Latihan ujian FE Civil: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 30 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Tegangan efektif tanah

Tegangan total: σ = Σγ_i·h_i
Tekanan air pori: u = γ_w·(z − z_w)
Tegangan efektif: σ′ = σ − u
Air: γ_w = 9,81 kN/m³

Penurunan konsolidasi

Terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Tegangan akhir: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Rasio konsolidasi berlebih: OCR = σ′_p/σ′₀
Waktu konsolidasi: t = T_v·H_dr²/c_v
Lintasan drainase: H_dr = H/2 (drainase ganda), H (drainase tunggal)
Faktor waktu: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Gaya hidrostatis

Tekanan pada kedalaman: p = ρgh
Gaya pada dinding vertikal: F = ρg·h_c·A
Pusat tekanan: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Persegi panjang: I_c = bH³/12

Gesekan pipa & kehilangan head

Bilangan Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Rezim aliran: laminar di bawah Re ≈ 2000, turbulen di atas Re ≈ 4000
Kecepatan rata-rata: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Kerugian minor: h_m = ΣK·V²/(2g)
Nilai K tipikal: masuk 0,5, keluar 1,0, belokan 90° ≈ 0,3
Penurunan tekanan: Δp = ρ·g·h_f
Dua reservoir terbuka: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Keluaran bebas: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Aliran saluran terbuka (Manning)

Persamaan Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debit: Q = A·V
Jari-jari hidrolik: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y
Trapesium (kemiringan sisi z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Pipa bulat, penuh atau setengah penuh: R = D/4
Kemiringan yang diperlukan: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Pompa & daya pompa

Daya hidrolik: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Daya poros: P_shaft = P_h/η_pump
Daya listrik: P_el = P_shaft/η_motor
Head pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Kerugian sistem: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Nilai waktu uang

Nilai masa depan: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Nilai sekarang: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Beberapa periode per tahun: i = r/m, N = m·n
Anuitas, nilai sekarang: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitas, nilai masa depan: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metode

Gambar garis waktu dengan setiap arus kas dan waktunya.
Sesuaikan suku bunga dengan periodenya: suku bunga bulanan untuk pembayaran bulanan.
Gunakan FV = PV·(1 + i)ⁿ untuk jumlah tunggal dan rumus anuitas untuk pembayaran yang sama besar.
Periksa tanda dan orde besaran jawabannya.

NPV & IRR

Nilai sekarang bersih: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Arus kas yang sama: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tingkat pengembalian internal: nilai r saat NPV = 0
Keputusan: terima jika NPV > 0 (atau IRR > tingkat pengembalian yang disyaratkan)

Metode

Daftarkan semua arus kas beserta tahunnya; investasi pada tahun 0 bernilai negatif.
Diskontokan setiap arus kas: CF_t/(1 + r)^t.
Jumlahkan semuanya untuk mendapatkan NPV. Positif berarti proyek menghasilkan lebih dari r.
Untuk IRR, cari suku bunga yang membuat NPV nol dengan coba-coba atau interpolasi.

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal R_A.

L = 4 mP₁ = 40 kN di 2 mP₂ = 60 kN di 2,5 m

R_A = kN

2.Reaksi tumpuan balokSulit

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal R_A.

L = 10 mP = 20 kN di 1 mw = 5 kN/m dari 6 sampai 10 m

R_A = kN

3.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

B: 10 kN ↓D: 25 kN ↓F: 40 kN ↓H: 10 kN ↓

1elemen AB
2elemen BC
3elemen CD
4elemen DE
5elemen FG
6elemen GH
7elemen AF
8elemen HE
9elemen BF
10elemen CG
11elemen DH
12elemen BG
13elemen DG

4.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 4 mtinggi = 2 mB berjarak 3 m dari Abeban vertikal = 55 kNbeban horizontal = 5 kN ←

F_AB = kN

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Balok sederhana menahan kopel searah jarum jam M₀ = 10 kN·m di x = 9 m dari A, tanpa beban lain. Cari momen lentur M_x tepat di kanan kopel. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 10 mM₀ = 10 kN·m searah jarum jam, di 9 m

M_x = kN·m

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Balok sederhana menahan beban merata pada sebagian bentangnya. Cari momen lentur maksimum M_max pada balok.

L = 4 mw = 10 kN/m dari 1 sampai 3 m

M_max = kN·m

7.Lendutan balokSedang

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari lendutan maksimum δ_max di tengah bentang.

w = 6 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Lendutan balokSulit

Balok kayu sederhana berpenampang persegi panjang selebar 75 mm menahan beban merata w di seluruh bentang. Lendutan tengah bentangnya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari tinggi terkecil h_req penampang.

w = 1,5 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (kayu struktural)b = 75 mm

h_req = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (baja)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Kolom harus menahan 60 kN dengan faktor keamanan 2,5 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 60 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Titik berat & momen inersiaSedang

Cari momen inersia I_x penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

b_f = 260 mmt_f = 25 mmt_w = 14 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersiaSulit

Balok besi tuang memiliki penampang T seperti pada gambar, dengan sayap di atas. Tegangan izinnya 40 MPa untuk tarik dan 120 MPa untuk tekan. Cari momen lentur positif terbesar M_allow yang dapat ditahan balok.

b_f = 100 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmh_w = 220 mmσ_t,allow = 40 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

13.Tegangan efektif tanahSedang

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tegangan efektif vertikal σ′ di titik X.

z = 7 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 16,5 kN/m³pasir: γ_sat = 19,5 kN/m³

σ′ = kPa

14.Tegangan efektif tanahSulit

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tegangan efektif vertikal σ′ di titik X.

z = 5 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 15,5 kN/m³pasir: γ_sat = 19,5 kN/m³lempung: γ_sat = 17,5 kN/m³

σ′ = kPa

15.Penurunan konsolidasiSedang

Lapisan lempung terkonsolidasi berlebih setebal 2 m memiliki C_c = 0,35, C_r = 0,06, dan e₀ = 0,65. Di tengah kedalamannya tegangan vertikal efektifnya 70 kPa dan rasio konsolidasi berlebihnya OCR = 2,5. Sebuah bangunan baru menambah tegangan vertikal 140 kPa di tengah kedalaman. Cari penurunan konsolidasi primer S dalam mm.

H = 2 mC_c = 0,35C_r = 0,06e₀ = 0,65σ′₀ = 70 kPaOCR = 2,5Δσ = 140 kPa

S = mm

16.Penurunan konsolidasiSulit

Dalam uji oedometer di laboratorium, benda uji lempung setebal 19 mm, berdrainase di atas dan di bawah, mencapai konsolidasi 50% dalam 4 menit. Di lapangan, lempung yang sama membentuk lapisan setebal 5,5 m. Lapisan berada di antara dua lapisan pasir, sehingga air terdrainase keluar di atas dan di bawah. Berapa hari t yang diperlukan lapisan di lapangan untuk mencapai konsolidasi 50%?

h_lab = 19 mmt_lab = 4 minH = 5,5 mlapangan: drainase ganda

t = hari

17.Gaya hidrostatisSedang

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 2 m berada di dinding tangki berisi air, dengan tepi atasnya 1,5 m di bawah permukaan. Cari gaya hidrostatis resultan F pada pintu air.

d = 1,5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Gaya hidrostatisSulit

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 2 m berada di dinding tangki berisi air laut, dengan tepi atasnya 1,5 m di bawah permukaan. Cari kedalaman y_cp pusat tekanan di bawah permukaan.

d = 1,5 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Gesekan pipa & kehilangan headSedang

Air mengalir dengan kecepatan rata-rata 1 m/s melalui pipa sepanjang 100 m dengan diameter dalam 100 mm. Gunakan faktor gesekan Darcy f = 0,03 dan g = 9,81 m/s². Cari kehilangan head akibat gesekan h_f.

V = 1 m/sL = 100 mD = 100 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Gesekan pipa & kehilangan headSulit

Dua reservoir terbuka dihubungkan oleh pipa sepanjang 300 m dengan diameter dalam 250 mm dan faktor gesekan Darcy f = 0,018. Kerugian minornya adalah lubang masuk bersudut tajam (K = 0,5), 3 belokan (masing-masing K = 0,3), sebuah katup (K = 0,2), dan lubang keluar ke reservoir bawah (K = 1,0). Gunakan g = 9,81 m/s². Berapa selisih muka air Δz antara kedua reservoir yang menghasilkan debit 75 L/s?

Q = 75 L/sL = 300 mD = 250 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Δz = m

21.Aliran saluran terbuka (Manning)Sedang

Sebuah saluran drainase beton dengan diameter dalam 300 mm mengalir setengah penuh. n Manning = 0,013 dan kemiringannya S = 0,0015. Cari debit Q dalam m³/s.

D = 300 mmn = 0,013S = 0,0015

Q = m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)Sulit

Sebuah saluran drainase beton dengan diameter dalam 250 mm (n Manning = 0,013) harus mencapai kecepatan swabersih 0,6 m/s saat mengalir tepat penuh. Cari kemiringan minimum S (dalam m/m).

D = 250 mmn = 0,013V = 0,6 m/s

S = m/m

23.Pompa & daya pompaSedang

Sebuah pompa dengan efisiensi 65% mengalirkan 80 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) melawan head 30 m. Gunakan g = 9,81 m/s². Cari daya poros P_shaft yang diperlukan, dalam kW.

Q = 80 L/sH = 30 mη = 65%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Pompa & daya pompaSulit

Sebuah pompa memindahkan 80 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) dari reservoir bawah yang terbuka ke tangki atas yang permukaan airnya 14 m lebih tinggi. Pipa sepanjang 150 m dengan diameter dalam 200 mm dan faktor gesekan Darcy f = 0,015; koefisien kerugian minornya berjumlah ΣK = 5 (termasuk lubang masuk dan keluar). Gunakan g = 9,81 m/s². Efisiensi pompa 65%. Cari daya poros P_shaft dalam kW.

Q = 80 L/sΔz = 14 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 5η = 65%

P_shaft = kW

25.Nilai waktu uangSedang

Anda menginvestasikan €1 000 dengan bunga 5% per tahun yang dimajemukkan secara kontinu. Tentukan nilainya FV setelah 19 tahun.

PV = €1 000r = 5%t = 19

FV = €

26.Nilai waktu uangSulit

Anda menyetor €2 500 di awal setiap tahun selama 23 tahun, setoran pertama hari ini. Rekening memberi bunga 5% per tahun. Berapa saldo rekening di akhir tahun ke-23? Tentukan FV.

A = €2 500i = 5%n = 23

FV = €

27.NPV & IRRSedang

Sebuah mesin berharga €30 000 hari ini, bertahan 9 tahun, dan biaya operasinya €1 000 per tahun (dibayar di akhir setiap tahun). Biaya modalnya 10%. Tentukan biaya tahunan ekuivalennya EAC.

C₀ = €30 000M = €1 000n = 9r = 10%

EAC = €

28.NPV & IRRSulit

Sebuah proyek berbiaya €40 000 dan menghasilkan €20 500, €14 000, €18 500 di akhir tahun 1 sampai 3. Arus kas dapat diinvestasikan kembali pada biaya modal 8%. Tentukan tingkat pengembalian internal termodifikasi MIRR dalam persen.

r = 8%CF₀ = −40 000CF₁ = 20 500CF₂ = 14 000CF₃ = 18 500

MIRR = %

29.Distribusi normalSedang

Seret z sehingga luas berarsir di antara −z dan z di bawah kurva normal baku adalah 0,4108. Cari z sampai dua desimal.

A = 0,4108

z =

30.Distribusi normalSulit

Tinggi badan X pria dan Y wanita dalam suatu kelompok saling bebas dan normal: X memiliki rata-rata 180 cm dan simpangan baku 10 cm, Y memiliki rata-rata 170 cm dan simpangan baku 12 cm. Cari peluang P bahwa X lebih besar dari Y. Bulatkan z ke dua desimal.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = 42,5 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 40·2 + 60·2,5

R_B = 230/4 = 57,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 57,5 = 42,5 kN

Jawaban

R_A = 42,5 kN

2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = 22 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, bekerja di x̄ = 8 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 20·1 + 5·4·8

R_B = 180/10 = 18 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 18 = 22 kN

Jawaban

R_A = 22 kN

3.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen CG

Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.

Simpul C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 61,67 kN (T), BC: 56,67 kN (T), CD: 56,67 kN (T), DE: 51,67 kN (T), FG: 61,67 kN (C), GH: 51,67 kN (C), AF: 77,08 kN (C), HE: 64,58 kN (C), BF: 6,25 kN (T), CG: 0, DH: 28,75 kN (T), BG: 6,25 kN (T), DG: 6,25 kN (C)

Jawaban

Elemen gaya-nol: CG

4.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AB = −29,3 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 55·3 − 5·2 → C_y = 38,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 38,75 = 16,25 kN

ΣF_x = 0: A_x = 5 kN

Titik buhul A

Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.

sin α = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −16,25/0,5547 = −29,3 kN

Jawaban

F_AB = −29,3 kN (tekan)

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 1 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Kopel yang bekerja membuat diagram momen lentur melompat sebesar kopel tersebut.

Reaksi tumpuan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam: R_B·L − M₀ = 0. Kesetimbangan vertikal: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 10/10 = 1 kN (ke atas)

R_A = −R_B = −1 kN (ke bawah)

Potong tepat di kanan kopel

Bagian kiri sekarang memuat R_A dan kopel.

M_x = R_A·a + M₀ = −1·9 + 10 = 1 kN·m

Jawaban

M_x = 1 kN·m

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_max = 15 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 10·2 = 20 kN, bekerja di x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·2·2

R_B = 40/4 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 10 = 10 kN

Gaya geser nol

Gaya geser mulai dari R_A, tetap konstan di bagian yang tidak dibebani, dan turun dengan kemiringan w di dalam beban.

R_A − w·(x₀ − 1) = 0

x₀ = 1 + 10/10 = 2 m

Momen maksimum

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 1)²/2 = 10·2 − 10·1²/2 = 15 kN·m

Jawaban

M_max = 15 kN·m

7.Lendutan balok

Jawaban: δ_max = 58,13 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 5000 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Lendutan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·5000⁴/(384·8,4 × 10¹¹) = 58,13 mm

Jawaban

δ_max = 58,13 mm

8.Lendutan balok

Jawaban: h_req = 233,8 mm

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 1,5 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Batas lendutan

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Momen inersia yang diperlukan

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1,5·5000⁴/(384·11000·13,89) = 7,99 × 10⁷ mm⁴

Tinggi yang diperlukan

bh³/12 = I_req → h = (12·7,99 × 10⁷/75)^1/3 = 233,8 mm

Jawaban

h_req = 233,8 mm

Dalam praktik, pilih tinggi standar berikutnya di atas nilai ini.

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 8,225 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·2500 = 5000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/5000² = 8225 N = 8,225 kN

Jawaban

P_cr = 8,225 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 72,51 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2,5·60000 = 150000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 72,51 mm

Jawaban

d = 72,51 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 137,9, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 34,44 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 260·25 = 6500 mm², y_f = 200 + 25/2 = 212,5 mm

badan: A_w = 14·200 = 2800 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6500·212,5 + 2800·100)/9300 = 178,6 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 260·25³/12 + 6500·(212,5 − 178,6)² = 7,796 × 10⁶ mm⁴

badan: 14·200³/12 + 2800·(100 − 178,6)² = 2,664 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,796 × 10⁶ + 2,664 × 10⁷ = 3,444 × 10⁷ mm⁴ = 34,44 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 34,44 × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: M_allow = 4,751 kN·m

Titik berat

ȳ = (2000·230 + 1760·110)/3760 = 173,8 mm

tepi atas: c = 240 − 173,8 = 66,17 mm

Momen inersia penampang

I = 100·20³/12 + 2000·56,17² + 8·220³/12 + 1760·63,83² = 2,065 × 10⁷ mm⁴

Momen yang diizinkan tiap tepi

Momen positif: sisi atas tertekan, sisi bawah tertarik.

tepi atas: M = 120·2,065 × 10⁷/66,17 = 37,44 kN·m

tepi bawah: M = 40·2,065 × 10⁷/173,8 = 4,751 kN·m

Nilai yang menentukan

M_allow = min = 4,751 kN·m (tepi bawah)

Jawaban

M_allow = 4,751 kN·m

13.Tegangan efektif tanah

Jawaban: σ′ = 74,64 kPa

Tegangan efektif (Terzaghi): butiran tanah menahan σ′ = σ − u. Tegangan total σ adalah berat semua yang ada di atas titik, Σγ·h, memakai berat isi kering di atas muka air tanah dan berat isi jenuh di bawahnya. Di bawah muka air tanah tekanan air pori bersifat hidrostatis: u = γ_w·(kedalaman di bawah muka air tanah).

Tegangan total

Jumlahkan berat setiap lapisan tanah di atas X. Di atas muka air tanah gunakan berat isi kering, di bawahnya berat isi jenuh.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16,5·1 + 19,5·6 = 133,5 kPa

Tekanan air pori

Tekanan air bertambah dengan kedalaman di bawah muka air tanah.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·6 = 58,86 kPa

Tegangan efektif

σ′ = σ − u = 133,5 − 58,86 = 74,64 kPa

Jawaban

σ′ = 74,64 kPa

14.Tegangan efektif tanah

Jawaban: σ′ = 50,26 kPa

Tegangan total

Jumlahkan berat setiap lapisan tanah di atas X. Di atas muka air tanah gunakan berat isi kering, di bawahnya berat isi jenuh.

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·2

σ = 15,5·1 + 19,5·2 + 17,5·2 = 89,5 kPa

Tekanan air pori

Tekanan air bertambah dengan kedalaman di bawah muka air tanah.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4 = 39,24 kPa

Tegangan efektif

σ′ = σ − u = 89,5 − 39,24 = 50,26 kPa

Jawaban

σ′ = 50,26 kPa

15.Penurunan konsolidasi

Jawaban: S = 62,53 mm

Konsolidasi primer lapisan lempung setebal H, dengan tegangan efektif di tengah lapisan: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Lempung terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Lempung terkonsolidasi berlebih mengalami rekompresi sepanjang C_r sampai tekanan prakonsolidasi σ′_p dan baru mengikuti C_c setelah melewatinya. Waktu: t = T_v·H_dr²/c_v, dengan lintasan drainase H_dr sebesar H/2 bila air dapat keluar di atas dan di bawah, dan H bila hanya satu sisi yang berdrainase.

Tekanan prakonsolidasi

σ′_p = OCR·σ′₀ = 2,5·70 = 175 kPa

Bandingkan dengan tekanan prakonsolidasi

σ′_f = 70 + 140 = 210 kPa > 175 kPa

Penurunan

Rekompresi sampai σ′_p, kompresi murni setelahnya.

S = 0,06·2/(1 + 0,65)·log₁₀(175/70) + 0,35·2/(1 + 0,65)·log₁₀(210/175)

S = 28,94 + 33,59 = 62,53 mm

Jawaban

S = 62,53 mm

16.Penurunan konsolidasi

Jawaban: t = 232,8 hari

Lintasan drainase

H_dr,lab = 19/2 = 9,5 mm = 0,0095 m

H_dr,field = 5,5/2 = 2,75 m

Skalakan waktunya

t = T_v·H_dr²/c_v dengan T_v dan c_v yang sama di laboratorium dan di lapangan.

t_field = 4·(2,75/0,0095)² = 335180 min

t_field = 335180/1440 = 232,8 hari

Jawaban

t = 232,8 hari

17.Gaya hidrostatis

Jawaban: F = 98,1 kN

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·4 = 98,1 kN

Jawaban

F = 98,1 kN

18.Gaya hidrostatis

Jawaban: y_cp = 2,939 m

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·2,75·5 = 138,3 kN

Pusat tekanan

Tekanan bertambah dengan kedalaman, jadi resultan bekerja di bawah titik berat.

I_c = b·H³/12 = 2·2,5³/12 = 2,604 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,75 + 2,604/(2,75·5) = 2,939 m

Jawaban

y_cp = 2,939 m

19.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: h_f = 1,529 m

Aliran pipa: bilangan Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ membedakan aliran laminar (Re di bawah sekitar 2000) dari aliran turbulen (di atas sekitar 4000). Gesekan sepanjang pipa menyebabkan kehilangan head Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Sambungan, katup, lubang masuk, dan lubang keluar menambah kerugian minor h_m = ΣK·V²/(2g). Di antara dua permukaan reservoir terbuka, persamaan energi memberikan Δz = h_f + h_m, termasuk kerugian keluar K = 1.

Head kecepatan

V²/(2g) = 1²/(2·9,81) = 0,05097 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(100/0,1)·1²/(2·9,81) = 1,529 m

Jawaban

h_f = 1,529 m

20.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: Δz = 2,879 m

Kecepatan

V = Q/A = 0,075/0,04909 = 1,528 m/s

V²/(2g) = 0,119 m

Koefisien kerugian

f·L/D = 0,018·300/0,25 = 21,6

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,6

Kehilangan head total

h_f = 21,6·0,119 = 2,57 m

h_m = 2,6·0,119 = 0,3094 m

Δz = h_f + h_m = 2,879 m

Jawaban

Δz = 2,879 m

21.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: Q = 0,01873 m³/s

Persamaan Manning (SI): untuk aliran seragam di saluran terbuka V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 dan Q = A·V, dengan n koefisien kekasaran, S kemiringan dasar (m/m), dan R = A/P jari-jari hidrolik: luas aliran dibagi keliling basah. Hanya batas yang bersentuhan dengan air yang dihitung dalam P, bukan permukaan bebas. Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y. Trapesium dengan kemiringan sisi z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pipa bulat yang mengalir penuh atau setengah penuh memiliki R = D/4.

Geometri

A = 0,03534 m², R = D/4 = 0,075 m

Kecepatan

V = (1/0,013)·0,075^2/3·0,0015^1/2 = 0,5298 m/s

Debit

Q = A·V = 0,03534·0,5298 = 0,01873 m³/s

Jawaban

Q = 0,01873 m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: S = 0,002453 m/m

Jari-jari hidrolik

R = D/4 = 0,25/4 = 0,0625 m

Selesaikan Manning untuk S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,6/0,1575)² = 0,002453

Jawaban

S = 0,002453

Itu penurunan 2,453 m per kilometer.

23.Pompa & daya pompa

Jawaban: P_shaft = 36,22 kW

Daya pompa: daya yang diberikan kepada air adalah daya hidrolik P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Poros harus menyalurkan lebih banyak karena pompa mengalami rugi: P_shaft = P_h/η_pump, dan motor menarik P_el = P_shaft/η_motor. Head pompa H diperoleh dari persamaan energi: tinggi angkat statis + head tekanan + semua kerugian gesekan dan minor.

Daya hidrolik

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·30 = 23,54 kW

Daya poros

P_shaft = P_h/η = 23,54/0,65 = 36,22 kW

Jawaban

P_shaft = 36,22 kW

24.Pompa & daya pompa

Jawaban: P_shaft = 23,39 kW

Kecepatan

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Kehilangan head

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (11,25 + 5)·0,3305 = 5,371 m

Head pompa

H = Δz + h_L = 14 + 5,371 = 19,37 m

Daya poros

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,08·19,37/0,65 = 23,39 kW

Jawaban

P_shaft = 23,39 kW

25.Nilai waktu uang

Jawaban: FV = 2586 €

Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)ⁿ. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.

Eksponen

r·t = 0,05·19 = 0,95

e^0,95 = 2,586

Nilai masa depan

FV = 1 000·2,586 = €2 585,71

Jawaban

FV = €2 585,71

26.Nilai waktu uang

Jawaban: FV = 108755 €

Faktor anuitas biasa

((1 + 0,05)²³ − 1)/0,05 = 41,43

Anuitas di muka

Setiap setoran diinvestasikan satu tahun lebih lama.

FV = 2 500·41,43·1,05 = €108 755,00

Jawaban

FV = €108 755,00

27.NPV & IRR

Jawaban: EAC = 6209 €

Biaya tahunan ekuivalen: sebarkan nilai sekarang semua biaya selama umur pakai sebagai jumlah tahunan yang sama (anuitas): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Dengan ini mesin-mesin dengan umur berbeda dapat dibandingkan.

Faktor anuitas

(1 − 1,1⁻⁹)/0,1 = 5,759

Harga beli yang ditahunkan

30 000/5,759 = 5 209,22

EAC

EAC = 5 209,22 + 1 000 = €6 209,22

Jawaban

EAC = €6 209,22

28.NPV & IRR

Jawaban: MIRR = 12,88 %

IRR termodifikasi: majemukkan setiap arus masuk ke depan sampai akhir proyek pada tingkat reinvestasi (biasanya biaya modal) untuk mendapatkan nilai akhir TV. MIRR adalah tingkat yang mengubah investasi awal menjadi TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Nilai akhir arus masuk

20 500·1,08² = 23 911,20

14 000·1,08¹ = 15 120,00

18 500·1,08⁰ = 18 500,00

TV = 57 531,20

MIRR

MIRR = (57 531,20/40 000)^1/3 − 1 = 12,88%

Jawaban

MIRR = 12,88%

29.Distribusi normal

Jawaban: z = 0,54

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = (1 + 0,4108)/2 = 0,7054

Baca tabel z secara terbalik

Cari 0,7054 di dalam tabel dan baca z.

z = 0,54

Jawaban

z = 0,54

30.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,7389

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², sehingga σ = √(σ_X² + σ_Y²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi selisih

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Standarkan

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Peluang

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Jawaban

P = 0,7389

Ini adalah materi latihan independen. ExamProblems tidak berafiliasi dengan atau didukung oleh organisasi penyelenggara ujian ini, dan nama ujian hanya digunakan untuk menggambarkan isinya. FE exam diselenggarakan oleh NCEES, yang tidak berafiliasi dengan ExamProblems dan tidak mendukungnya.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil