Latihan ujian FE Civil: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 30 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Tegangan efektif tanah

Tegangan total: σ = Σγ_i·h_i
Tekanan air pori: u = γ_w·(z − z_w)
Tegangan efektif: σ′ = σ − u
Air: γ_w = 9,81 kN/m³

Penurunan konsolidasi

Terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Tegangan akhir: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Rasio konsolidasi berlebih: OCR = σ′_p/σ′₀
Waktu konsolidasi: t = T_v·H_dr²/c_v
Lintasan drainase: H_dr = H/2 (drainase ganda), H (drainase tunggal)
Faktor waktu: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Gaya hidrostatis

Tekanan pada kedalaman: p = ρgh
Gaya pada dinding vertikal: F = ρg·h_c·A
Pusat tekanan: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Persegi panjang: I_c = bH³/12

Gesekan pipa & kehilangan head

Bilangan Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Rezim aliran: laminar di bawah Re ≈ 2000, turbulen di atas Re ≈ 4000
Kecepatan rata-rata: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Kerugian minor: h_m = ΣK·V²/(2g)
Nilai K tipikal: masuk 0,5, keluar 1,0, belokan 90° ≈ 0,3
Penurunan tekanan: Δp = ρ·g·h_f
Dua reservoir terbuka: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Keluaran bebas: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Aliran saluran terbuka (Manning)

Persamaan Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debit: Q = A·V
Jari-jari hidrolik: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y
Trapesium (kemiringan sisi z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Pipa bulat, penuh atau setengah penuh: R = D/4
Kemiringan yang diperlukan: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Pompa & daya pompa

Daya hidrolik: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Daya poros: P_shaft = P_h/η_pump
Daya listrik: P_el = P_shaft/η_motor
Head pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Kerugian sistem: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Nilai waktu uang

Nilai masa depan: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Nilai sekarang: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Beberapa periode per tahun: i = r/m, N = m·n
Anuitas, nilai sekarang: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitas, nilai masa depan: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metode

Gambar garis waktu dengan setiap arus kas dan waktunya.
Sesuaikan suku bunga dengan periodenya: suku bunga bulanan untuk pembayaran bulanan.
Gunakan FV = PV·(1 + i)ⁿ untuk jumlah tunggal dan rumus anuitas untuk pembayaran yang sama besar.
Periksa tanda dan orde besaran jawabannya.

NPV & IRR

Nilai sekarang bersih: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Arus kas yang sama: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tingkat pengembalian internal: nilai r saat NPV = 0
Keputusan: terima jika NPV > 0 (atau IRR > tingkat pengembalian yang disyaratkan)

Metode

Daftarkan semua arus kas beserta tahunnya; investasi pada tahun 0 bernilai negatif.
Diskontokan setiap arus kas: CF_t/(1 + r)^t.
Jumlahkan semuanya untuk mendapatkan NPV. Positif berarti proyek menghasilkan lebih dari r.
Untuk IRR, cari suku bunga yang membuat NPV nol dengan coba-coba atau interpolasi.

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok sederhana (sendi di A, rol di B) menahan beban yang berubah linear, turun dari 6 kN/m di A sampai nol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal R_B.

L = 4 mw₀ = 6 kN/m

R_B = kN

2.Reaksi tumpuan balokSulit

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal R_A.

L = 10 mP = 60 kN di 8 mw = 5 kN/m dari 4 sampai 10 m

R_A = kN

3.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_BC pada batang BC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 4 mtinggi = 3 mB berjarak 3 m dari Abeban vertikal = 45 kN

F_BC = kN

4.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

G: 15 kN ↓H: 40 kN ←

1elemen AB
2elemen BC
3elemen CD
4elemen DE
5elemen FG
6elemen GH
7elemen AF
8elemen HE
9elemen BF
10elemen CG
11elemen DH
12elemen BG
13elemen DG

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Balok sederhana menahan kopel searah jarum jam M₀ = 50 kN·m di x = 7 m dari A, tanpa beban lain. Cari momen lentur M_x tepat di kiri kopel. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 10 mM₀ = 50 kN·m searah jarum jam, di 7 m

M_x = kN·m

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang dan beban terpusat P. Cari momen lentur maksimum M_max pada balok.

L = 8 mP = 35 kN di 7 mw = 12 kN/m dari 0 sampai 8 m

M_max = kN·m

7.Lendutan balokSedang

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang. Cari lendutan δ di ujung bebas.

w = 6 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Lendutan balokSulit

Balok kayu sederhana berpenampang persegi panjang selebar 75 mm menahan beban merata w di seluruh bentang. Lendutan tengah bentangnya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari tinggi terkecil h_req penampang.

w = 1,5 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (kayu struktural)b = 75 mm

h_req = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 2 mE = 200 GPa (baja)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.Titik berat & momen inersiaSedang

Profil I simetris memiliki sayap selebar 210 mm dan setebal 12 mm, tinggi total 300 mm, dan badan setebal 10 mm. Cari momen inersianya I_x terhadap sumbu titik berat horizontal x.

B = 210 mmH = 300 mmt_f = 12 mmt_w = 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersiaSulit

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 15 kN·m. Cari tegangan lentur σ_bawah di tepi bawah.

b_f = 200 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 280 mmM = 15 kN·m

σ_bawah = MPa

13.Tegangan efektif tanahSedang

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tekanan air pori u di titik X.

z = 12 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 15,5 kN/m³pasir: γ_sat = 19,5 kN/m³

u = kPa

14.Tegangan efektif tanahSulit

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tekanan air pori u di titik X.

z = 5,5 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 17 kN/m³pasir: γ_sat = 20 kN/m³lempung: γ_sat = 18,5 kN/m³

u = kPa

15.Penurunan konsolidasiSedang

Lapisan lempung terkonsolidasi berlebih setebal 3 m memiliki C_c = 0,5, C_r = 0,05, dan e₀ = 1,15. Di tengah kedalamannya tegangan vertikal efektifnya 120 kPa dan tekanan prakonsolidasinya 170 kPa. Sebuah bangunan baru menambah tegangan vertikal 190 kPa di tengah kedalaman. Cari penurunan konsolidasi primer S dalam mm.

H = 3 mC_c = 0,5C_r = 0,05e₀ = 1,15σ′₀ = 120 kPaσ′_p = 170 kPaΔσ = 190 kPa

S = mm

16.Penurunan konsolidasiSulit

Sebuah lapisan lempung setebal 7,5 m memiliki koefisien konsolidasi c_v = 4 m²/tahun. Lapisan berada di atas batuan kedap air, dengan pasir di atasnya, sehingga air hanya terdrainase keluar di atas. Untuk konsolidasi rata-rata 60% faktor waktunya T_v = 0,287. Berapa tahun t yang diperlukan lapisan untuk mencapai konsolidasi 60%?

H = 7,5 mc_v = 4 m²/tahunU = 60%T_v = 0,287drainase tunggal

t = tahun

17.Gaya hidrostatisSedang

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 2 m berada di dinding tangki berisi air, dengan tepi atasnya 2 m di bawah permukaan. Cari gaya hidrostatis resultan F pada pintu air.

d = 2 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Gaya hidrostatisSulit

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 3 m berada di dinding tangki berisi air, dengan tepi atasnya 1 m di bawah permukaan. Cari kedalaman y_cp pusat tekanan di bawah permukaan.

d = 1 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Gesekan pipa & kehilangan headSedang

Air mengalir dengan debit 8 L/s melalui pipa sepanjang 300 m dengan diameter dalam 100 mm. Gunakan faktor gesekan Darcy f = 0,03 dan g = 9,81 m/s². Cari kehilangan head akibat gesekan h_f.

Q = 8 L/sL = 300 mD = 100 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Gesekan pipa & kehilangan headSulit

Dua reservoir terbuka dihubungkan oleh pipa sepanjang 150 m dengan diameter dalam 300 mm dan faktor gesekan Darcy f = 0,015. Permukaan air reservoir atas berada 15 m di atas permukaan reservoir bawah. Kerugian minornya adalah lubang masuk bersudut tajam (K = 0,5), 2 belokan (masing-masing K = 0,3), sebuah katup (K = 2), dan lubang keluar ke reservoir bawah (K = 1,0). Gunakan g = 9,81 m/s². Cari debit Q dalam L/s.

Δz = 15 mL = 150 mD = 300 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 2K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Aliran saluran terbuka (Manning)Sedang

Sebuah saluran drainase beton dengan diameter dalam 600 mm mengalir tepat penuh (sebagai saluran terbuka, bukan bertekanan). n Manning = 0,013 dan kemiringannya S = 0,005. Cari debit Q dalam m³/s.

D = 600 mmn = 0,013S = 0,005

Q = m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)Sulit

Sebuah saluran trapesium beton halus dengan lebar dasar 4 m dan kemiringan sisi 3:1 (horizontal:vertikal) harus mengalirkan 38 m³/s dalam aliran seragam pada kedalaman 1,9 m. n Manning = 0,012. Cari kemiringan dasar yang diperlukan S (dalam m/m).

Q = 38 m³/sb = 4 my = 1,9 mz = 3n = 0,012

S = m/m

23.Pompa & daya pompaSedang

Sebuah pompa mengalirkan 10 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) melawan head 62 m. Efisiensi pompa 85% dan motor listrik penggeraknya memiliki efisiensi 92%. Gunakan g = 9,81 m/s². Cari daya listrik P_el yang ditarik motor, dalam kW.

Q = 10 L/sH = 62 mη_pump = 85%η_motor = 92%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.Pompa & daya pompaSulit

Sebuah pompa memindahkan 100 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) dari reservoir bawah yang terbuka ke tangki atas yang permukaan airnya 21 m lebih tinggi. Pipa sepanjang 300 m dengan diameter dalam 250 mm dan faktor gesekan Darcy f = 0,025; koefisien kerugian minornya berjumlah ΣK = 8 (termasuk lubang masuk dan keluar). Gunakan g = 9,81 m/s². Efisiensi pompa 82%. Cari daya poros P_shaft dalam kW.

Q = 100 L/sΔz = 21 mL = 300 mD = 250 mmf = 0,025ΣK = 8η = 82%

P_shaft = kW

25.Nilai waktu uangSedang

Sebuah kartu kredit mengenakan suku bunga nominal 17,5% per tahun, dimajemukkan bulanan. Tentukan suku bunga efektif tahunan EAR dalam persen.

r = 17,5%m = 12

EAR = %

26.Nilai waktu uangSulit

Anda menabung €250 di akhir setiap bulan selama 17 tahun. Rekening memberi 5,4% per tahun, dimajemukkan bulanan. Berapa tabungan Anda di akhir? Tentukan FV.

A = €2505,4% / 12N = 204

FV = €

27.NPV & IRRSedang

Investasi sebesar €45 000 memberikan arus kas berikut di akhir tahun 1 sampai 3: €11 000, €15 000, €20 000. Biaya modal 12%. Tentukan nilai sekarang bersih NPV.

r = 12%CF₀ = −45 000CF₁ = 11 000CF₂ = 15 000CF₃ = 20 000

NPV = €

28.NPV & IRRSulit

Sebuah proyek berbiaya €20 000 dan menghasilkan €10 500, €13 000, €10 000 di akhir tahun 1 sampai 3. Tentukan tingkat pengembalian internalnya IRR dalam persen.

CF₀ = −20 000CF₁ = 10 500CF₂ = 13 000CF₃ = 10 000

IRR = %

29.Distribusi normalSedang

Massa penumpang dengan bagasi saling bebas dan normal dengan rata-rata 85 kg dan simpangan baku 12 kg. Cari peluang P bahwa massa total 8 di antaranya di bawah 730,9 kg. Bulatkan z ke dua desimal.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 8< 730.9 kg

P =

30.Distribusi normalSulit

Massa X produk dari lini 1 dan Y dari lini 2 saling bebas dan normal: X memiliki rata-rata 500 g dan simpangan baku 8 g, Y memiliki rata-rata 490 g dan simpangan baku 6 g. Cari peluang P bahwa X lebih besar dari Y. Bulatkan z ke dua desimal.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_B = 4 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Resultan beban segitiga

W = ½·6·4 = 12 kN

x̄ = L/3 = 1,333 m

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 12·1,333

R_B = 4 kN

R_A = 12 − 4 = 8 kN

Jawaban

R_B = 4 kN

2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = 21 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, bekerja di x̄ = 7 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 60·8 + 5·6·7

R_B = 690/10 = 69 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 69 = 21 kN

Jawaban

R_A = 21 kN

3.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_BC = −35,58 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 45·3 → C_y = 33,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 33,75 = 11,25 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −33,75/0,9487 = −35,58 kN

Jawaban

F_BC = −35,58 kN (tekan)

4.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen CG

Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.

Simpul C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 24,38 kN (C), BC: 8,75 kN (C), CD: 8,75 kN (C), DE: 4,375 kN (C), FG: 15,63 kN (C), GH: 35,63 kN (C), AF: 26,04 kN (C), HE: 7,292 kN (T), BF: 20,83 kN (T), CG: 0, DH: 5,833 kN (C), BG: 26,04 kN (C), DG: 7,292 kN (T)

Jawaban

Elemen gaya-nol: CG

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = −35 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Kopel yang bekerja membuat diagram momen lentur melompat sebesar kopel tersebut.

Reaksi tumpuan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam: R_B·L − M₀ = 0. Kesetimbangan vertikal: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 50/10 = 5 kN (ke atas)

R_A = −R_B = −5 kN (ke bawah)

Potong tepat di kiri kopel

Bagian kiri hanya memuat R_A.

M_x = R_A·a = −5·7 = −35 kN·m

Jawaban

M_x = −35 kN·m

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_max = 114,3 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, bekerja di x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 35·7 + 12·8·4

R_B = 629/8 = 78,63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 131 − 78,63 = 52,38 kN

Di mana V = 0?

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 52,38/12 = 4,365 m

Momen maksimum

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = 52,38·4,365 − 12·4,365²/2 = 114,3 kN·m

Jawaban

M_max = 114,3 kN·m

Terjadi di x = 4,365 m dari A.

7.Lendutan balok

Jawaban: δ = 7,232 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 3000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Lendutan

δ = wL⁴/(8EI) = 6·3000⁴/(8·8,4 × 10¹²) = 7,232 mm

Jawaban

δ = 7,232 mm

8.Lendutan balok

Jawaban: h_req = 210,4 mm

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 1,5 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Batas lendutan

δ_allow = L/360 = 4500/360 = 12,5 mm

Momen inersia yang diperlukan

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1,5·4500⁴/(384·11000·12,5) = 5,825 × 10⁷ mm⁴

Tinggi yang diperlukan

bh³/12 = I_req → h = (12·5,825 × 10⁷/75)^1/3 = 210,4 mm

Jawaban

h_req = 210,4 mm

Dalam praktik, pilih tinggi standar berikutnya di atas nilai ini.

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 86,82 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·2000 = 4000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/4000² = 86818 N = 86,82 kN

Jawaban

P_cr = 86,82 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 56,65 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

KL/r = 1400/7,5 = 186,7

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/186,7² = 56,65 MPa

Jawaban

σ_cr = 56,65 MPa

11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 122,1 × 10⁶ mm⁴

Momen inersia penampang: untuk persegi panjang terhadap sumbu titik beratnya sendiri I = bh³/12, dan terhadap alasnya bh³/3 (teorema sumbu sejajar I = I_c + A·d²). Lubang diperhitungkan dengan mengurangkan I-nya, asalkan kedua bagian memakai sumbu yang sama. Modulus penampang elastis adalah S = I/c, dengan c jarak ke serat terluar.

Persegi panjang luar dikurangi dua potongan samping

Kedua potongan bersama-sama selebar (B − t_w) dan setinggi h_w = H − 2t_f, dan memakai sumbu x yang sama.

h_w = 300 − 2·12 = 276 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (210·300³ − 200·276³)/12

I_x = 1,221 × 10⁸ mm⁴ = 122,1 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 122,1 × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σ_bawah = 36,29 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 200·15 = 3000 mm², y_f = 280 + 15/2 = 287,5 mm

badan: A_w = 20·280 = 5600 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·287,5 + 5600·140)/8600 = 191,5 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 200·15³/12 + 3000·(287,5 − 191,5)² = 2,773 × 10⁷ mm⁴

badan: 20·280³/12 + 5600·(140 − 191,5)² = 5,141 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,773 × 10⁷ + 5,141 × 10⁷ = 7,914 × 10⁷ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi bawah berjarak ȳ dari sumbu.

y = 191,5 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·191,5/7,914 × 10⁷ = 36,29 MPa

Jawaban

σ_bawah = 36,29 MPa

13.Tegangan efektif tanah

Jawaban: u = 107,9 kPa

Tegangan efektif (Terzaghi): butiran tanah menahan σ′ = σ − u. Tegangan total σ adalah berat semua yang ada di atas titik, Σγ·h, memakai berat isi kering di atas muka air tanah dan berat isi jenuh di bawahnya. Di bawah muka air tanah tekanan air pori bersifat hidrostatis: u = γ_w·(kedalaman di bawah muka air tanah).

Tekanan air pori

Tekanan air bertambah dengan kedalaman di bawah muka air tanah.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·11 = 107,9 kPa

Jawaban

u = 107,9 kPa

14.Tegangan efektif tanah

Jawaban: u = 44,15 kPa

Tekanan air pori

Tekanan air bertambah dengan kedalaman di bawah muka air tanah.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4,5 = 44,15 kPa

Jawaban

u = 44,15 kPa

15.Penurunan konsolidasi

Jawaban: S = 192,6 mm

Konsolidasi primer lapisan lempung setebal H, dengan tegangan efektif di tengah lapisan: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Lempung terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Lempung terkonsolidasi berlebih mengalami rekompresi sepanjang C_r sampai tekanan prakonsolidasi σ′_p dan baru mengikuti C_c setelah melewatinya. Waktu: t = T_v·H_dr²/c_v, dengan lintasan drainase H_dr sebesar H/2 bila air dapat keluar di atas dan di bawah, dan H bila hanya satu sisi yang berdrainase.

Bandingkan dengan tekanan prakonsolidasi

σ′_f = 120 + 190 = 310 kPa > 170 kPa

Penurunan

Rekompresi sampai σ′_p, kompresi murni setelahnya.

S = 0,05·3/(1 + 1,15)·log₁₀(170/120) + 0,5·3/(1 + 1,15)·log₁₀(310/170)

S = 10,55 + 182 = 192,6 mm

Jawaban

S = 192,6 mm

16.Penurunan konsolidasi

Jawaban: t = 4,036 tahun

Lintasan drainase

H_dr = H = 7,5 m

Waktu

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,287·7,5²/4 = 4,036 tahun

Jawaban

t = 4,036 tahun

17.Gaya hidrostatis

Jawaban: F = 206 kN

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·6 = 206 kN

Jawaban

F = 206 kN

18.Gaya hidrostatis

Jawaban: y_cp = 1,556 m

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1,5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,5·3 = 44,15 kN

Pusat tekanan

Tekanan bertambah dengan kedalaman, jadi resultan bekerja di bawah titik berat.

I_c = b·H³/12 = 3·1³/12 = 0,25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1,5 + 0,25/(1,5·3) = 1,556 m

Jawaban

y_cp = 1,556 m

19.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: h_f = 4,759 m

Aliran pipa: bilangan Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ membedakan aliran laminar (Re di bawah sekitar 2000) dari aliran turbulen (di atas sekitar 4000). Gesekan sepanjang pipa menyebabkan kehilangan head Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Sambungan, katup, lubang masuk, dan lubang keluar menambah kerugian minor h_m = ΣK·V²/(2g). Di antara dua permukaan reservoir terbuka, persamaan energi memberikan Δz = h_f + h_m, termasuk kerugian keluar K = 1.

Kecepatan rata-rata

A = π·0,1²/4 = 0,007854 m²

V = Q/A = 0,008/0,007854 = 1,019 m/s

Head kecepatan

V²/(2g) = 1,019²/(2·9,81) = 0,05288 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(300/0,1)·1,019²/(2·9,81) = 4,759 m

Jawaban

h_f = 4,759 m

20.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: Q = 356 L/s

Koefisien kerugian

f·L/D = 0,015·150/0,3 = 7,5

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 + 1,0 = 4,1

Persamaan energi

Kedua permukaan terbuka ke udara dan praktis diam, sehingga seluruh Δz hilang di dalam pipa.

15 = (7,5 + 4,1)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·15/11,6) = 5,037 m/s

Debit

Q = V·π·D²/4 = 5,037·0,07069 = 0,356 m³/s = 356 L/s

Jawaban

Q = 356 L/s

21.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: Q = 0,4342 m³/s

Persamaan Manning (SI): untuk aliran seragam di saluran terbuka V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 dan Q = A·V, dengan n koefisien kekasaran, S kemiringan dasar (m/m), dan R = A/P jari-jari hidrolik: luas aliran dibagi keliling basah. Hanya batas yang bersentuhan dengan air yang dihitung dalam P, bukan permukaan bebas. Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y. Trapesium dengan kemiringan sisi z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pipa bulat yang mengalir penuh atau setengah penuh memiliki R = D/4.

Geometri

A = 0,2827 m², R = D/4 = 0,15 m

Kecepatan

V = (1/0,013)·0,15^2/3·0,005^1/2 = 1,536 m/s

Debit

Q = A·V = 0,2827·1,536 = 0,4342 m³/s

Jawaban

Q = 0,4342 m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: S = 0,0005077 m/m

Geometri

A = (b + z·y)·y = (4 + 3·1,9)·1,9 = 18,43 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·1,9·√(1 + 3²) = 16,02 m

R = A/P = 1,151 m

Selesaikan Manning untuk S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,012·38/(18,43·1,098) = 0,02253

S = 0,02253² = 0,0005077

Jawaban

S = 0,0005077

Itu penurunan 0,5077 m per kilometer.

23.Pompa & daya pompa

Jawaban: P_el = 7,778 kW

Daya pompa: daya yang diberikan kepada air adalah daya hidrolik P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Poros harus menyalurkan lebih banyak karena pompa mengalami rugi: P_shaft = P_h/η_pump, dan motor menarik P_el = P_shaft/η_motor. Head pompa H diperoleh dari persamaan energi: tinggi angkat statis + head tekanan + semua kerugian gesekan dan minor.

Daya hidrolik

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·62 = 6,082 kW

Daya poros

P_shaft = 6,082/0,85 = 7,156 kW

Daya listrik

P_el = 7,156/0,92 = 7,778 kW

Jawaban

P_el = 7,778 kW

24.Pompa & daya pompa

Jawaban: P_shaft = 34,74 kW

Kecepatan

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Kehilangan head

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 8)·0,2115 = 8,038 m

Head pompa

H = Δz + h_L = 21 + 8,038 = 29,04 m

Daya poros

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,1·29,04/0,82 = 34,74 kW

Jawaban

P_shaft = 34,74 kW

25.Nilai waktu uang

Jawaban: EAR = 18,97 %

Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)ⁿ. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.

Suku bunga per periode

r/m = 0,175/12 = 0,01458

Majemukkan selama satu tahun

EAR = (1 + 0,01458)¹² − 1 = 1,19 − 1 = 18,97%

Jawaban

EAR = 18,97%

EAR selalu di atas suku bunga nominal jika bunga dimajemukkan lebih dari sekali setahun.

26.Nilai waktu uang

Jawaban: FV = 83285 €

Suku bunga bulanan dan jumlah setoran

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·17 = 204

Nilai masa depan setoran

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(2,499 − 1)/0,0045 = €83 284,72

Jawaban

FV = €83 284,72

Anda sendiri menyetor €51 000; sisanya bunga.

27.NPV & IRR

Jawaban: NPV = −8985 €

Nilai sekarang bersih: diskontokan setiap arus kas ke hari ini dengan tingkat pengembalian yang disyaratkan r, lalu jumlahkan: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Proyek dengan NPV > 0 menghasilkan lebih dari r dan menambah nilai. Tingkat pengembalian internal (IRR) adalah tingkat yang membuat NPV = 0.

Nilai sekarang setiap arus kas

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,12)¹ = 11 000/1,12 = 9 821,43

CF₂/(1 + 0,12)² = 15 000/1,254 = 11 957,91

CF₃/(1 + 0,12)³ = 20 000/1,405 = 14 235,60

Jumlahkan

NPV = €−8 985,06

Jawaban

NPV = €−8 985,06

NPV negatif, jadi proyek menghasilkan kurang dari pengembalian yang disyaratkan.

28.NPV & IRR

Jawaban: IRR = 31,14 %

Apit IRR dari dua sisi

NPV turun saat tingkat naik, jadi IRR terletak di antara tingkat dengan NPV positif dan tingkat dengan NPV negatif.

NPV(30%) = 320,89

NPV(35%) = −1 024,74

Persempit

Interpolasi linear memberi perkiraan awal; mengulanginya (atau fungsi IRR kalkulator) memberi tingkat yang tepat.

IRR ≈ 30 + 5·320,89/(320,89 − (−1 024,74)) = 31,19%

tepat: NPV(31,14%) = 0 → IRR = 31,14%

Jawaban

IRR = 31,14%

29.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,9332

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², sehingga σ = √(σ_X² + σ_Y²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi total

μ_T = 680 kg, σ_T = 12·√8 = 33,94 kg

Standarkan

z = (730,9 − 680)/33,94 = 1,5

Peluang

P = Φ(1,5) = 0,9332

Jawaban

P = 0,9332

30.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,8413

Distribusi selisih

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Standarkan

z = (0 − 10)/10 = −1

Peluang

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Jawaban

P = 0,8413

Ini adalah materi latihan independen. ExamProblems tidak berafiliasi dengan atau didukung oleh organisasi penyelenggara ujian ini, dan nama ujian hanya digunakan untuk menggambarkan isinya. FE exam diselenggarakan oleh NCEES, yang tidak berafiliasi dengan ExamProblems dan tidak mendukungnya.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil