Latihan ujian FE Civil: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 30 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Tegangan efektif tanah

Tegangan total: σ = Σγ_i·h_i
Tekanan air pori: u = γ_w·(z − z_w)
Tegangan efektif: σ′ = σ − u
Air: γ_w = 9,81 kN/m³

Penurunan konsolidasi

Terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Tegangan akhir: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Rasio konsolidasi berlebih: OCR = σ′_p/σ′₀
Waktu konsolidasi: t = T_v·H_dr²/c_v
Lintasan drainase: H_dr = H/2 (drainase ganda), H (drainase tunggal)
Faktor waktu: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Gaya hidrostatis

Tekanan pada kedalaman: p = ρgh
Gaya pada dinding vertikal: F = ρg·h_c·A
Pusat tekanan: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Persegi panjang: I_c = bH³/12

Gesekan pipa & kehilangan head

Bilangan Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Rezim aliran: laminar di bawah Re ≈ 2000, turbulen di atas Re ≈ 4000
Kecepatan rata-rata: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Kerugian minor: h_m = ΣK·V²/(2g)
Nilai K tipikal: masuk 0,5, keluar 1,0, belokan 90° ≈ 0,3
Penurunan tekanan: Δp = ρ·g·h_f
Dua reservoir terbuka: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Keluaran bebas: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Aliran saluran terbuka (Manning)

Persamaan Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debit: Q = A·V
Jari-jari hidrolik: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y
Trapesium (kemiringan sisi z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Pipa bulat, penuh atau setengah penuh: R = D/4
Kemiringan yang diperlukan: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Pompa & daya pompa

Daya hidrolik: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Daya poros: P_shaft = P_h/η_pump
Daya listrik: P_el = P_shaft/η_motor
Head pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Kerugian sistem: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Nilai waktu uang

Nilai masa depan: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Nilai sekarang: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Beberapa periode per tahun: i = r/m, N = m·n
Anuitas, nilai sekarang: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitas, nilai masa depan: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metode

Gambar garis waktu dengan setiap arus kas dan waktunya.
Sesuaikan suku bunga dengan periodenya: suku bunga bulanan untuk pembayaran bulanan.
Gunakan FV = PV·(1 + i)ⁿ untuk jumlah tunggal dan rumus anuitas untuk pembayaran yang sama besar.
Periksa tanda dan orde besaran jawabannya.

NPV & IRR

Nilai sekarang bersih: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Arus kas yang sama: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tingkat pengembalian internal: nilai r saat NPV = 0
Keputusan: terima jika NPV > 0 (atau IRR > tingkat pengembalian yang disyaratkan)

Metode

Daftarkan semua arus kas beserta tahunnya; investasi pada tahun 0 bernilai negatif.
Diskontokan setiap arus kas: CF_t/(1 + r)^t.
Jumlahkan semuanya untuk mendapatkan NPV. Positif berarti proyek menghasilkan lebih dari r.
Untuk IRR, cari suku bunga yang membuat NPV nol dengan coba-coba atau interpolasi.

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal R_A.

L = 8 mP₁ = 50 kN di 3 mP₂ = 60 kN di 6 m

R_A = kN

2.Reaksi tumpuan balokSulit

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal R_B.

L = 4 mP = 55 kN di 1 mw = 12 kN/m dari 2 sampai 3 m

R_B = kN

3.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 4 mtinggi = 3 mB berjarak 1 m dari Abeban vertikal = 45 kN

F_AB = kN

4.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AC pada batang AC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 5 mtinggi = 2 mB berjarak 4 m dari Abeban vertikal = 50 kNbeban horizontal = 5 kN ←

F_AC = kN

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

40 kN @ 6 m4 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Balok bertumpu pada sendi di A dan rol di B, dan menjorok (overstek) sejauh 1 m melewati B hingga ujung bebas C. Beban merata w bekerja di sepanjang A–C. Cari momen lentur positif maksimum M_max di antara tumpuan.

L = 9 mw = 5 kN/m dari 0 sampai 9 mtumpuan di x = 0 dan x = 8 m

M_max = kN·m

7.Lendutan balokSedang

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada a = 2,5 m dari tumpuan A. Cari lendutan δ_P di bawah beban.

P = 10 kNa = 2,5 mL = 8 mE = 70 GPa (aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Lendutan balokSulit

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada b = 1,5 m dari tumpuan B. Cari lendutan maksimum δ_max balok.

P = 19 kNb = 1,5 mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Kolom harus menahan 100 kN dengan faktor keamanan 3 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 100 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (baja)

d = mm

11.Titik berat & momen inersiaSedang

Sebuah pelat 120 mm × 240 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 60 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 96 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas I_x terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 120 mmh = 240 mmd = 60 mmpusat lubang: y = 96 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersiaSulit

Sebuah pelat 150 mm × 200 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 80 mm dan setinggi 50 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 70 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas I_x terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 150 mmh = 200 mmpotongan: 80 × 50 mmpusat lubang: y = 70 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Tegangan efektif tanahSedang

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tegangan efektif vertikal σ′ di titik X.

z = 9 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 15 kN/m³pasir: γ_sat = 19 kN/m³

σ′ = kPa

14.Tegangan efektif tanahSulit

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tegangan efektif vertikal σ′ di titik X.

z = 9,5 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 16 kN/m³pasir: γ_sat = 20 kN/m³lempung: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ′ = kPa

15.Penurunan konsolidasiSedang

Lapisan lempung terkonsolidasi berlebih setebal 3,5 m memiliki C_c = 0,4, C_r = 0,04, dan e₀ = 0,95. Di tengah kedalamannya tegangan vertikal efektifnya 75 kPa dan rasio konsolidasi berlebihnya OCR = 1,5. Sebuah bangunan baru menambah tegangan vertikal 120 kPa di tengah kedalaman. Cari penurunan konsolidasi primer S dalam mm.

H = 3,5 mC_c = 0,4C_r = 0,04e₀ = 0,95σ′₀ = 75 kPaOCR = 1,5Δσ = 120 kPa

S = mm

16.Penurunan konsolidasiSulit

Sebuah lapisan lempung setebal 8 m memiliki koefisien konsolidasi c_v = 3 m²/tahun. Lapisan berada di atas batuan kedap air, dengan pasir di atasnya, sehingga air hanya terdrainase keluar di atas. Untuk konsolidasi rata-rata 80% faktor waktunya T_v = 0,567. Berapa tahun t yang diperlukan lapisan untuk mencapai konsolidasi 80%?

H = 8 mc_v = 3 m²/tahunU = 80%T_v = 0,567drainase tunggal

t = tahun

17.Gaya hidrostatisSedang

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 3 m berada di dinding tangki berisi air, dengan tepi atasnya 1 m di bawah permukaan. Cari gaya hidrostatis resultan F pada pintu air.

d = 1 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Gaya hidrostatisSulit

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 3 m berada di dinding tangki berisi air laut, dengan tepi atasnya 0,5 m di bawah permukaan. Cari gaya hidrostatis resultan F pada pintu air.

d = 0,5 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Gesekan pipa & kehilangan headSedang

Air mengalir dengan kecepatan rata-rata 2,2 m/s melalui pipa sepanjang 800 m dengan diameter dalam 250 mm. Gunakan faktor gesekan Darcy f = 0,02 dan g = 9,81 m/s². Cari kehilangan head akibat gesekan h_f.

V = 2,2 m/sL = 800 mD = 250 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Gesekan pipa & kehilangan headSulit

Dua reservoir terbuka dihubungkan oleh pipa sepanjang 500 m dengan diameter dalam 300 mm dan faktor gesekan Darcy f = 0,018. Permukaan air reservoir atas berada 38 m di atas permukaan reservoir bawah. Kerugian minornya adalah lubang masuk bersudut tajam (K = 0,5), 2 belokan (masing-masing K = 0,3), sebuah katup (K = 2), dan lubang keluar ke reservoir bawah (K = 1,0). Gunakan g = 9,81 m/s². Cari debit Q dalam L/s.

Δz = 38 mL = 500 mD = 300 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 2K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Aliran saluran terbuka (Manning)Sedang

Sebuah saluran drainase beton dengan diameter dalam 1200 mm mengalir setengah penuh. n Manning = 0,013 dan kemiringannya S = 0,005. Cari debit Q dalam m³/s.

D = 1200 mmn = 0,013S = 0,005

Q = m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)Sulit

Sebuah saluran drainase beton dengan diameter dalam 200 mm (n Manning = 0,013) harus mencapai kecepatan swabersih 0,6 m/s saat mengalir tepat penuh. Cari kemiringan minimum S (dalam m/m).

D = 200 mmn = 0,013V = 0,6 m/s

S = m/m

23.Pompa & daya pompaSedang

Sebuah pompa dengan efisiensi 75% mengalirkan 30 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) melawan head 70 m. Gunakan g = 9,81 m/s². Cari daya poros P_shaft yang diperlukan, dalam kW.

Q = 30 L/sH = 70 mη = 75%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Pompa & daya pompaSulit

Sebuah pompa memindahkan 75 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) dari reservoir bawah yang terbuka ke tangki atas yang permukaan airnya 21 m lebih tinggi. Pipa sepanjang 300 m dengan diameter dalam 200 mm dan faktor gesekan Darcy f = 0,02; koefisien kerugian minornya berjumlah ΣK = 8 (termasuk lubang masuk dan keluar). Gunakan g = 9,81 m/s². Efisiensi pompa 85%. Cari daya poros P_shaft dalam kW.

Q = 75 L/sΔz = 21 mL = 300 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 8η = 85%

P_shaft = kW

25.Nilai waktu uangSedang

Anda menginvestasikan €1 000 dengan bunga 8% per tahun yang dimajemukkan secara kontinu. Tentukan nilainya FV setelah 16 tahun.

PV = €1 000r = 8%t = 16

FV = €

26.Nilai waktu uangSulit

Pinjaman sebesar €200 000 dilunasi dengan angsuran bulanan yang sama selama 20 tahun dengan bunga 3,6% per tahun, dimajemukkan bulanan. Berapa total bunga I yang dibayar selama masa pinjaman?

P = €200 0003,6% / 12N = 240

I = €

27.NPV & IRRSedang

Sebuah proyek berbiaya €50 000 hari ini dan menghasilkan €16 000, €10 500, €15 000, €16 000, €10 000, €17 500 di akhir tahun 1 sampai 6. Biaya modalnya 10%. Anggap arus kas masuk merata sepanjang setiap tahun. Tentukan periode pengembalian terdiskonto DPB dalam tahun.

r = 10%CF₀ = −50 000CF₁ = 16 000CF₂ = 10 500CF₃ = 15 000CF₄ = 16 000CF₅ = 10 000CF₆ = 17 500

DPB = tahun

28.NPV & IRRSulit

Sebuah proyek berbiaya €10 000 dan menghasilkan €5 500, €4 000, €4 000 di akhir tahun 1 sampai 3. Tentukan tingkat pengembalian internalnya IRR dalam persen.

CF₀ = −10 000CF₁ = 5 500CF₂ = 4 000CF₃ = 4 000

IRR = %

29.Distribusi normalSedang

Massa kotak saling bebas dan normal dengan rata-rata 12 kg dan simpangan baku 0,8 kg. Cari peluang P bahwa massa total 10 di antaranya melebihi 123,8 kg. Bulatkan z ke dua desimal.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 10> 123,8 kg

P =

30.Distribusi normalSulit

skor IQ berdistribusi normal dengan rata-rata 100 poin dan simpangan baku 15 poin. Seret batas sehingga 5% terbawah yang diarsir berada di sebelah kirinya. Cari batas x.

μ = 100 poinσ = 15 poin5%

x = poin

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = 46,25 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 50·3 + 60·6

R_B = 510/8 = 63,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 63,75 = 46,25 kN

Jawaban

R_A = 46,25 kN

2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_B = 21,25 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 12·1 = 12 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 55·1 + 12·1·2,5

R_B = 85/4 = 21,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 67 − 21,25 = 45,75 kN

Jawaban

R_B = 21,25 kN

3.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AB = −35,58 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 45·1 → C_y = 11,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 11,25 = 33,75 kN

Titik buhul A

Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.

sin α = 3/3,162 = 0,9487

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −33,75/0,9487 = −35,58 kN

Jawaban

F_AB = −35,58 kN (tekan)

4.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AC = 19 kN

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 50·4 − 5·2 → C_y = 38 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 38 = 12 kN

ΣF_x = 0: A_x = 5 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −38/0,8944 = −42,49 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−42,49)·0,4472 = 19 kN

Jawaban

F_AC = 19 kN (tarik)

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: D (x = 6 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R₁ = 44 kN, R₂ = 44 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

M_A = 0, M_B = 80, M_C = 144, M_D = 192 kN·m, M_E = 144, M_F = 80, M_G = 0

Jawaban

Tanda D: M_D = 192 kN·m

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_max = 38,76 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok, termasuk beban pada overstek.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 5·9 = 45 kN, bekerja di x̄ = 4,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 5·9·4,5

R_B = 202,5/8 = 25,31 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 25,31 = 19,69 kN

Gaya geser nol

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 19,69/5 = 3,938 m

Momen positif maksimum

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 19,69²/(2·5) = 38,76 kN·m

Jawaban

M_max = 38,76 kN·m

7.Lendutan balok

Jawaban: δ_P = 48,93 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 10000 N, a = 2500 mm, b = 5500 mm, L = 8000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Lendutan di bawah beban

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 10000·2500²·5500²/(3·1,61 × 10¹²·8000) = 48,93 mm

Jawaban

δ_P = 48,93 mm

8.Lendutan balok

Jawaban: δ_max = 4,724 mm

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 19000 N, b = 1500 mm, L = 5000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Letak maksimum

Menyamakan kemiringan pada segmen yang lebih panjang dengan nol memberi letaknya.

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 1500²)/3) = 2754 mm

Defleksi maksimum

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 4,724 mm

Jawaban

δ_max = 4,724 mm

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 12,21 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·1500 = 1500 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/1500² = 12209 N = 12,21 kN

Jawaban

P_cr = 12,21 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 132,6 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·100000 = 300000 N

KL = 2·5000 = 10000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·10000²/(π³·200000))^(1/4) = 132,6 mm

Jawaban

d = 132,6 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 301,5, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 135,8 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki I_c = bh³/12 dan lingkaran I_c = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (28800·120 − 2827·96)/(28800 − 2827) = 122,6 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

120·240³/12 + 28800·−2,613² = 138,4 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−26,61² = 2,639 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

I_x = 135,8 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 135,8 × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 95,01 × 10⁶ mm⁴

Titik berat

ȳ = (30000·100 − 4000·70)/(30000 − 4000) = 104,6 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

150·200³/12 + 30000·−4,615² = 100,6 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

80·50³/12 + 4000·−34,62² = 5,626 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

I_x = 95,01 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 95,01 × 10⁶ mm⁴

13.Tegangan efektif tanah

Jawaban: σ′ = 105,9 kPa

Tegangan efektif (Terzaghi): butiran tanah menahan σ′ = σ − u. Tegangan total σ adalah berat semua yang ada di atas titik, Σγ·h, memakai berat isi kering di atas muka air tanah dan berat isi jenuh di bawahnya. Di bawah muka air tanah tekanan air pori bersifat hidrostatis: u = γ_w·(kedalaman di bawah muka air tanah).

Tegangan total

Jumlahkan berat setiap lapisan tanah di atas X. Di atas muka air tanah gunakan berat isi kering, di bawahnya berat isi jenuh.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15·4 + 19·5 = 155 kPa

Tekanan air pori

Tekanan air bertambah dengan kedalaman di bawah muka air tanah.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5 = 49,05 kPa

Tegangan efektif

σ′ = σ − u = 155 − 49,05 = 105,9 kPa

Jawaban

σ′ = 105,9 kPa

14.Tegangan efektif tanah

Jawaban: σ′ = 97,36 kPa

Tegangan total

Jumlahkan berat setiap lapisan tanah di atas X. Di atas muka air tanah gunakan berat isi kering, di bawahnya berat isi jenuh.

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·5 + γ_sat,clay·3,5

σ = 16·1 + 20·5 + 18,5·3,5 = 180,8 kPa

Tekanan air pori

Tekanan air bertambah dengan kedalaman di bawah muka air tanah.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·8,5 = 83,39 kPa

Tegangan efektif

σ′ = σ − u = 180,8 − 83,39 = 97,36 kPa

Jawaban

σ′ = 97,36 kPa

15.Penurunan konsolidasi

Jawaban: S = 184,1 mm

Konsolidasi primer lapisan lempung setebal H, dengan tegangan efektif di tengah lapisan: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Lempung terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Lempung terkonsolidasi berlebih mengalami rekompresi sepanjang C_r sampai tekanan prakonsolidasi σ′_p dan baru mengikuti C_c setelah melewatinya. Waktu: t = T_v·H_dr²/c_v, dengan lintasan drainase H_dr sebesar H/2 bila air dapat keluar di atas dan di bawah, dan H bila hanya satu sisi yang berdrainase.

Tekanan prakonsolidasi

σ′_p = OCR·σ′₀ = 1,5·75 = 112,5 kPa

Bandingkan dengan tekanan prakonsolidasi

σ′_f = 75 + 120 = 195 kPa > 112,5 kPa

Penurunan

Rekompresi sampai σ′_p, kompresi murni setelahnya.

S = 0,04·3,5/(1 + 0,95)·log₁₀(112,5/75) + 0,4·3,5/(1 + 0,95)·log₁₀(195/112,5)

S = 12,64 + 171,5 = 184,1 mm

Jawaban

S = 184,1 mm

16.Penurunan konsolidasi

Jawaban: t = 12,1 tahun

Lintasan drainase

H_dr = H = 8 m

Waktu

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,567·8²/3 = 12,1 tahun

Jawaban

t = 12,1 tahun

17.Gaya hidrostatis

Jawaban: F = 165,5 kN

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 1 + 2,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,25·7,5 = 165,5 kN

Jawaban

F = 165,5 kN

18.Gaya hidrostatis

Jawaban: F = 132 kN

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·1,75·7,5 = 132 kN

Jawaban

F = 132 kN

19.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: h_f = 15,79 m

Aliran pipa: bilangan Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ membedakan aliran laminar (Re di bawah sekitar 2000) dari aliran turbulen (di atas sekitar 4000). Gesekan sepanjang pipa menyebabkan kehilangan head Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Sambungan, katup, lubang masuk, dan lubang keluar menambah kerugian minor h_m = ΣK·V²/(2g). Di antara dua permukaan reservoir terbuka, persamaan energi memberikan Δz = h_f + h_m, termasuk kerugian keluar K = 1.

Head kecepatan

V²/(2g) = 2,2²/(2·9,81) = 0,2467 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(800/0,25)·2,2²/(2·9,81) = 15,79 m

Jawaban

h_f = 15,79 m

20.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: Q = 330,5 L/s

Koefisien kerugian

f·L/D = 0,018·500/0,3 = 30

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 + 1,0 = 4,1

Persamaan energi

Kedua permukaan terbuka ke udara dan praktis diam, sehingga seluruh Δz hilang di dalam pipa.

38 = (30 + 4,1)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·38/34,1) = 4,676 m/s

Debit

Q = V·π·D²/4 = 4,676·0,07069 = 0,3305 m³/s = 330,5 L/s

Jawaban

Q = 330,5 L/s

21.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: Q = 1,378 m³/s

Persamaan Manning (SI): untuk aliran seragam di saluran terbuka V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 dan Q = A·V, dengan n koefisien kekasaran, S kemiringan dasar (m/m), dan R = A/P jari-jari hidrolik: luas aliran dibagi keliling basah. Hanya batas yang bersentuhan dengan air yang dihitung dalam P, bukan permukaan bebas. Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y. Trapesium dengan kemiringan sisi z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pipa bulat yang mengalir penuh atau setengah penuh memiliki R = D/4.

Geometri

A = 0,5655 m², R = D/4 = 0,3 m

Kecepatan

V = (1/0,013)·0,3^2/3·0,005^1/2 = 2,438 m/s

Debit

Q = A·V = 0,5655·2,438 = 1,378 m³/s

Jawaban

Q = 1,378 m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: S = 0,003303 m/m

Jari-jari hidrolik

R = D/4 = 0,2/4 = 0,05 m

Selesaikan Manning untuk S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,6/0,1357)² = 0,003303

Jawaban

S = 0,003303

Itu penurunan 3,303 m per kilometer.

23.Pompa & daya pompa

Jawaban: P_shaft = 27,47 kW

Daya pompa: daya yang diberikan kepada air adalah daya hidrolik P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Poros harus menyalurkan lebih banyak karena pompa mengalami rugi: P_shaft = P_h/η_pump, dan motor menarik P_el = P_shaft/η_motor. Head pompa H diperoleh dari persamaan energi: tinggi angkat statis + head tekanan + semua kerugian gesekan dan minor.

Daya hidrolik

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·70 = 20,6 kW

Daya poros

P_shaft = P_h/η = 20,6/0,75 = 27,47 kW

Jawaban

P_shaft = 27,47 kW

24.Pompa & daya pompa

Jawaban: P_shaft = 27,73 kW

Kecepatan

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Kehilangan head

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 8)·0,2905 = 11,04 m

Head pompa

H = Δz + h_L = 21 + 11,04 = 32,04 m

Daya poros

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,075·32,04/0,85 = 27,73 kW

Jawaban

P_shaft = 27,73 kW

25.Nilai waktu uang

Jawaban: FV = 3597 €

Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)ⁿ. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.

Eksponen

r·t = 0,08·16 = 1,28

e^1,28 = 3,597

Nilai masa depan

FV = 1 000·3,597 = €3 596,64

Jawaban

FV = €3 596,64

26.Nilai waktu uang

Jawaban: I = 80854 €

Angsuran bulanan

i = 0,003, N = 240

A = 200 000·0,003/(1 − (1 + 0,003)⁻²⁴⁰) = €1 170,22

Total bunga

I = N·A − P = 240·1170 − 200 000 = €80 853,50

Jawaban

I = €80 853,50

27.NPV & IRR

Jawaban: DPB = 4,737 tahun

Periode pengembalian (payback period): waktu sampai arus kas kumulatif mengembalikan investasi awal. Kas dianggap masuk merata selama setiap tahun, jadi bagian terakhirnya berupa pecahan tahun. Payback sederhana mengabaikan nilai waktu uang; periode pengembalian terdiskonto memakai arus kas yang telah didiskontokan.

Arus kas terdiskonto dan kumulatif

tahun 1: 16 000/1,1 = 14 545,45 → Σ = 14 545,45

tahun 2: 10 500/1,21 = 8 677,69 → Σ = 23 223,14

tahun 3: 15 000/1,331 = 11 269,72 → Σ = 34 492,86

tahun 4: 16 000/1,464 = 10 928,22 → Σ = 45 421,08

tahun 5: 10 000/1,611 = 6 209,21 → Σ = 51 630,29

Pecahan tahun terakhir

DPB = 4 + 4 578,92/6 209,21 = 4,737

Jawaban

DPB = 4,737 tahun

Periode pengembalian terdiskonto selalu lebih lama daripada periode pengembalian sederhana (3,531 tahun).

28.NPV & IRR

Jawaban: IRR = 17,79 %

Nilai sekarang bersih: diskontokan setiap arus kas ke hari ini dengan tingkat pengembalian yang disyaratkan r, lalu jumlahkan: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Proyek dengan NPV > 0 menghasilkan lebih dari r dan menambah nilai. Tingkat pengembalian internal (IRR) adalah tingkat yang membuat NPV = 0.

Apit IRR dari dua sisi

NPV turun saat tingkat naik, jadi IRR terletak di antara tingkat dengan NPV positif dan tingkat dengan NPV negatif.

NPV(15%) = 437,25

NPV(20%) = −324,07

Persempit

Interpolasi linear memberi perkiraan awal; mengulanginya (atau fungsi IRR kalkulator) memberi tingkat yang tepat.

IRR ≈ 15 + 5·437,25/(437,25 − (−324,07)) = 17,87%

tepat: NPV(17,79%) = 0 → IRR = 17,79%

Jawaban

IRR = 17,79%

29.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,06681

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², sehingga σ = √(σ_X² + σ_Y²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi total

μ_T = 120 kg, σ_T = 0,8·√10 = 2,53 kg

Standarkan

z = (123,8 − 120)/2,53 = 1,5

Peluang

P = 1 − Φ(1,5) = 0,06681

Jawaban

P = 0,06681

30.Distribusi normal

Jawaban: x = 75,4 poin

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0,05

z dari tabel

z ≈ −1,64

Kembali ke satuan semula

x = 100 − 1,64·15 = 75,4 poin

Jawaban

x = 75,4 poin

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil