Latihan ujian FE Civil: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 30 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Tegangan efektif tanah

Tegangan total: σ = Σγ_i·h_i
Tekanan air pori: u = γ_w·(z − z_w)
Tegangan efektif: σ′ = σ − u
Air: γ_w = 9,81 kN/m³

Penurunan konsolidasi

Terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Tegangan akhir: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Rasio konsolidasi berlebih: OCR = σ′_p/σ′₀
Waktu konsolidasi: t = T_v·H_dr²/c_v
Lintasan drainase: H_dr = H/2 (drainase ganda), H (drainase tunggal)
Faktor waktu: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Gaya hidrostatis

Tekanan pada kedalaman: p = ρgh
Gaya pada dinding vertikal: F = ρg·h_c·A
Pusat tekanan: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Persegi panjang: I_c = bH³/12

Gesekan pipa & kehilangan head

Bilangan Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Rezim aliran: laminar di bawah Re ≈ 2000, turbulen di atas Re ≈ 4000
Kecepatan rata-rata: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Kerugian minor: h_m = ΣK·V²/(2g)
Nilai K tipikal: masuk 0,5, keluar 1,0, belokan 90° ≈ 0,3
Penurunan tekanan: Δp = ρ·g·h_f
Dua reservoir terbuka: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Keluaran bebas: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Aliran saluran terbuka (Manning)

Persamaan Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debit: Q = A·V
Jari-jari hidrolik: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y
Trapesium (kemiringan sisi z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Pipa bulat, penuh atau setengah penuh: R = D/4
Kemiringan yang diperlukan: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Pompa & daya pompa

Daya hidrolik: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Daya poros: P_shaft = P_h/η_pump
Daya listrik: P_el = P_shaft/η_motor
Head pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Kerugian sistem: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Nilai waktu uang

Nilai masa depan: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Nilai sekarang: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Beberapa periode per tahun: i = r/m, N = m·n
Anuitas, nilai sekarang: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitas, nilai masa depan: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metode

Gambar garis waktu dengan setiap arus kas dan waktunya.
Sesuaikan suku bunga dengan periodenya: suku bunga bulanan untuk pembayaran bulanan.
Gunakan FV = PV·(1 + i)ⁿ untuk jumlah tunggal dan rumus anuitas untuk pembayaran yang sama besar.
Periksa tanda dan orde besaran jawabannya.

NPV & IRR

Nilai sekarang bersih: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Arus kas yang sama: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tingkat pengembalian internal: nilai r saat NPV = 0
Keputusan: terima jika NPV > 0 (atau IRR > tingkat pengembalian yang disyaratkan)

Metode

Daftarkan semua arus kas beserta tahunnya; investasi pada tahun 0 bernilai negatif.
Diskontokan setiap arus kas: CF_t/(1 + r)^t.
Jumlahkan semuanya untuk mendapatkan NPV. Positif berarti proyek menghasilkan lebih dari r.
Untuk IRR, cari suku bunga yang membuat NPV nol dengan coba-coba atau interpolasi.

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal R_A.

L = 4 mP₁ = 25 kN di 1 mP₂ = 35 kN di 3 m

R_A = kN

2.Reaksi tumpuan balokSulit

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal R_A.

L = 10 mP = 35 kN di 6 mw = 2 kN/m dari 8 sampai 9 m

R_A = kN

3.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AC pada batang AC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 8 mtinggi = 2 mB berjarak 6 m dari Abeban vertikal = 20 kN

F_AC = kN

4.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

B: 40 kN ↓C: 20 kN ↓D: 15 kN ↓F: 10 kN ↓H: 30 kN ↓H: 20 kN ←

1elemen AB
2elemen BC
3elemen CD
4elemen DE
5elemen FG
6elemen GH
7elemen AF
8elemen HE
9elemen BF
10elemen CG
11elemen DH
12elemen FC
13elemen HC

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Kantilever dijepit di A. Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P pada jarak 5 m dari A. Cari momen lentur M_x pada potongan x = 4,5 m dari tumpuan jepit A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 5 mP = 55 kN di 5 mw = 10 kN/m dari 0 sampai 5 mx = 4,5 m

M_x = kN·m

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang dan beban terpusat P. Cari momen lentur maksimum M_max pada balok.

L = 10 mP = 45 kN di 4 mw = 10 kN/m dari 0 sampai 10 m

M_max = kN·m

7.Lendutan balokSedang

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang. Cari lendutan δ di ujung bebas.

w = 2 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Lendutan balokSulit

Balok kayu sederhana berpenampang persegi panjang selebar 150 mm menahan beban merata w di seluruh bentang. Lendutan tengah bentangnya tidak boleh melebihi bentang/250. Cari tinggi terkecil h_req penampang.

w = 2 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (kayu struktural)b = 150 mm

h_req = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (baja)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 3 mE = 200 GPa (baja)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.Titik berat & momen inersiaSedang

Sebuah pelat 150 mm × 300 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 30 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 105 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas I_x terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 150 mmh = 300 mmd = 30 mmpusat lubang: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersiaSulit

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 40 kN·m. Cari besar tegangan lentur σ_atas di tepi atas.

b_f = 300 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 240 mmM = 40 kN·m

σ_atas = MPa

13.Tegangan efektif tanahSedang

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tekanan air pori u di titik X.

z = 6 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 17 kN/m³pasir: γ_sat = 20 kN/m³

u = kPa

14.Tegangan efektif tanahSulit

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tegangan efektif vertikal σ′ di titik X.

z = 8 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 15 kN/m³pasir: γ_sat = 18,5 kN/m³lempung: γ_sat = 17 kN/m³

σ′ = kPa

15.Penurunan konsolidasiSedang

Lapisan lempung terkonsolidasi berlebih setebal 2,5 m memiliki C_c = 0,25, C_r = 0,05, dan e₀ = 0,7. Di tengah kedalamannya tegangan vertikal efektifnya 75 kPa dan rasio konsolidasi berlebihnya OCR = 1,5. Sebuah bangunan baru menambah tegangan vertikal 140 kPa di tengah kedalaman. Cari penurunan konsolidasi primer S dalam mm.

H = 2,5 mC_c = 0,25C_r = 0,05e₀ = 0,7σ′₀ = 75 kPaOCR = 1,5Δσ = 140 kPa

S = mm

16.Penurunan konsolidasiSulit

Sebuah lapisan lempung setebal 3,5 m memiliki koefisien konsolidasi c_v = 3 m²/tahun. Lapisan berada di atas batuan kedap air, dengan pasir di atasnya, sehingga air hanya terdrainase keluar di atas. Untuk konsolidasi rata-rata 70% faktor waktunya T_v = 0,403. Berapa tahun t yang diperlukan lapisan untuk mencapai konsolidasi 70%?

H = 3,5 mc_v = 3 m²/tahunU = 70%T_v = 0,403drainase tunggal

t = tahun

17.Gaya hidrostatisSedang

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 2 m berada di dinding tangki berisi air, dengan tepi atasnya 1,5 m di bawah permukaan. Cari gaya hidrostatis resultan F pada pintu air.

d = 1,5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Gaya hidrostatisSulit

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 1 m berada di dinding tangki berisi gliserin, dengan tepi atasnya 1,5 m di bawah permukaan. Cari kedalaman y_cp pusat tekanan di bawah permukaan.

d = 1,5 mH = 2 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Gesekan pipa & kehilangan headSedang

Air mengalir dengan kecepatan rata-rata 1,6 m/s melalui pipa sepanjang 1000 m dengan diameter dalam 50 mm. Gunakan faktor gesekan Darcy f = 0,025 dan g = 9,81 m/s². Cari kehilangan head akibat gesekan h_f.

V = 1,6 m/sL = 1000 mD = 50 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Gesekan pipa & kehilangan headSulit

Dua reservoir terbuka dihubungkan oleh pipa sepanjang 100 m dengan diameter dalam 150 mm dan faktor gesekan Darcy f = 0,02. Permukaan air reservoir atas berada 5 m di atas permukaan reservoir bawah. Kerugian minornya adalah lubang masuk bersudut tajam (K = 0,5), 3 belokan (masing-masing K = 0,3), sebuah katup (K = 2), dan lubang keluar ke reservoir bawah (K = 1,0). Gunakan g = 9,81 m/s². Cari debit Q dalam L/s.

Δz = 5 mL = 100 mD = 150 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 2K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Aliran saluran terbuka (Manning)Sedang

Sebuah saluran trapesium pasangan bata memiliki lebar dasar 4 m dan kemiringan sisi 3:1 (horizontal:vertikal). Air mengalir seragam sedalam 1,9 m. n Manning = 0,015 dan kemiringan dasarnya S = 0,001. Cari debit Q dalam m³/s.

b = 4 my = 1,9 mz = 3n = 0,015S = 0,001

Q = m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)Sulit

Sebuah saluran persegi panjang beton halus selebar 4,5 m harus mengalirkan 30 m³/s dalam aliran seragam pada kedalaman 2,3 m. n Manning = 0,012. Cari kemiringan dasar yang diperlukan S (dalam m/m).

Q = 30 m³/sb = 4,5 my = 2,3 mn = 0,012

S = m/m

23.Pompa & daya pompaSedang

Sebuah pompa mengalirkan 15 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) melawan head 52 m. Efisiensi pompa 78% dan motor listrik penggeraknya memiliki efisiensi 88%. Gunakan g = 9,81 m/s². Cari daya listrik P_el yang ditarik motor, dalam kW.

Q = 15 L/sH = 52 mη_pump = 78%η_motor = 88%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.Pompa & daya pompaSulit

Sebuah pompa memindahkan 80 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) dari reservoir bawah yang terbuka ke tangki atas yang permukaan airnya 24 m lebih tinggi. Pipa sepanjang 150 m dengan diameter dalam 200 mm dan faktor gesekan Darcy f = 0,025; koefisien kerugian minornya berjumlah ΣK = 6 (termasuk lubang masuk dan keluar). Gunakan g = 9,81 m/s². Cari head H yang harus ditambahkan pompa.

Q = 80 L/sΔz = 24 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,025ΣK = 6

H = m

25.Nilai waktu uangSedang

Anda menginvestasikan €20 000 dengan suku bunga nominal 3,6% per tahun, dimajemukkan bulanan. Tentukan nilai FV investasi setelah 7 tahun.

PV = €20 0003,6% / 12n = 7

FV = €

26.Nilai waktu uangSulit

KPR sebesar €150 000 dilunasi dengan angsuran bulanan yang sama selama 20 tahun dengan bunga 2,4% per tahun, dimajemukkan bulanan. Berapa utang yang masih tersisa tepat setelah pembayaran di akhir tahun ke-3? Tentukan sisa pokok utang B.

P = €150 0002,4% / 12N = 240k = 36

B = €

27.NPV & IRRSedang

Investasi sebesar €30 000 memberikan arus kas berikut di akhir tahun 1 sampai 3: €13 000, €10 000, €6 000. Biaya modal 6%. Tentukan nilai sekarang bersih NPV.

r = 6%CF₀ = −30 000CF₁ = 13 000CF₂ = 10 000CF₃ = 6 000

NPV = €

28.NPV & IRRSulit

Sebuah proyek berbiaya €50 000 dan menghasilkan €34 000, €32 500, €20 500 di akhir tahun 1 sampai 3. Tentukan tingkat pengembalian internalnya IRR dalam persen.

CF₀ = −50 000CF₁ = 34 000CF₂ = 32 500CF₃ = 20 500

IRR = %

29.Distribusi normalSedang

Data tinggi badan pria dewasa berdistribusi normal dengan rata-rata 178 cm dan simpangan baku 7 cm. Berapa proporsi yang berada di antara 172,75 dan 185,35 cm? Nyatakan P dalam bentuk desimal.

μ = 178σ = 7x₁ = 172,75x₂ = 185,35

P =

30.Distribusi normalSulit

Waktu putaran pelari A, X, dan waktu putaran pelari B, Y saling bebas dan normal: X memiliki rata-rata 52 s dan simpangan baku 4 s, Y memiliki rata-rata 48 s dan simpangan baku 3 s. Cari peluang P bahwa X lebih besar dari Y. Bulatkan z ke dua desimal.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = 27,5 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 25·1 + 35·3

R_B = 130/4 = 32,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 32,5 = 27,5 kN

Jawaban

R_A = 27,5 kN

2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = 14,3 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 2·1 = 2 kN, bekerja di x̄ = 8,5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 35·6 + 2·1·8,5

R_B = 227/10 = 22,7 kN

ΣF_y = 0: R_A = 37 − 22,7 = 14,3 kN

Jawaban

R_A = 14,3 kN

3.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AC = 15 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 20·6 → C_y = 15 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 15 = 5 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 2/2,828 = 0,7071, cos γ = 2/2,828 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −15/0,7071 = −21,21 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−21,21)·0,7071 = 15 kN

Jawaban

F_AC = 15 kN (tarik)

4.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen CG

Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.

Simpul G

FG dan GH terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 29,06 kN (T), BC: 29,06 kN (T), CD: 37,19 kN (T), DE: 37,19 kN (T), FG: 60,63 kN (C), GH: 60,63 kN (C), AF: 81,77 kN (C), HE: 61,98 kN (C), BF: 40 kN (T), CG: 0, DH: 15 kN (T), FC: 19,27 kN (T), HC: 5,729 kN (T)

Jawaban

Elemen gaya-nol: CG

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = −28,75 kN·m

Ambil bagian ujung bebas

P: −55·0,5 = −27,5 kN·m

w: −10·0,5²/2 = −1,25 kN·m

M_x = −27,5 − 1,25 = −28,75 kN·m

Jawaban

M_x = −28,75 kN·m

Negatif berarti momen negatif: sisi atas tertarik.

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_max = 228 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, bekerja di x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 45·4 + 10·10·5

R_B = 680/10 = 68 kN

ΣF_y = 0: R_A = 145 − 68 = 77 kN

Di mana V = 0?

V(4⁻) = R_A − w·4 = 37 kN

V(4⁺) = 37 − 45 = −8 kN

Gaya geser berganti tanda di titik beban, jadi maksimum berada di bawah beban.

Momen maksimum

M_max = R_A·4 − w·4²/2 = 77·4 − 10·4²/2 = 228 kN·m

Jawaban

M_max = 228 kN·m

Terjadi di x = 4 m dari A.

7.Lendutan balok

Jawaban: δ = 3,196 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 1500 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Lendutan

δ = wL⁴/(8EI) = 2·1500⁴/(8·3,96 × 10¹¹) = 3,196 mm

Jawaban

δ = 3,196 mm

8.Lendutan balok

Jawaban: h_req = 180,9 mm

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Batas lendutan

δ_allow = L/250 = 5000/250 = 20 mm

Momen inersia yang diperlukan

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·5000⁴/(384·11000·20) = 7,398 × 10⁷ mm⁴

Tinggi yang diperlukan

bh³/12 = I_req → h = (12·7,398 × 10⁷/150)^1/3 = 180,9 mm

Jawaban

h_req = 180,9 mm

Dalam praktik, pilih tinggi standar berikutnya di atas nilai ini.

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 477,4 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/1050² = 477441 N = 477,4 kN

Jawaban

P_cr = 477,4 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 34,27 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

KL/r = 1500/6,25 = 240

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/240² = 34,27 MPa

Jawaban

σ_cr = 34,27 MPa

11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 336 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki I_c = bh³/12 dan lingkaran I_c = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (45000·150 − 706,9·105)/(45000 − 706,9) = 150,7 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

150·300³/12 + 45000·−0,7181² = 337,5 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−45,72² = 1,517 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

I_x = 336 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 336 × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σ_atas = 50,73 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 300·15 = 4500 mm², y_f = 240 + 15/2 = 247,5 mm

badan: A_w = 16·240 = 3840 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·247,5 + 3840·120)/8340 = 188,8 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 300·15³/12 + 4500·(247,5 − 188,8)² = 1,559 × 10⁷ mm⁴

badan: 16·240³/12 + 3840·(120 − 188,8)² = 3,661 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,559 × 10⁷ + 3,661 × 10⁷ = 5,22 × 10⁷ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi atas berjarak h − ȳ dari sumbu.

y = 255 − 188,8 = 66,21 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·66,21/5,22 × 10⁷ = 50,73 MPa

Jawaban

σ_atas = 50,73 MPa

13.Tegangan efektif tanah

Jawaban: u = 39,24 kPa

Tegangan efektif (Terzaghi): butiran tanah menahan σ′ = σ − u. Tegangan total σ adalah berat semua yang ada di atas titik, Σγ·h, memakai berat isi kering di atas muka air tanah dan berat isi jenuh di bawahnya. Di bawah muka air tanah tekanan air pori bersifat hidrostatis: u = γ_w·(kedalaman di bawah muka air tanah).

Tekanan air pori

Tekanan air bertambah dengan kedalaman di bawah muka air tanah.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4 = 39,24 kPa

Jawaban

u = 39,24 kPa

14.Tegangan efektif tanah

Jawaban: σ′ = 90,26 kPa

Tegangan total

Jumlahkan berat setiap lapisan tanah di atas X. Di atas muka air tanah gunakan berat isi kering, di bawahnya berat isi jenuh.

σ = γ_d·4 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·3

σ = 15·4 + 18,5·1 + 17·3 = 129,5 kPa

Tekanan air pori

Tekanan air bertambah dengan kedalaman di bawah muka air tanah.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4 = 39,24 kPa

Tegangan efektif

σ′ = σ − u = 129,5 − 39,24 = 90,26 kPa

Jawaban

σ′ = 90,26 kPa

15.Penurunan konsolidasi

Jawaban: S = 116,4 mm

Konsolidasi primer lapisan lempung setebal H, dengan tegangan efektif di tengah lapisan: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Lempung terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Lempung terkonsolidasi berlebih mengalami rekompresi sepanjang C_r sampai tekanan prakonsolidasi σ′_p dan baru mengikuti C_c setelah melewatinya. Waktu: t = T_v·H_dr²/c_v, dengan lintasan drainase H_dr sebesar H/2 bila air dapat keluar di atas dan di bawah, dan H bila hanya satu sisi yang berdrainase.

Tekanan prakonsolidasi

σ′_p = OCR·σ′₀ = 1,5·75 = 112,5 kPa

Bandingkan dengan tekanan prakonsolidasi

σ′_f = 75 + 140 = 215 kPa > 112,5 kPa

Penurunan

Rekompresi sampai σ′_p, kompresi murni setelahnya.

S = 0,05·2,5/(1 + 0,7)·log₁₀(112,5/75) + 0,25·2,5/(1 + 0,7)·log₁₀(215/112,5)

S = 12,95 + 103,4 = 116,4 mm

Jawaban

S = 116,4 mm

16.Penurunan konsolidasi

Jawaban: t = 1,646 tahun

Lintasan drainase

H_dr = H = 3,5 m

Waktu

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,403·3,5²/3 = 1,646 tahun

Jawaban

t = 1,646 tahun

17.Gaya hidrostatis

Jawaban: F = 98,1 kN

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·4 = 98,1 kN

Jawaban

F = 98,1 kN

18.Gaya hidrostatis

Jawaban: y_cp = 2,633 m

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·2,5·2 = 61,8 kN

Pusat tekanan

Tekanan bertambah dengan kedalaman, jadi resultan bekerja di bawah titik berat.

I_c = b·H³/12 = 1·2³/12 = 0,6667 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,5 + 0,6667/(2,5·2) = 2,633 m

Jawaban

y_cp = 2,633 m

19.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: h_f = 65,24 m

Aliran pipa: bilangan Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ membedakan aliran laminar (Re di bawah sekitar 2000) dari aliran turbulen (di atas sekitar 4000). Gesekan sepanjang pipa menyebabkan kehilangan head Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Sambungan, katup, lubang masuk, dan lubang keluar menambah kerugian minor h_m = ΣK·V²/(2g). Di antara dua permukaan reservoir terbuka, persamaan energi memberikan Δz = h_f + h_m, termasuk kerugian keluar K = 1.

Head kecepatan

V²/(2g) = 1,6²/(2·9,81) = 0,1305 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(1000/0,05)·1,6²/(2·9,81) = 65,24 m

Jawaban

h_f = 65,24 m

20.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: Q = 41,56 L/s

Koefisien kerugian

f·L/D = 0,02·100/0,15 = 13,33

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4

Persamaan energi

Kedua permukaan terbuka ke udara dan praktis diam, sehingga seluruh Δz hilang di dalam pipa.

5 = (13,33 + 4,4)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·5/17,73) = 2,352 m/s

Debit

Q = V·π·D²/4 = 2,352·0,01767 = 0,04156 m³/s = 41,56 L/s

Jawaban

Q = 41,56 L/s

21.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: Q = 42,66 m³/s

Persamaan Manning (SI): untuk aliran seragam di saluran terbuka V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 dan Q = A·V, dengan n koefisien kekasaran, S kemiringan dasar (m/m), dan R = A/P jari-jari hidrolik: luas aliran dibagi keliling basah. Hanya batas yang bersentuhan dengan air yang dihitung dalam P, bukan permukaan bebas. Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y. Trapesium dengan kemiringan sisi z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pipa bulat yang mengalir penuh atau setengah penuh memiliki R = D/4.

Geometri

A = (b + z·y)·y = (4 + 3·1,9)·1,9 = 18,43 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·1,9·√(1 + 3²) = 16,02 m

R = A/P = 1,151 m

Kecepatan

V = (1/0,015)·1,151^2/3·0,001^1/2 = 2,315 m/s

Debit

Q = A·V = 18,43·2,315 = 42,66 m³/s

Jawaban

Q = 42,66 m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: S = 0,001019 m/m

Geometri

A = b·y = 4,5·2,3 = 10,35 m²

P = b + 2y = 4,5 + 2·2,3 = 9,1 m

R = A/P = 1,137 m

Selesaikan Manning untuk S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,012·30/(10,35·1,09) = 0,03192

S = 0,03192² = 0,001019

Jawaban

S = 0,001019

Itu penurunan 1,019 m per kilometer.

23.Pompa & daya pompa

Jawaban: P_el = 11,15 kW

Daya pompa: daya yang diberikan kepada air adalah daya hidrolik P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Poros harus menyalurkan lebih banyak karena pompa mengalami rugi: P_shaft = P_h/η_pump, dan motor menarik P_el = P_shaft/η_motor. Head pompa H diperoleh dari persamaan energi: tinggi angkat statis + head tekanan + semua kerugian gesekan dan minor.

Daya hidrolik

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·52 = 7,652 kW

Daya poros

P_shaft = 7,652/0,78 = 9,81 kW

Daya listrik

P_el = 9,81/0,88 = 11,15 kW

Jawaban

P_el = 11,15 kW

24.Pompa & daya pompa

Jawaban: H = 32,18 m

Kecepatan

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Kehilangan head

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (18,75 + 6)·0,3305 = 8,18 m

Head pompa

Kedua permukaan terbuka dan praktis diam, sehingga suku tekanan dan kecepatan hilang.

H = Δz + h_L = 24 + 8,18 = 32,18 m

Jawaban

H = 32,18 m

25.Nilai waktu uang

Jawaban: FV = 25722 €

Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)ⁿ. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.

Suku bunga dan jumlah periode

i = r/m = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = m·n = 12·7 = 84

Nilai masa depan

FV = 20 000·(1 + 0,003)⁸⁴ = 20 000·1,286 = €25 722,22

Jawaban

FV = €25 722,22

26.Nilai waktu uang

Jawaban: B = 131819 €

Angsuran bulanan

i = 0,002, N = 240

A = 150 000·0,002/(1 − (1 + 0,002)⁻²⁴⁰) = €787,57

Nilai sekarang sisa angsuran

Apa pun yang masih terutang harus tepat dilunasi oleh sisa angsuran.

N − k = 240 − 36 = 204

B = 787,6·(1 − (1 + 0,002)⁻²⁰⁴)/0,002 = €131 819,09

Jawaban

B = €131 819,09

27.NPV & IRR

Jawaban: NPV = −3798 €

Nilai sekarang bersih: diskontokan setiap arus kas ke hari ini dengan tingkat pengembalian yang disyaratkan r, lalu jumlahkan: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Proyek dengan NPV > 0 menghasilkan lebih dari r dan menambah nilai. Tingkat pengembalian internal (IRR) adalah tingkat yang membuat NPV = 0.

Nilai sekarang setiap arus kas

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,06)¹ = 13 000/1,06 = 12 264,15

CF₂/(1 + 0,06)² = 10 000/1,124 = 8 899,96

CF₃/(1 + 0,06)³ = 6 000/1,191 = 5 037,72

Jumlahkan

NPV = €−3 798,17

Jawaban

NPV = €−3 798,17

NPV negatif, jadi proyek menghasilkan kurang dari pengembalian yang disyaratkan.

28.NPV & IRR

Jawaban: IRR = 37,17 %

Apit IRR dari dua sisi

NPV turun saat tingkat naik, jadi IRR terletak di antara tingkat dengan NPV positif dan tingkat dengan NPV negatif.

NPV(35%) = 1 349,90

NPV(40%) = −1 661,81

Persempit

Interpolasi linear memberi perkiraan awal; mengulanginya (atau fungsi IRR kalkulator) memberi tingkat yang tepat.

IRR ≈ 35 + 5·1 349,90/(1 349,90 − (−1 661,81)) = 37,24%

tepat: NPV(37,17%) = 0 → IRR = 37,17%

Jawaban

IRR = 37,17%

29.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,6265

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

Skor z

z₁ = (172,75 − 178)/7 = −0,75

z₂ = (185,35 − 178)/7 = 1,05

Luas di antara

P = Φ(1,05) − Φ(−0,75) = 0,8531 − 0,2266 = 0,6265

Jawaban

P = 0,6265

30.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,7881

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², sehingga σ = √(σ_X² + σ_Y²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi selisih

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Standarkan

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Peluang

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Jawaban

P = 0,7881

Ini adalah materi latihan independen. ExamProblems tidak berafiliasi dengan atau didukung oleh organisasi penyelenggara ujian ini, dan nama ujian hanya digunakan untuk menggambarkan isinya. FE exam diselenggarakan oleh NCEES, yang tidak berafiliasi dengan ExamProblems dan tidak mendukungnya.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil