Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 30 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
Balok memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B, 3 m dari A, dan menjorok (overstek) melewati B hingga ujung bebas C. Cari reaksi vertikal RA, dengan arah ke atas positif.
Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal RB.
Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.
Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FBC pada batang BC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.
Balok sederhana menahan kopel searah jarum jam M0 = 25 kN·m di x = 4,5 m dari A, tanpa beban lain. Cari momen lentur Mx tepat di kiri kopel. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.
Cari momen lentur Mx pada potongan x = 1,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.
Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang. Cari lendutan δ di ujung bebas.
Kantilever bertopang dijepit di A dan ditumpu sederhana (ditopang) di B. Balok menahan beban merata w di sepanjang batang. EI konstan. Cari reaksi RB di topang.
Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.
Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.
Sebuah pelat 150 mm × 300 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 40 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 210 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.
Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 10 kN·m. Cari tegangan lentur σbawah di tepi bawah.
Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tegangan efektif vertikal σ′ di titik X.
Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tekanan air pori u di titik X.
Lapisan lempung terkonsolidasi berlebih setebal 4,5 m memiliki Cc = 0,5, Cr = 0,03, dan e₀ = 0,7. Di tengah kedalamannya tegangan vertikal efektifnya 65 kPa dan rasio konsolidasi berlebihnya OCR = 2. Sebuah bangunan baru menambah tegangan vertikal 40 kPa di tengah kedalaman. Cari penurunan konsolidasi primer S dalam mm.
Sebuah lapisan lempung setebal 6,5 m memiliki koefisien konsolidasi cv = 1,5 m²/tahun. Lapisan berada di antara dua lapisan pasir, sehingga air terdrainase keluar di atas dan di bawah. Untuk konsolidasi rata-rata 90% faktor waktunya Tv = 0,848. Berapa tahun t yang diperlukan lapisan untuk mencapai konsolidasi 90%?
Pintu air persegi panjang vertikal selebar 1,5 m berada di dinding tangki berisi air, dengan tepi atasnya 2 m di bawah permukaan. Cari gaya hidrostatis resultan F pada pintu air.
Pintu air persegi panjang vertikal selebar 1,5 m berada di dinding tangki berisi air laut, dengan tepi atasnya 1 m di bawah permukaan. Cari gaya hidrostatis resultan F pada pintu air.
Air mengalir dengan kecepatan rata-rata 1,3 m/s melalui pipa sepanjang 50 m dengan diameter dalam 200 mm. Gunakan faktor gesekan Darcy f = 0,028 dan g = 9,81 m/s². Cari kehilangan head akibat gesekan hf.
Sebuah pipa sepanjang 150 m dengan diameter dalam 200 mm (faktor gesekan Darcy f = 0,015) berawal dari reservoir terbuka dan mengeluarkan air sebagai pancaran bebas ke udara. Kerugian minornya adalah lubang masuk bersudut tajam (K = 0,5), 4 belokan (masing-masing K = 0,3), dan sebuah katup (K = 2). Gunakan g = 9,81 m/s². Berapa tinggi H permukaan reservoir harus berada di atas lubang keluar pipa untuk debit 40 L/s?
Sebuah saluran drainase beton dengan diameter dalam 1200 mm mengalir tepat penuh (sebagai saluran terbuka, bukan bertekanan). n Manning = 0,013 dan kemiringannya S = 0,001. Cari debit Q dalam m³/s.
Sebuah saluran drainase beton dengan diameter dalam 450 mm (n Manning = 0,013) harus mencapai kecepatan swabersih 1 m/s saat mengalir tepat penuh. Cari kemiringan minimum S (dalam m/m).
Dalam sebuah pengujian, pompa mengalirkan 25 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) melawan head 46 m sementara porosnya menyerap 14,5 kW. Gunakan g = 9,81 m/s². Cari efisiensi pompa η dalam persen.
Sebuah pompa memindahkan 75 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) dari reservoir bawah yang terbuka ke tangki atas yang permukaan airnya 9 m lebih tinggi. Pipa sepanjang 300 m dengan diameter dalam 200 mm dan faktor gesekan Darcy f = 0,022; koefisien kerugian minornya berjumlah ΣK = 6 (termasuk lubang masuk dan keluar). Gunakan g = 9,81 m/s². Cari head H yang harus ditambahkan pompa.
Anda menginvestasikan €1 000 dengan bunga 6% per tahun yang dimajemukkan secara kontinu. Tentukan nilainya FV setelah 17 tahun.
Anda menyetor €2 500 di awal setiap tahun selama 11 tahun, setoran pertama hari ini. Rekening memberi bunga 4% per tahun. Berapa saldo rekening di akhir tahun ke-11? Tentukan FV.
Investasi sebesar €60 000 memberikan arus kas berikut di akhir tahun 1 sampai 3: €20 000, €15 000, €24 000. Biaya modal 15%. Tentukan nilai sekarang bersih NPV.
Sebuah proyek berbiaya €10 000 dan menghasilkan €4 500, €4 500, €4 000 di akhir tahun 1 sampai 3. Tentukan tingkat pengembalian internalnya IRR dalam persen.
Data berat kantong berdistribusi normal dengan rata-rata 250 g dan simpangan baku 5 g. Berapa proporsi yang berada di antara 240 dan 260 g? Nyatakan P dalam bentuk desimal.
Data waktu pengiriman berdistribusi normal dengan rata-rata 32 min dan simpangan baku 6 min. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 99% data (persentil ke-99).
Jawaban: RA = 10,83 kN
Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.
Berlawanan arah jarum jam positif.
Jawaban: RB = 58,5 kN
Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.
Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.
Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.
Jawaban: elemen CG
Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.
FG dan GH terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan CG.
Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).
Jawaban: FBC = −44,78 kN
Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.
Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.
Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.
Jawaban: Mx = −18,75 kN·m
Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Kopel yang bekerja membuat diagram momen lentur melompat sebesar kopel tersebut.
Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam: RB·L − M0 = 0. Kesetimbangan vertikal: RA + RB = 0.
Bagian kiri hanya memuat RA.
Jawaban: Mx = 46,88 kN·m
Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.
Kesetimbangan seluruh balok.
Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.
Jawaban: δ = 2,441 mm
Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).
Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.
Jawaban: RB = 36 kN
Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi). Untuk balok statis tak tentu, lepaskan satu tumpuan kelebihan dan syaratkan lendutan di sana nol (kompatibilitas).
Tanpa topang, balok adalah kantilever. Ujung bebasnya akan melendut akibat beban.
Gaya topang RB sendiri mengangkat ujung bebas sebesar RBL³/(3EI). Topang menahan B pada lendutan nol, jadi keduanya harus saling meniadakan. EI saling menghapus.
Jawaban: Pcr = 188,7 kN
Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.
Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.
Jawaban: σcr = 12,34 MPa
Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.
Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.
Jawaban: Ix = 332,7 × 10⁶ mm⁴
Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.
Jawaban: σbawah = 282 MPa
Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.
Ukur setiap y dari tepi bawah.
Tepi bawah berjarak ȳ dari sumbu.
Jawaban: σ′ = 41,57 kPa
Tegangan efektif (Terzaghi): butiran tanah menahan σ′ = σ − u. Tegangan total σ adalah berat semua yang ada di atas titik, Σγ·h, memakai berat isi kering di atas muka air tanah dan berat isi jenuh di bawahnya. Di bawah muka air tanah tekanan air pori bersifat hidrostatis: u = γw·(kedalaman di bawah muka air tanah).
Jumlahkan berat setiap lapisan tanah di atas X. Di atas muka air tanah gunakan berat isi kering, di bawahnya berat isi jenuh.
Tekanan air bertambah dengan kedalaman di bawah muka air tanah.
Jawaban: u = 53,96 kPa
Tegangan efektif (Terzaghi): butiran tanah menahan σ′ = σ − u. Tegangan total σ adalah berat semua yang ada di atas titik, Σγ·h, memakai berat isi kering di atas muka air tanah dan berat isi jenuh di bawahnya. Di bawah muka air tanah tekanan air pori bersifat hidrostatis: u = γw·(kedalaman di bawah muka air tanah).
Tekanan air bertambah dengan kedalaman di bawah muka air tanah.
Jawaban: S = 16,54 mm
Konsolidasi primer lapisan lempung setebal H, dengan tegangan efektif di tengah lapisan: σ′f = σ′0 + Δσ. Lempung terkonsolidasi normal: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Lempung terkonsolidasi berlebih mengalami rekompresi sepanjang Cr sampai tekanan prakonsolidasi σ′p dan baru mengikuti Cc setelah melewatinya. Waktu: t = Tv·Hdr²/cv, dengan lintasan drainase Hdr sebesar H/2 bila air dapat keluar di atas dan di bawah, dan H bila hanya satu sisi yang berdrainase.
Lempung tetap berada pada garis rekompresinya.
Jawaban: t = 5,971 tahun
Konsolidasi primer lapisan lempung setebal H, dengan tegangan efektif di tengah lapisan: σ′f = σ′0 + Δσ. Lempung terkonsolidasi normal: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Lempung terkonsolidasi berlebih mengalami rekompresi sepanjang Cr sampai tekanan prakonsolidasi σ′p dan baru mengikuti Cc setelah melewatinya. Waktu: t = Tv·Hdr²/cv, dengan lintasan drainase Hdr sebesar H/2 bila air dapat keluar di atas dan di bawah, dan H bila hanya satu sisi yang berdrainase.
Jawaban: F = 154,5 kN
Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·yc·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, ycp = yc + Ic/(ycA), yang selalu berada di bawah titik berat.
Jawaban: F = 84,84 kN
Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·yc·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, ycp = yc + Ic/(ycA), yang selalu berada di bawah titik berat.
Jawaban: hf = 0,603 m
Aliran pipa: bilangan Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ membedakan aliran laminar (Re di bawah sekitar 2000) dari aliran turbulen (di atas sekitar 4000). Gesekan sepanjang pipa menyebabkan kehilangan head Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Sambungan, katup, lubang masuk, dan lubang keluar menambah kerugian minor hm = ΣK·V²/(2g). Di antara dua permukaan reservoir terbuka, persamaan energi memberikan Δz = hf + hm, termasuk kerugian keluar K = 1.
Jawaban: H = 1,318 m
Aliran pipa: bilangan Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ membedakan aliran laminar (Re di bawah sekitar 2000) dari aliran turbulen (di atas sekitar 4000). Gesekan sepanjang pipa menyebabkan kehilangan head Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Sambungan, katup, lubang masuk, dan lubang keluar menambah kerugian minor hm = ΣK·V²/(2g). Di antara dua permukaan reservoir terbuka, persamaan energi memberikan Δz = hf + hm, termasuk kerugian keluar K = 1.
Pancaran keluar masih membawa head kecepatannya; itu bukan kerugian, tetapi harus disediakan.
Jawaban: Q = 1,233 m³/s
Persamaan Manning (SI): untuk aliran seragam di saluran terbuka V = (1/n)·R2/3·S1/2 dan Q = A·V, dengan n koefisien kekasaran, S kemiringan dasar (m/m), dan R = A/P jari-jari hidrolik: luas aliran dibagi keliling basah. Hanya batas yang bersentuhan dengan air yang dihitung dalam P, bukan permukaan bebas. Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y. Trapesium dengan kemiringan sisi z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pipa bulat yang mengalir penuh atau setengah penuh memiliki R = D/4.
Jawaban: S = 0,003112 m/m
Persamaan Manning (SI): untuk aliran seragam di saluran terbuka V = (1/n)·R2/3·S1/2 dan Q = A·V, dengan n koefisien kekasaran, S kemiringan dasar (m/m), dan R = A/P jari-jari hidrolik: luas aliran dibagi keliling basah. Hanya batas yang bersentuhan dengan air yang dihitung dalam P, bukan permukaan bebas. Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y. Trapesium dengan kemiringan sisi z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pipa bulat yang mengalir penuh atau setengah penuh memiliki R = D/4.
Itu penurunan 3,112 m per kilometer.
Jawaban: η = 77,8 %
Daya pompa: daya yang diberikan kepada air adalah daya hidrolik Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Poros harus menyalurkan lebih banyak karena pompa mengalami rugi: Pshaft = Ph/ηpump, dan motor menarik Pel = Pshaft/ηmotor. Head pompa H diperoleh dari persamaan energi: tinggi angkat statis + head tekanan + semua kerugian gesekan dan minor.
Jawaban: H = 20,33 m
Daya pompa: daya yang diberikan kepada air adalah daya hidrolik Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Poros harus menyalurkan lebih banyak karena pompa mengalami rugi: Pshaft = Ph/ηpump, dan motor menarik Pel = Pshaft/ηmotor. Head pompa H diperoleh dari persamaan energi: tinggi angkat statis + head tekanan + semua kerugian gesekan dan minor.
Kedua permukaan terbuka dan praktis diam, sehingga suku tekanan dan kecepatan hilang.
Jawaban: FV = 2773 €
Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)n. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.
Jawaban: FV = 35065 €
Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)n. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.
Setiap setoran diinvestasikan satu tahun lebih lama.
Jawaban: NPV = −15486 €
Nilai sekarang bersih: diskontokan setiap arus kas ke hari ini dengan tingkat pengembalian yang disyaratkan r, lalu jumlahkan: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Proyek dengan NPV > 0 menghasilkan lebih dari r dan menambah nilai. Tingkat pengembalian internal (IRR) adalah tingkat yang membuat NPV = 0.
NPV negatif, jadi proyek menghasilkan kurang dari pengembalian yang disyaratkan.
Jawaban: IRR = 14,67 %
Nilai sekarang bersih: diskontokan setiap arus kas ke hari ini dengan tingkat pengembalian yang disyaratkan r, lalu jumlahkan: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Proyek dengan NPV > 0 menghasilkan lebih dari r dan menambah nilai. Tingkat pengembalian internal (IRR) adalah tingkat yang membuat NPV = 0.
NPV turun saat tingkat naik, jadi IRR terletak di antara tingkat dengan NPV positif dan tingkat dengan NPV negatif.
Interpolasi linear memberi perkiraan awal; mengulanginya (atau fungsi IRR kalkulator) memberi tingkat yang tepat.
Jawaban: P = 0,9545
Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.
Jawaban: x = 45,96 min
Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.
Ini adalah materi latihan independen. ExamProblems tidak berafiliasi dengan atau didukung oleh organisasi penyelenggara ujian ini, dan nama ujian hanya digunakan untuk menggambarkan isinya. FE exam diselenggarakan oleh NCEES, yang tidak berafiliasi dengan ExamProblems dan tidak mendukungnya.
ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil