Latihan ujian FE Civil: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 30 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Tegangan efektif tanah

Tegangan total: σ = Σγ_i·h_i
Tekanan air pori: u = γ_w·(z − z_w)
Tegangan efektif: σ′ = σ − u
Air: γ_w = 9,81 kN/m³

Penurunan konsolidasi

Terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Tegangan akhir: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Rasio konsolidasi berlebih: OCR = σ′_p/σ′₀
Waktu konsolidasi: t = T_v·H_dr²/c_v
Lintasan drainase: H_dr = H/2 (drainase ganda), H (drainase tunggal)
Faktor waktu: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Gaya hidrostatis

Tekanan pada kedalaman: p = ρgh
Gaya pada dinding vertikal: F = ρg·h_c·A
Pusat tekanan: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Persegi panjang: I_c = bH³/12

Gesekan pipa & kehilangan head

Bilangan Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Rezim aliran: laminar di bawah Re ≈ 2000, turbulen di atas Re ≈ 4000
Kecepatan rata-rata: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Kerugian minor: h_m = ΣK·V²/(2g)
Nilai K tipikal: masuk 0,5, keluar 1,0, belokan 90° ≈ 0,3
Penurunan tekanan: Δp = ρ·g·h_f
Dua reservoir terbuka: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Keluaran bebas: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Aliran saluran terbuka (Manning)

Persamaan Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debit: Q = A·V
Jari-jari hidrolik: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y
Trapesium (kemiringan sisi z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Pipa bulat, penuh atau setengah penuh: R = D/4
Kemiringan yang diperlukan: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Pompa & daya pompa

Daya hidrolik: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Daya poros: P_shaft = P_h/η_pump
Daya listrik: P_el = P_shaft/η_motor
Head pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Kerugian sistem: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Nilai waktu uang

Nilai masa depan: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Nilai sekarang: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Beberapa periode per tahun: i = r/m, N = m·n
Anuitas, nilai sekarang: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitas, nilai masa depan: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metode

Gambar garis waktu dengan setiap arus kas dan waktunya.
Sesuaikan suku bunga dengan periodenya: suku bunga bulanan untuk pembayaran bulanan.
Gunakan FV = PV·(1 + i)ⁿ untuk jumlah tunggal dan rumus anuitas untuk pembayaran yang sama besar.
Periksa tanda dan orde besaran jawabannya.

NPV & IRR

Nilai sekarang bersih: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Arus kas yang sama: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tingkat pengembalian internal: nilai r saat NPV = 0
Keputusan: terima jika NPV > 0 (atau IRR > tingkat pengembalian yang disyaratkan)

Metode

Daftarkan semua arus kas beserta tahunnya; investasi pada tahun 0 bernilai negatif.
Diskontokan setiap arus kas: CF_t/(1 + r)^t.
Jumlahkan semuanya untuk mendapatkan NPV. Positif berarti proyek menghasilkan lebih dari r.
Untuk IRR, cari suku bunga yang membuat NPV nol dengan coba-coba atau interpolasi.

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal R_B.

L = 5 mP₁ = 35 kN di 1,5 mP₂ = 45 kN di 2,5 m

R_B = kN

2.Reaksi tumpuan balokSulit

Balok kantilever dijepit ke dinding di A. Balok menahan beban yang berubah linear, sebesar 12 kN/m di dinding dan turun sampai nol di ujung bebas B, ditambah beban terpusat P pada 5 m dari dinding. Cari besar momen reaksi M_A di dinding.

L = 8 mw₀ = 12 kN/mP = 20 kN di 5 m

M_A = kN·m

3.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AC pada batang AC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 4 mtinggi = 2 mB berjarak 1 m dari Abeban vertikal = 55 kN

F_AC = kN

4.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AC pada batang AC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 5 mtinggi = 4 mB berjarak 4 m dari Abeban vertikal = 15 kNbeban horizontal = 20 kN ←

F_AC = kN

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Balok sederhana menahan dua beban terpusat. Cari momen lentur maksimum M_max pada balok.

L = 6 mP₁ = 25 kN di 1 mP₂ = 20 kN di 5 m

M_max = kN·m

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Balok sederhana menahan beban merata pada sebagian bentangnya. Cari momen lentur maksimum M_max pada balok.

L = 5 mw = 10 kN/m dari 2 sampai 4 m

M_max = kN·m

7.Lendutan balokSedang

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada a = 2 m dari tumpuan A. Cari lendutan δ_P di bawah beban.

P = 8 kNa = 2 mL = 3 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Lendutan balokSulit

Balok sederhana menahan beban merata w dan beban terpusat P di tengah bentang. Dengan superposisi, cari lendutan tengah δ_max.

P = 28 kNw = 4 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 50 × 60 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.Titik berat & momen inersiaSedang

Cari momen inersia I_x penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

b_f = 100 mmt_f = 30 mmt_w = 8 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersiaSulit

Sebuah pelat 200 mm × 300 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 60 mm dan setinggi 30 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 180 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas I_x terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 200 mmh = 300 mmpotongan: 60 × 30 mmpusat lubang: y = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Tegangan efektif tanahSedang

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tegangan efektif vertikal σ′ di titik X.

z = 12 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 15 kN/m³pasir: γ_sat = 19,5 kN/m³

σ′ = kPa

14.Tegangan efektif tanahSulit

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tegangan efektif vertikal σ′ di titik X.

z = 8 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 15 kN/m³pasir: γ_sat = 19,5 kN/m³lempung: γ_sat = 17 kN/m³

σ′ = kPa

15.Penurunan konsolidasiSedang

Lapisan lempung terkonsolidasi berlebih setebal 8 m memiliki C_c = 0,25, C_r = 0,05, dan e₀ = 0,95. Di tengah kedalamannya tegangan vertikal efektifnya 120 kPa dan rasio konsolidasi berlebihnya OCR = 2,5. Sebuah bangunan baru menambah tegangan vertikal 200 kPa di tengah kedalaman. Cari penurunan konsolidasi primer S dalam mm.

H = 8 mC_c = 0,25C_r = 0,05e₀ = 0,95σ′₀ = 120 kPaOCR = 2,5Δσ = 200 kPa

S = mm

16.Penurunan konsolidasiSulit

Sebuah lapisan lempung setebal 6 m memiliki koefisien konsolidasi c_v = 4 m²/tahun. Lapisan berada di atas batuan kedap air, dengan pasir di atasnya, sehingga air hanya terdrainase keluar di atas. Untuk konsolidasi rata-rata 60% faktor waktunya T_v = 0,287. Berapa tahun t yang diperlukan lapisan untuk mencapai konsolidasi 60%?

H = 6 mc_v = 4 m²/tahunU = 60%T_v = 0,287drainase tunggal

t = tahun

17.Gaya hidrostatisSedang

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 2 m berada di dinding tangki berisi air, dengan tepi atasnya 1 m di bawah permukaan. Cari gaya hidrostatis resultan F pada pintu air.

d = 1 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Gaya hidrostatisSulit

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 2 m berada di dinding tangki berisi gliserin, dengan tepi atasnya 2 m di bawah permukaan. Cari gaya hidrostatis resultan F pada pintu air.

d = 2 mH = 2 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Gesekan pipa & kehilangan headSedang

Air mengalir dengan debit 100 L/s melalui pipa sepanjang 400 m dengan diameter dalam 200 mm. Gunakan faktor gesekan Darcy f = 0,018 dan g = 9,81 m/s². Cari kehilangan head akibat gesekan h_f.

Q = 100 L/sL = 400 mD = 200 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Gesekan pipa & kehilangan headSulit

Sebuah pipa sepanjang 200 m dengan diameter dalam 250 mm (faktor gesekan Darcy f = 0,02) berawal dari reservoir terbuka dan mengeluarkan air sebagai pancaran bebas ke udara. Kerugian minornya adalah lubang masuk bersudut tajam (K = 0,5), 2 belokan (masing-masing K = 0,3), dan sebuah katup (K = 10). Gunakan g = 9,81 m/s². Berapa tinggi H permukaan reservoir harus berada di atas lubang keluar pipa untuk debit 100 L/s?

Q = 100 L/sL = 200 mD = 250 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 10

H = m

21.Aliran saluran terbuka (Manning)Sedang

Sebuah saluran trapesium kerikil memiliki lebar dasar 4,5 m dan kemiringan sisi 3:1 (horizontal:vertikal). Air mengalir seragam sedalam 2 m. n Manning = 0,025 dan kemiringan dasarnya S = 0,0005. Cari debit Q dalam m³/s.

b = 4,5 my = 2 mz = 3n = 0,025S = 0,0005

Q = m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)Sulit

Sebuah saluran drainase beton dengan diameter dalam 200 mm (n Manning = 0,013) harus mencapai kecepatan swabersih 0,9 m/s saat mengalir tepat penuh. Cari kemiringan minimum S (dalam m/m).

D = 200 mmn = 0,013V = 0,9 m/s

S = m/m

23.Pompa & daya pompaSedang

Dalam sebuah pengujian, pompa mengalirkan 100 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) melawan head 34 m sementara porosnya menyerap 42,8 kW. Gunakan g = 9,81 m/s². Cari efisiensi pompa η dalam persen.

Q = 100 L/sH = 34 mP_shaft = 42,8 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Pompa & daya pompaSulit

Sebuah pompa memindahkan 20 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) dari reservoir bawah yang terbuka ke tangki atas yang permukaan airnya 8 m lebih tinggi. Pipa sepanjang 100 m dengan diameter dalam 100 mm dan faktor gesekan Darcy f = 0,015; koefisien kerugian minornya berjumlah ΣK = 6 (termasuk lubang masuk dan keluar). Gunakan g = 9,81 m/s². Tangki atas tertutup dan udara di atas airnya bertekanan gauge 400 kPa. Cari head H yang harus ditambahkan pompa.

Q = 20 L/sΔz = 8 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,015ΣK = 6p_tank = 400 kPa

H = m

25.Nilai waktu uangSedang

Sebuah kartu kredit mengenakan suku bunga nominal 24% per tahun, dimajemukkan triwulanan. Tentukan suku bunga efektif tahunan EAR dalam persen.

r = 24%m = 4

EAR = %

26.Nilai waktu uangSulit

Pinjaman sebesar €200 000 dilunasi dengan angsuran bulanan yang sama selama 30 tahun dengan bunga 3,6% per tahun, dimajemukkan bulanan. Berapa total bunga I yang dibayar selama masa pinjaman?

P = €200 0003,6% / 12N = 360

I = €

27.NPV & IRRSedang

Investasi sebesar €60 000 memberikan arus kas berikut di akhir tahun 1 sampai 4: €22 000, €30 000, €20 000, €21 000. Biaya modal 15%. Tentukan nilai sekarang bersih NPV.

r = 15%CF₀ = −60 000CF₁ = 22 000CF₂ = 30 000CF₃ = 20 000CF₄ = 21 000

NPV = €

28.NPV & IRRSulit

Sebuah proyek berbiaya €80 000 hari ini. Arus kasnya €12 500 di akhir tahun 1 dan tumbuh 3% per tahun sampai arus kas terakhir di akhir tahun ke-7. Biaya modalnya 8%. Tentukan nilai sekarang bersih NPV.

C₀ = €80 000CF₁ = €12 500g = 3%n = 7r = 8%

NPV = €

29.Distribusi normalSedang

Data skor IQ berdistribusi normal dengan rata-rata 100 poin dan simpangan baku 15 poin. Berapa proporsi yang berada di antara 95,5 dan 130,75 poin? Nyatakan P dalam bentuk desimal.

μ = 100σ = 15x₁ = 95,5x₂ = 130,75

P =

30.Distribusi normalSulit

skor IQ berdistribusi normal dengan rata-rata 100 poin dan simpangan baku 15 poin. Seret batas sehingga 10% terbawah yang diarsir berada di sebelah kirinya. Cari batas x.

μ = 100 poinσ = 15 poin10%

x = poin

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_B = 33 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 35·1,5 + 45·2,5

R_B = 165/5 = 33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 33 = 47 kN

Jawaban

R_B = 33 kN

2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: M_A = 228 kN·m

Kesetimbangan kantilever: tumpuan jepit dapat mendorong ke atas sekaligus menahan rotasi, jadi memberi reaksi vertikal R_A dan momen reaksi M_A. ΣF_y = 0 memberi R_A, dan momen terhadap dinding memberi M_A = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban merata bekerja sebagai resultannya di titik berat diagram beban.

Resultan beban segitiga

W = ½·12·8 = 48 kN

x̄ = L/3 = 2,667 m

Momen terhadap dinding

M_A = W·x̄ + P·a = 48·2,667 + 20·5 = 228 kN·m

Jawaban

M_A = 228 kN·m

3.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AC = 20,63 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 55·1 → C_y = 13,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 13,75 = 41,25 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −13,75/0,5547 = −24,79 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−24,79)·0,8321 = 20,63 kN

Jawaban

F_AC = 20,63 kN (tarik)

4.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AC = −1 kN

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 15·4 − 20·4 → C_y = −4 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − −4 = 19 kN

ΣF_x = 0: A_x = 20 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−4/0,9701 = 4,123 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(4,123)·0,2425 = −1 kN

Jawaban

F_AC = −1 kN (tekan)

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_max = 24,17 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 25·1 + 20·5

R_B = 125/6 = 20,83 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 20,83 = 24,17 kN

Momen di bawah tiap beban

Ambil bagian di kiri tiap beban.

di bawah P₁: M = R_A·1 = 24,17·1 = 24,17 kN·m

di bawah P₂: M = R_B·1 = 20,83·1 = 20,83 kN·m

Nilai terbesar

M_max = 24,17 kN·m (di bawah P₁)

Jawaban

M_max = 24,17 kN·m

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_max = 19,2 kN·m

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 10·2 = 20 kN, bekerja di x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·2·3

R_B = 60/5 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 12 = 8 kN

Gaya geser nol

Gaya geser mulai dari R_A, tetap konstan di bagian yang tidak dibebani, dan turun dengan kemiringan w di dalam beban.

R_A − w·(x₀ − 2) = 0

x₀ = 2 + 8/10 = 2,8 m

Momen maksimum

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 2)²/2 = 8·2,8 − 10·0,8²/2 = 19,2 kN·m

Jawaban

M_max = 19,2 kN·m

7.Lendutan balok

Jawaban: δ_P = 26,94 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 8000 N, a = 2000 mm, b = 1000 mm, L = 3000 mm

EI = 1,32 × 10¹¹ N·mm²

Lendutan di bawah beban

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 8000·2000²·1000²/(3·1,32 × 10¹¹·3000) = 26,94 mm

Jawaban

δ_P = 26,94 mm

8.Lendutan balok

Jawaban: δ_max = 23,04 mm

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 28000 N, w = 4 N/mm, L = 6000 mm, EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Setiap beban sendiri

δ_P = PL³/(48EI) = 28000·6000³/(48·8,4 × 10¹²) = 15 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·6000⁴/(384·8,4 × 10¹²) = 8,036 mm

Jumlahkan

δ_max = 15 + 8,036 = 23,04 mm

Jawaban

δ_max = 23,04 mm

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 69,09 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/2500² = 69087 N = 69,09 kN

Jawaban

P_cr = 69,09 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 4,957 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

KL/r = 2800/7,5 = 373,3

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/373,3² = 4,957 MPa

Jawaban

σ_cr = 4,957 MPa

11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 45,67 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 100·30 = 3000 mm², y_f = 280 + 30/2 = 295 mm

badan: A_w = 8·280 = 2240 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·295 + 2240·140)/5240 = 228,7 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 100·30³/12 + 3000·(295 − 228,7)² = 1,34 × 10⁷ mm⁴

badan: 8·280³/12 + 2240·(140 − 228,7)² = 3,227 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,34 × 10⁷ + 3,227 × 10⁷ = 4,567 × 10⁷ mm⁴ = 45,67 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 45,67 × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 448,2 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki I_c = bh³/12 dan lingkaran I_c = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (60000·150 − 1800·180)/(60000 − 1800) = 149,1 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

200·300³/12 + 60000·0,9278² = 450,1 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

60·30³/12 + 1800·30,93² = 1,857 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

I_x = 448,2 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 448,2 × 10⁶ mm⁴

13.Tegangan efektif tanah

Jawaban: σ′ = 137,5 kPa

Tegangan efektif (Terzaghi): butiran tanah menahan σ′ = σ − u. Tegangan total σ adalah berat semua yang ada di atas titik, Σγ·h, memakai berat isi kering di atas muka air tanah dan berat isi jenuh di bawahnya. Di bawah muka air tanah tekanan air pori bersifat hidrostatis: u = γ_w·(kedalaman di bawah muka air tanah).

Tegangan total

Jumlahkan berat setiap lapisan tanah di atas X. Di atas muka air tanah gunakan berat isi kering, di bawahnya berat isi jenuh.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15·4 + 19,5·8 = 216 kPa

Tekanan air pori

Tekanan air bertambah dengan kedalaman di bawah muka air tanah.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·8 = 78,48 kPa

Tegangan efektif

σ′ = σ − u = 216 − 78,48 = 137,5 kPa

Jawaban

σ′ = 137,5 kPa

14.Tegangan efektif tanah

Jawaban: σ′ = 91,26 kPa

Tegangan total

Jumlahkan berat setiap lapisan tanah di atas X. Di atas muka air tanah gunakan berat isi kering, di bawahnya berat isi jenuh.

σ = γ_d·4 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·3

σ = 15·4 + 19,5·1 + 17·3 = 130,5 kPa

Tekanan air pori

Tekanan air bertambah dengan kedalaman di bawah muka air tanah.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4 = 39,24 kPa

Tegangan efektif

σ′ = σ − u = 130,5 − 39,24 = 91,26 kPa

Jawaban

σ′ = 91,26 kPa

15.Penurunan konsolidasi

Jawaban: S = 110,4 mm

Konsolidasi primer lapisan lempung setebal H, dengan tegangan efektif di tengah lapisan: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Lempung terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Lempung terkonsolidasi berlebih mengalami rekompresi sepanjang C_r sampai tekanan prakonsolidasi σ′_p dan baru mengikuti C_c setelah melewatinya. Waktu: t = T_v·H_dr²/c_v, dengan lintasan drainase H_dr sebesar H/2 bila air dapat keluar di atas dan di bawah, dan H bila hanya satu sisi yang berdrainase.

Tekanan prakonsolidasi

σ′_p = OCR·σ′₀ = 2,5·120 = 300 kPa

Bandingkan dengan tekanan prakonsolidasi

σ′_f = 120 + 200 = 320 kPa > 300 kPa

Penurunan

Rekompresi sampai σ′_p, kompresi murni setelahnya.

S = 0,05·8/(1 + 0,95)·log₁₀(300/120) + 0,25·8/(1 + 0,95)·log₁₀(320/300)

S = 81,63 + 28,75 = 110,4 mm

Jawaban

S = 110,4 mm

16.Penurunan konsolidasi

Jawaban: t = 2,583 tahun

Lintasan drainase

H_dr = H = 6 m

Waktu

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,287·6²/4 = 2,583 tahun

Jawaban

t = 2,583 tahun

17.Gaya hidrostatis

Jawaban: F = 78,48 kN

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·4 = 78,48 kN

Jawaban

F = 78,48 kN

18.Gaya hidrostatis

Jawaban: F = 148,3 kN

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·3·4 = 148,3 kN

Jawaban

F = 148,3 kN

19.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: h_f = 18,59 m

Aliran pipa: bilangan Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ membedakan aliran laminar (Re di bawah sekitar 2000) dari aliran turbulen (di atas sekitar 4000). Gesekan sepanjang pipa menyebabkan kehilangan head Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Sambungan, katup, lubang masuk, dan lubang keluar menambah kerugian minor h_m = ΣK·V²/(2g). Di antara dua permukaan reservoir terbuka, persamaan energi memberikan Δz = h_f + h_m, termasuk kerugian keluar K = 1.

Kecepatan rata-rata

A = π·0,2²/4 = 0,03142 m²

V = Q/A = 0,1/0,03142 = 3,183 m/s

Head kecepatan

V²/(2g) = 3,183²/(2·9,81) = 0,5164 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(400/0,2)·3,183²/(2·9,81) = 18,59 m

Jawaban

h_f = 18,59 m

20.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: H = 5,944 m

Kecepatan

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Koefisien kerugian

f·L/D = 0,02·200/0,25 = 16

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 = 11,1

Persamaan energi

Pancaran keluar masih membawa head kecepatannya; itu bukan kerugian, tetapi harus disediakan.

H = (1 + 16 + 11,1)·0,2115 = 5,944 m

Jawaban

H = 5,944 m

21.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: Q = 21,5 m³/s

Persamaan Manning (SI): untuk aliran seragam di saluran terbuka V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 dan Q = A·V, dengan n koefisien kekasaran, S kemiringan dasar (m/m), dan R = A/P jari-jari hidrolik: luas aliran dibagi keliling basah. Hanya batas yang bersentuhan dengan air yang dihitung dalam P, bukan permukaan bebas. Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y. Trapesium dengan kemiringan sisi z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pipa bulat yang mengalir penuh atau setengah penuh memiliki R = D/4.

Geometri

A = (b + z·y)·y = (4,5 + 3·2)·2 = 21 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4,5 + 2·2·√(1 + 3²) = 17,15 m

R = A/P = 1,225 m

Kecepatan

V = (1/0,025)·1,225^2/3·0,0005^1/2 = 1,024 m/s

Debit

Q = A·V = 21·1,024 = 21,5 m³/s

Jawaban

Q = 21,5 m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: S = 0,007432 m/m

Jari-jari hidrolik

R = D/4 = 0,2/4 = 0,05 m

Selesaikan Manning untuk S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,9/0,1357)² = 0,007432

Jawaban

S = 0,007432

Itu penurunan 7,432 m per kilometer.

23.Pompa & daya pompa

Jawaban: η = 77,93 %

Daya pompa: daya yang diberikan kepada air adalah daya hidrolik P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Poros harus menyalurkan lebih banyak karena pompa mengalami rugi: P_shaft = P_h/η_pump, dan motor menarik P_el = P_shaft/η_motor. Head pompa H diperoleh dari persamaan energi: tinggi angkat statis + head tekanan + semua kerugian gesekan dan minor.

Daya hidrolik

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·34 = 33,35 kW

Efisiensi

η = P_h/P_shaft = 33,35/42,8 = 77,93%

Jawaban

η = 77,93%

24.Pompa & daya pompa

Jawaban: H = 55,72 m

Kecepatan

V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Kehilangan head

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 6)·0,3305 = 6,941 m

Head tekanan

p/(ρ·g) = 400000/(1000·9,81) = 40,77 m

Head pompa

Kedua permukaan praktis diam, sehingga tidak ada suku head kecepatan.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 8 + 40,77 + 6,941 = 55,72 m

Jawaban

H = 55,72 m

25.Nilai waktu uang

Jawaban: EAR = 26,25 %

Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)ⁿ. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.

Suku bunga per periode

r/m = 0,24/4 = 0,06

Majemukkan selama satu tahun

EAR = (1 + 0,06)⁴ − 1 = 1,262 − 1 = 26,25%

Jawaban

EAR = 26,25%

EAR selalu di atas suku bunga nominal jika bunga dimajemukkan lebih dari sekali setahun.

26.Nilai waktu uang

Jawaban: I = 127345 €

Angsuran bulanan

i = 0,003, N = 360

A = 200 000·0,003/(1 − (1 + 0,003)⁻³⁶⁰) = €909,29

Total bunga

I = N·A − P = 360·909,3 − 200 000 = €127 344,65

Jawaban

I = €127 344,65

27.NPV & IRR

Jawaban: NPV = 6972 €

Nilai sekarang bersih: diskontokan setiap arus kas ke hari ini dengan tingkat pengembalian yang disyaratkan r, lalu jumlahkan: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Proyek dengan NPV > 0 menghasilkan lebih dari r dan menambah nilai. Tingkat pengembalian internal (IRR) adalah tingkat yang membuat NPV = 0.

Nilai sekarang setiap arus kas

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,15)¹ = 22 000/1,15 = 19 130,43

CF₂/(1 + 0,15)² = 30 000/1,322 = 22 684,31

CF₃/(1 + 0,15)³ = 20 000/1,521 = 13 150,32

CF₄/(1 + 0,15)⁴ = 21 000/1,749 = 12 006,82

Jumlahkan

NPV = €6 971,89

Jawaban

NPV = €6 971,89

NPV positif, jadi proyek menghasilkan lebih dari pengembalian yang disyaratkan.

28.NPV & IRR

Jawaban: NPV = −9405 €

Nilai sekarang anuitas bertumbuh

((1,03)/(1,08))⁷ = 0,7176

PV = 12 500/(0,08 − 0,03)·(1 − 0,7176) = 70 595,10

NPV

NPV = 70 595,10 − 80 000 = −€9 404,90

Jawaban

NPV = −€9 404,90

NPV negatif, jadi proyek menghasilkan kurang dari pengembalian yang disyaratkan.

29.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,5977

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

Skor z

z₁ = (95,5 − 100)/15 = −0,3

z₂ = (130,75 − 100)/15 = 2,05

Luas di antara

P = Φ(2,05) − Φ(−0,3) = 0,9798 − 0,3821 = 0,5977

Jawaban

P = 0,5977

30.Distribusi normal

Jawaban: x = 80,8 poin

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0,1

z dari tabel

z ≈ −1,28

Kembali ke satuan semula

x = 100 − 1,28·15 = 80,8 poin

Jawaban

x = 80,8 poin

Ini adalah materi latihan independen. ExamProblems tidak berafiliasi dengan atau didukung oleh organisasi penyelenggara ujian ini, dan nama ujian hanya digunakan untuk menggambarkan isinya. FE exam diselenggarakan oleh NCEES, yang tidak berafiliasi dengan ExamProblems dan tidak mendukungnya.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil