Matematika Teknik: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 20 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Limit

Substitusi langsung: coba x = a dulu; 0/0 berarti sederhanakan
Faktorkan dan coret: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sekawan: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limit di tak hingga: bagi dengan pangkat tertinggi x; derajat yang sama menghasilkan rasio koefisien utama
Limit khusus: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Aturan L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Turunan

Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′
Aturan hasil bagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Aturan rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Turunan umum: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metode

Kenali strukturnya: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi.
Terapkan aturan pangkat pada setiap pangkat x.
Gunakan aturan hasil kali, hasil bagi, atau rantai bila diperlukan.
Sederhanakan, dan hitung nilainya di titik tersebut jika diminta.

Integral

Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integral umum: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva: ∫_a^b (f − g) dx

Metode

Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk e^x, 1/x, sin, dan cos.
Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

Bilangan kompleks

Bentuk kartesius: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponensial: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil kali dan hasil bagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Akar ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Metode

Tentukan bentuk yang cocok untuk operasinya: kartesius a + jb untuk menjumlahkan dan mengurangkan, kutub r∠θ untuk mengalikan, membagi, pangkat, dan akar.
Kalikan dengan j² = −1; bagi dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Ubah dengan r = √(a² + b²) dan θ dari sketsa titik (periksa kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk pangkat pakai De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ daftarkan semua n akar R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Waktu paruh: k = ln 2 / t_½
Hukum pendinginan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor integrasi: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Matriks & determinan

determinan 2×2: det = ad − bc
Invers 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Aturan Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Vektor: hasil kali titik & silang

Besar: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor satuan: û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil kali titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b: a·b/|b|
Usaha: W = F·d
Hasil kali silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O: M_O = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum: V = |a·(b × c)|

Metode

Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

2Soal latihan

1.LimitSedang

Cari limit L = lim_x→∞ (−5x² − 2x − 1)/(3x² + 6x + 2).

f(x) = (−5x² − 2x − 1)/(3x² + 6x + 2)x → ∞

L =

2.LimitSulit

Cari limit L = lim_x→0 (1 − cos 3x)/(2x²), dengan x dalam radian.

f(x) = (1 − cos 3x)/(2x²)x → 0

L =

3.TurunanSedang

Misalkan f(x) = x·sin(x), dengan x dalam radian. Tentukan f′(0,5).

f(x) = x·sin(x)x = 0,5 rad

f′(0.5) =

4.TurunanSulit

Garis singgung f(x) = 0,5x² − x + 5 di x = −1 memotong sumbu y di y = b. Tentukan b.

f(x) = 0,5x² − x + 5x = −1

b =

5.IntegralSedang

Hitung I = ∫₀¹ e^−0,5x dx.

f(x) = e^−0,5x[0, 1]

I =

6.IntegralSulit

Tentukan luas A daerah yang dibatasi oleh y = 0,5x² dan y = x.

y = 0,5x²y = x

A =

7.Bilangan kompleksSedang

Diberikan z₁ = 2,5∠150° dan z₂ = 4∠65°, carilah bagian imajiner dari w = z₁·z₂.

z₁ = 2,5∠150°z₂ = 4∠65°

Im(w) =

8.Bilangan kompleksSulit

Carilah bagian imajiner dari (3 − j)⁴.

z = 3 − jn = 4

Im(z⁴) =

9.Persamaan diferensialSedang

Selesaikan y″ + 4y′ + 4y = 0 dengan y(0) = 2 dan y′(0) = -2. Cari y(1).

y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 2y′(0) = -2

y(1) =

10.Persamaan diferensialSulit

Selesaikan y″ + 3y′ + 18,25y = 0 dengan y(0) = 2 dan y′(0) = 0 (dilepas dari keadaan diam). Cari y(1); sudut dalam radian.

y″ + 3y′ + 18,25y = 0y(0) = 2y′(0) = 0

y(1) =

11.Matriks & determinanSedang

Tentukan determinan det A dari matriks 3×3 A yang ditunjukkan.

A = [1 0 −4; −3 1 −2; −4 1 −5]

det A =

12.Matriks & determinanSulit

Selesaikan sistem 6x + 3y = 8 dan −6x − y = 3. Tentukan x.

6x + 3y = 8−6x − y = 3

x =

13.Vektor: hasil kali titik & silangSedang

Tentukan sudut θ antara vektor a = (0, 6, −5) dan b = (−6, 3, −1), dalam derajat.

a = (0, 6, −5)b = (−6, 3, −1)

θ = °

14.Vektor: hasil kali titik & silangSulit

Tentukan luas A segitiga dengan titik sudut A(3, −3, 2), B(−4, −2, −3), dan C(2, 0, 2). Koordinat dalam meter.

A(3, −3, 2)B(−4, −2, −3)C(2, 0, 2)

A = m²

15.PeluangSedang

Sebuah kantong berisi 8 bola merah dan 7 biru. Anda mengambil dua bola tanpa mengembalikan yang pertama. Berapa peluang P keduanya merah?

8 / 7

P =

16.PeluangSulit

Sebuah tes memiliki 6 soal pilihan ganda. Seorang mahasiswi yang menebak menjawab benar setiap soal dengan peluang 0,4, secara saling bebas. Berapa peluang P tepat 4 jawaban benar?

n = 6p = 0,4k = 4

P =

17.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 10, 41, 29, 23, 59, 19, 14.

n = 7

s =

18.Statistika deskriptifSulit

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 170 dan simpangan baku 12. Berapa proporsi P nilai di bawah 185?

μ = 170σ = 12x = 185

P =

19.Distribusi normalSedang

Data tinggi badan pria dewasa berdistribusi normal dengan rata-rata 178 cm dan simpangan baku 7 cm. Berapa proporsi yang berada di antara 164 dan 190,6 cm? Nyatakan P dalam bentuk desimal.

μ = 178σ = 7x₁ = 164x₂ = 190,6

P =

20.Distribusi normalSulit

Data nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 65 poin dan simpangan baku 10 poin. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 5% data (persentil ke-5).

μ = 65σ = 10P = 5%

x = poin

3Larutan

1.Limit

Jawaban: L = −1,667

Limit: coba dulu substitusi langsung. Jika hasilnya 0/0, sederhanakan dulu: faktorkan dan coret faktor yang sama, atau kalikan dengan bentuk sekawan. Untuk x → ∞, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi x. Aturan L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (bukan dengan aturan hasil bagi).

Bagi dengan pangkat tertinggi

(−5 + (−2)/x + (−1)/x²)/(3 + 6/x + 2/x²)

Biarkan x → ∞

L = −5/3 = −1,667

Jawaban

L = −1,667

Untuk derajat yang sama, limitnya adalah rasio koefisien utama.

2.Limit

Jawaban: L = 2,25

Penerapan pertama

3·sin 3x/(4x) → 0/0

Penerapan kedua

9·cos 3x/4

Substitusikan x = 0

L = 9/4 = 2,25

Jawaban

L = 2,25

3.Turunan

Jawaban: f′(0.5) = 0,9182

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Aturan perkalian dan rantai

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

Substitusikan

f′(0,5) = 0,4794 + 0,5·0,8776 = 0,9182

Jawaban

f′(0,5) = 0,9182

4.Turunan

Jawaban: b = 4,5

Titik dan kemiringan

f(−1) = 6,5

f′(x) = x − 1 → f′(−1) = −2

Garis singgung di x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 6,5 − (−2)·(−1) = 4,5

Jawaban

b = 4,5

5.Integral

Jawaban: I = 0,7869

Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.

Antiturunan

F(x) = e^−0,5x/(−0,5)

Substitusikan batasnya

I = (e^−0,5 − 1)/(−0,5) = (0,6065 − 1)/(−0,5) = 0,7869

Jawaban

I = 0,7869

6.Integral

Jawaban: A = 0,6667

Titik potong

0,5x² = x → x = 0, x = 2

Integralkan atas dikurangi bawah

A = [0,5x² − 0,1667x³]₀² = 0,6667

Jawaban

A = 0,6667

7.Bilangan kompleks

Jawaban: Im(w) = −5,736

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali ke bentuk kartesius: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya jika a > 0; untuk a < 0 tambahkan atau kurangkan 180°. Dalam bentuk kutub perkalian mudah: kalikan modulus dan jumlahkan argumen; untuk pembagian bagi modulus dan kurangkan argumen.

Modulus dan argumen w

|w| = 2,5 · 4 = 10

θ = 150° + 65° = 215° → −145°

Bentuk kartesius

Re(w) = 10·cos(−145°) = −8,192

Im(w) = 10·sin(−145°) = −5,736

Im(w) = −5,736

Jawaban

Im(w) = −5,736

8.Bilangan kompleks

Jawaban: Im(z⁴) = −96

De Moivre dan akar: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ memiliki tepat n akar, semuanya bermodulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: akar-akar itu tersebar merata pada sebuah lingkaran, berjarak 360°/n. Persamaan kuadrat z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q memiliki akar kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinom berkoefisien real selalu memiliki akar kompleks dalam pasangan konjugat a ± jb.

Pangkat langkah demi langkah

z² = (3 − j)(3 − j) = 8 − j6

z³ = (8 − j6)(3 − j) = 18 − j26

z⁴ = (18 − j26)(3 − j) = 28 − j96

Periksa dengan De Moivre

z = 3,162∠−18,43° → z⁴ = 100∠−73,74°

Im(z⁴) = −96

Jawaban

Im(z⁴) = −96

9.Persamaan diferensial

Jawaban: y(1) = 0,5413

Persamaan linear orde dua: untuk y″ + b·y′ + c·y = 0 coba y = e^rt: ini memberi persamaan karakteristik r² + b·r + c = 0. Dua akar real r₁ ≠ r₂ memberi y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lebih); akar ganda r memberi y = (A + Bt)·e^rt (redaman kritis); akar kompleks −α ± jω memberi y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berosilasi). Nilai awal y(0) dan y′(0) menentukan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n adalah frekuensi alami dan ζ rasio redaman: ζ < 1 berosilasi. Dengan masukan konstan, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya adalah nilai tunak K ditambah respons bebas.

Akar ganda

(r + 2)² = 0 → r = −2

Konstanta

A = y(0) = 2

y′(0) = B − 2A → B = -2 + 4 = 2

Hitung nilainya

y(1) = (2 + 2·1)·e⁻² = 0,5413

Jawaban

y(1) = 0,5413

10.Persamaan diferensial

Jawaban: y(1) = −0,4183

Akar kompleks

r = −1,5 ± 4j

Konstanta

A = 2, B = 1,5·2/4 = 0,75

Hitung nilainya

y(1) = e^−1,5(2·cos 4 + 0,75·sin 4) = −0,4183

Jawaban

y(1) = −0,4183

11.Matriks & determinan

Jawaban: det A = −7

Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.

Minor 2×2 baris pertama

M₁₁ = −3, M₁₂ = 7, M₁₃ = 1

Ekspansi kofaktor

det A = 1·(−3) − 0·7 + (−4)·1 = −7

Jawaban

det A = −7

12.Matriks & determinan

Jawaban: x = −1,417

Determinan matriks koefisien

det A = 6·(−1) − 3·(−6) = 12

Ganti kolom x

det Aₓ = 8·(−1) − 3·3 = −17

x = −17/12 = −1,417

Jawaban

x = −1,417

y = 5,5

13.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: θ = 64,27 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Hasil kali titik

a·b = 0·(−6) + 6·3 + (−5)·(−1) = 23

Besar vektor

|a| = √(0² + 6² + (−5)²) = 7,81

|b| = √((−6)² + 3² + (−1)²) = 6,782

Sudut

cos θ = 23/(7,81·6,782) = 0,4342

θ = arccos(0,4342) = 64,27°

Jawaban

θ = 64,27°

14.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: A = 12,75 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Vektor sisi

AB = B − A = (−7, 1, −5)

AC = C − A = (−1, 3, 0)

Hasil kali silang

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = 1·0 − (−5)·3 = 15

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = (−5)·(−1) − (−7)·0 = 5

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = (−7)·3 − 1·(−1) = −20

|AB × AC| = √(15² + 5² + (−20)²) = 25,5

Luas segitiga

A = ½·25,5 = 12,75 m²

Jawaban

A = 12,75 m²

15.Peluang

Jawaban: P = 0,2667

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 8/15 · 7/14 = 56/210 = 0,2667

Jawaban

P = 0,2667

16.Peluang

Jawaban: P = 0,1382

Rumus binomial

P(X = 4) = 15·0,4⁴·0,6² = 15·0,0256·0,36 = 0,1382

Jawaban

P = 0,1382

17.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 17,11

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 195/7 = 27,86

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−17,86)² + 13,14² + 1,143² + (−4,857)² + 31,14² + (−8,857)² + (−13,86)² = 1757

Simpangan baku

s = √(1757/6) = 17,11

Jawaban

s = 17,11

18.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,8944

Standarkan

z = 1,25

Tabel normal baku

Φ(1,25) = 0,8944

P = 0,8944

Jawaban

P = 0,8944

19.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,9413

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

Skor z

z₁ = (164 − 178)/7 = −2

z₂ = (190,6 − 178)/7 = 1,8

Luas di antara

P = Φ(1,8) − Φ(−2) = 0,9641 − 0,02275 = 0,9413

Jawaban

P = 0,9413

20.Distribusi normal

Jawaban: x = 48,55 poin

z untuk persentil

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Kembali ke x

x = 65 + −1,645·10 = 48,55 poin

Jawaban

x = 48,55 poin

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics