Matematika Teknik: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 20 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Limit

Substitusi langsung: coba x = a dulu; 0/0 berarti sederhanakan
Faktorkan dan coret: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sekawan: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limit di tak hingga: bagi dengan pangkat tertinggi x; derajat yang sama menghasilkan rasio koefisien utama
Limit khusus: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Aturan L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Turunan

Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′
Aturan hasil bagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Aturan rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Turunan umum: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metode

Kenali strukturnya: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi.
Terapkan aturan pangkat pada setiap pangkat x.
Gunakan aturan hasil kali, hasil bagi, atau rantai bila diperlukan.
Sederhanakan, dan hitung nilainya di titik tersebut jika diminta.

Integral

Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integral umum: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva: ∫_a^b (f − g) dx

Metode

Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk e^x, 1/x, sin, dan cos.
Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

Bilangan kompleks

Bentuk kartesius: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponensial: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil kali dan hasil bagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Akar ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Metode

Tentukan bentuk yang cocok untuk operasinya: kartesius a + jb untuk menjumlahkan dan mengurangkan, kutub r∠θ untuk mengalikan, membagi, pangkat, dan akar.
Kalikan dengan j² = −1; bagi dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Ubah dengan r = √(a² + b²) dan θ dari sketsa titik (periksa kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk pangkat pakai De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ daftarkan semua n akar R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Waktu paruh: k = ln 2 / t_½
Hukum pendinginan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor integrasi: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Matriks & determinan

determinan 2×2: det = ad − bc
Invers 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Aturan Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Vektor: hasil kali titik & silang

Besar: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor satuan: û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil kali titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b: a·b/|b|
Usaha: W = F·d
Hasil kali silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O: M_O = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum: V = |a·(b × c)|

Metode

Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

2Soal latihan

1.LimitSedang

Cari limit L = lim_x→∞ (√(x² − 8x) − x).

f(x) = √(x² − 8x) − xx → ∞

L =

2.LimitSulit

Cari limit L = lim_x→0 (1 − cos 2x)/(3x²), dengan x dalam radian.

f(x) = (1 − cos 2x)/(3x²)x → 0

L =

3.TurunanSedang

Misalkan f(x) = (2x + 5)³. Tentukan f′(1).

f(x) = (2x + 5)³x = 1

f′(1) =

4.TurunanSulit

Garis singgung f(x) = 2x² − 4x + 3 di x = −2 memotong sumbu y di y = b. Tentukan b.

f(x) = 2x² − 4x + 3x = −2

b =

5.IntegralSedang

Hitung I = ∫₁^1,5 x·ln x dx.

∫₁^1,5 x ln x dx

I =

6.IntegralSulit

Tentukan luas A daerah yang dibatasi oleh y = x² dan y = 4x.

y = x²y = 4x

A =

7.Bilangan kompleksSedang

Diberikan z₁ = 5∠40° dan z₂ = 2∠−95°, carilah argumen θ dari w = z₁/z₂ dalam derajat, di antara −180° dan 180°.

z₁ = 5∠40°z₂ = 2∠−95°

θ = °

8.Bilangan kompleksSulit

Akar-akar zⁿ = w dengan n = 3 dan w = 27∠−90° adalah z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, 2. Carilah argumen z₂ dalam derajat, di antara −180° dan 180°.

w = 27∠−90°n = 3k = 2

θ₂ = °

9.Persamaan diferensialSedang

Selesaikan y″ + 8y′ + 16y = 0 dengan y(0) = 2 dan y′(0) = 1. Cari y(1,5).

y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 2y′(0) = 1

y(1.5) =

10.Persamaan diferensialSulit

Selesaikan y″ + 3y′ + 11,25y = 0 dengan y(0) = 5 dan y′(0) = 0 (dilepas dari keadaan diam). Cari y(0,75); sudut dalam radian.

y″ + 3y′ + 11,25y = 0y(0) = 5y′(0) = 0

y(0.75) =

11.Matriks & determinanSedang

Tentukan determinan det A dari matriks 3×3 A yang ditunjukkan.

A = [1 5 3; 5 −1 5; −5 4 1]

det A =

12.Matriks & determinanSulit

Tentukan nilai eigen yang lebih besar λ dari matriks A yang ditunjukkan.

A = [6 −3; 5 −2]

λ =

13.Vektor: hasil kali titik & silangSedang

Tentukan sudut θ antara vektor a = (5, 3, −5) dan b = (−1, 2, −4), dalam derajat.

a = (5, 3, −5)b = (−1, 2, −4)

θ = °

14.Vektor: hasil kali titik & silangSulit

Tentukan volume V paralelepipedum yang rusuk-rusuknya dari satu titik sudut adalah a = (3, −3, 1), b = (0, −1, 4), dan c = (0, 5, 1).

a = (3, −3, 1)b = (0, −1, 4)c = (0, 5, 1)

V =

15.PeluangSedang

Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari variansi Var(X) dari X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,3, 0,05, 0,3

Var(X) =

16.PeluangSulit

X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = −2X + 1. Cari simpangan baku σ_Y dari Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,1, 0,3, 0,05, 0,35, 0,2Y = −2X + 1

σ_Y =

17.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 44, 44, 54, 23, 47, 19, 28.

n = 7

s =

18.Statistika deskriptifSulit

Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 170 dan simpangan baku 10. Tentukan skor z z untuk nilai 162.

μ = 170σ = 10x = 162

z =

19.Distribusi normalSedang

Seret z sehingga luas berarsir di antara −z dan z di bawah kurva normal baku adalah 0,8990. Cari z sampai dua desimal.

A = 0,8990

z =

20.Distribusi normalSulit

berat kantong berdistribusi normal dengan rata-rata 250 g dan simpangan baku 5 g. Seret batas sehingga 10% teratas yang diarsir berada di sebelah kanannya. Cari batas x.

μ = 250 gσ = 5 g10%

x = g

3Larutan

1.Limit

Jawaban: L = −4

Limit: coba dulu substitusi langsung. Jika hasilnya 0/0, sederhanakan dulu: faktorkan dan coret faktor yang sama, atau kalikan dengan bentuk sekawan. Untuk x → ∞, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi x. Aturan L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (bukan dengan aturan hasil bagi).

Kalikan dengan bentuk sekawan

f(x) = −8x/(√(x² − 8x) + x)

Bagi dengan x

f(x) = −8/(√(1 + (−8)/x) + 1)

Biarkan x → ∞

L = −8/(1 + 1) = −4

Jawaban

L = −4

2.Limit

Jawaban: L = 0,6667

Penerapan pertama

2·sin 2x/(6x) → 0/0

Penerapan kedua

4·cos 2x/6

Substitusikan x = 0

L = 4/6 = 0,6667

Jawaban

L = 0,6667

3.Turunan

Jawaban: f′(1) = 294

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Aturan rantai

f′(x) = 3·(2x + 5)²·2

Substitusikan

f′(1) = 3·7²·2 = 294

Jawaban

f′(1) = 294

4.Turunan

Jawaban: b = −5

Titik dan kemiringan

f(−2) = 19

f′(x) = 4x − 4 → f′(−2) = −12

Garis singgung di x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 19 − (−12)·(−2) = −5

Jawaban

b = −5

5.Integral

Jawaban: I = 0,1436

Integrasi parsial: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, dari aturan perkalian. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih sederhana saat diturunkan (pangkat x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang dapat Anda integralkan (eˣ, sin x, cos x, atau x bila u = ln x). Untuk integral tentu, hitung u·v pada kedua batas: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua putaran.

Pilih u dan dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Antiturunan

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Limit

(1,125·ln 1,5 − 0,5625) − (0 − 0,25) = 0,1436

Jawaban

I = 0,1436

6.Integral

Jawaban: A = 10,67

Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.

Titik potong

x² = 4x → x = 0, x = 4

Integralkan atas dikurangi bawah

A = [2x² − 0,3333x³]₀⁴ = 10,67

Jawaban

A = 10,67

7.Bilangan kompleks

Jawaban: θ = 135 °

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali ke bentuk kartesius: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya jika a > 0; untuk a < 0 tambahkan atau kurangkan 180°. Dalam bentuk kutub perkalian mudah: kalikan modulus dan jumlahkan argumen; untuk pembagian bagi modulus dan kurangkan argumen.

Modulus dan argumen w

|w| = 5 / 2 = 2,5

θ = 40° − (−95)° = 135°

Argumen

θ = 135°

Jawaban

θ = 135°

8.Bilangan kompleks

Jawaban: θ₂ = −150 °

De Moivre dan akar: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ memiliki tepat n akar, semuanya bermodulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: akar-akar itu tersebar merata pada sebuah lingkaran, berjarak 360°/n. Persamaan kuadrat z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q memiliki akar kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinom berkoefisien real selalu memiliki akar kompleks dalam pasangan konjugat a ± jb.

Modulus akar-akar

27^1/3 = 3

Argumen akar

θ₂ = (−90° + 360°·2)/3 = 210° → −150°

Argumen

θ₂ = −150°

Jawaban

θ₂ = −150°

3 akar itu terletak pada lingkaran berjari-jari 3, dengan jarak sudut 120°.

9.Persamaan diferensial

Jawaban: y(1.5) = 0,03842

Persamaan linear orde dua: untuk y″ + b·y′ + c·y = 0 coba y = e^rt: ini memberi persamaan karakteristik r² + b·r + c = 0. Dua akar real r₁ ≠ r₂ memberi y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lebih); akar ganda r memberi y = (A + Bt)·e^rt (redaman kritis); akar kompleks −α ± jω memberi y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berosilasi). Nilai awal y(0) dan y′(0) menentukan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n adalah frekuensi alami dan ζ rasio redaman: ζ < 1 berosilasi. Dengan masukan konstan, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya adalah nilai tunak K ditambah respons bebas.

Akar ganda

(r + 4)² = 0 → r = −4

Konstanta

A = y(0) = 2

y′(0) = B − 4A → B = 1 + 8 = 9

Hitung nilainya

y(1,5) = (2 + 9·1,5)·e⁻⁶ = 0,03842

Jawaban

y(1,5) = 0,03842

10.Persamaan diferensial

Jawaban: y(0.75) = −0,3882

Akar kompleks

r = −1,5 ± 3j

Konstanta

A = 5, B = 1,5·5/3 = 2,5

Hitung nilainya

y(0,75) = e^−1,125(5·cos 2,25 + 2,5·sin 2,25) = −0,3882

Jawaban

y(0,75) = −0,3882

11.Matriks & determinan

Jawaban: det A = −126

Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.

Minor 2×2 baris pertama

M₁₁ = −21, M₁₂ = 30, M₁₃ = 15

Ekspansi kofaktor

det A = 1·(−21) − 5·30 + 3·15 = −126

Jawaban

det A = −126

12.Matriks & determinan

Jawaban: λ = 3

Persamaan karakteristik

λ² − (4)λ + (3) = 0

Selesaikan

λ = (4 ± √(4))/2 → λ = 1, 3

λ = 3

Jawaban

λ = 3

13.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: θ = 53,37 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Hasil kali titik

a·b = 5·(−1) + 3·2 + (−5)·(−4) = 21

Besar vektor

|a| = √(5² + 3² + (−5)²) = 7,681

|b| = √((−1)² + 2² + (−4)²) = 4,583

Sudut

cos θ = 21/(7,681·4,583) = 0,5966

θ = arccos(0,5966) = 53,37°

Jawaban

θ = 53,37°

14.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: V = 63

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Hasil kali silang b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−1)·1 − 4·5 = −21

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 4·0 − 0·1 = 0

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 0·5 − (−1)·0 = 0

Hasil kali titik dengan a

a·(b × c) = 3·(−21) + (−3)·0 + 1·0 = −63

V = |−63| = 63

Jawaban

V = 63

15.Peluang

Jawaban: Var(X) = 6,04

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Rata-rata

μ = 0·0,35 + 2·0,3 + 4·0,05 + 6·0,3 = 2,6

Rata-rata kuadrat

E(X²) = 0·0,35 + 4·0,3 + 16·0,05 + 36·0,3 = 12,8

Variansi

Var(X) = 12,8 − 2,6² = 6,04

Jawaban

Var(X) = 6,04

16.Peluang

Jawaban: σ_Y = 2,674

Sebaran X

μ = 2,25, Var(X) = 1,787, σ_X = 1,337

Perubahan linear

σ_Y = |−2|·1,337 = 2,674

Jawaban

σ_Y = 2,674

Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = −2·2,25 + 1 = −3,5.

17.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 13,47

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 259/7 = 37

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 7² + 7² + 17² + (−14)² + 10² + (−18)² + (−9)² = 1088

Simpangan baku

s = √(1088/6) = 13,47

Jawaban

s = 13,47

18.Statistika deskriptif

Jawaban: z = −0,8

Standarkan

z = (162 − 170)/10 = −0,8

Jawaban

z = −0,8

19.Distribusi normal

Jawaban: z = 1,64

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = (1 + 0,8990)/2 = 0,9495

Baca tabel z secara terbalik

Cari 0,9495 di dalam tabel dan baca z.

z = 1,64

Jawaban

z = 1,64

20.Distribusi normal

Jawaban: x = 256,4 g

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0,9

z dari tabel

z ≈ 1,28

Kembali ke satuan semula

x = 250 + 1,28·5 = 256,4 g

Jawaban

x = 256,4 g

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics