Latihan ujian FE Civil: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 30 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Tegangan efektif tanah

Tegangan total: σ = Σγ_i·h_i
Tekanan air pori: u = γ_w·(z − z_w)
Tegangan efektif: σ′ = σ − u
Air: γ_w = 9,81 kN/m³

Penurunan konsolidasi

Terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Tegangan akhir: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Rasio konsolidasi berlebih: OCR = σ′_p/σ′₀
Waktu konsolidasi: t = T_v·H_dr²/c_v
Lintasan drainase: H_dr = H/2 (drainase ganda), H (drainase tunggal)
Faktor waktu: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Gaya hidrostatis

Tekanan pada kedalaman: p = ρgh
Gaya pada dinding vertikal: F = ρg·h_c·A
Pusat tekanan: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Persegi panjang: I_c = bH³/12

Gesekan pipa & kehilangan head

Bilangan Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Rezim aliran: laminar di bawah Re ≈ 2000, turbulen di atas Re ≈ 4000
Kecepatan rata-rata: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Kerugian minor: h_m = ΣK·V²/(2g)
Nilai K tipikal: masuk 0,5, keluar 1,0, belokan 90° ≈ 0,3
Penurunan tekanan: Δp = ρ·g·h_f
Dua reservoir terbuka: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Keluaran bebas: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Aliran saluran terbuka (Manning)

Persamaan Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debit: Q = A·V
Jari-jari hidrolik: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y
Trapesium (kemiringan sisi z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Pipa bulat, penuh atau setengah penuh: R = D/4
Kemiringan yang diperlukan: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Pompa & daya pompa

Daya hidrolik: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Daya poros: P_shaft = P_h/η_pump
Daya listrik: P_el = P_shaft/η_motor
Head pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Kerugian sistem: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Nilai waktu uang

Nilai masa depan: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Nilai sekarang: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Beberapa periode per tahun: i = r/m, N = m·n
Anuitas, nilai sekarang: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitas, nilai masa depan: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metode

Gambar garis waktu dengan setiap arus kas dan waktunya.
Sesuaikan suku bunga dengan periodenya: suku bunga bulanan untuk pembayaran bulanan.
Gunakan FV = PV·(1 + i)ⁿ untuk jumlah tunggal dan rumus anuitas untuk pembayaran yang sama besar.
Periksa tanda dan orde besaran jawabannya.

NPV & IRR

Nilai sekarang bersih: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Arus kas yang sama: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tingkat pengembalian internal: nilai r saat NPV = 0
Keputusan: terima jika NPV > 0 (atau IRR > tingkat pengembalian yang disyaratkan)

Metode

Daftarkan semua arus kas beserta tahunnya; investasi pada tahun 0 bernilai negatif.
Diskontokan setiap arus kas: CF_t/(1 + r)^t.
Jumlahkan semuanya untuk mendapatkan NPV. Positif berarti proyek menghasilkan lebih dari r.
Untuk IRR, cari suku bunga yang membuat NPV nol dengan coba-coba atau interpolasi.

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B, 3 m dari A, dan menjorok (overstek) melewati B hingga ujung bebas C. Cari reaksi vertikal R_B, dengan arah ke atas positif.

AB = 3 mAC = 5 mP₁ = 50 kN di 1,5 mP₂ = 60 kN di 5 m

R_B = kN

2.Reaksi tumpuan balokSulit

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal R_B.

L = 4 mP = 10 kN di 2 mw = 5 kN/m dari 2 sampai 3 m

R_B = kN

3.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 5 mtinggi = 4 mB berjarak 1 m dari Abeban vertikal = 40 kN

F_AB = kN

4.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

B: 10 kN ↓D: 40 kN ↓F: 10 kN ↓H: 10 kN ↓H: 15 kN ←

1elemen AB
2elemen BC
3elemen CD
4elemen DE
5elemen FG
6elemen GH
7elemen AF
8elemen HE
9elemen BF
10elemen CG
11elemen DH
12elemen BG
13elemen DG

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

20 kN @ 4 m5 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang dan beban terpusat P. Cari momen lentur maksimum M_max pada balok.

L = 6 mP = 40 kN di 3 mw = 4 kN/m dari 0 sampai 6 m

M_max = kN·m

7.Lendutan balokSedang

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada a = 3 m dari tumpuan A. Cari lendutan δ_P di bawah beban.

P = 7 kNa = 3 mL = 4 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Lendutan balokSulit

Balok sederhana menahan dua beban terpusat P yang sama di titik sepertiga bentang (L/3 dari tiap tumpuan). Dengan superposisi, cari lendutan tengah bentang δ_max.

P = 29 kNL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (baja)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 2,5 mE = 200 GPa (baja)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Titik berat & momen inersiaSedang

Cari momen inersia I_x penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

b_f = 120 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersiaSulit

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 50 kN·m. Cari besar tegangan lentur σ_atas di tepi atas.

b_f = 100 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 160 mmM = 50 kN·m

σ_atas = MPa

13.Tegangan efektif tanahSedang

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tegangan vertikal total σ di titik X.

z = 6 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 15 kN/m³pasir: γ_sat = 19,5 kN/m³

σ = kPa

14.Tegangan efektif tanahSulit

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tegangan vertikal total σ di titik X.

z = 10 mz_w = 5 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 17 kN/m³pasir: γ_sat = 20 kN/m³lempung: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ = kPa

15.Penurunan konsolidasiSedang

Lapisan lempung terkonsolidasi berlebih setebal 7,5 m memiliki C_c = 0,45, C_r = 0,05, dan e₀ = 1,1. Di tengah kedalamannya tegangan vertikal efektifnya 55 kPa dan tekanan prakonsolidasinya 155 kPa. Sebuah bangunan baru menambah tegangan vertikal 95 kPa di tengah kedalaman. Cari penurunan konsolidasi primer S dalam mm.

H = 7,5 mC_c = 0,45C_r = 0,05e₀ = 1,1σ′₀ = 55 kPaσ′_p = 155 kPaΔσ = 95 kPa

S = mm

16.Penurunan konsolidasiSulit

Dalam uji oedometer di laboratorium, benda uji lempung setebal 19 mm, berdrainase di atas dan di bawah, mencapai konsolidasi 50% dalam 5 menit. Di lapangan, lempung yang sama membentuk lapisan setebal 8 m. Lapisan berada di atas batuan kedap air, dengan pasir di atasnya, sehingga air hanya terdrainase keluar di atas. Berapa hari t yang diperlukan lapisan di lapangan untuk mencapai konsolidasi 50%?

h_lab = 19 mmt_lab = 5 minH = 8 mlapangan: drainase tunggal

t = hari

17.Gaya hidrostatisSedang

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 2 m berada di dinding tangki berisi air, dengan tepi atasnya 3 m di bawah permukaan. Cari gaya hidrostatis resultan F pada pintu air.

d = 3 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Gaya hidrostatisSulit

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 2 m berada di dinding tangki berisi oli, dengan tepi atasnya 0,5 m di bawah permukaan. Cari kedalaman y_cp pusat tekanan di bawah permukaan.

d = 0,5 mH = 3 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Gesekan pipa & kehilangan headSedang

Air (ρ = 1000 kg/m³) mengalir dengan kecepatan 1,4 m/s melalui pipa horizontal sepanjang 150 m dengan diameter dalam 250 mm. Gunakan faktor gesekan Darcy f = 0,022 dan g = 9,81 m/s². Cari penurunan tekanan Δp sepanjang pipa dalam kPa.

V = 1,4 m/sL = 150 mD = 250 mmf = 0,022ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Gesekan pipa & kehilangan headSulit

Dua reservoir terbuka dihubungkan oleh pipa sepanjang 200 m dengan diameter dalam 250 mm dan faktor gesekan Darcy f = 0,025. Kerugian minornya adalah lubang masuk bersudut tajam (K = 0,5), 3 belokan (masing-masing K = 0,3), sebuah katup (K = 5), dan lubang keluar ke reservoir bawah (K = 1,0). Gunakan g = 9,81 m/s². Berapa selisih muka air Δz antara kedua reservoir yang menghasilkan debit 100 L/s?

Q = 100 L/sL = 200 mD = 250 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

21.Aliran saluran terbuka (Manning)Sedang

Sebuah saluran trapesium tanah berlapis rumput memiliki lebar dasar 1 m dan kemiringan sisi 3:1 (horizontal:vertikal). Air mengalir seragam sedalam 1,3 m. n Manning = 0,03 dan kemiringan dasarnya S = 0,003. Cari debit Q dalam m³/s.

b = 1 my = 1,3 mz = 3n = 0,03S = 0,003

Q = m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)Sulit

Sebuah saluran drainase beton dengan diameter dalam 300 mm (n Manning = 0,013) harus mencapai kecepatan swabersih 0,75 m/s saat mengalir tepat penuh. Cari kemiringan minimum S (dalam m/m).

D = 300 mmn = 0,013V = 0,75 m/s

S = m/m

23.Pompa & daya pompaSedang

Dalam sebuah pengujian, pompa mengalirkan 80 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) melawan head 58 m sementara porosnya menyerap 60,7 kW. Gunakan g = 9,81 m/s². Cari efisiensi pompa η dalam persen.

Q = 80 L/sH = 58 mP_shaft = 60,7 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Pompa & daya pompaSulit

Sebuah pompa memindahkan 25 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) dari reservoir bawah yang terbuka ke tangki atas yang permukaan airnya 8 m lebih tinggi. Pipa sepanjang 600 m dengan diameter dalam 150 mm dan faktor gesekan Darcy f = 0,015; koefisien kerugian minornya berjumlah ΣK = 8 (termasuk lubang masuk dan keluar). Gunakan g = 9,81 m/s². Cari head H yang harus ditambahkan pompa.

Q = 25 L/sΔz = 8 mL = 600 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 8

H = m

25.Nilai waktu uangSedang

Sebuah kartu kredit mengenakan suku bunga nominal 17,5% per tahun, dimajemukkan harian. Tentukan suku bunga efektif tahunan EAR dalam persen.

r = 17,5%m = 365

EAR = %

26.Nilai waktu uangSulit

Pinjaman sebesar €8 000 dilunasi dengan angsuran bulanan yang sama selama 6 tahun. Suku bunganya 6% per tahun, dimajemukkan bulanan. Tentukan angsuran bulanan A.

P = €8 0006% / 12N = 72

A = €

27.NPV & IRRSedang

Sebuah proyek berbiaya €200 000 hari ini. Proyek menghasilkan €11 000 di akhir tahun pertama, lalu arus kasnya tumbuh 4% per tahun selamanya. Biaya modalnya 9%. Tentukan nilai sekarang bersih NPV.

C₀ = €200 000CF₁ = €11 000g = 4%r = 9%

NPV = €

28.NPV & IRRSulit

Sebuah proyek berbiaya €100 000 hari ini. Arus kasnya €20 000 di akhir tahun 1 dan tumbuh 5% per tahun sampai arus kas terakhir di akhir tahun ke-5. Biaya modalnya 10%. Tentukan nilai sekarang bersih NPV.

C₀ = €100 000CF₁ = €20 000g = 5%n = 5r = 10%

NPV = €

29.Distribusi normalSedang

Massa kantong semen saling bebas dan normal dengan rata-rata 25 kg dan simpangan baku 0,5 kg. Cari peluang P bahwa massa total 10 di antaranya melebihi 247,6 kg. Bulatkan z ke dua desimal.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 10> 247,6 kg

P =

30.Distribusi normalSulit

Diameter lubang D normal dengan rata-rata 25,02 mm dan simpangan baku 0,01 mm. Diameter poros d saling bebas dan normal dengan rata-rata 25 mm dan simpangan baku 0,02 mm. Sebuah poros yang dipilih acak pas bila D − d > 0. Cari peluang P bahwa poros itu pas. Bulatkan z ke dua desimal.

lubang: μ = 25,02 mm, σ = 0,01 mmporos: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_B = 125 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Momen terhadap A

Berlawanan arah jarum jam positif.

ΣM_A = 0: R_B·3 = 50·1,5 + 60·5

R_B = 375/3 = 125 kN

Kesetimbangan vertikal

R_A = 50 + 60 − 125 = −15 kN

Jawaban

R_B = 125 kN

R_A negatif: sendi di A harus menahan balok agar tidak terangkat.

2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_B = 8,125 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 5·1 = 5 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·2 + 5·1·2,5

R_B = 32,5/4 = 8,125 kN

ΣF_y = 0: R_A = 15 − 8,125 = 6,875 kN

Jawaban

R_B = 8,125 kN

3.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AB = −32,98 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 40·1 → C_y = 8 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 8 = 32 kN

Titik buhul A

Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.

sin α = 4/4,123 = 0,9701

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −32/0,9701 = −32,98 kN

Jawaban

F_AB = −32,98 kN (tekan)

4.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen CG

Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.

Simpul C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 9,375 kN (T), BC: 18,75 kN (T), CD: 18,75 kN (T), DE: 28,12 kN (T), FG: 24,38 kN (C), GH: 43,13 kN (C), AF: 40,63 kN (C), HE: 46,87 kN (C), BF: 22,5 kN (T), CG: 0, DH: 27,5 kN (T), BG: 15,63 kN (C), DG: 15,63 kN (T)

Jawaban

Elemen gaya-nol: CG

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: E (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R₁ = 21,67 kN, R₂ = 28,33 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

M_A = 0, M_B = 19,17, M_C = 33,33, M_D = 42,5, M_E = 46,67 kN·m, M_F = 25,83, M_G = 0

Jawaban

Tanda E: M_E = 46,67 kN·m

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_max = 78 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, bekerja di x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 40·3 + 4·6·3

R_B = 192/6 = 32 kN

ΣF_y = 0: R_A = 64 − 32 = 32 kN

Di mana V = 0?

V(3⁻) = R_A − w·3 = 20 kN

V(3⁺) = 20 − 40 = −20 kN

Gaya geser berganti tanda di titik beban, jadi maksimum berada di bawah beban.

Momen maksimum

M_max = R_A·3 − w·3²/2 = 32·3 − 4·3²/2 = 78 kN·m

Jawaban

M_max = 78 kN·m

Terjadi di x = 3 m dari A.

7.Lendutan balok

Jawaban: δ_P = 13,26 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 7000 N, a = 3000 mm, b = 1000 mm, L = 4000 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Lendutan di bawah beban

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 7000·3000²·1000²/(3·3,96 × 10¹¹·4000) = 13,26 mm

Jawaban

δ_P = 13,26 mm

8.Lendutan balok

Jawaban: δ_max = 26,14 mm

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 29000 N, L = 4000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Satu beban di L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1333 mm

δ₁ = 13,07 mm

Jumlahkan kedua beban

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 26,14 mm

Jawaban

δ_max = 26,14 mm

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 102,8 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·1000 = 1000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·52083/1000² = 102808 N = 102,8 kN

Jawaban

P_cr = 102,8 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 49,35 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/12,5 = 200

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Jawaban

σ_cr = 49,35 MPa

11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 18,02 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 120·20 = 2400 mm², y_f = 160 + 20/2 = 170 mm

badan: A_w = 20·160 = 3200 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·170 + 3200·80)/5600 = 118,6 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 120·20³/12 + 2400·(170 − 118,6)² = 6,428 × 10⁶ mm⁴

badan: 20·160³/12 + 3200·(80 − 118,6)² = 1,159 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,428 × 10⁶ + 1,159 × 10⁷ = 1,802 × 10⁷ mm⁴ = 18,02 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 18,02 × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σ_atas = 174,9 MPa

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 100·30 = 3000 mm², y_f = 160 + 30/2 = 175 mm

badan: A_w = 12·160 = 1920 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·175 + 1920·80)/4920 = 137,9 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 100·30³/12 + 3000·(175 − 137,9)² = 4,348 × 10⁶ mm⁴

badan: 12·160³/12 + 1920·(80 − 137,9)² = 1,054 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,348 × 10⁶ + 1,054 × 10⁷ = 1,489 × 10⁷ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi atas berjarak h − ȳ dari sumbu.

y = 190 − 137,9 = 52,07 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·52,07/1,489 × 10⁷ = 174,9 MPa

Jawaban

σ_atas = 174,9 MPa

13.Tegangan efektif tanah

Jawaban: σ = 108 kPa

Tegangan efektif (Terzaghi): butiran tanah menahan σ′ = σ − u. Tegangan total σ adalah berat semua yang ada di atas titik, Σγ·h, memakai berat isi kering di atas muka air tanah dan berat isi jenuh di bawahnya. Di bawah muka air tanah tekanan air pori bersifat hidrostatis: u = γ_w·(kedalaman di bawah muka air tanah).

Tegangan total

Jumlahkan berat setiap lapisan tanah di atas X. Di atas muka air tanah gunakan berat isi kering, di bawahnya berat isi jenuh.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15·2 + 19,5·4 = 108 kPa

Jawaban

σ = 108 kPa

14.Tegangan efektif tanah

Jawaban: σ = 179 kPa

Tegangan total

Jumlahkan berat setiap lapisan tanah di atas X. Di atas muka air tanah gunakan berat isi kering, di bawahnya berat isi jenuh.

σ = γ_d·5 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·4

σ = 17·5 + 20·1 + 18,5·4 = 179 kPa

Jawaban

σ = 179 kPa

15.Penurunan konsolidasi

Jawaban: S = 77,81 mm

Konsolidasi primer lapisan lempung setebal H, dengan tegangan efektif di tengah lapisan: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Lempung terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Lempung terkonsolidasi berlebih mengalami rekompresi sepanjang C_r sampai tekanan prakonsolidasi σ′_p dan baru mengikuti C_c setelah melewatinya. Waktu: t = T_v·H_dr²/c_v, dengan lintasan drainase H_dr sebesar H/2 bila air dapat keluar di atas dan di bawah, dan H bila hanya satu sisi yang berdrainase.

Bandingkan dengan tekanan prakonsolidasi

σ′_f = 55 + 95 = 150 kPa ≤ 155 kPa

Penurunan

Lempung tetap berada pada garis rekompresinya.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,05·7,5/(1 + 1,1)·log₁₀(150/55) = 77,81 mm

Jawaban

S = 77,81 mm

16.Penurunan konsolidasi

Jawaban: t = 2462 hari

Lintasan drainase

H_dr,lab = 19/2 = 9,5 mm = 0,0095 m

H_dr,field = 8 m

Skalakan waktunya

t = T_v·H_dr²/c_v dengan T_v dan c_v yang sama di laboratorium dan di lapangan.

t_field = 5·(8/0,0095)² = 3,546 × 10⁶ min

t_field = 3,546 × 10⁶/1440 = 2462 hari

Jawaban

t = 2462 hari

17.Gaya hidrostatis

Jawaban: F = 157 kN

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4·4 = 157 kN

Jawaban

F = 157 kN

18.Gaya hidrostatis

Jawaban: y_cp = 2,375 m

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 0,5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·2·6 = 103,6 kN

Pusat tekanan

Tekanan bertambah dengan kedalaman, jadi resultan bekerja di bawah titik berat.

I_c = b·H³/12 = 2·3³/12 = 4,5 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2 + 4,5/(2·6) = 2,375 m

Jawaban

y_cp = 2,375 m

19.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: Δp = 12,94 kPa

Aliran pipa: bilangan Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ membedakan aliran laminar (Re di bawah sekitar 2000) dari aliran turbulen (di atas sekitar 4000). Gesekan sepanjang pipa menyebabkan kehilangan head Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Sambungan, katup, lubang masuk, dan lubang keluar menambah kerugian minor h_m = ΣK·V²/(2g). Di antara dua permukaan reservoir terbuka, persamaan energi memberikan Δz = h_f + h_m, termasuk kerugian keluar K = 1.

Kehilangan head

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(150/0,25)·1,4²/(2·9,81) = 1,319 m

Penurunan tekanan

Pipa horizontal dan kecepatannya tidak berubah, sehingga persamaan energi menjadi Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·1,319 = 12936 Pa = 12,94 kPa

Jawaban

Δp = 12,94 kPa

20.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: Δz = 5,796 m

Kecepatan

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Koefisien kerugian

f·L/D = 0,025·200/0,25 = 20

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 + 1,0 = 7,4

Kehilangan head total

h_f = 20·0,2115 = 4,23 m

h_m = 7,4·0,2115 = 1,565 m

Δz = h_f + h_m = 5,796 m

Jawaban

Δz = 5,796 m

21.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: Q = 9,088 m³/s

Persamaan Manning (SI): untuk aliran seragam di saluran terbuka V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 dan Q = A·V, dengan n koefisien kekasaran, S kemiringan dasar (m/m), dan R = A/P jari-jari hidrolik: luas aliran dibagi keliling basah. Hanya batas yang bersentuhan dengan air yang dihitung dalam P, bukan permukaan bebas. Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y. Trapesium dengan kemiringan sisi z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pipa bulat yang mengalir penuh atau setengah penuh memiliki R = D/4.

Geometri

A = (b + z·y)·y = (1 + 3·1,3)·1,3 = 6,37 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·1,3·√(1 + 3²) = 9,222 m

R = A/P = 0,6907 m

Kecepatan

V = (1/0,03)·0,6907^2/3·0,003^1/2 = 1,427 m/s

Debit

Q = A·V = 6,37·1,427 = 9,088 m³/s

Jawaban

Q = 9,088 m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: S = 0,003006 m/m

Jari-jari hidrolik

R = D/4 = 0,3/4 = 0,075 m

Selesaikan Manning untuk S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,75/0,1778)² = 0,003006

Jawaban

S = 0,003006

Itu penurunan 3,006 m per kilometer.

23.Pompa & daya pompa

Jawaban: η = 74,99 %

Daya pompa: daya yang diberikan kepada air adalah daya hidrolik P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Poros harus menyalurkan lebih banyak karena pompa mengalami rugi: P_shaft = P_h/η_pump, dan motor menarik P_el = P_shaft/η_motor. Head pompa H diperoleh dari persamaan energi: tinggi angkat statis + head tekanan + semua kerugian gesekan dan minor.

Daya hidrolik

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·58 = 45,52 kW

Efisiensi

η = P_h/P_shaft = 45,52/60,7 = 74,99%

Jawaban

η = 74,99%

24.Pompa & daya pompa

Jawaban: H = 14,94 m

Kecepatan

V = Q/A = 0,025/0,01767 = 1,415 m/s

V²/(2g) = 0,102 m

Kehilangan head

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (60 + 8)·0,102 = 6,937 m

Head pompa

Kedua permukaan terbuka dan praktis diam, sehingga suku tekanan dan kecepatan hilang.

H = Δz + h_L = 8 + 6,937 = 14,94 m

Jawaban

H = 14,94 m

25.Nilai waktu uang

Jawaban: EAR = 19,12 %

Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)ⁿ. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.

Suku bunga per periode

r/m = 0,175/365 = 0,0004795

Majemukkan selama satu tahun

EAR = (1 + 0,0004795)³⁶⁵ − 1 = 1,191 − 1 = 19,12%

Jawaban

EAR = 19,12%

EAR selalu di atas suku bunga nominal jika bunga dimajemukkan lebih dari sekali setahun.

26.Nilai waktu uang

Jawaban: A = 132,6 €

Suku bunga bulanan dan jumlah angsuran

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·6 = 72

Angsuran

Nilai sekarang dari N pembayaran yang sama A adalah A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Samakan dengan pinjaman dan selesaikan untuk A.

(1 + i)^−N = 0,6983

A = 8 000·0,005/(1 − 0,6983) = €132,58

Jawaban

A = €132,58

27.NPV & IRR

Jawaban: NPV = 20000 €

Nilai sekarang bersih: diskontokan setiap arus kas ke hari ini dengan tingkat pengembalian yang disyaratkan r, lalu jumlahkan: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Proyek dengan NPV > 0 menghasilkan lebih dari r dan menambah nilai. Tingkat pengembalian internal (IRR) adalah tingkat yang membuat NPV = 0.

Nilai arus kas

PV = 11 000/(0,09 − 0,04) = 220 000,00

NPV

NPV = 220 000,00 − 200 000 = €20 000,00

Jawaban

NPV = €20 000,00

NPV positif, jadi proyek menghasilkan lebih dari pengembalian yang disyaratkan.

28.NPV & IRR

Jawaban: NPV = −16988 €

Nilai sekarang anuitas bertumbuh

((1,05)/(1,1))⁵ = 0,7925

PV = 20 000/(0,1 − 0,05)·(1 − 0,7925) = 83 011,83

NPV

NPV = 83 011,83 − 100 000 = −€16 988,17

Jawaban

NPV = −€16 988,17

NPV negatif, jadi proyek menghasilkan kurang dari pengembalian yang disyaratkan.

29.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,9357

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², sehingga σ = √(σ_X² + σ_Y²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi total

μ_T = 250 kg, σ_T = 0,5·√10 = 1,581 kg

Standarkan

z = (247,6 − 250)/1,581 = −1,52

Peluang

P = 1 − Φ(−1,52) = 0,9357

Jawaban

P = 0,9357

30.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,8133

Distribusi selisih

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02236 mm

Standarkan

z = (0 − 0,02)/0,02236 = −0,89

Peluang

P = 1 − Φ(−0,89) = 0,8133

Jawaban

P = 0,8133

Ini adalah materi latihan independen. ExamProblems tidak berafiliasi dengan atau didukung oleh organisasi penyelenggara ujian ini, dan nama ujian hanya digunakan untuk menggambarkan isinya. FE exam diselenggarakan oleh NCEES, yang tidak berafiliasi dengan ExamProblems dan tidak mendukungnya.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil