Matematika Teknik: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 20 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Limit

Substitusi langsung: coba x = a dulu; 0/0 berarti sederhanakan
Faktorkan dan coret: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sekawan: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limit di tak hingga: bagi dengan pangkat tertinggi x; derajat yang sama menghasilkan rasio koefisien utama
Limit khusus: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Aturan L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Turunan

Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′
Aturan hasil bagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Aturan rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Turunan umum: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metode

Kenali strukturnya: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi.
Terapkan aturan pangkat pada setiap pangkat x.
Gunakan aturan hasil kali, hasil bagi, atau rantai bila diperlukan.
Sederhanakan, dan hitung nilainya di titik tersebut jika diminta.

Integral

Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integral umum: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva: ∫_a^b (f − g) dx

Metode

Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk e^x, 1/x, sin, dan cos.
Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

Bilangan kompleks

Bentuk kartesius: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponensial: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil kali dan hasil bagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Akar ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Metode

Tentukan bentuk yang cocok untuk operasinya: kartesius a + jb untuk menjumlahkan dan mengurangkan, kutub r∠θ untuk mengalikan, membagi, pangkat, dan akar.
Kalikan dengan j² = −1; bagi dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Ubah dengan r = √(a² + b²) dan θ dari sketsa titik (periksa kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk pangkat pakai De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ daftarkan semua n akar R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Waktu paruh: k = ln 2 / t_½
Hukum pendinginan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor integrasi: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Matriks & determinan

determinan 2×2: det = ad − bc
Invers 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Aturan Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Vektor: hasil kali titik & silang

Besar: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor satuan: û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil kali titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b: a·b/|b|
Usaha: W = F·d
Hasil kali silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O: M_O = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum: V = |a·(b × c)|

Metode

Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

2Soal latihan

1.LimitSedang

Cari limit L = lim_x→∞ (1 + 0,5/x)^3x. Berikan nilai desimal.

f(x) = (1 + 0,5/x)^3xx → ∞

L =

2.LimitSulit

Cari limit L = lim_x→0 ln(1 + 3x)/sin(5x), dengan x dalam radian.

f(x) = ln(1 + 3x)/sin(5x)x → 0

L =

3.TurunanSedang

Misalkan f(x) = ln(x² + 5). Tentukan f′(3).

f(x) = ln(x² + 5)x = 3

f′(3) =

4.TurunanSulit

Garis singgung f(x) = 3x² + 3x − 5 di x = −2 memotong sumbu y di y = b. Tentukan b.

f(x) = 3x² + 3x − 5x = −2

b =

5.IntegralSedang

Hitung I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)² dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)²[0, 1]

I =

6.IntegralSulit

Tentukan luas A daerah yang dibatasi oleh y = 0,5x² dan y = 4x.

y = 0,5x²y = 4x

A =

7.Bilangan kompleksSedang

Diberikan z₁ = 1,5∠30° dan z₂ = 0,5∠80°, carilah bagian imajiner dari w = z₁/z₂.

z₁ = 1,5∠30°z₂ = 0,5∠80°

Im(w) =

8.Bilangan kompleksSulit

Tepat satu dari titik A–D adalah akar z³ = 8∠120°. Klik titik itu.

w = 8∠120°n = 3

1A (2∠160°)
2B (2∠−160°)
3C (2∠120°)
4D (3,6∠−140°)

9.Persamaan diferensialSedang

Selesaikan y″ + 2y′ + y = 0 dengan y(0) = 1 dan y′(0) = 4. Cari y(0,5).

y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 1y′(0) = 4

y(0.5) =

10.Persamaan diferensialSulit

Sebuah sistem memenuhi y″ + 3y′ + 27,25y = 27,25 untuk t ≥ 0, dimulai dari keadaan diam: y(0) = 0, y′(0) = 0. Cari y(0,5); sudut dalam radian.

y″ + 3y′ + 27,25y = 27,25y(0) = 0y′(0) = 0

y(0.5) =

11.Matriks & determinanSedang

Misalkan C = AB untuk matriks yang ditunjukkan. Tentukan entri c₁₂ (baris 1, kolom 2).

A = [−1 −6; −6 −5]B = [5 −1; 4 0]

c₁₂ =

12.Matriks & determinanSulit

Selesaikan sistem 3x + 6y = −7 dan −5x − 4y = −10. Tentukan x.

3x + 6y = −7−5x − 4y = −10

x =

13.Vektor: hasil kali titik & silangSedang

Tentukan proyeksi skalar comp_b a dari a = (6, −7, −7) pada b = (5, 0, −3), yaitu komponen a searah b.

a = (6, −7, −7)b = (5, 0, −3)

comp_b a =

14.Vektor: hasil kali titik & silangSulit

Untuk a = (−6, 4, −6) dan b = (−3, 3, 2), tentukan komponen x (a × b)_x dari hasil kali silang a × b.

a = (−6, 4, −6)b = (−3, 3, 2)

(a × b)_x =

15.PeluangSedang

Dengan berapa cara N sebuah panitia berisi 3 orang dapat dipilih dari kelompok 10 orang? Urutan tidak penting.

n = 10k = 3

N =

16.PeluangSulit

12 komponen diuji, dan masing-masing gagal secara saling bebas dengan peluang 0,1. Berapa peluang P paling banyak satu yang gagal?

n = 12p = 0,1

P =

17.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 56, 58, 44, 20, 29, 11.

n = 6

s =

18.Statistika deskriptifSulit

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 70 dan simpangan baku 15. Berapa proporsi P nilai di atas 85?

μ = 70σ = 15x = 85

P =

19.Distribusi normalSedang

Seret z sehingga luas berarsir di antara −z dan z di bawah kurva normal baku adalah 0,6047. Cari z sampai dua desimal.

A = 0,6047

z =

20.Distribusi normalSulit

Massa X produk dari lini 1 dan Y dari lini 2 saling bebas dan normal: X memiliki rata-rata 500 g dan simpangan baku 8 g, Y memiliki rata-rata 490 g dan simpangan baku 6 g. Cari peluang P bahwa X lebih besar dari Y. Bulatkan z ke dua desimal.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

3Larutan

1.Limit

Jawaban: L = 4,482

Limit: coba dulu substitusi langsung. Jika hasilnya 0/0, sederhanakan dulu: faktorkan dan coret faktor yang sama, atau kalikan dengan bentuk sekawan. Untuk x → ∞, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi x. Aturan L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (bukan dengan aturan hasil bagi).

Ambil logaritmanya

ln L = lim_x→∞ 3·x·ln(1 + 0,5/x)

Hitung nilainya

ln(1 + u)/u → 1 saat u → 0, sehingga x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 3·0,5 = 1,5

Batalkan logaritmanya

L = e^1,5 = 4,482

Jawaban

L = 4,482

2.Limit

Jawaban: L = 0,6

Aturan L'Hôpital

L = lim_x→0 [3/(1 + 3x)]/[5·cos 5x]

Substitusikan x = 0

L = 3/5 = 0,6

Jawaban

L = 0,6

3.Turunan

Jawaban: f′(3) = 0,4286

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Aturan rantai untuk logaritma

f′(x) = 2x/(x² + 5)

Substitusikan

f′(3) = 6/14 = 0,4286

Jawaban

f′(3) = 0,4286

4.Turunan

Jawaban: b = −17

Titik dan kemiringan

f(−2) = 1

f′(x) = 6x + 3 → f′(−2) = −9

Garis singgung di x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 1 − (−9)·(−2) = −17

Jawaban

b = −17

5.Integral

Jawaban: I = 2,333

Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.

Substitusi

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u² du

Integralkan dan substitusikan batas

I = [u³/3]₁² = (8 − 1)/3 = 2,333

Jawaban

I = 2,333

6.Integral

Jawaban: A = 42,67

Titik potong

0,5x² = 4x → x = 0, x = 8

Integralkan atas dikurangi bawah

A = [2x² − 0,1667x³]₀⁸ = 42,67

Jawaban

A = 42,67

7.Bilangan kompleks

Jawaban: Im(w) = −2,298

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali ke bentuk kartesius: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya jika a > 0; untuk a < 0 tambahkan atau kurangkan 180°. Dalam bentuk kutub perkalian mudah: kalikan modulus dan jumlahkan argumen; untuk pembagian bagi modulus dan kurangkan argumen.

Modulus dan argumen w

|w| = 1,5 / 0,5 = 3

θ = 30° − 80° = −50°

Bentuk kartesius

Re(w) = 3·cos(−50°) = 1,928

Im(w) = 3·sin(−50°) = −2,298

Im(w) = −2,298

Jawaban

Im(w) = −2,298

8.Bilangan kompleks

Jawaban: A (2∠160°)

De Moivre dan akar: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ memiliki tepat n akar, semuanya bermodulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: akar-akar itu tersebar merata pada sebuah lingkaran, berjarak 360°/n. Persamaan kuadrat z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q memiliki akar kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinom berkoefisien real selalu memiliki akar kompleks dalam pasangan konjugat a ± jb.

Modulus dan argumen akar-akar

|z| = 2

θ = 40°, 160°, −80°

Titiknya

A = 2∠160°

Jawaban

A (2∠160°)

9.Persamaan diferensial

Jawaban: y(0.5) = 2,123

Persamaan linear orde dua: untuk y″ + b·y′ + c·y = 0 coba y = e^rt: ini memberi persamaan karakteristik r² + b·r + c = 0. Dua akar real r₁ ≠ r₂ memberi y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lebih); akar ganda r memberi y = (A + Bt)·e^rt (redaman kritis); akar kompleks −α ± jω memberi y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berosilasi). Nilai awal y(0) dan y′(0) menentukan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n adalah frekuensi alami dan ζ rasio redaman: ζ < 1 berosilasi. Dengan masukan konstan, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya adalah nilai tunak K ditambah respons bebas.

Akar ganda

(r + 1)² = 0 → r = −1

Konstanta

A = y(0) = 1

y′(0) = B − 1A → B = 4 + 1 = 5

Hitung nilainya

y(0,5) = (1 + 5·0,5)·e^−0,5 = 2,123

Jawaban

y(0,5) = 2,123

10.Persamaan diferensial

Jawaban: y(0.5) = 1,294

Nilai tunak dan akar-akar

y_ss = 1, r = −1,5 ± 5j

Konstanta dari nilai awal

y(0) = 1 + A = 0 → A = −1

y′(0) = −1,5A + 5B = 0 → B = −0,3

Hitung nilainya

y(0,5) = 1·(1 − e^−0,75(cos 2,5 + 0,3·sin 2,5)) = 1,294

Jawaban

y(0,5) = 1,294

11.Matriks & determinan

Jawaban: c₁₂ = 1

Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.

Baris kali kolom

c₁₂ = (−1)·(−1) + (−6)·0 = 1

Jawaban

c₁₂ = 1

12.Matriks & determinan

Jawaban: x = 4,889

Determinan matriks koefisien

det A = 3·(−4) − 6·(−5) = 18

Ganti kolom x

det Aₓ = (−7)·(−4) − 6·(−10) = 88

x = 88/18 = 4,889

Jawaban

x = 4,889

y = −3,611

13.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: comp_b a = 8,746

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Hasil kali titik

a·b = 6·5 + (−7)·0 + (−7)·(−3) = 51

Panjang b

|b| = √(5² + 0² + (−3)²) = 5,831

Proyeksi skalar

comp_b a = a·b/|b| = 51/5,831 = 8,746

Jawaban

comp_b a = 8,746

14.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: (a × b)_x = 26

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Hasil kali silang, komponen demi komponen

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 4·2 − (−6)·3 = 26

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−6)·(−3) − (−6)·2 = 30

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−6)·3 − 4·(−3) = −6

Komponen yang diminta

(a × b)_x = 26

Jawaban

(a × b)_x = 26

Periksa: a × b tegak lurus terhadap kedua vektor, jadi hasil kali titiknya dengan a dan dengan b adalah nol.

15.Peluang

Jawaban: N = 120

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinasi

C(10, 3) = (10·9·8)/(3·2·1) = 120

Jawaban

N = 120

16.Peluang

Jawaban: P = 0,659

Nol dan satu kegagalan

P(X = 0) = 0,9¹² = 0,2824

P(X = 1) = 12·0,1·0,9¹¹ = 0,3766

Jumlahkan

P = 0,2824 + 0,3766 = 0,659

Jawaban

P = 0,659

17.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 19,38

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 218/6 = 36,33

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 19,67² + 21,67² + 7,667² + (−16,33)² + (−7,333)² + (−25,33)² = 1877

Simpangan baku

s = √(1877/5) = 19,38

Jawaban

s = 19,38

18.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,1587

Standarkan

z = 1

Tabel normal baku

Φ(1) = 0,8413

P = 1 − 0,8413 = 0,1587

Jawaban

P = 0,1587

19.Distribusi normal

Jawaban: z = 0,85

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = (1 + 0,6047)/2 = 0,8023

Baca tabel z secara terbalik

Cari 0,8023 di dalam tabel dan baca z.

z = 0,85

Jawaban

z = 0,85

20.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,8413

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², sehingga σ = √(σ_X² + σ_Y²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi selisih

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Standarkan

z = (0 − 10)/10 = −1

Peluang

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Jawaban

P = 0,8413

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics