Untuk suatu relasi, uji setiap sifat pada setiap pasangan dan berikan satu contoh penyangkal jika sifat itu gagal.
Untuk suatu fungsi, hitung panah yang tiba di setiap elemen B: paling banyak satu berarti injektif, paling sedikit satu berarti surjektif.
Teori graf
Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf beraturan
|E| = n·k/2
Pohon dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun pohon
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
sirkuit: semua derajat genap; lintasan: tepat 2 derajat ganjil
Sirkuit Hamilton di Kn
(n − 1)!/2
Pembaruan Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan dengan panjang L
(Mᴸ)ij
Metode
Tuliskan derajat setiap simpul; jumlah derajat sama dengan dua kali banyaknya sisi.
Untuk soal Euler, periksa bahwa graf terhubung dan hitung simpul berderajat ganjil.
Untuk pohon, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, buat tabel jarak sementara dan tetapkan simpul belum tetap dengan jarak terkecil di setiap putaran.
Untuk pohon rentang minimum, urutkan sisi menurut bobot dan lewati setiap sisi yang membentuk siklus (Kruskal), atau tumbuhkan satu pohon dari simpul awal (Prim).
Teori bilangan & aritmetika modular
Pembagian dengan sisa
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Kelipatan persekutuan terkecil
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Invers
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruensi linear
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Metode
Reduksi dulu setiap bilangan modulo n; sisa berada di antara 0 dan n − 1.
Untuk FPB, bagi berulang kali dengan algoritma Euclid; sisa taknol terakhir adalah FPB.
Untuk invers, jalankan algoritma yang diperluas dan ambil koefisien a; tambahkan n jika negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mengalikan a⁻¹; gabungkan dua kongruensi dengan menuliskan x = r₁ + m₁k.
Untuk pangkat, tuliskan eksponen dalam biner dan kuadratkan berulang; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Soal latihan
1.Logika proposisional & pembuktianSedang
Apakah (a ∨ c) ∧ (¬a ∧ ¬c) tautologi, kontradiksi, atau kontingensi? Klik jawaban Anda.
(a ∨ c) ∧ (¬a ∧ ¬c)
1tautologi
2kontradiksi
3kontingensi
2.Logika proposisional & pembuktianSulit
Pernyataan mana yang ekuivalen dengan ¬∀x (A(x) → ∃y R(x, y)), dengan negasi dipindahkan sampai ke dalam? Klik pernyataan itu.
¬∀x (A(x) → ∃y R(x, y))
1∃x (A(x) → ∀y ¬R(x, y))
2∀x (A(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
3∃x (A(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
4∃x (¬A(x) ∧ ∃y R(x, y))
3.Himpunan, relasi & fungsiSedang
Dalam kelompok berisi 59 mahasiswa, 27 berbicara bahasa Prancis (F), 32 berbicara bahasa Jerman (G), dan 13 berbicara keduanya. Berapa yang berada di tepat satu dari kedua himpunan?
|U| = 59|F| = 27|G| = 32|F ∩ G| = 13
|(F − G) ∪ (G − F)| =
4.Himpunan, relasi & fungsiSulit
Diagram panah menunjukkan fungsi f: A → B dengan A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B = {a, b}. Klik deskripsi yang sesuai dengan f.
f = {(1, a), (2, b), (3, a), (4, b), (5, a)}
1injektif, tidak surjektif
2surjektif, tidak injektif
3bijektif
4bukan keduanya
5.Teori grafSedang
Sebuah graf terhubung memiliki 15 simpul dan 26 sisi. Berapa sisi k yang harus dihapus agar tersisa pohon rentang?
|V| = 15|E| = 26
k =
6.Teori grafSulit
Ada berapa jalan tertutup dengan panjang 3 yang dimulai dan berakhir di E? Jalan boleh mengulang simpul dan sisi. Sebut bilangan ini N.
M = matriks ketetanggaanL = 3
N =
7.Teori bilangan & aritmetika modularSedang
Carilah invers 44 modulo 59: bilangan x dengan 0 < x < 59 dan 44·x ≡ 1 (mod 59).
a = 44n = 59
44−1 mod 59 =
8.Teori bilangan & aritmetika modularSulit
Sebuah kunci RSA memakai p = 19, q = 43, dan e = 11. Dekripsikan teks sandi c = 406: carilah pesan m.
p = 19q = 43e = 11c = 406
m =
3Larutan
1.Logika proposisional & pembuktian
Jawaban: kontradiksi
Ekuivalensi logis: dua rumus ekuivalen (≡) jika bernilai sama pada setiap baris tabel kebenaran. Tautologi bernilai 1 pada setiap baris, kontradiksi bernilai 0 pada setiap baris, dan kontingensi bukan keduanya. Hukum yang berguna: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b dan ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapositif); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; dan hukum distributif, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Tabel kebenaran baris demi baris
a = 1, c = 1: a ∨ c = 1, ¬a = 0, ¬c = 0, ¬a ∧ ¬c = 0, (a ∨ c) ∧ (¬a ∧ ¬c) = 0
a = 1, c = 0: a ∨ c = 1, ¬a = 0, ¬c = 1, ¬a ∧ ¬c = 0, (a ∨ c) ∧ (¬a ∧ ¬c) = 0
a = 0, c = 1: a ∨ c = 1, ¬a = 1, ¬c = 0, ¬a ∧ ¬c = 0, (a ∨ c) ∧ (¬a ∧ ¬c) = 0
a = 0, c = 0: a ∨ c = 0, ¬a = 1, ¬c = 1, ¬a ∧ ¬c = 1, (a ∨ c) ∧ (¬a ∧ ¬c) = 0
Klasifikasikan
(a ∨ c) ∧ (¬a ∧ ¬c): 0, 0, 0, 0
0 pada setiap baris: kontradiksi.
Jawaban
kontradiksi
2.Logika proposisional & pembuktian
Jawaban: ∃x (A(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
Kuantor dan argumen: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) dan ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Pindahkan negasi ke dalam, tukar setiap kuantor yang dilewatinya, dan negasikan rumus di dalamnya dengan hukum proposisional, seperti ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Sebuah argumen valid jika kesimpulannya bernilai 1 pada setiap baris yang semua premisnya bernilai 1. Satu baris dengan premis benar dan kesimpulan salah adalah contoh penyangkal dan menunjukkan bahwa argumen itu tidak valid.
Pindahkan negasi ke dalam
¬∀x (A(x) → ∃y R(x, y)) ≡ ∃x (A(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
Jawaban
∃x (A(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
Pilihan lain mempertahankan kuantor tanpa perubahan, mengubah urutan kuantor, atau menegasikan rumus di dalam dengan salah.
3.Himpunan, relasi & fungsi
Jawaban: |(F − G) ∪ (G − F)| = 33
Himpunan dan diagram Venn: A ∪ B memuat elemen di A atau B (atau keduanya), A ∩ B elemen di keduanya, A − B elemen A yang tidak ada di B, dan komplemen A′ semua yang ada di U tetapi tidak di A. Dalam diagram Venn setiap ekspresi himpunan adalah gabungan daerah-daerah, jadi hitunglah daerah demi daerah. Inklusi–eksklusi: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, dan |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Daerah
F ∩ G: 13
F − G: 27 − 13 = 14
G − F: 32 − 13 = 19
(F ∪ G)′: 59 − (14 + 19 + 13) = 13
Jawaban
|(F − G) ∪ (G − F)| = 33
Jawaban
|(F − G) ∪ (G − F)| = 33
4.Himpunan, relasi & fungsi
Jawaban: surjektif, tidak injektif
Fungsi dan pencacahan: fungsi f: A → B memberi setiap elemen A tepat satu bayangan di B. f injektif (satu-satu) jika elemen berbeda punya bayangan berbeda, surjektif (pada) jika setiap elemen B adalah bayangan, dan bijektif jika keduanya berlaku. Dengan |A| = m dan |B| = n ada nᵐ fungsi, n!/(n − m)! fungsi injektif (m ≤ n), dan menurut inklusi–eksklusi Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ fungsi surjektif. |𝒫(A)| = 2ᵐ dan |A × B| = m·n.
Injektif?
f(1) = f(3) = a → tidak injektif
Surjektif?
setiap elemen B terkena → surjektif
Jawaban
surjektif, tidak injektif
Jawaban
surjektif, tidak injektif
5.Teori graf
Jawaban: k = 12
Euler, Hamilton, dan pohon: graf terhubung memiliki sirkuit Euler (setiap sisi sekali, kembali ke awal) jika setiap simpul berderajat genap, dan lintasan Euler yang bukan sirkuit jika tepat dua simpul berderajat ganjil; lintasan itu berjalan dari satu simpul ganjil ke simpul ganjil lainnya. Sirkuit Hamilton mengunjungi setiap simpul sekali; Kn memiliki (n − 1)!/2 sirkuit seperti itu. Pohon dengan n simpul memiliki n − 1 sisi, dan graf terhubung dengan m sisi masih memiliki pohon rentang setelah m − n + 1 sisi dihapus.
Sisi pohon rentang
15 − 1 = 14
Sisi yang dihapus
k = 26 − 14 = 12
Jawaban
k = 12
6.Teori graf
Jawaban: N = 6
Derajat: derajat suatu simpul adalah banyaknya sisi yang bertemu di simpul itu. Setiap sisi memiliki dua ujung, jadi jumlah derajat sama dengan dua kali banyaknya sisi: Σ deg(v) = 2|E| (lema jabat tangan). Karena itu banyaknya simpul berderajat ganjil selalu genap. Kn memiliki n(n − 1)/2 sisi, graf beraturan-k dengan n simpul memiliki nk/2, dan pohon dengan n simpul memiliki n − 1 sisi.
Matriks ketetanggaan
A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0
Satu langkah lagi
(M³)EE = 2·0 + 2·1 + 1·1 + 2·1 + 4·0 + 1·1 = 6
Jawaban
N = 6
7.Teori bilangan & aritmetika modular
Jawaban: 44−1 mod 59 = 55
Invers dan kongruensi: a memiliki invers modulo n tepat ketika FPB(a, n) = 1. Algoritma Euclid yang diperluas menuliskan 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruensi a·x ≡ b (mod n) dengan FPB(a, n) = 1 memiliki penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruensi x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus saling prima memiliki satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorema sisa Cina). φ(n) Euler menghitung bilangan dari 1 sampai n yang saling prima dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Algoritma Euclid yang diperluas
Setiap sisa r ditulis sebagai r ≡ t·44 (mod 59).
r = 59, t = 0
r = 44, q = 1, t = 1
r = 15, q = 2, t = −1
r = 14, q = 1, t = 3
r = 1, q = 14, t = −4
Invers
1 ≡ −4·44 (mod 59)
x = 55
periksa: 44·55 = 2420 = 41·59 + 1
Jawaban
44−1 mod 59 = 55
8.Teori bilangan & aritmetika modular
Jawaban: m = 714
Pangkat modular dan RSA: hitung aᵏ mod n dengan pengkuadratan berulang: tulis k dalam biner, kuadratkan, reduksi setelah setiap langkah, dan kalikan pangkat yang bitnya 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) untuk bilangan prima p yang tidak membagi a, sehingga eksponen dapat direduksi modulo p − 1. RSA: pilih bilangan prima p dan q, n = p·q dan φ(n) = (p − 1)(q − 1); eksponen publik e saling prima dengan φ(n), dan eksponen privat adalah d = e⁻¹ mod φ(n). Enkripsi dengan c = mᵉ mod n dan dekripsi dengan m = cᵈ mod n.