Matematika Teknik: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 20 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Limit

Substitusi langsung: coba x = a dulu; 0/0 berarti sederhanakan
Faktorkan dan coret: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sekawan: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limit di tak hingga: bagi dengan pangkat tertinggi x; derajat yang sama menghasilkan rasio koefisien utama
Limit khusus: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Aturan L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Turunan

Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′
Aturan hasil bagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Aturan rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Turunan umum: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metode

Kenali strukturnya: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi.
Terapkan aturan pangkat pada setiap pangkat x.
Gunakan aturan hasil kali, hasil bagi, atau rantai bila diperlukan.
Sederhanakan, dan hitung nilainya di titik tersebut jika diminta.

Integral

Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integral umum: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva: ∫_a^b (f − g) dx

Metode

Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk e^x, 1/x, sin, dan cos.
Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

Bilangan kompleks

Bentuk kartesius: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponensial: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil kali dan hasil bagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Akar ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Metode

Tentukan bentuk yang cocok untuk operasinya: kartesius a + jb untuk menjumlahkan dan mengurangkan, kutub r∠θ untuk mengalikan, membagi, pangkat, dan akar.
Kalikan dengan j² = −1; bagi dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Ubah dengan r = √(a² + b²) dan θ dari sketsa titik (periksa kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk pangkat pakai De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ daftarkan semua n akar R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Waktu paruh: k = ln 2 / t_½
Hukum pendinginan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor integrasi: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Matriks & determinan

determinan 2×2: det = ad − bc
Invers 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Aturan Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Vektor: hasil kali titik & silang

Besar: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor satuan: û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil kali titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b: a·b/|b|
Usaha: W = F·d
Hasil kali silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O: M_O = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum: V = |a·(b × c)|

Metode

Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

2Soal latihan

1.LimitSedang

Cari limit L = lim_x→∞ (1 + 2/x)^3x. Berikan nilai desimal.

f(x) = (1 + 2/x)^3xx → ∞

L =

2.LimitSulit

Cari limit L = lim_x→0 (e^3x − 1 − 3x)/x².

f(x) = (e^3x − 1 − 3x)/x²x → 0

L =

3.TurunanSedang

Misalkan f(x) = ln(x² + 2). Tentukan f′(1).

f(x) = ln(x² + 2)x = 1

f′(1) =

4.TurunanSulit

Misalkan f(x) = x³ − 9x² + 15x + 1. Tentukan koordinat x x dari minimum lokal.

f(x) = x³ − 9x² + 15x + 1

x =

5.IntegralSedang

Hitung I = ∫₂¹⁰ 3/x dx.

f(x) = 3/x[2, 10]

I =

6.IntegralSulit

Tentukan luas A daerah yang dibatasi oleh y = 2x² dan y = 2x.

y = 2x²y = 2x

A =

7.Bilangan kompleksSedang

Carilah argumen θ dari z = −8 − j3 dalam derajat, sebagai nilai pokok di antara −180° dan 180°.

z = −8 − j3

θ = °

8.Bilangan kompleksSulit

Pakai teorema De Moivre untuk mencari bagian real dari z⁸ untuk z = −2 − j2.

z = −2 − j2n = 8

Re(z⁸) =

9.Persamaan diferensialSedang

Selesaikan y″ + 4y′ + 3y = 0 dengan y(0) = 3 dan y′(0) = 2. Cari y(1,5).

y″ + 4y′ + 3y = 0y(0) = 3y′(0) = 2

y(1.5) =

10.Persamaan diferensialSulit

Selesaikan y″ + 2y′ + 5y = 0 dengan y(0) = 5 dan y′(0) = 0 (dilepas dari keadaan diam). Cari y(1); sudut dalam radian.

y″ + 2y′ + 5y = 0y(0) = 5y′(0) = 0

y(1) =

11.Matriks & determinanSedang

Tentukan determinan det A dari matriks 3×3 A yang ditunjukkan.

A = [3 3 3; −3 −2 1; 0 0 −2]

det A =

12.Matriks & determinanSulit

Selesaikan sistem 2x − y = 0 dan 4x − 6y = 6. Tentukan x.

2x − y = 04x − 6y = 6

x =

13.Vektor: hasil kali titik & silangSedang

Tentukan nilai k agar vektor a = (4, −5, −3) dan b = (k, −1, −5) saling tegak lurus.

a = (4, −5, −3)b = (k, −1, −5)

k =

14.Vektor: hasil kali titik & silangSulit

Untuk a = (−6, 4, −4) dan b = (4, −6, −3), tentukan komponen y (a × b)_y dari hasil kali silang a × b.

a = (−6, 4, −4)b = (4, −6, −3)

(a × b)_y =

15.PeluangSedang

Sebuah kantong berisi 4 bola merah dan 4 biru. Anda mengambil dua bola tanpa mengembalikan yang pertama. Berapa peluang P keduanya merah?

4 / 4

P =

16.PeluangSulit

Sebuah permainan berbiaya €3 untuk dimainkan. Anda memenangkan €6 dengan peluang 0,15 dan €60 dengan peluang 0,02; selain itu Anda tidak memperoleh apa-apa. Taruhan tidak dikembalikan. Cari keuntungan bersih yang diharapkan E(G) per permainan.

taruhan = €3€6: p = 0,15€60: p = 0,02

E(G) = €

17.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 58, 33, 16, 12, 55, 12, 27.

n = 7

s =

18.Statistika deskriptifSulit

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 60 dan simpangan baku 20. Berapa proporsi P nilai di atas 44?

μ = 60σ = 20x = 44

P =

19.Distribusi normalSedang

X normal dengan rata-rata 60 s dan simpangan baku 5 s; Y saling bebas dan normal dengan rata-rata 45 s dan simpangan baku 4 s. Cari peluang P bahwa X + Y lebih dari 113 s. Bulatkan z ke dua desimal.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 113 s

P =

20.Distribusi normalSulit

Waktu putaran pelari A, X, dan waktu putaran pelari B, Y saling bebas dan normal: X memiliki rata-rata 52 s dan simpangan baku 4 s, Y memiliki rata-rata 48 s dan simpangan baku 3 s. Cari peluang P bahwa X lebih besar dari Y. Bulatkan z ke dua desimal.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

3Larutan

1.Limit

Jawaban: L = 403,4

Limit: coba dulu substitusi langsung. Jika hasilnya 0/0, sederhanakan dulu: faktorkan dan coret faktor yang sama, atau kalikan dengan bentuk sekawan. Untuk x → ∞, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi x. Aturan L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (bukan dengan aturan hasil bagi).

Ambil logaritmanya

ln L = lim_x→∞ 3·x·ln(1 + 2/x)

Hitung nilainya

ln(1 + u)/u → 1 saat u → 0, sehingga x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 3·2 = 6

Batalkan logaritmanya

L = e⁶ = 403,4

Jawaban

L = 403,4

2.Limit

Jawaban: L = 4,5

Penerapan pertama

(3·e^3x − 3)/(2x) → 0/0

Penerapan kedua

9·e^3x/2

Substitusikan x = 0

L = 9·1/2 = 4,5

Jawaban

L = 4,5

3.Turunan

Jawaban: f′(1) = 0,6667

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Aturan rantai untuk logaritma

f′(x) = 2x/(x² + 2)

Substitusikan

f′(1) = 2/3 = 0,6667

Jawaban

f′(1) = 0,6667

4.Turunan

Jawaban: x = 5

Turunan

f′(x) = 3x² − 18x + 15 = 3·(x² − 6x + 5)

Selesaikan f′(x) = 0

x = 1 atau x = 5

Mana yang mana

f″(x) = 6x − 18: negatif di maksimum, positif di minimum.

f″(1) = −12, f″(5) = 12

x = 5

Jawaban

x = 5

5.Integral

Jawaban: I = 4,828

Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.

Antiturunan

F(x) = 3·ln x

Substitusikan batasnya

I = 3·(ln 10 − ln 2) = 3·ln 5 = 4,828

Jawaban

I = 4,828

6.Integral

Jawaban: A = 0,3333

Titik potong

2x² = 2x → x = 0, x = 1

Integralkan atas dikurangi bawah

A = [x² − 0,6667x³]₀¹ = 0,3333

Jawaban

A = 0,3333

7.Bilangan kompleks

Jawaban: θ = −159,4 °

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali ke bentuk kartesius: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya jika a > 0; untuk a < 0 tambahkan atau kurangkan 180°. Dalam bentuk kutub perkalian mudah: kalikan modulus dan jumlahkan argumen; untuk pembagian bagi modulus dan kurangkan argumen.

Kuadran

a = −8, b = −3 → III

Sudut acuan

α = atan(3/8) = 20,56°

Argumen

θ = −(180° − α) = −159,4°

Jawaban

θ = −159,4°

Dalam bentuk kutub z = 8,544∠−159,4°.

8.Bilangan kompleks

Jawaban: Re(z⁸) = 4096

De Moivre dan akar: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ memiliki tepat n akar, semuanya bermodulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: akar-akar itu tersebar merata pada sebuah lingkaran, berjarak 360°/n. Persamaan kuadrat z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q memiliki akar kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinom berkoefisien real selalu memiliki akar kompleks dalam pasangan konjugat a ± jb.

Bentuk kutub

z = −2 − j2 = 2√2∠−135°

De Moivre

z⁸ = (2√2)⁸∠−1080° = 4096∠0°

Bentuk kartesius

z⁸ = 4096·(cos 0° + j sin 0°) = 4096

Re(z⁸) = 4096

Jawaban

Re(z⁸) = 4096

9.Persamaan diferensial

Jawaban: y(1.5) = 1,199

Persamaan linear orde dua: untuk y″ + b·y′ + c·y = 0 coba y = e^rt: ini memberi persamaan karakteristik r² + b·r + c = 0. Dua akar real r₁ ≠ r₂ memberi y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lebih); akar ganda r memberi y = (A + Bt)·e^rt (redaman kritis); akar kompleks −α ± jω memberi y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berosilasi). Nilai awal y(0) dan y′(0) menentukan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n adalah frekuensi alami dan ζ rasio redaman: ζ < 1 berosilasi. Dengan masukan konstan, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya adalah nilai tunak K ditambah respons bebas.

Akar karakteristik

(r + 1)(r + 3) = 0 → r = −1, −3

Konstanta dari nilai awal

A + B = 3, −1A − 3B = 2

A = 5,5, B = −2,5

Hitung nilainya

y(1,5) = 5,5·e^−1,5 + (−2,5)·e^−4,5 = 1,199

Jawaban

y(1,5) = 1,199

10.Persamaan diferensial

Jawaban: y(1) = 0,07082

Akar kompleks

r = −1 ± 2j

Konstanta

A = 5, B = 1·5/2 = 2,5

Hitung nilainya

y(1) = e⁻¹(5·cos 2 + 2,5·sin 2) = 0,07082

Jawaban

y(1) = 0,07082

11.Matriks & determinan

Jawaban: det A = −6

Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.

Minor 2×2 baris pertama

M₁₁ = 4, M₁₂ = 6, M₁₃ = 0

Ekspansi kofaktor

det A = 3·4 − 3·6 + 3·0 = −6

Jawaban

det A = −6

12.Matriks & determinan

Jawaban: x = −0,75

Determinan matriks koefisien

det A = 2·(−6) − (−1)·4 = −8

Ganti kolom x

det Aₓ = 0·(−6) − (−1)·6 = 6

x = 6/(−8) = −0,75

Jawaban

x = −0,75

y = −1,5

13.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: k = −5

Perkalian titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, sebuah skalar. Perkalian ini memberi sudut antara dua vektor, cos θ = a·b/(|a|·|b|), dan bernilai nol jika keduanya tegak lurus. Proyeksi skalar a pada b adalah a·b/|b|, dan gaya konstan F yang bergerak sejauh perpindahan d melakukan usaha W = F·d.

Hasil kali titik sama dengan nol

a·b = 4·k + (−5)·(−1) + (−3)·(−5) = 0

20 + 4·k = 0

Selesaikan untuk k

k = −20/4 = −5

Jawaban

k = −5

14.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: (a × b)_y = −34

Perkalian silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) tegak lurus terhadap kedua vektor, dan |a × b| = |a|·|b|·sin θ adalah luas jajar genjang yang direntang keduanya (segitiganya setengah dari itu). Urutan berpengaruh: b × a = −(a × b). Momen gaya F yang bekerja di titik A terhadap titik O adalah M_O = r × F, dengan r = A − O.

Hasil kali silang, komponen demi komponen

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 4·(−3) − (−4)·(−6) = −36

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−4)·4 − (−6)·(−3) = −34

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−6)·(−6) − 4·4 = 20

Komponen yang diminta

(a × b)_y = −34

Jawaban

(a × b)_y = −34

Periksa: a × b tegak lurus terhadap kedua vektor, jadi hasil kali titiknya dengan a dan dengan b adalah nol.

15.Peluang

Jawaban: P = 0,2143

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 4/8 · 3/7 = 12/56 = 0,2143

Jawaban

P = 0,2143

16.Peluang

Jawaban: E(G) = −0,9 €

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Hasil bersih

G: 3 (p = 0,15), 57 (p = 0,02), −3 (p = 0,83)

Nilai harapan

E(G) = 3·0,15 + 57·0,02 − 3·0,83 = −0,9 €

Jawaban

E(G) = −0,9 €

Nilai negatif berarti rata-rata Anda kehilangan uang.

17.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 19,45

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 213/7 = 30,43

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 27,57² + 2,571² + (−14,43)² + (−18,43)² + 24,57² + (−18,43)² + (−3,429)² = 2270

Simpangan baku

s = √(2270/6) = 19,45

Jawaban

s = 19,45

18.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,7881

Standarkan

z = −0,8

Tabel normal baku

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 1 − 0,2119 = 0,7881

Jawaban

P = 0,7881

19.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,1056

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², sehingga σ = √(σ_X² + σ_Y²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi jumlah

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Standarkan

z = (113 − 105)/6,403 = 1,25

Ekor atas

P = 1 − Φ(1,25) = 1 − 0,8944 = 0,1056

Jawaban

P = 0,1056

20.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,7881

Distribusi selisih

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Standarkan

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Peluang

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Jawaban

P = 0,7881

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics