Latihan ujian FE Civil: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 30 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Tegangan efektif tanah

Tegangan total: σ = Σγ_i·h_i
Tekanan air pori: u = γ_w·(z − z_w)
Tegangan efektif: σ′ = σ − u
Air: γ_w = 9,81 kN/m³

Penurunan konsolidasi

Terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Tegangan akhir: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Rasio konsolidasi berlebih: OCR = σ′_p/σ′₀
Waktu konsolidasi: t = T_v·H_dr²/c_v
Lintasan drainase: H_dr = H/2 (drainase ganda), H (drainase tunggal)
Faktor waktu: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Gaya hidrostatis

Tekanan pada kedalaman: p = ρgh
Gaya pada dinding vertikal: F = ρg·h_c·A
Pusat tekanan: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Persegi panjang: I_c = bH³/12

Gesekan pipa & kehilangan head

Bilangan Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Rezim aliran: laminar di bawah Re ≈ 2000, turbulen di atas Re ≈ 4000
Kecepatan rata-rata: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Kerugian minor: h_m = ΣK·V²/(2g)
Nilai K tipikal: masuk 0,5, keluar 1,0, belokan 90° ≈ 0,3
Penurunan tekanan: Δp = ρ·g·h_f
Dua reservoir terbuka: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Keluaran bebas: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Aliran saluran terbuka (Manning)

Persamaan Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debit: Q = A·V
Jari-jari hidrolik: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y
Trapesium (kemiringan sisi z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Pipa bulat, penuh atau setengah penuh: R = D/4
Kemiringan yang diperlukan: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Pompa & daya pompa

Daya hidrolik: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Daya poros: P_shaft = P_h/η_pump
Daya listrik: P_el = P_shaft/η_motor
Head pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Kerugian sistem: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Nilai waktu uang

Nilai masa depan: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Nilai sekarang: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Beberapa periode per tahun: i = r/m, N = m·n
Anuitas, nilai sekarang: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitas, nilai masa depan: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metode

Gambar garis waktu dengan setiap arus kas dan waktunya.
Sesuaikan suku bunga dengan periodenya: suku bunga bulanan untuk pembayaran bulanan.
Gunakan FV = PV·(1 + i)ⁿ untuk jumlah tunggal dan rumus anuitas untuk pembayaran yang sama besar.
Periksa tanda dan orde besaran jawabannya.

NPV & IRR

Nilai sekarang bersih: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Arus kas yang sama: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tingkat pengembalian internal: nilai r saat NPV = 0
Keputusan: terima jika NPV > 0 (atau IRR > tingkat pengembalian yang disyaratkan)

Metode

Daftarkan semua arus kas beserta tahunnya; investasi pada tahun 0 bernilai negatif.
Diskontokan setiap arus kas: CF_t/(1 + r)^t.
Jumlahkan semuanya untuk mendapatkan NPV. Positif berarti proyek menghasilkan lebih dari r.
Untuk IRR, cari suku bunga yang membuat NPV nol dengan coba-coba atau interpolasi.

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal R_A.

L = 5 mP₁ = 15 kN di 3 mP₂ = 15 kN di 4 m

R_A = kN

2.Reaksi tumpuan balokSulit

Balok memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B, 4 m dari A, dan menjorok (overstek) melewati B hingga ujung bebas C. Balok menahan beban terpusat P pada 0,5 m dari A dan beban merata w dari 2,5 m sampai ujung bebas di 6 m. Cari reaksi vertikal R_A, dengan arah ke atas positif.

AB = 4 mAC = 6 mP = 10 kN di 0,5 mw = 5 kN/m dari 2,5 sampai 6 m

R_A = kN

3.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

F: 20 kN ↓G: 15 kN ↓H: 15 kN ↓

1elemen AB
2elemen BC
3elemen CD
4elemen DE
5elemen FG
6elemen GH
7elemen AF
8elemen HE
9elemen BF
10elemen CG
11elemen DH
12elemen BG
13elemen DG

4.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AC pada batang AC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 6 mtinggi = 4 mB berjarak 5 m dari Abeban vertikal = 50 kNbeban horizontal = 20 kN →

F_AC = kN

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 1 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 8 mw = 8 kN/m dari 0 sampai 8 mx = 1 m

M_x = kN·m

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 1,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 4 mP = 55 kN di 1,5 mw = 6 kN/m dari 0 sampai 4 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

7.Lendutan balokSedang

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada a = 1,5 m dari tumpuan A. Cari lendutan δ_P di bawah beban.

P = 17 kNa = 1,5 mL = 4 mE = 200 GPa (baja)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Lendutan balokSulit

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil I_req yang memenuhi batas ini.

w = 20 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (kayu struktural)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.Titik berat & momen inersiaSedang

Sebuah pelat 120 mm × 200 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 50 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 140 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas I_x terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 120 mmh = 200 mmd = 50 mmpusat lubang: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersiaSulit

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 25 kN·m. Cari besar tegangan lentur σ_atas di tepi atas.

b_f = 220 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 140 mmM = 25 kN·m

σ_atas = MPa

13.Tegangan efektif tanahSedang

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tekanan air pori u di titik X.

z = 10 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 15 kN/m³pasir: γ_sat = 19 kN/m³

u = kPa

14.Tegangan efektif tanahSulit

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tekanan air pori u di titik X.

z = 9 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 17 kN/m³pasir: γ_sat = 20 kN/m³lempung: γ_sat = 17,5 kN/m³

u = kPa

15.Penurunan konsolidasiSedang

Lapisan lempung terkonsolidasi berlebih setebal 2,5 m memiliki C_c = 0,5, C_r = 0,04, dan e₀ = 0,75. Di tengah kedalamannya tegangan vertikal efektifnya 90 kPa dan tekanan prakonsolidasinya 210 kPa. Sebuah bangunan baru menambah tegangan vertikal 60 kPa di tengah kedalaman. Cari penurunan konsolidasi primer S dalam mm.

H = 2,5 mC_c = 0,5C_r = 0,04e₀ = 0,75σ′₀ = 90 kPaσ′_p = 210 kPaΔσ = 60 kPa

S = mm

16.Penurunan konsolidasiSulit

Sebuah lapisan lempung setebal 8,5 m memiliki koefisien konsolidasi c_v = 2,5 m²/tahun. Lapisan berada di atas batuan kedap air, dengan pasir di atasnya, sehingga air hanya terdrainase keluar di atas. Untuk konsolidasi rata-rata 80% faktor waktunya T_v = 0,567. Berapa tahun t yang diperlukan lapisan untuk mencapai konsolidasi 80%?

H = 8,5 mc_v = 2,5 m²/tahunU = 80%T_v = 0,567drainase tunggal

t = tahun

17.Gaya hidrostatisSedang

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 3 m berada di dinding tangki berisi air, dengan tepi atasnya 4 m di bawah permukaan. Cari gaya hidrostatis resultan F pada pintu air.

d = 4 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Gaya hidrostatisSulit

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 3 m berada di dinding tangki berisi oli, dengan tepi atasnya 3 m di bawah permukaan. Cari kedalaman y_cp pusat tekanan di bawah permukaan.

d = 3 mH = 1 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Gesekan pipa & kehilangan headSedang

Air (ρ = 1000 kg/m³) mengalir dengan kecepatan 2,3 m/s melalui pipa horizontal sepanjang 150 m dengan diameter dalam 300 mm. Gunakan faktor gesekan Darcy f = 0,03 dan g = 9,81 m/s². Cari penurunan tekanan Δp sepanjang pipa dalam kPa.

V = 2,3 m/sL = 150 mD = 300 mmf = 0,03ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Gesekan pipa & kehilangan headSulit

Dua reservoir terbuka dihubungkan oleh pipa sepanjang 200 m dengan diameter dalam 250 mm dan faktor gesekan Darcy f = 0,025. Permukaan air reservoir atas berada 13 m di atas permukaan reservoir bawah. Kerugian minornya adalah lubang masuk bersudut tajam (K = 0,5), 4 belokan (masing-masing K = 0,3), sebuah katup (K = 10), dan lubang keluar ke reservoir bawah (K = 1,0). Gunakan g = 9,81 m/s². Cari debit Q dalam L/s.

Δz = 13 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 10K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Aliran saluran terbuka (Manning)Sedang

Sebuah saluran trapesium tanah bersih memiliki lebar dasar 1,5 m dan kemiringan sisi 3:1 (horizontal:vertikal). Air mengalir seragam sedalam 1,6 m. n Manning = 0,022 dan kemiringan dasarnya S = 0,004. Cari debit Q dalam m³/s.

b = 1,5 my = 1,6 mz = 3n = 0,022S = 0,004

Q = m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)Sulit

Sebuah saluran drainase beton dengan diameter dalam 450 mm (n Manning = 0,013) harus mencapai kecepatan swabersih 0,75 m/s saat mengalir tepat penuh. Cari kemiringan minimum S (dalam m/m).

D = 450 mmn = 0,013V = 0,75 m/s

S = m/m

23.Pompa & daya pompaSedang

Dalam sebuah pengujian, pompa mengalirkan 15 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) melawan head 38 m sementara porosnya menyerap 8,6 kW. Gunakan g = 9,81 m/s². Cari efisiensi pompa η dalam persen.

Q = 15 L/sH = 38 mP_shaft = 8,6 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Pompa & daya pompaSulit

Sebuah pompa memindahkan 100 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) dari reservoir bawah yang terbuka ke tangki atas yang permukaan airnya 6 m lebih tinggi. Pipa sepanjang 200 m dengan diameter dalam 250 mm dan faktor gesekan Darcy f = 0,02; koefisien kerugian minornya berjumlah ΣK = 4 (termasuk lubang masuk dan keluar). Gunakan g = 9,81 m/s². Tangki atas tertutup dan udara di atas airnya bertekanan gauge 400 kPa. Cari head H yang harus ditambahkan pompa.

Q = 100 L/sΔz = 6 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,02ΣK = 4p_tank = 400 kPa

H = m

25.Nilai waktu uangSedang

Anda butuh €20 000 dalam 9 tahun. Sebuah rekening memberi 5% per tahun, dimajemukkan bulanan. Berapa yang harus Anda setor hari ini? Tentukan nilai sekarang PV.

FV = €20 0005% / 12n = 9

PV = €

26.Nilai waktu uangSulit

Anda ingin memiliki €100 000 dalam 4 tahun. Anda menabung jumlah yang sama di akhir setiap bulan di rekening yang memberi bunga 2,4% per tahun, dimajemukkan bulanan. Tentukan setoran bulanan A.

FV = €100 0002,4% / 12N = 48

A = €

27.NPV & IRRSedang

Sebuah proyek berbiaya €100 000 hari ini. Proyek menghasilkan €8 000 di akhir tahun pertama, lalu arus kasnya tumbuh 1% per tahun selamanya. Biaya modalnya 11%. Tentukan nilai sekarang bersih NPV.

C₀ = €100 000CF₁ = €8 000g = 1%r = 11%

NPV = €

28.NPV & IRRSulit

Sebuah proyek berbiaya €25 000 dan menghasilkan €10 000, €14 500, €10 000 di akhir tahun 1 sampai 3. Tentukan tingkat pengembalian internalnya IRR dalam persen.

CF₀ = −25 000CF₁ = 10 000CF₂ = 14 500CF₃ = 10 000

IRR = %

29.Distribusi normalSedang

Data waktu pengiriman berdistribusi normal dengan rata-rata 32 min dan simpangan baku 6 min. Berapa proporsi yang berada di antara 30,5 dan 38 min? Nyatakan P dalam bentuk desimal.

μ = 32σ = 6x₁ = 30,5x₂ = 38

P =

30.Distribusi normalSulit

Data tinggi badan pria dewasa berdistribusi normal dengan rata-rata 178 cm dan simpangan baku 7 cm. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 75% data (persentil ke-75).

μ = 178σ = 7P = 75%

x = cm

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = 9 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 15·3 + 15·4

R_B = 105/5 = 21 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 21 = 9 kN

Jawaban

R_A = 9 kN

2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = 7,656 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Resultan beban merata

W = 5·3,5 = 17,5 kN, x̄ = (2,5 + 6)/2 = 4,25 m

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·0,5 + 17,5·4,25

R_B = 79,38/4 = 19,84 kN

R_A = 27,5 − 19,84 = 7,656 kN

Jawaban

R_A = 7,656 kN

3.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen CG

Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.

Simpul C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 26,25 kN (T), BC: 32,5 kN (T), CD: 32,5 kN (T), DE: 23,75 kN (T), FG: 26,25 kN (C), GH: 23,75 kN (C), AF: 37,12 kN (C), HE: 33,59 kN (C), BF: 6,25 kN (T), CG: 0, DH: 8,75 kN (T), BG: 8,839 kN (C), DG: 12,37 kN (C)

Jawaban

Elemen gaya-nol: CG

4.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AC = 13,75 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 50·5 + 20·4 → C_y = 55 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 55 = −5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −20 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −55/0,9701 = −56,69 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−56,69)·0,2425 = 13,75 kN

Jawaban

F_AC = 13,75 kN (tarik)

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 28 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN, bekerja di x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 8·8·4

R_B = 256/8 = 32 kN

ΣF_y = 0: R_A = 64 − 32 = 32 kN

Potong di x = 1 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 32·1 − 8·1·0,5 = 28 kN·m

Jawaban

M_x = 28 kN·m

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 62,81 kN·m

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, bekerja di x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 55·1,5 + 6·4·2

R_B = 130,5/4 = 32,63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 79 − 32,63 = 46,38 kN

Potong di x = 1,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 46,38·1,5 − 6·1,5·0,75 = 62,81 kN·m

Jawaban

M_x = 62,81 kN·m

7.Lendutan balok

Jawaban: δ_P = 1,748 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 17000 N, a = 1500 mm, b = 2500 mm, L = 4000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Lendutan di bawah beban

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 17000·1500²·2500²/(3·1,14 × 10¹³·4000) = 1,748 mm

Jawaban

δ_P = 1,748 mm

8.Lendutan balok

Jawaban: I_req = 68,18 × 10⁶ mm⁴

Batas lendutan

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·20·2000⁴/(384·11000·5,556) = 6,818 × 10⁷ mm⁴

I_req = 68,18 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_req = 68,18 × 10⁶ mm⁴

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 24,92 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/4200² = 24916 N = 24,92 kN

Jawaban

P_cr = 24,92 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 4,318 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/6,25 = 400

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa

Jawaban

σ_cr = 4,318 MPa

11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 76,27 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki I_c = bh³/12 dan lingkaran I_c = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (24000·100 − 1963·140)/(24000 − 1963) = 96,44 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

120·200³/12 + 24000·3,564² = 80,3 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

π·50⁴/64 + 1963·43,56² = 4,033 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

I_x = 76,27 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 76,27 × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σ_atas = 104,8 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 220·10 = 2200 mm², y_f = 140 + 10/2 = 145 mm

badan: A_w = 18·140 = 2520 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2200·145 + 2520·70)/4720 = 105 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 220·10³/12 + 2200·(145 − 105)² = 3,546 × 10⁶ mm⁴

badan: 18·140³/12 + 2520·(70 − 105)² = 7,196 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,546 × 10⁶ + 7,196 × 10⁶ = 1,074 × 10⁷ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi atas berjarak h − ȳ dari sumbu.

y = 150 − 105 = 45,04 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·45,04/1,074 × 10⁷ = 104,8 MPa

Jawaban

σ_atas = 104,8 MPa

13.Tegangan efektif tanah

Jawaban: u = 58,86 kPa

Tegangan efektif (Terzaghi): butiran tanah menahan σ′ = σ − u. Tegangan total σ adalah berat semua yang ada di atas titik, Σγ·h, memakai berat isi kering di atas muka air tanah dan berat isi jenuh di bawahnya. Di bawah muka air tanah tekanan air pori bersifat hidrostatis: u = γ_w·(kedalaman di bawah muka air tanah).

Tekanan air pori

Tekanan air bertambah dengan kedalaman di bawah muka air tanah.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·6 = 58,86 kPa

Jawaban

u = 58,86 kPa

14.Tegangan efektif tanah

Jawaban: u = 58,86 kPa

Tekanan air pori

Tekanan air bertambah dengan kedalaman di bawah muka air tanah.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·6 = 58,86 kPa

Jawaban

u = 58,86 kPa

15.Penurunan konsolidasi

Jawaban: S = 12,68 mm

Konsolidasi primer lapisan lempung setebal H, dengan tegangan efektif di tengah lapisan: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Lempung terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Lempung terkonsolidasi berlebih mengalami rekompresi sepanjang C_r sampai tekanan prakonsolidasi σ′_p dan baru mengikuti C_c setelah melewatinya. Waktu: t = T_v·H_dr²/c_v, dengan lintasan drainase H_dr sebesar H/2 bila air dapat keluar di atas dan di bawah, dan H bila hanya satu sisi yang berdrainase.

Bandingkan dengan tekanan prakonsolidasi

σ′_f = 90 + 60 = 150 kPa ≤ 210 kPa

Penurunan

Lempung tetap berada pada garis rekompresinya.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,04·2,5/(1 + 0,75)·log₁₀(150/90) = 12,68 mm

Jawaban

S = 12,68 mm

16.Penurunan konsolidasi

Jawaban: t = 16,39 tahun

Lintasan drainase

H_dr = H = 8,5 m

Waktu

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,567·8,5²/2,5 = 16,39 tahun

Jawaban

t = 16,39 tahun

17.Gaya hidrostatis

Jawaban: F = 132,4 kN

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,5·3 = 132,4 kN

Jawaban

F = 132,4 kN

18.Gaya hidrostatis

Jawaban: y_cp = 3,524 m

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3,5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·3,5·3 = 90,64 kN

Pusat tekanan

Tekanan bertambah dengan kedalaman, jadi resultan bekerja di bawah titik berat.

I_c = b·H³/12 = 3·1³/12 = 0,25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,5 + 0,25/(3,5·3) = 3,524 m

Jawaban

y_cp = 3,524 m

19.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: Δp = 39,67 kPa

Aliran pipa: bilangan Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ membedakan aliran laminar (Re di bawah sekitar 2000) dari aliran turbulen (di atas sekitar 4000). Gesekan sepanjang pipa menyebabkan kehilangan head Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Sambungan, katup, lubang masuk, dan lubang keluar menambah kerugian minor h_m = ΣK·V²/(2g). Di antara dua permukaan reservoir terbuka, persamaan energi memberikan Δz = h_f + h_m, termasuk kerugian keluar K = 1.

Kehilangan head

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(150/0,3)·2,3²/(2·9,81) = 4,044 m

Penurunan tekanan

Pipa horizontal dan kecepatannya tidak berubah, sehingga persamaan energi menjadi Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·4,044 = 39675 Pa = 39,67 kPa

Jawaban

Δp = 39,67 kPa

20.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: Q = 137,1 L/s

Koefisien kerugian

f·L/D = 0,025·200/0,25 = 20

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 + 1,0 = 12,7

Persamaan energi

Kedua permukaan terbuka ke udara dan praktis diam, sehingga seluruh Δz hilang di dalam pipa.

13 = (20 + 12,7)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·13/32,7) = 2,793 m/s

Debit

Q = V·π·D²/4 = 2,793·0,04909 = 0,1371 m³/s = 137,1 L/s

Jawaban

Q = 137,1 L/s

21.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: Q = 26,36 m³/s

Persamaan Manning (SI): untuk aliran seragam di saluran terbuka V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 dan Q = A·V, dengan n koefisien kekasaran, S kemiringan dasar (m/m), dan R = A/P jari-jari hidrolik: luas aliran dibagi keliling basah. Hanya batas yang bersentuhan dengan air yang dihitung dalam P, bukan permukaan bebas. Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y. Trapesium dengan kemiringan sisi z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pipa bulat yang mengalir penuh atau setengah penuh memiliki R = D/4.

Geometri

A = (b + z·y)·y = (1,5 + 3·1,6)·1,6 = 10,08 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1,5 + 2·1,6·√(1 + 3²) = 11,62 m

R = A/P = 0,8675 m

Kecepatan

V = (1/0,022)·0,8675^2/3·0,004^1/2 = 2,615 m/s

Debit

Q = A·V = 10,08·2,615 = 26,36 m³/s

Jawaban

Q = 26,36 m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: S = 0,00175 m/m

Jari-jari hidrolik

R = D/4 = 0,45/4 = 0,1125 m

Selesaikan Manning untuk S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,75/0,233)² = 0,00175

Jawaban

S = 0,00175

Itu penurunan 1,75 m per kilometer.

23.Pompa & daya pompa

Jawaban: η = 65,02 %

Daya pompa: daya yang diberikan kepada air adalah daya hidrolik P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Poros harus menyalurkan lebih banyak karena pompa mengalami rugi: P_shaft = P_h/η_pump, dan motor menarik P_el = P_shaft/η_motor. Head pompa H diperoleh dari persamaan energi: tinggi angkat statis + head tekanan + semua kerugian gesekan dan minor.

Daya hidrolik

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·38 = 5,592 kW

Efisiensi

η = P_h/P_shaft = 5,592/8,6 = 65,02%

Jawaban

η = 65,02%

24.Pompa & daya pompa

Jawaban: H = 51,01 m

Kecepatan

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Kehilangan head

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (16 + 4)·0,2115 = 4,23 m

Head tekanan

p/(ρ·g) = 400000/(1000·9,81) = 40,77 m

Head pompa

Kedua permukaan praktis diam, sehingga tidak ada suku head kecepatan.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 6 + 40,77 + 4,23 = 51,01 m

Jawaban

H = 51,01 m

25.Nilai waktu uang

Jawaban: PV = 12764 €

Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)ⁿ. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.

Suku bunga dan jumlah periode

i = 0,05/12 = 0,004167

N = 12·9 = 108

Nilai sekarang

PV = FV/(1 + i)^N = 20 000/1,567 = €12 764,49

Jawaban

PV = €12 764,49

26.Nilai waktu uang

Jawaban: A = 1987 €

Suku bunga bulanan dan jumlah setoran

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·4 = 48

Setoran

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 100 000·0,002/(1,101 − 1) = €1 987,01

Jawaban

A = €1 987,01

27.NPV & IRR

Jawaban: NPV = −20000 €

Nilai sekarang bersih: diskontokan setiap arus kas ke hari ini dengan tingkat pengembalian yang disyaratkan r, lalu jumlahkan: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Proyek dengan NPV > 0 menghasilkan lebih dari r dan menambah nilai. Tingkat pengembalian internal (IRR) adalah tingkat yang membuat NPV = 0.

Nilai arus kas

PV = 8 000/(0,11 − 0,01) = 80 000,00

NPV

NPV = 80 000,00 − 100 000 = −€20 000,00

Jawaban

NPV = −€20 000,00

NPV negatif, jadi proyek menghasilkan kurang dari pengembalian yang disyaratkan.

28.NPV & IRR

Jawaban: IRR = 17,94 %

Apit IRR dari dua sisi

NPV turun saat tingkat naik, jadi IRR terletak di antara tingkat dengan NPV positif dan tingkat dengan NPV negatif.

NPV(15%) = 1 234,90

NPV(20%) = −810,19

Persempit

Interpolasi linear memberi perkiraan awal; mengulanginya (atau fungsi IRR kalkulator) memberi tingkat yang tepat.

IRR ≈ 15 + 5·1 234,90/(1 234,90 − (−810,19)) = 18,02%

tepat: NPV(17,94%) = 0 → IRR = 17,94%

Jawaban

IRR = 17,94%

29.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,4401

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

Skor z

z₁ = (30,5 − 32)/6 = −0,25

z₂ = (38 − 32)/6 = 1

Luas di antara

P = Φ(1) − Φ(−0,25) = 0,8413 − 0,4013 = 0,4401

Jawaban

P = 0,4401

30.Distribusi normal

Jawaban: x = 182,7 cm

z untuk persentil

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Kembali ke x

x = 178 + 0,6745·7 = 182,72 cm

Jawaban

x = 182,72 cm

Ini adalah materi latihan independen. ExamProblems tidak berafiliasi dengan atau didukung oleh organisasi penyelenggara ujian ini, dan nama ujian hanya digunakan untuk menggambarkan isinya. FE exam diselenggarakan oleh NCEES, yang tidak berafiliasi dengan ExamProblems dan tidak mendukungnya.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil