berderajat ganjil.
Untuk pohon, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, buat tabel jarak sementara dan tetapkan simpul belum tetap dengan jarak terkecil di setiap putaran.
Untuk pohon rentang minimum, urutkan sisi menurut bobot dan lewati setiap sisi yang membentuk siklus (Kruskal), atau tumbuhkan satu pohon dari simpul awal (Prim).

Teori bilangan & aritmetika modular

Pembagian dengan sisa: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Kelipatan persekutuan terkecil: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Invers: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruensi linear: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Metode

Reduksi dulu setiap bilangan modulo n; sisa berada di antara 0 dan n − 1.
Untuk FPB, bagi berulang kali dengan algoritma Euclid; sisa taknol terakhir adalah FPB.
Untuk invers, jalankan algoritma yang diperluas dan ambil koefisien a; tambahkan n jika negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mengalikan a⁻¹; gabungkan dua kongruensi dengan menuliskan x = r₁ + m₁k.
Untuk pangkat, tuliskan eksponen dalam biner dan kuadratkan berulang; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).

2Soal latihan

1.Logika proposisional & pembuktianSedang

Pada berapa dari 8 baris tabel kebenarannya (q ∨ p) ∧ ((q ∨ r) ∧ r) bernilai benar? Sebut bilangan ini N.

(q ∨ p) ∧ ((q ∨ r) ∧ r)

N =

2.Logika proposisional & pembuktianSulit

Berapa dari 16 baris tabel kebenaran yang membuat (¬(¬q ∨ s) ↔ (r → p)) ∧ ((r → ¬q) → (p ∧ s)) benar? Sebut bilangan ini N.

(¬(¬q ∨ s) ↔ (r → p)) ∧ ((r → ¬q) → (p ∧ s))

N =

3.Himpunan, relasi & fungsiSedang

Dari 62 mahasiswa tahun pertama, 37 lulus Matematika (M), 26 lulus Fisika (P), dan 31 lulus Kimia (C). 17 lulus M dan P, 14 lulus M dan C, 11 lulus P dan C, dan 4 lulus ketiganya. Berapa yang berada di tepat satu dari ketiga himpunan? Sebut bilangan ini n.

|U| = 62

n =

4.Himpunan, relasi & fungsiSulit

Ada berapa relasi simetris pada himpunan dengan 3 elemen? Sebut bilangan ini N.

|X| = 3

N =

5.Teori grafSedang

Sebuah graf terhubung memiliki 17 simpul dan 23 sisi. Berapa sisi k yang harus dihapus agar tersisa pohon rentang?

|V| = 17|E| = 23

k =

6.Teori grafSulit

Pakai algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(F) lintasan terpendek dari A ke F pada graf berbobot.

awal: Aakhir: F

d(F) =

7.Teori bilangan & aritmetika modularSedang

Carilah invers 53 modulo 79: bilangan x dengan 0 < x < 79 dan 53·x ≡ 1 (mod 79).

a = 53n = 79

53⁻¹ mod 79 =

8.Teori bilangan & aritmetika modularSulit

Selesaikan 18x ≡ 39 (mod 87). Berikan penyelesaian positif terkecil x.

18x ≡ 39 (mod 87)

x =

3Larutan

1.Logika proposisional & pembuktian

Jawaban: N = 3

Tabel kebenaran: rumus dengan n variabel berbeda memiliki 2ⁿ baris, satu untuk setiap kombinasi nilai kebenaran (1 = benar, 0 = salah). Bekerjalah dari dalam ke luar dan beri setiap subformula kolomnya sendiri. ¬a membalik nilainya; a ∧ b bernilai 1 hanya jika keduanya 1; a ∨ b bernilai 0 hanya jika keduanya 0; a → b bernilai 0 hanya jika a = 1 dan b = 0; a ↔ b bernilai 1 jika kedua sisi sama.

Tabel kebenaran baris demi baris

p = 1, q = 1, r = 1: q ∨ p = 1, q ∨ r = 1, (q ∨ r) ∧ r = 1, (q ∨ p) ∧ ((q ∨ r) ∧ r) = 1

p = 1, q = 1, r = 0: q ∨ p = 1, q ∨ r = 1, (q ∨ r) ∧ r = 0, (q ∨ p) ∧ ((q ∨ r) ∧ r) = 0

p = 1, q = 0, r = 1: q ∨ p = 1, q ∨ r = 1, (q ∨ r) ∧ r = 1, (q ∨ p) ∧ ((q ∨ r) ∧ r) = 1

p = 1, q = 0, r = 0: q ∨ p = 1, q ∨ r = 0, (q ∨ r) ∧ r = 0, (q ∨ p) ∧ ((q ∨ r) ∧ r) = 0

p = 0, q = 1, r = 1: q ∨ p = 1, q ∨ r = 1, (q ∨ r) ∧ r = 1, (q ∨ p) ∧ ((q ∨ r) ∧ r) = 1

p = 0, q = 1, r = 0: q ∨ p = 1, q ∨ r = 1, (q ∨ r) ∧ r = 0, (q ∨ p) ∧ ((q ∨ r) ∧ r) = 0

p = 0, q = 0, r = 1: q ∨ p = 0, q ∨ r = 1, (q ∨ r) ∧ r = 1, (q ∨ p) ∧ ((q ∨ r) ∧ r) = 0

p = 0, q = 0, r = 0: q ∨ p = 0, q ∨ r = 0, (q ∨ r) ∧ r = 0, (q ∨ p) ∧ ((q ∨ r) ∧ r) = 0

Hitung baris bernilai 1

(q ∨ p) ∧ ((q ∨ r) ∧ r): 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0

N = 3

Jawaban

N = 3

2.Logika proposisional & pembuktian

Jawaban: N = 2

Kolom

¬q; ¬q ∨ s; ¬(¬q ∨ s); r → p; ¬(¬q ∨ s) ↔ (r → p); r → ¬q; p ∧ s; (r → ¬q) → (p ∧ s); (¬(¬q ∨ s) ↔ (r → p)) ∧ ((r → ¬q) → (p ∧ s))

Bagi menurut p

p = 1: 1

p = 0: 1

N = 1 + 1 = 2

Jawaban

N = 2

3.Himpunan, relasi & fungsi

Jawaban: n = 22

Himpunan dan diagram Venn: A ∪ B memuat elemen di A atau B (atau keduanya), A ∩ B elemen di keduanya, A − B elemen A yang tidak ada di B, dan komplemen A′ semua yang ada di U tetapi tidak di A. Dalam diagram Venn setiap ekspresi himpunan adalah gabungan daerah-daerah, jadi hitunglah daerah demi daerah. Inklusi–eksklusi: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, dan |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.

Bagian tengah dan pasangan

M ∩ P ∩ C: 4

M ∩ P saja: 17 − 4 = 13

M ∩ C saja: 14 − 4 = 10

P ∩ C saja: 11 − 4 = 7

Himpunan tunggal

M saja: 37 − 13 − 10 − 4 = 10

P saja: 26 − 13 − 7 − 4 = 2

C saja: 31 − 10 − 7 − 4 = 10

Jawaban

10 + 2 + 10 = 22

Jawaban

n = 22

4.Himpunan, relasi & fungsi

Jawaban: N = 64

Relasi: relasi R pada himpunan X adalah himpunan pasangan terurut (x, y). R refleksif jika (x, x) ∈ R untuk setiap x di X; simetris jika (x, y) ∈ R selalu disertai (y, x) ∈ R; antisimetris jika (x, y) dan (y, x) keduanya di R hanya bila x = y; dan transitif jika (x, y) dan (y, z) di R mengharuskan (x, z) ∈ R. Relasi ekuivalensi bersifat refleksif, simetris, dan transitif, serta membagi X menjadi kelas-kelas yang saling lepas.

Hitung pilihan yang bebas

N = 2^{3 + 3} = 64

Jawaban

N = 64

5.Teori graf

Jawaban: k = 7

Euler, Hamilton, dan pohon: graf terhubung memiliki sirkuit Euler (setiap sisi sekali, kembali ke awal) jika setiap simpul berderajat genap, dan lintasan Euler yang bukan sirkuit jika tepat dua simpul berderajat ganjil; lintasan itu berjalan dari satu simpul ganjil ke simpul ganjil lainnya. Sirkuit Hamilton mengunjungi setiap simpul sekali; K_n memiliki (n − 1)!/2 sirkuit seperti itu. Pohon dengan n simpul memiliki n − 1 sisi, dan graf terhubung dengan m sisi masih memiliki pohon rentang setelah m − n + 1 sisi dihapus.

Sisi pohon rentang

17 − 1 = 16

Sisi yang dihapus

k = 23 − 16 = 7

Jawaban

k = 7

6.Teori graf

Jawaban: d(F) = 17

Lintasan terpendek dan pohon rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu simpul per putaran: simpul belum tetap dengan jarak sementara terkecil. Jaraknya lalu final, dan setiap tetangga v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membangun pohon rentang minimum dengan mengambil sisi dari yang ringan ke berat dan melewati sisi yang akan membentuk siklus; algoritma Prim menumbuhkan satu pohon dari simpul awal dengan selalu menambahkan sisi teringan yang keluar dari pohon. Pohon rentang dengan n simpul memiliki n − 1 sisi.

Dijkstra putaran demi putaran

Setiap baris: simpul yang ditetapkan, jarak finalnya, dan tetangga yang jaraknya membaik.

A (0): B: 7, C: 2

C (2): E: 14, G: 9

B (7): D: 14

G (9)

D (14): F: 25

E (14): F: 17

F (17)

Lintasan terpendek

A → C → E → F

d(F) = 17

Jawaban

d(F) = 17

7.Teori bilangan & aritmetika modular

Jawaban: 53⁻¹ mod 79 = 3

Invers dan kongruensi: a memiliki invers modulo n tepat ketika FPB(a, n) = 1. Algoritma Euclid yang diperluas menuliskan 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruensi a·x ≡ b (mod n) dengan FPB(a, n) = 1 memiliki penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruensi x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus saling prima memiliki satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorema sisa Cina). φ(n) Euler menghitung bilangan dari 1 sampai n yang saling prima dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Algoritma Euclid yang diperluas

Setiap sisa r ditulis sebagai r ≡ t·53 (mod 79).

r = 79, t = 0

r = 53, q = 1, t = 1

r = 26, q = 2, t = −1

r = 1, q = 26, t = 3

Invers

1 ≡ 3·53 (mod 79)

x = 3

periksa: 53·3 = 159 = 2·79 + 1

Jawaban

53⁻¹ mod 79 = 3

8.Teori bilangan & aritmetika modular

Jawaban: x = 7

Bagi dengan FPB

gcd(18, 87) = 3

6x ≡ 13 (mod 29)

Selesaikan kongruensi yang sudah disederhanakan

6⁻¹ ≡ 5 (mod 29) → x ≡ 7 (mod 29)

Penyelesaian modulo 87

x ∈ {7, 36, 65}

x = 7

Jawaban

x = 7

ExamProblems · examproblems.com/courses/discrete-mathematics