Latihan ujian FE Civil: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 30 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Tegangan efektif tanah

Tegangan total: σ = Σγ_i·h_i
Tekanan air pori: u = γ_w·(z − z_w)
Tegangan efektif: σ′ = σ − u
Air: γ_w = 9,81 kN/m³

Penurunan konsolidasi

Terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Tegangan akhir: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Rasio konsolidasi berlebih: OCR = σ′_p/σ′₀
Waktu konsolidasi: t = T_v·H_dr²/c_v
Lintasan drainase: H_dr = H/2 (drainase ganda), H (drainase tunggal)
Faktor waktu: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Gaya hidrostatis

Tekanan pada kedalaman: p = ρgh
Gaya pada dinding vertikal: F = ρg·h_c·A
Pusat tekanan: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Persegi panjang: I_c = bH³/12

Gesekan pipa & kehilangan head

Bilangan Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Rezim aliran: laminar di bawah Re ≈ 2000, turbulen di atas Re ≈ 4000
Kecepatan rata-rata: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Kerugian minor: h_m = ΣK·V²/(2g)
Nilai K tipikal: masuk 0,5, keluar 1,0, belokan 90° ≈ 0,3
Penurunan tekanan: Δp = ρ·g·h_f
Dua reservoir terbuka: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Keluaran bebas: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Aliran saluran terbuka (Manning)

Persamaan Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debit: Q = A·V
Jari-jari hidrolik: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y
Trapesium (kemiringan sisi z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Pipa bulat, penuh atau setengah penuh: R = D/4
Kemiringan yang diperlukan: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Pompa & daya pompa

Daya hidrolik: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Daya poros: P_shaft = P_h/η_pump
Daya listrik: P_el = P_shaft/η_motor
Head pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Kerugian sistem: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Nilai waktu uang

Nilai masa depan: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Nilai sekarang: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Beberapa periode per tahun: i = r/m, N = m·n
Anuitas, nilai sekarang: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitas, nilai masa depan: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metode

Gambar garis waktu dengan setiap arus kas dan waktunya.
Sesuaikan suku bunga dengan periodenya: suku bunga bulanan untuk pembayaran bulanan.
Gunakan FV = PV·(1 + i)ⁿ untuk jumlah tunggal dan rumus anuitas untuk pembayaran yang sama besar.
Periksa tanda dan orde besaran jawabannya.

NPV & IRR

Nilai sekarang bersih: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Arus kas yang sama: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tingkat pengembalian internal: nilai r saat NPV = 0
Keputusan: terima jika NPV > 0 (atau IRR > tingkat pengembalian yang disyaratkan)

Metode

Daftarkan semua arus kas beserta tahunnya; investasi pada tahun 0 bernilai negatif.
Diskontokan setiap arus kas: CF_t/(1 + r)^t.
Jumlahkan semuanya untuk mendapatkan NPV. Positif berarti proyek menghasilkan lebih dari r.
Untuk IRR, cari suku bunga yang membuat NPV nol dengan coba-coba atau interpolasi.

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal R_A.

L = 6 mP₁ = 55 kN di 1 mP₂ = 15 kN di 2 m

R_A = kN

2.Reaksi tumpuan balokSulit

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal R_A.

L = 4 mP = 40 kN di 2,5 mw = 4 kN/m dari 1 sampai 4 m

R_A = kN

3.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

F: 25 kN ↓G: 30 kN ↓

1elemen AB
2elemen BC
3elemen CD
4elemen DE
5elemen FG
6elemen GH
7elemen AF
8elemen HE
9elemen BF
10elemen CG
11elemen DH
12elemen BG
13elemen DG

4.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_BC pada batang BC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 4 mtinggi = 3 mB berjarak 3 m dari Abeban vertikal = 35 kNbeban horizontal = 10 kN →

F_BC = kN

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

20 kN @ 6 m5 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

35 kN @ 0 m60 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Lendutan balokSedang

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada a = 2 m dari tumpuan A. Cari lendutan δ_P di bawah beban.

P = 12 kNa = 2 mL = 3 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Lendutan balokSulit

Balok sederhana menahan beban merata w dan beban terpusat P di tengah bentang. Dengan superposisi, cari lendutan tengah δ_max.

P = 15 kNw = 4 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (baja)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 4 mE = 200 GPa (baja)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Titik berat & momen inersiaSedang

Profil I simetris memiliki sayap selebar 190 mm dan setebal 18 mm, tinggi total 500 mm, dan badan setebal 10 mm. Cari momen inersianya I_x terhadap sumbu titik berat horizontal x.

B = 190 mmH = 500 mmt_f = 18 mmt_w = 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersiaSulit

Balok besi tuang memiliki penampang T seperti pada gambar, dengan sayap di atas. Tegangan izinnya 35 MPa untuk tarik dan 90 MPa untuk tekan. Cari momen lentur positif terbesar M_allow yang dapat ditahan balok.

b_f = 260 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 220 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

13.Tegangan efektif tanahSedang

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tekanan air pori u di titik X.

z = 6 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 16 kN/m³pasir: γ_sat = 19 kN/m³

u = kPa

14.Tegangan efektif tanahSulit

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tegangan efektif vertikal σ′ di titik X.

z = 7,5 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 16,5 kN/m³pasir: γ_sat = 19 kN/m³lempung: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ′ = kPa

15.Penurunan konsolidasiSedang

Lapisan lempung terkonsolidasi berlebih setebal 2 m memiliki C_c = 0,25, C_r = 0,03, dan e₀ = 0,8. Di tengah kedalamannya tegangan vertikal efektifnya 50 kPa dan tekanan prakonsolidasinya 140 kPa. Sebuah bangunan baru menambah tegangan vertikal 210 kPa di tengah kedalaman. Cari penurunan konsolidasi primer S dalam mm.

H = 2 mC_c = 0,25C_r = 0,03e₀ = 0,8σ′₀ = 50 kPaσ′_p = 140 kPaΔσ = 210 kPa

S = mm

16.Penurunan konsolidasiSulit

Dalam uji oedometer di laboratorium, benda uji lempung setebal 20 mm, berdrainase di atas dan di bawah, mencapai konsolidasi 50% dalam 8 menit. Di lapangan, lempung yang sama membentuk lapisan setebal 6 m. Lapisan berada di antara dua lapisan pasir, sehingga air terdrainase keluar di atas dan di bawah. Berapa hari t yang diperlukan lapisan di lapangan untuk mencapai konsolidasi 50%?

h_lab = 20 mmt_lab = 8 minH = 6 mlapangan: drainase ganda

t = hari

17.Gaya hidrostatisSedang

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 1,5 m berada di dinding tangki berisi air, dengan tepi atasnya 1 m di bawah permukaan. Cari gaya hidrostatis resultan F pada pintu air.

d = 1 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Gaya hidrostatisSulit

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 2 m berada di dinding tangki berisi air laut, dengan tepi atasnya 1,5 m di bawah permukaan. Cari gaya hidrostatis resultan F pada pintu air.

d = 1,5 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Gesekan pipa & kehilangan headSedang

Air mengalir dengan kecepatan rata-rata 2,6 m/s melalui pipa sepanjang 300 m dengan diameter dalam 50 mm. Gunakan faktor gesekan Darcy f = 0,02 dan g = 9,81 m/s². Cari kehilangan head akibat gesekan h_f.

V = 2,6 m/sL = 300 mD = 50 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Gesekan pipa & kehilangan headSulit

Dua reservoir terbuka dihubungkan oleh pipa sepanjang 400 m dengan diameter dalam 250 mm dan faktor gesekan Darcy f = 0,018. Kerugian minornya adalah lubang masuk bersudut tajam (K = 0,5), 2 belokan (masing-masing K = 0,3), sebuah katup (K = 5), dan lubang keluar ke reservoir bawah (K = 1,0). Gunakan g = 9,81 m/s². Berapa selisih muka air Δz antara kedua reservoir yang menghasilkan debit 75 L/s?

Q = 75 L/sL = 400 mD = 250 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

21.Aliran saluran terbuka (Manning)Sedang

Sebuah saluran persegi panjang beton halus selebar 1 m. Air mengalir seragam sedalam 1,3 m. n Manning = 0,012 dan kemiringan dasarnya S = 0,004. Cari debit Q dalam m³/s.

b = 1 my = 1,3 mn = 0,012S = 0,004

Q = m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)Sulit

Sebuah saluran drainase beton dengan diameter dalam 450 mm (n Manning = 0,013) harus mencapai kecepatan swabersih 1,2 m/s saat mengalir tepat penuh. Cari kemiringan minimum S (dalam m/m).

D = 450 mmn = 0,013V = 1,2 m/s

S = m/m

23.Pompa & daya pompaSedang

Dalam sebuah pengujian, pompa mengalirkan 10 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) melawan head 22 m sementara porosnya menyerap 3,1 kW. Gunakan g = 9,81 m/s². Cari efisiensi pompa η dalam persen.

Q = 10 L/sH = 22 mP_shaft = 3,1 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Pompa & daya pompaSulit

Sebuah pompa memindahkan 80 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) dari reservoir bawah yang terbuka ke tangki atas yang permukaan airnya 12 m lebih tinggi. Pipa sepanjang 600 m dengan diameter dalam 200 mm dan faktor gesekan Darcy f = 0,015; koefisien kerugian minornya berjumlah ΣK = 5 (termasuk lubang masuk dan keluar). Gunakan g = 9,81 m/s². Tangki atas tertutup dan udara di atas airnya bertekanan gauge 350 kPa. Cari head H yang harus ditambahkan pompa.

Q = 80 L/sΔz = 12 mL = 600 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 5p_tank = 350 kPa

H = m

25.Nilai waktu uangSedang

Sebuah kartu kredit mengenakan suku bunga nominal 21% per tahun, dimajemukkan harian. Tentukan suku bunga efektif tahunan EAR dalam persen.

r = 21%m = 365

EAR = %

26.Nilai waktu uangSulit

Anda menyetor €5 000 di awal setiap tahun selama 23 tahun, setoran pertama hari ini. Rekening memberi bunga 7% per tahun. Berapa saldo rekening di akhir tahun ke-23? Tentukan FV.

A = €5 000i = 7%n = 23

FV = €

27.NPV & IRRSedang

Sebuah proyek berbiaya €400 000 hari ini. Proyek menghasilkan €35 000 di akhir tahun pertama, lalu arus kasnya tumbuh 2% per tahun selamanya. Biaya modalnya 10%. Tentukan nilai sekarang bersih NPV.

C₀ = €400 000CF₁ = €35 000g = 2%r = 10%

NPV = €

28.NPV & IRRSulit

Sebuah proyek berbiaya €40 000 dan menghasilkan €17 500, €15 500, €29 500 di akhir tahun 1 sampai 3. Tentukan tingkat pengembalian internalnya IRR dalam persen.

CF₀ = −40 000CF₁ = 17 500CF₂ = 15 500CF₃ = 29 500

IRR = %

29.Distribusi normalSedang

Seret z sehingga luas berarsir di antara −z dan z di bawah kurva normal baku adalah 0,9199. Cari z sampai dua desimal.

A = 0,9199

z =

30.Distribusi normalSulit

Data berat kantong berdistribusi normal dengan rata-rata 250 g dan simpangan baku 5 g. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 95% data (persentil ke-95).

μ = 250σ = 5P = 95%

x = g

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = 55,83 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 55·1 + 15·2

R_B = 85/6 = 14,17 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 14,17 = 55,83 kN

Jawaban

R_A = 55,83 kN

2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = 19,5 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 4·3 = 12 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 40·2,5 + 4·3·2,5

R_B = 130/4 = 32,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 52 − 32,5 = 19,5 kN

Jawaban

R_A = 19,5 kN

3.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen CG

Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.

Simpul C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 33,75 kN (T), BC: 42,5 kN (T), CD: 42,5 kN (T), DE: 21,25 kN (T), FG: 33,75 kN (C), GH: 21,25 kN (C), AF: 47,73 kN (C), HE: 30,05 kN (C), BF: 8,75 kN (T), CG: 0, DH: 21,25 kN (T), BG: 12,37 kN (C), DG: 30,05 kN (C)

Jawaban

Elemen gaya-nol: CG

4.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_BC = −35,58 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 35·3 + 10·3 → C_y = 33,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 33,75 = 1,25 kN

ΣF_x = 0: A_x = −10 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −33,75/0,9487 = −35,58 kN

Jawaban

F_BC = −35,58 kN (tekan)

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: D (x = 6 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R₁ = 40 kN, R₂ = 40 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

M_A = 0, M_B = 70, M_C = 120, M_D = 150 kN·m, M_E = 120, M_F = 70, M_G = 0

Jawaban

Tanda D: M_D = 150 kN·m

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: F (x = 5 m)

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R₁ = 28,75 kN, R₂ = 66,25 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

M_A = 0, M_B = −35, M_C = −41,25, M_D = −47,5, M_E = −53,75, M_F = −60 kN·m, M_G = 0

Jawaban

Tanda F: M_F = −60 kN·m

7.Lendutan balok

Jawaban: δ_P = 4,04 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 12000 N, a = 2000 mm, b = 1000 mm, L = 3000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Lendutan di bawah beban

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 12000·2000²·1000²/(3·1,32 × 10¹²·3000) = 4,04 mm

Jawaban

δ_P = 4,04 mm

8.Lendutan balok

Jawaban: δ_max = 13,7 mm

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 15000 N, w = 4 N/mm, L = 3000 mm, EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Setiap beban sendiri

δ_P = PL³/(48EI) = 15000·3000³/(48·9,24 × 10¹¹) = 9,131 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·3000⁴/(384·9,24 × 10¹¹) = 4,566 mm

Jumlahkan

δ_max = 9,131 + 4,566 = 13,7 mm

Jawaban

δ_max = 13,7 mm

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 22,21 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·2000 = 4000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/4000² = 22207 N = 22,21 kN

Jawaban

P_cr = 22,21 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 100,7 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

KL/r = 2800/20 = 140

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/140² = 100,7 MPa

Jawaban

σ_cr = 100,7 MPa

11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 480,7 × 10⁶ mm⁴

Momen inersia penampang: untuk persegi panjang terhadap sumbu titik beratnya sendiri I = bh³/12, dan terhadap alasnya bh³/3 (teorema sumbu sejajar I = I_c + A·d²). Lubang diperhitungkan dengan mengurangkan I-nya, asalkan kedua bagian memakai sumbu yang sama. Modulus penampang elastis adalah S = I/c, dengan c jarak ke serat terluar.

Persegi panjang luar dikurangi dua potongan samping

Kedua potongan bersama-sama selebar (B − t_w) dan setinggi h_w = H − 2t_f, dan memakai sumbu x yang sama.

h_w = 500 − 2·18 = 464 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (190·500³ − 180·464³)/12

I_x = 4,807 × 10⁸ mm⁴ = 480,7 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 480,7 × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: M_allow = 9,026 kN·m

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Titik berat

ȳ = (2600·225 + 4400·110)/7000 = 152,7 mm

tepi atas: c = 230 − 152,7 = 77,29 mm

Momen inersia penampang

I = 260·10³/12 + 2600·72,29² + 20·220³/12 + 4400·42,71² = 3,938 × 10⁷ mm⁴

Momen yang diizinkan tiap tepi

Momen positif: sisi atas tertekan, sisi bawah tertarik.

tepi atas: M = 90·3,938 × 10⁷/77,29 = 45,86 kN·m

tepi bawah: M = 35·3,938 × 10⁷/152,7 = 9,026 kN·m

Nilai yang menentukan

M_allow = min = 9,026 kN·m (tepi bawah)

Jawaban

M_allow = 9,026 kN·m

13.Tegangan efektif tanah

Jawaban: u = 39,24 kPa

Tegangan efektif (Terzaghi): butiran tanah menahan σ′ = σ − u. Tegangan total σ adalah berat semua yang ada di atas titik, Σγ·h, memakai berat isi kering di atas muka air tanah dan berat isi jenuh di bawahnya. Di bawah muka air tanah tekanan air pori bersifat hidrostatis: u = γ_w·(kedalaman di bawah muka air tanah).

Tekanan air pori

Tekanan air bertambah dengan kedalaman di bawah muka air tanah.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4 = 39,24 kPa

Jawaban

u = 39,24 kPa

14.Tegangan efektif tanah

Jawaban: σ′ = 82,29 kPa

Tegangan total

Jumlahkan berat setiap lapisan tanah di atas X. Di atas muka air tanah gunakan berat isi kering, di bawahnya berat isi jenuh.

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·3 + γ_sat,clay·2,5

σ = 16,5·2 + 19·3 + 18,5·2,5 = 136,3 kPa

Tekanan air pori

Tekanan air bertambah dengan kedalaman di bawah muka air tanah.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5,5 = 53,96 kPa

Tegangan efektif

σ′ = σ − u = 136,3 − 53,96 = 82,29 kPa

Jawaban

σ′ = 82,29 kPa

15.Penurunan konsolidasi

Jawaban: S = 89,58 mm

Konsolidasi primer lapisan lempung setebal H, dengan tegangan efektif di tengah lapisan: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Lempung terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Lempung terkonsolidasi berlebih mengalami rekompresi sepanjang C_r sampai tekanan prakonsolidasi σ′_p dan baru mengikuti C_c setelah melewatinya. Waktu: t = T_v·H_dr²/c_v, dengan lintasan drainase H_dr sebesar H/2 bila air dapat keluar di atas dan di bawah, dan H bila hanya satu sisi yang berdrainase.

Bandingkan dengan tekanan prakonsolidasi

σ′_f = 50 + 210 = 260 kPa > 140 kPa

Penurunan

Rekompresi sampai σ′_p, kompresi murni setelahnya.

S = 0,03·2/(1 + 0,8)·log₁₀(140/50) + 0,25·2/(1 + 0,8)·log₁₀(260/140)

S = 14,91 + 74,68 = 89,58 mm

Jawaban

S = 89,58 mm

16.Penurunan konsolidasi

Jawaban: t = 500 hari

Lintasan drainase

H_dr,lab = 20/2 = 10 mm = 0,01 m

H_dr,field = 6/2 = 3 m

Skalakan waktunya

t = T_v·H_dr²/c_v dengan T_v dan c_v yang sama di laboratorium dan di lapangan.

t_field = 8·(3/0,01)² = 720000 min

t_field = 720000/1440 = 500 hari

Jawaban

t = 500 hari

17.Gaya hidrostatis

Jawaban: F = 110,4 kN

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2,5 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·4,5 = 110,4 kN

Jawaban

F = 110,4 kN

18.Gaya hidrostatis

Jawaban: F = 67,87 kN

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 1,5·2 = 3 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·2,25·3 = 67,87 kN

Jawaban

F = 67,87 kN

19.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: h_f = 41,35 m

Aliran pipa: bilangan Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ membedakan aliran laminar (Re di bawah sekitar 2000) dari aliran turbulen (di atas sekitar 4000). Gesekan sepanjang pipa menyebabkan kehilangan head Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Sambungan, katup, lubang masuk, dan lubang keluar menambah kerugian minor h_m = ΣK·V²/(2g). Di antara dua permukaan reservoir terbuka, persamaan energi memberikan Δz = h_f + h_m, termasuk kerugian keluar K = 1.

Head kecepatan

V²/(2g) = 2,6²/(2·9,81) = 0,3445 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(300/0,05)·2,6²/(2·9,81) = 41,35 m

Jawaban

h_f = 41,35 m

20.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: Δz = 4,271 m

Kecepatan

V = Q/A = 0,075/0,04909 = 1,528 m/s

V²/(2g) = 0,119 m

Koefisien kerugian

f·L/D = 0,018·400/0,25 = 28,8

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 + 1,0 = 7,1

Kehilangan head total

h_f = 28,8·0,119 = 3,427 m

h_m = 7,1·0,119 = 0,8448 m

Δz = h_f + h_m = 4,271 m

Jawaban

Δz = 4,271 m

21.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: Q = 3,474 m³/s

Persamaan Manning (SI): untuk aliran seragam di saluran terbuka V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 dan Q = A·V, dengan n koefisien kekasaran, S kemiringan dasar (m/m), dan R = A/P jari-jari hidrolik: luas aliran dibagi keliling basah. Hanya batas yang bersentuhan dengan air yang dihitung dalam P, bukan permukaan bebas. Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y. Trapesium dengan kemiringan sisi z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pipa bulat yang mengalir penuh atau setengah penuh memiliki R = D/4.

Geometri

A = b·y = 1·1,3 = 1,3 m²

P = b + 2y = 1 + 2·1,3 = 3,6 m

R = A/P = 0,3611 m

Kecepatan

V = (1/0,012)·0,3611^2/3·0,004^1/2 = 2,673 m/s

Debit

Q = A·V = 1,3·2,673 = 3,474 m³/s

Jawaban

Q = 3,474 m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: S = 0,004481 m/m

Jari-jari hidrolik

R = D/4 = 0,45/4 = 0,1125 m

Selesaikan Manning untuk S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·1,2/0,233)² = 0,004481

Jawaban

S = 0,004481

Itu penurunan 4,481 m per kilometer.

23.Pompa & daya pompa

Jawaban: η = 69,62 %

Daya pompa: daya yang diberikan kepada air adalah daya hidrolik P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Poros harus menyalurkan lebih banyak karena pompa mengalami rugi: P_shaft = P_h/η_pump, dan motor menarik P_el = P_shaft/η_motor. Head pompa H diperoleh dari persamaan energi: tinggi angkat statis + head tekanan + semua kerugian gesekan dan minor.

Daya hidrolik

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·22 = 2,158 kW

Efisiensi

η = P_h/P_shaft = 2,158/3,1 = 69,62%

Jawaban

η = 69,62%

24.Pompa & daya pompa

Jawaban: H = 64,2 m

Kecepatan

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Kehilangan head

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (45 + 5)·0,3305 = 16,53 m

Head tekanan

p/(ρ·g) = 350000/(1000·9,81) = 35,68 m

Head pompa

Kedua permukaan praktis diam, sehingga tidak ada suku head kecepatan.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 12 + 35,68 + 16,53 = 64,2 m

Jawaban

H = 64,2 m

25.Nilai waktu uang

Jawaban: EAR = 23,36 %

Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)ⁿ. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.

Suku bunga per periode

r/m = 0,21/365 = 0,0005753

Majemukkan selama satu tahun

EAR = (1 + 0,0005753)³⁶⁵ − 1 = 1,234 − 1 = 23,36%

Jawaban

EAR = 23,36%

EAR selalu di atas suku bunga nominal jika bunga dimajemukkan lebih dari sekali setahun.

26.Nilai waktu uang

Jawaban: FV = 285883 €

Faktor anuitas biasa

((1 + 0,07)²³ − 1)/0,07 = 53,44

Anuitas di muka

Setiap setoran diinvestasikan satu tahun lebih lama.

FV = 5 000·53,44·1,07 = €285 883,35

Jawaban

FV = €285 883,35

27.NPV & IRR

Jawaban: NPV = 37500 €

Nilai sekarang bersih: diskontokan setiap arus kas ke hari ini dengan tingkat pengembalian yang disyaratkan r, lalu jumlahkan: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Proyek dengan NPV > 0 menghasilkan lebih dari r dan menambah nilai. Tingkat pengembalian internal (IRR) adalah tingkat yang membuat NPV = 0.

Nilai arus kas

PV = 35 000/(0,1 − 0,02) = 437 500,00

NPV

NPV = 437 500,00 − 400 000 = €37 500,00

Jawaban

NPV = €37 500,00

NPV positif, jadi proyek menghasilkan lebih dari pengembalian yang disyaratkan.

28.NPV & IRR

Jawaban: IRR = 23,49 %

Apit IRR dari dua sisi

NPV turun saat tingkat naik, jadi IRR terletak di antara tingkat dengan NPV positif dan tingkat dengan NPV negatif.

NPV(20%) = 2 418,98

NPV(25%) = −976,00

Persempit

Interpolasi linear memberi perkiraan awal; mengulanginya (atau fungsi IRR kalkulator) memberi tingkat yang tepat.

IRR ≈ 20 + 5·2 418,98/(2 418,98 − (−976,00)) = 23,56%

tepat: NPV(23,49%) = 0 → IRR = 23,49%

Jawaban

IRR = 23,49%

29.Distribusi normal

Jawaban: z = 1,75

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = (1 + 0,9199)/2 = 0,9599

Baca tabel z secara terbalik

Cari 0,9599 di dalam tabel dan baca z.

z = 1,75

Jawaban

z = 1,75

30.Distribusi normal

Jawaban: x = 258,2 g

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

z untuk persentil

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Kembali ke x

x = 250 + 1,645·5 = 258,22 g

Jawaban

x = 258,22 g

Ini adalah materi latihan independen. ExamProblems tidak berafiliasi dengan atau didukung oleh organisasi penyelenggara ujian ini, dan nama ujian hanya digunakan untuk menggambarkan isinya. FE exam diselenggarakan oleh NCEES, yang tidak berafiliasi dengan ExamProblems dan tidak mendukungnya.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil