Latihan ujian FE Civil: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 30 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Tegangan efektif tanah

Tegangan total: σ = Σγ_i·h_i
Tekanan air pori: u = γ_w·(z − z_w)
Tegangan efektif: σ′ = σ − u
Air: γ_w = 9,81 kN/m³

Penurunan konsolidasi

Terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Tegangan akhir: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Rasio konsolidasi berlebih: OCR = σ′_p/σ′₀
Waktu konsolidasi: t = T_v·H_dr²/c_v
Lintasan drainase: H_dr = H/2 (drainase ganda), H (drainase tunggal)
Faktor waktu: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Gaya hidrostatis

Tekanan pada kedalaman: p = ρgh
Gaya pada dinding vertikal: F = ρg·h_c·A
Pusat tekanan: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Persegi panjang: I_c = bH³/12

Gesekan pipa & kehilangan head

Bilangan Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Rezim aliran: laminar di bawah Re ≈ 2000, turbulen di atas Re ≈ 4000
Kecepatan rata-rata: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Kerugian minor: h_m = ΣK·V²/(2g)
Nilai K tipikal: masuk 0,5, keluar 1,0, belokan 90° ≈ 0,3
Penurunan tekanan: Δp = ρ·g·h_f
Dua reservoir terbuka: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Keluaran bebas: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Aliran saluran terbuka (Manning)

Persamaan Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debit: Q = A·V
Jari-jari hidrolik: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y
Trapesium (kemiringan sisi z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Pipa bulat, penuh atau setengah penuh: R = D/4
Kemiringan yang diperlukan: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Pompa & daya pompa

Daya hidrolik: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Daya poros: P_shaft = P_h/η_pump
Daya listrik: P_el = P_shaft/η_motor
Head pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Kerugian sistem: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Nilai waktu uang

Nilai masa depan: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Nilai sekarang: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Beberapa periode per tahun: i = r/m, N = m·n
Anuitas, nilai sekarang: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitas, nilai masa depan: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metode

Gambar garis waktu dengan setiap arus kas dan waktunya.
Sesuaikan suku bunga dengan periodenya: suku bunga bulanan untuk pembayaran bulanan.
Gunakan FV = PV·(1 + i)ⁿ untuk jumlah tunggal dan rumus anuitas untuk pembayaran yang sama besar.
Periksa tanda dan orde besaran jawabannya.

NPV & IRR

Nilai sekarang bersih: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Arus kas yang sama: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tingkat pengembalian internal: nilai r saat NPV = 0
Keputusan: terima jika NPV > 0 (atau IRR > tingkat pengembalian yang disyaratkan)

Metode

Daftarkan semua arus kas beserta tahunnya; investasi pada tahun 0 bernilai negatif.
Diskontokan setiap arus kas: CF_t/(1 + r)^t.
Jumlahkan semuanya untuk mendapatkan NPV. Positif berarti proyek menghasilkan lebih dari r.
Untuk IRR, cari suku bunga yang membuat NPV nol dengan coba-coba atau interpolasi.

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal R_B.

L = 10 mP₁ = 45 kN di 2 mP₂ = 15 kN di 4 m

R_B = kN

2.Reaksi tumpuan balokSulit

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal R_B.

L = 8 mP = 45 kN di 5 mw = 5 kN/m dari 1 sampai 6 m

R_B = kN

3.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

B: 15 kN ↓D: 25 kN ↓F: 35 kN ↓

1elemen AB
2elemen BC
3elemen CD
4elemen DE
5elemen FG
6elemen GH
7elemen AF
8elemen HE
9elemen BF
10elemen CG
11elemen DH
12elemen BG
13elemen DG

4.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AC pada batang AC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 4 mtinggi = 3 mB berjarak 3 m dari Abeban vertikal = 15 kNbeban horizontal = 15 kN →

F_AC = kN

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Kantilever dijepit di A. Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P pada jarak 0,5 m dari A. Cari momen lentur M_A di tumpuan jepit A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 5 mP = 45 kN di 0,5 mw = 6 kN/m dari 0 sampai 5 m

M_A = kN·m

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 0,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 4 mP = 55 kN di 1 mw = 8 kN/m dari 0 sampai 4 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

7.Lendutan balokSedang

Kantilever sepanjang L dijepit di A dan menahan beban terpusat P pada jarak a = 2 m dari A. Cari lendutan δ_B di ujung bebas B.

P = 13 kNa = 2 mL = 3 mE = 200 GPa (baja)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

8.Lendutan balokSulit

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada b = 1,5 m dari tumpuan B. Cari lendutan maksimum δ_max balok.

P = 24 kNb = 1,5 mL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (baja)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Titik berat & momen inersiaSedang

Penampang persegi panjang berongga (kotak) memiliki lebar luar B = 300 mm, tinggi luar H = 300 mm, dan tebal dinding seragam t = 12 mm. Cari jari-jari girasinya r terhadap sumbu titik berat horizontal.

B = 300 mmH = 300 mmt = 12 mm

r = mm

12.Titik berat & momen inersiaSulit

Sebuah pelat 120 mm × 240 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 50 mm dan setinggi 30 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 84 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas I_x terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 120 mmh = 240 mmpotongan: 50 × 30 mmpusat lubang: y = 84 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Tegangan efektif tanahSedang

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tegangan efektif vertikal σ′ di titik X.

z = 6 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 15 kN/m³pasir: γ_sat = 19,5 kN/m³

σ′ = kPa

14.Tegangan efektif tanahSulit

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tegangan efektif vertikal σ′ di titik X.

z = 8 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 17 kN/m³pasir: γ_sat = 20 kN/m³lempung: γ_sat = 17,5 kN/m³

σ′ = kPa

15.Penurunan konsolidasiSedang

Lapisan lempung terkonsolidasi berlebih setebal 7 m memiliki C_c = 0,3, C_r = 0,03, dan e₀ = 0,85. Di tengah kedalamannya tegangan vertikal efektifnya 85 kPa dan tekanan prakonsolidasinya 125 kPa. Sebuah bangunan baru menambah tegangan vertikal 190 kPa di tengah kedalaman. Cari penurunan konsolidasi primer S dalam mm.

H = 7 mC_c = 0,3C_r = 0,03e₀ = 0,85σ′₀ = 85 kPaσ′_p = 125 kPaΔσ = 190 kPa

S = mm

16.Penurunan konsolidasiSulit

Sebuah lapisan lempung setebal 5,5 m memiliki koefisien konsolidasi c_v = 1,5 m²/tahun. Lapisan berada di antara dua lapisan pasir, sehingga air terdrainase keluar di atas dan di bawah. Untuk konsolidasi rata-rata 60% faktor waktunya T_v = 0,287. Berapa tahun t yang diperlukan lapisan untuk mencapai konsolidasi 60%?

H = 5,5 mc_v = 1,5 m²/tahunU = 60%T_v = 0,287drainase ganda

t = tahun

17.Gaya hidrostatisSedang

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 1 m berada di dinding tangki berisi air, dengan tepi atasnya 4 m di bawah permukaan. Cari gaya hidrostatis resultan F pada pintu air.

d = 4 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Gaya hidrostatisSulit

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 1,5 m berada di dinding tangki berisi air laut, dengan tepi atasnya 2,5 m di bawah permukaan. Cari kedalaman y_cp pusat tekanan di bawah permukaan.

d = 2,5 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Gesekan pipa & kehilangan headSedang

Air mengalir dengan kecepatan rata-rata 1,9 m/s melalui pipa sepanjang 500 m dengan diameter dalam 200 mm. Gunakan faktor gesekan Darcy f = 0,025 dan g = 9,81 m/s². Cari kehilangan head akibat gesekan h_f.

V = 1,9 m/sL = 500 mD = 200 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Gesekan pipa & kehilangan headSulit

Dua reservoir terbuka dihubungkan oleh pipa sepanjang 500 m dengan diameter dalam 300 mm dan faktor gesekan Darcy f = 0,018. Permukaan air reservoir atas berada 11 m di atas permukaan reservoir bawah. Kerugian minornya adalah lubang masuk bersudut tajam (K = 0,5), 2 belokan (masing-masing K = 0,3), sebuah katup (K = 2), dan lubang keluar ke reservoir bawah (K = 1,0). Gunakan g = 9,81 m/s². Cari debit Q dalam L/s.

Δz = 11 mL = 500 mD = 300 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 2K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Aliran saluran terbuka (Manning)Sedang

Sebuah saluran trapesium beton halus memiliki lebar dasar 6 m dan kemiringan sisi 3:1 (horizontal:vertikal). Air mengalir seragam sedalam 2,2 m. n Manning = 0,012 dan kemiringan dasarnya S = 0,003. Cari debit Q dalam m³/s.

b = 6 my = 2,2 mz = 3n = 0,012S = 0,003

Q = m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)Sulit

Sebuah saluran drainase beton dengan diameter dalam 375 mm (n Manning = 0,013) harus mencapai kecepatan swabersih 0,9 m/s saat mengalir tepat penuh. Cari kemiringan minimum S (dalam m/m).

D = 375 mmn = 0,013V = 0,9 m/s

S = m/m

23.Pompa & daya pompaSedang

Dalam sebuah pengujian, pompa mengalirkan 30 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) melawan head 60 m sementara porosnya menyerap 20,8 kW. Gunakan g = 9,81 m/s². Cari efisiensi pompa η dalam persen.

Q = 30 L/sH = 60 mP_shaft = 20,8 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Pompa & daya pompaSulit

Sebuah pompa memindahkan 30 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) dari reservoir bawah yang terbuka ke tangki atas yang permukaan airnya 8 m lebih tinggi. Pipa sepanjang 200 m dengan diameter dalam 150 mm dan faktor gesekan Darcy f = 0,015; koefisien kerugian minornya berjumlah ΣK = 4 (termasuk lubang masuk dan keluar). Gunakan g = 9,81 m/s². Cari head H yang harus ditambahkan pompa.

Q = 30 L/sΔz = 8 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 4

H = m

25.Nilai waktu uangSedang

Sebuah anuitas membayar €3 000 di akhir setiap tahun selama 5 tahun. Suku bunganya 4% per tahun. Tentukan nilai sekarang PV anuitas tersebut.

A = €3 000i = 4%n = 5

PV = €

26.Nilai waktu uangSulit

Pinjaman sebesar €250 000 dilunasi dengan angsuran bulanan yang sama selama 25 tahun. Suku bunganya 6% per tahun, dimajemukkan bulanan. Tentukan angsuran bulanan A.

P = €250 0006% / 12N = 300

A = €

27.NPV & IRRSedang

Sebuah mesin berharga €80 000 hari ini. Mesin menghasilkan €10 000 di akhir setiap tahun selama 8 tahun dan kemudian dapat dijual seharga €8 000. Biaya modalnya 6%. Tentukan nilai sekarang bersih NPV.

C₀ = €80 000CF = €10 000S = €8 000n = 8r = 6%

NPV = €

28.NPV & IRRSulit

Sebuah proyek berbiaya €40 000 dan menghasilkan €29 500, €17 500, €14 000 di akhir tahun 1 sampai 3. Tentukan tingkat pengembalian internalnya IRR dalam persen.

CF₀ = −40 000CF₁ = 29 500CF₂ = 17 500CF₃ = 14 000

IRR = %

29.Distribusi normalSedang

Seret z sehingga luas berarsir di bawah kurva normal baku, di sebelah kanan z, adalah 0,9162. Cari z sampai dua desimal.

A = 0,9162

z =

30.Distribusi normalSulit

Data nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 65 poin dan simpangan baku 10 poin. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 90% data (persentil ke-90).

μ = 65σ = 10P = 90%

x = poin

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_B = 15 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 45·2 + 15·4

R_B = 150/10 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 15 = 45 kN

Jawaban

R_B = 15 kN

2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_B = 39,06 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, bekerja di x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 45·5 + 5·5·3,5

R_B = 312,5/8 = 39,06 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 39,06 = 30,94 kN

Jawaban

R_B = 39,06 kN

3.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen CG

Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.

Simpul C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 43,75 kN (T), BC: 37,5 kN (T), CD: 37,5 kN (T), DE: 31,25 kN (T), FG: 43,75 kN (C), GH: 31,25 kN (C), AF: 61,87 kN (C), HE: 44,19 kN (C), BF: 8,75 kN (T), CG: 0, DH: 31,25 kN (T), BG: 8,839 kN (T), DG: 8,839 kN (C)

Jawaban

Elemen gaya-nol: CG

4.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AC = 7,5 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 15·3 + 15·3 → C_y = 22,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 22,5 = −7,5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −15 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −22,5/0,9487 = −23,72 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−23,72)·0,3162 = 7,5 kN

Jawaban

F_AC = 7,5 kN (tarik)

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_A = −97,5 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Ambil bagian ujung bebas

P: −45·0,5 = −22,5 kN·m

w: −6·5²/2 = −75 kN·m

M_A = −22,5 − 75 = −97,5 kN·m

Jawaban

M_A = −97,5 kN·m

Negatif berarti momen negatif: sisi atas tertarik.

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 27,63 kN·m

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, bekerja di x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 55·1 + 8·4·2

R_B = 119/4 = 29,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 87 − 29,75 = 57,25 kN

Potong di x = 0,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 57,25·0,5 − 8·0,5·0,25 = 27,63 kN·m

Jawaban

M_x = 27,63 kN·m

7.Lendutan balok

Jawaban: δ_B = 2,528 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 13000 N, a = 2000 mm, L = 3000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Lendutan di ujung bebas

Lendutan di titik beban ditambah kemiringan di titik beban dikali sisa panjang.

δ_P = Pa³/(3EI) = 1,444 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,001083 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 2,528 mm

Jawaban

δ_B = 2,528 mm

8.Lendutan balok

Jawaban: δ_max = 29,95 mm

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 24000 N, b = 1500 mm, L = 6000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Letak maksimum

Menyamakan kemiringan pada segmen yang lebih panjang dengan nol memberi letaknya.

x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 1500²)/3) = 3354 mm

Defleksi maksimum

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 29,95 mm

Jawaban

δ_max = 29,95 mm

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 269,2 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·1500 = 1500 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/1500² = 269152 N = 269,2 kN

Jawaban

P_cr = 269,2 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 38,86 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

KL/r = 2000/15 = 133,3

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/133,3² = 38,86 MPa

Jawaban

σ_cr = 38,86 MPa

11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: r = 117,7 mm

Momen inersia penampang: untuk persegi panjang terhadap sumbu titik beratnya sendiri I = bh³/12, dan terhadap alasnya bh³/3 (teorema sumbu sejajar I = I_c + A·d²). Lubang diperhitungkan dengan mengurangkan I-nya, asalkan kedua bagian memakai sumbu yang sama. Modulus penampang elastis adalah S = I/c, dengan c jarak ke serat terluar. Jari-jari girasi r = √(I/A) adalah jarak tempat seluruh luas akan memberi I yang sama; besaran ini dipakai pada tekuk kolom.

Luas bersih dan momen inersia

b = 276 mm, h = 276 mm

A = BH − bh = 300·300 − 276·276 = 13824 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 1,914 × 10⁸ mm⁴

Jari-jari girasi

r = √(I/A) = √(1,914 × 10⁸/13824) = 117,7 mm

Jawaban

r = 117,7 mm

12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 136,1 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki I_c = bh³/12 dan lingkaran I_c = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (28800·120 − 1500·84)/(28800 − 1500) = 122 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

120·240³/12 + 28800·−1,978² = 138,4 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

50·30³/12 + 1500·−37,98² = 2,276 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

I_x = 136,1 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 136,1 × 10⁶ mm⁴

13.Tegangan efektif tanah

Jawaban: σ′ = 79,38 kPa

Tegangan efektif (Terzaghi): butiran tanah menahan σ′ = σ − u. Tegangan total σ adalah berat semua yang ada di atas titik, Σγ·h, memakai berat isi kering di atas muka air tanah dan berat isi jenuh di bawahnya. Di bawah muka air tanah tekanan air pori bersifat hidrostatis: u = γ_w·(kedalaman di bawah muka air tanah).

Tegangan total

Jumlahkan berat setiap lapisan tanah di atas X. Di atas muka air tanah gunakan berat isi kering, di bawahnya berat isi jenuh.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15·4 + 19,5·2 = 99 kPa

Tekanan air pori

Tekanan air bertambah dengan kedalaman di bawah muka air tanah.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·2 = 19,62 kPa

Tegangan efektif

σ′ = σ − u = 99 − 19,62 = 79,38 kPa

Jawaban

σ′ = 79,38 kPa

14.Tegangan efektif tanah

Jawaban: σ′ = 90,14 kPa

Tegangan total

Jumlahkan berat setiap lapisan tanah di atas X. Di atas muka air tanah gunakan berat isi kering, di bawahnya berat isi jenuh.

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·4 + γ_sat,clay·2

σ = 17·2 + 20·4 + 17,5·2 = 149 kPa

Tekanan air pori

Tekanan air bertambah dengan kedalaman di bawah muka air tanah.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·6 = 58,86 kPa

Tegangan efektif

σ′ = σ − u = 149 − 58,86 = 90,14 kPa

Jawaban

σ′ = 90,14 kPa

15.Penurunan konsolidasi

Jawaban: S = 407,7 mm

Konsolidasi primer lapisan lempung setebal H, dengan tegangan efektif di tengah lapisan: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Lempung terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Lempung terkonsolidasi berlebih mengalami rekompresi sepanjang C_r sampai tekanan prakonsolidasi σ′_p dan baru mengikuti C_c setelah melewatinya. Waktu: t = T_v·H_dr²/c_v, dengan lintasan drainase H_dr sebesar H/2 bila air dapat keluar di atas dan di bawah, dan H bila hanya satu sisi yang berdrainase.

Bandingkan dengan tekanan prakonsolidasi

σ′_f = 85 + 190 = 275 kPa > 125 kPa

Penurunan

Rekompresi sampai σ′_p, kompresi murni setelahnya.

S = 0,03·7/(1 + 0,85)·log₁₀(125/85) + 0,3·7/(1 + 0,85)·log₁₀(275/125)

S = 19,01 + 388,7 = 407,7 mm

Jawaban

S = 407,7 mm

16.Penurunan konsolidasi

Jawaban: t = 1,447 tahun

Lintasan drainase

H_dr = H/2 = 5,5/2 = 2,75 m

Waktu

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,287·2,75²/1,5 = 1,447 tahun

Jawaban

t = 1,447 tahun

17.Gaya hidrostatis

Jawaban: F = 69,9 kN

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 4 + 1,5/2 = 4,75 m

A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,75·1,5 = 69,9 kN

Jawaban

F = 69,9 kN

18.Gaya hidrostatis

Jawaban: y_cp = 3,889 m

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·3,75·3,75 = 141,4 kN

Pusat tekanan

Tekanan bertambah dengan kedalaman, jadi resultan bekerja di bawah titik berat.

I_c = b·H³/12 = 1,5·2,5³/12 = 1,953 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,75 + 1,953/(3,75·3,75) = 3,889 m

Jawaban

y_cp = 3,889 m

19.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: h_f = 11,5 m

Aliran pipa: bilangan Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ membedakan aliran laminar (Re di bawah sekitar 2000) dari aliran turbulen (di atas sekitar 4000). Gesekan sepanjang pipa menyebabkan kehilangan head Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Sambungan, katup, lubang masuk, dan lubang keluar menambah kerugian minor h_m = ΣK·V²/(2g). Di antara dua permukaan reservoir terbuka, persamaan energi memberikan Δz = h_f + h_m, termasuk kerugian keluar K = 1.

Head kecepatan

V²/(2g) = 1,9²/(2·9,81) = 0,184 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(500/0,2)·1,9²/(2·9,81) = 11,5 m

Jawaban

h_f = 11,5 m

20.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: Q = 177,8 L/s

Koefisien kerugian

f·L/D = 0,018·500/0,3 = 30

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 + 1,0 = 4,1

Persamaan energi

Kedua permukaan terbuka ke udara dan praktis diam, sehingga seluruh Δz hilang di dalam pipa.

11 = (30 + 4,1)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·11/34,1) = 2,516 m/s

Debit

Q = V·π·D²/4 = 2,516·0,07069 = 0,1778 m³/s = 177,8 L/s

Jawaban

Q = 177,8 L/s

21.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: Q = 157,7 m³/s

Persamaan Manning (SI): untuk aliran seragam di saluran terbuka V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 dan Q = A·V, dengan n koefisien kekasaran, S kemiringan dasar (m/m), dan R = A/P jari-jari hidrolik: luas aliran dibagi keliling basah. Hanya batas yang bersentuhan dengan air yang dihitung dalam P, bukan permukaan bebas. Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y. Trapesium dengan kemiringan sisi z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pipa bulat yang mengalir penuh atau setengah penuh memiliki R = D/4.

Geometri

A = (b + z·y)·y = (6 + 3·2,2)·2,2 = 27,72 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·2,2·√(1 + 3²) = 19,91 m

R = A/P = 1,392 m

Kecepatan

V = (1/0,012)·1,392^2/3·0,003^1/2 = 5,69 m/s

Debit

Q = A·V = 27,72·5,69 = 157,7 m³/s

Jawaban

Q = 157,7 m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: S = 0,003214 m/m

Jari-jari hidrolik

R = D/4 = 0,375/4 = 0,09375 m

Selesaikan Manning untuk S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,9/0,2064)² = 0,003214

Jawaban

S = 0,003214

Itu penurunan 3,214 m per kilometer.

23.Pompa & daya pompa

Jawaban: η = 84,89 %

Daya pompa: daya yang diberikan kepada air adalah daya hidrolik P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Poros harus menyalurkan lebih banyak karena pompa mengalami rugi: P_shaft = P_h/η_pump, dan motor menarik P_el = P_shaft/η_motor. Head pompa H diperoleh dari persamaan energi: tinggi angkat statis + head tekanan + semua kerugian gesekan dan minor.

Daya hidrolik

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·60 = 17,66 kW

Efisiensi

η = P_h/P_shaft = 17,66/20,8 = 84,89%

Jawaban

η = 84,89%

24.Pompa & daya pompa

Jawaban: H = 11,53 m

Kecepatan

V = Q/A = 0,03/0,01767 = 1,698 m/s

V²/(2g) = 0,1469 m

Kehilangan head

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 4)·0,1469 = 3,525 m

Head pompa

Kedua permukaan terbuka dan praktis diam, sehingga suku tekanan dan kecepatan hilang.

H = Δz + h_L = 8 + 3,525 = 11,53 m

Jawaban

H = 11,53 m

25.Nilai waktu uang

Jawaban: PV = 13355 €

Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)ⁿ. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.

Faktor anuitas

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,8219)/0,04 = 4,452

Nilai sekarang

PV = 3 000·4,452 = €13 355,47

Jawaban

PV = €13 355,47

26.Nilai waktu uang

Jawaban: A = 1611 €

Suku bunga bulanan dan jumlah angsuran

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·25 = 300

Angsuran

Nilai sekarang dari N pembayaran yang sama A adalah A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Samakan dengan pinjaman dan selesaikan untuk A.

(1 + i)^−N = 0,224

A = 250 000·0,005/(1 − 0,224) = €1 610,75

Jawaban

A = €1 610,75

27.NPV & IRR

Jawaban: NPV = −12883 €

Nilai sekarang bersih: diskontokan setiap arus kas ke hari ini dengan tingkat pengembalian yang disyaratkan r, lalu jumlahkan: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Proyek dengan NPV > 0 menghasilkan lebih dari r dan menambah nilai. Tingkat pengembalian internal (IRR) adalah tingkat yang membuat NPV = 0.

Nilai sekarang arus kas tahunan

10 000·6,21 = 62 097,94

Nilai sekarang nilai sisa

8 000/1,594 = 5 019,30

NPV

NPV = −80 000 + 62 097,94 + 5 019,30 = −€12 882,76

Jawaban

NPV = −€12 882,76

28.NPV & IRR

Jawaban: IRR = 28,81 %

Apit IRR dari dua sisi

NPV turun saat tingkat naik, jadi IRR terletak di antara tingkat dengan NPV positif dan tingkat dengan NPV negatif.

NPV(25%) = 1 968,00

NPV(30%) = −580,34

Persempit

Interpolasi linear memberi perkiraan awal; mengulanginya (atau fungsi IRR kalkulator) memberi tingkat yang tepat.

IRR ≈ 25 + 5·1 968,00/(1 968,00 − (−580,34)) = 28,86%

tepat: NPV(28,81%) = 0 → IRR = 28,81%

Jawaban

IRR = 28,81%

29.Distribusi normal

Jawaban: z = −1,38

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = 1 − 0,9162 = 0,0838

Baca tabel z secara terbalik

Cari 0,0838 di dalam tabel dan baca z.

z = −1,38

Jawaban

z = −1,38

30.Distribusi normal

Jawaban: x = 77,82 poin

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

z untuk persentil

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Kembali ke x

x = 65 + 1,282·10 = 77,82 poin

Jawaban

x = 77,82 poin

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil