Latihan ujian FE Civil: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 30 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Tegangan efektif tanah

Tegangan total: σ = Σγ_i·h_i
Tekanan air pori: u = γ_w·(z − z_w)
Tegangan efektif: σ′ = σ − u
Air: γ_w = 9,81 kN/m³

Penurunan konsolidasi

Terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Tegangan akhir: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Rasio konsolidasi berlebih: OCR = σ′_p/σ′₀
Waktu konsolidasi: t = T_v·H_dr²/c_v
Lintasan drainase: H_dr = H/2 (drainase ganda), H (drainase tunggal)
Faktor waktu: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Gaya hidrostatis

Tekanan pada kedalaman: p = ρgh
Gaya pada dinding vertikal: F = ρg·h_c·A
Pusat tekanan: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Persegi panjang: I_c = bH³/12

Gesekan pipa & kehilangan head

Bilangan Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Rezim aliran: laminar di bawah Re ≈ 2000, turbulen di atas Re ≈ 4000
Kecepatan rata-rata: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Kerugian minor: h_m = ΣK·V²/(2g)
Nilai K tipikal: masuk 0,5, keluar 1,0, belokan 90° ≈ 0,3
Penurunan tekanan: Δp = ρ·g·h_f
Dua reservoir terbuka: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Keluaran bebas: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Aliran saluran terbuka (Manning)

Persamaan Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debit: Q = A·V
Jari-jari hidrolik: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y
Trapesium (kemiringan sisi z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Pipa bulat, penuh atau setengah penuh: R = D/4
Kemiringan yang diperlukan: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Pompa & daya pompa

Daya hidrolik: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Daya poros: P_shaft = P_h/η_pump
Daya listrik: P_el = P_shaft/η_motor
Head pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Kerugian sistem: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Nilai waktu uang

Nilai masa depan: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Nilai sekarang: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Beberapa periode per tahun: i = r/m, N = m·n
Anuitas, nilai sekarang: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitas, nilai masa depan: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metode

Gambar garis waktu dengan setiap arus kas dan waktunya.
Sesuaikan suku bunga dengan periodenya: suku bunga bulanan untuk pembayaran bulanan.
Gunakan FV = PV·(1 + i)ⁿ untuk jumlah tunggal dan rumus anuitas untuk pembayaran yang sama besar.
Periksa tanda dan orde besaran jawabannya.

NPV & IRR

Nilai sekarang bersih: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Arus kas yang sama: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tingkat pengembalian internal: nilai r saat NPV = 0
Keputusan: terima jika NPV > 0 (atau IRR > tingkat pengembalian yang disyaratkan)

Metode

Daftarkan semua arus kas beserta tahunnya; investasi pada tahun 0 bernilai negatif.
Diskontokan setiap arus kas: CF_t/(1 + r)^t.
Jumlahkan semuanya untuk mendapatkan NPV. Positif berarti proyek menghasilkan lebih dari r.
Untuk IRR, cari suku bunga yang membuat NPV nol dengan coba-coba atau interpolasi.

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok kantilever dijepit ke dinding di A. Balok menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P pada 4 m dari dinding. Cari besar momen reaksi M_A di dinding.

L = 4 mP = 55 kN di 4 mw = 8 kN/m dari 0 sampai 4 m

M_A = kN·m

2.Reaksi tumpuan balokSulit

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal R_A.

L = 6 mP = 10 kN di 4,5 mw = 6 kN/m dari 0 sampai 1 m

R_A = kN

3.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 8 mtinggi = 2 mB berjarak 6 m dari Abeban vertikal = 35 kN

F_AB = kN

4.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 6 mtinggi = 3 mB berjarak 5 m dari Abeban vertikal = 60 kNbeban horizontal = 10 kN ←

F_AB = kN

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

25 kN @ 4 m15 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Balok sederhana menahan beban merata pada sebagian bentangnya. Cari momen lentur maksimum M_max pada balok.

L = 5 mw = 4 kN/m dari 2 sampai 5 m

M_max = kN·m

7.Lendutan balokSedang

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang. Cari lendutan δ di ujung bebas.

w = 6 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (baja)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Lendutan balokSulit

Kantilever bertopang dijepit di A dan ditumpu sederhana (ditopang) di B. Balok menahan beban terpusat P di tengah bentang. EI konstan. Cari besar momen lentur M_A di ujung jepit.

L = 5 mP = 35 kN di 2,5 m

M_A = kN·m

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (baja)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Kolom harus menahan 15 kN dengan faktor keamanan 3 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 15 kNn = 3L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Titik berat & momen inersiaSedang

Profil I simetris memiliki sayap selebar 110 mm dan setebal 20 mm, tinggi total 360 mm, dan badan setebal 6 mm. Cari momen inersianya I_x terhadap sumbu titik berat horizontal x.

B = 110 mmH = 360 mmt_f = 20 mmt_w = 6 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersiaSulit

Sebuah pelat 100 mm × 300 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 50 mm dan setinggi 40 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 90 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas I_x terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 100 mmh = 300 mmpotongan: 50 × 40 mmpusat lubang: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Tegangan efektif tanahSedang

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tegangan efektif vertikal σ′ di titik X.

z = 8 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 16 kN/m³pasir: γ_sat = 20 kN/m³

σ′ = kPa

14.Tegangan efektif tanahSulit

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tegangan efektif vertikal σ′ di titik X.

z = 8,5 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 16 kN/m³pasir: γ_sat = 20,5 kN/m³lempung: γ_sat = 18 kN/m³

σ′ = kPa

15.Penurunan konsolidasiSedang

Lapisan lempung terkonsolidasi berlebih setebal 6 m memiliki C_c = 0,45, C_r = 0,06, dan e₀ = 0,85. Di tengah kedalamannya tegangan vertikal efektifnya 65 kPa dan rasio konsolidasi berlebihnya OCR = 2,5. Sebuah bangunan baru menambah tegangan vertikal 110 kPa di tengah kedalaman. Cari penurunan konsolidasi primer S dalam mm.

H = 6 mC_c = 0,45C_r = 0,06e₀ = 0,85σ′₀ = 65 kPaOCR = 2,5Δσ = 110 kPa

S = mm

16.Penurunan konsolidasiSulit

Sebuah lapisan lempung setebal 7,5 m memiliki koefisien konsolidasi c_v = 0,5 m²/tahun. Lapisan berada di atas batuan kedap air, dengan pasir di atasnya, sehingga air hanya terdrainase keluar di atas. Untuk konsolidasi rata-rata 80% faktor waktunya T_v = 0,567. Berapa tahun t yang diperlukan lapisan untuk mencapai konsolidasi 80%?

H = 7,5 mc_v = 0,5 m²/tahunU = 80%T_v = 0,567drainase tunggal

t = tahun

17.Gaya hidrostatisSedang

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 3 m berada di dinding tangki berisi air, dengan tepi atasnya 2 m di bawah permukaan. Cari gaya hidrostatis resultan F pada pintu air.

d = 2 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Gaya hidrostatisSulit

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 2 m berada di dinding tangki berisi air laut, dengan tepi atasnya 2,5 m di bawah permukaan. Cari gaya hidrostatis resultan F pada pintu air.

d = 2,5 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Gesekan pipa & kehilangan headSedang

Air mengalir dengan debit 12 L/s melalui pipa sepanjang 300 m dengan diameter dalam 75 mm. Gunakan faktor gesekan Darcy f = 0,028 dan g = 9,81 m/s². Cari kehilangan head akibat gesekan h_f.

Q = 12 L/sL = 300 mD = 75 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Gesekan pipa & kehilangan headSulit

Sebuah pipa sepanjang 100 m dengan diameter dalam 100 mm (faktor gesekan Darcy f = 0,025) berawal dari reservoir terbuka dan mengeluarkan air sebagai pancaran bebas ke udara. Kerugian minornya adalah lubang masuk bersudut tajam (K = 0,5), 4 belokan (masing-masing K = 0,3), dan sebuah katup (K = 10). Gunakan g = 9,81 m/s². Berapa tinggi H permukaan reservoir harus berada di atas lubang keluar pipa untuk debit 12 L/s?

Q = 12 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 10

H = m

21.Aliran saluran terbuka (Manning)Sedang

Sebuah saluran persegi panjang tanah bersih selebar 5 m. Air mengalir seragam sedalam 1,3 m. n Manning = 0,022 dan kemiringan dasarnya S = 0,004. Cari debit Q dalam m³/s.

b = 5 my = 1,3 mn = 0,022S = 0,004

Q = m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)Sulit

Sebuah saluran trapesium tanah berlapis rumput dengan lebar dasar 5 m dan kemiringan sisi 1:1 (horizontal:vertikal) harus mengalirkan 13 m³/s dalam aliran seragam pada kedalaman 1,7 m. n Manning = 0,03. Cari kemiringan dasar yang diperlukan S (dalam m/m).

Q = 13 m³/sb = 5 my = 1,7 mz = 1n = 0,03

S = m/m

23.Pompa & daya pompaSedang

Dalam sebuah pengujian, pompa mengalirkan 80 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) melawan head 10 m sementara porosnya menyerap 10,5 kW. Gunakan g = 9,81 m/s². Cari efisiensi pompa η dalam persen.

Q = 80 L/sH = 10 mP_shaft = 10,5 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Pompa & daya pompaSulit

Sebuah pompa memindahkan 80 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) dari reservoir bawah yang terbuka ke tangki atas yang permukaan airnya 16 m lebih tinggi. Pipa sepanjang 150 m dengan diameter dalam 200 mm dan faktor gesekan Darcy f = 0,02; koefisien kerugian minornya berjumlah ΣK = 6 (termasuk lubang masuk dan keluar). Gunakan g = 9,81 m/s². Efisiensi pompa 72%. Cari daya poros P_shaft dalam kW.

Q = 80 L/sΔz = 16 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 6η = 72%

P_shaft = kW

25.Nilai waktu uangSedang

Anda butuh €5 000 dalam 4 tahun. Sebuah rekening memberi 4% per tahun, dimajemukkan bulanan. Berapa yang harus Anda setor hari ini? Tentukan nilai sekarang PV.

FV = €5 0004% / 12n = 4

PV = €

26.Nilai waktu uangSulit

Anda meminjam €12 000 dengan bunga 3% per tahun, dimajemukkan bulanan, dan mengangsur €350 di akhir setiap bulan. Berapa bulan yang diperlukan sampai pinjaman lunas (angsuran terakhir boleh lebih kecil)? Berikan jumlah angsuran N.

P = €12 000A = €3503% / 12

N = angsuran

27.NPV & IRRSedang

Investasi sebesar €75 000 memberikan arus kas berikut di akhir tahun 1 sampai 4: €23 000, €28 000, €33 000, €20 000. Biaya modal 15%. Tentukan nilai sekarang bersih NPV.

r = 15%CF₀ = −75 000CF₁ = 23 000CF₂ = 28 000CF₃ = 33 000CF₄ = 20 000

NPV = €

28.NPV & IRRSulit

Sebuah proyek berbiaya €25 000 dan menghasilkan €11 000, €17 500 di akhir tahun 1 sampai 2. Tentukan tingkat pengembalian internalnya IRR dalam persen.

CF₀ = −25 000CF₁ = 11 000CF₂ = 17 500

IRR = %

29.Distribusi normalSedang

X normal dengan rata-rata 12 min dan simpangan baku 1,5 min; Y saling bebas dan normal dengan rata-rata 20 min dan simpangan baku 2 min. Cari peluang P bahwa X + Y lebih dari 35,1 min. Bulatkan z ke dua desimal.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 35,1 min

P =

30.Distribusi normalSulit

Data tinggi badan pria dewasa berdistribusi normal dengan rata-rata 178 cm dan simpangan baku 7 cm. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 95% data (persentil ke-95).

μ = 178σ = 7P = 95%

x = cm

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: M_A = 284 kN·m

Kesetimbangan kantilever: tumpuan jepit dapat mendorong ke atas sekaligus menahan rotasi, jadi memberi reaksi vertikal R_A dan momen reaksi M_A. ΣF_y = 0 memberi R_A, dan momen terhadap dinding memberi M_A = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban merata bekerja sebagai resultannya di titik berat diagram beban.

Resultan beban merata

W = 8·4 = 32 kN, x̄ = 2 m

Momen terhadap dinding

M_A = P·a + W·x̄ = 55·4 + 32·2 = 284 kN·m

Jawaban

M_A = 284 kN·m

2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = 8 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 6·1 = 6 kN, bekerja di x̄ = 0,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·4,5 + 6·1·0,5

R_B = 48/6 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 8 = 8 kN

Jawaban

R_A = 8 kN

3.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AB = −27,67 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 35·6 → C_y = 26,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 26,25 = 8,75 kN

Titik buhul A

Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.

sin α = 2/6,325 = 0,3162

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −8,75/0,3162 = −27,67 kN

Jawaban

F_AB = −27,67 kN (tekan)

4.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AB = −29,15 kN

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 60·5 − 10·3 → C_y = 45 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 45 = 15 kN

ΣF_x = 0: A_x = 10 kN

Titik buhul A

Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.

sin α = 3/5,831 = 0,5145

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −15/0,5145 = −29,15 kN

Jawaban

F_AB = −29,15 kN (tekan)

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: C (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R₁ = 29,17 kN, R₂ = 10,83 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

M_A = 0, M_B = 58,33, M_C = 86,67 kN·m, M_D = 65, M_E = 43,33, M_F = 21,67, M_G = 0

Jawaban

Tanda C: M_C = 86,67 kN·m

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_max = 8,82 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 4·3 = 12 kN, bekerja di x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 4·3·3,5

R_B = 42/5 = 8,4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 8,4 = 3,6 kN

Gaya geser nol

Gaya geser mulai dari R_A, tetap konstan di bagian yang tidak dibebani, dan turun dengan kemiringan w di dalam beban.

R_A − w·(x₀ − 2) = 0

x₀ = 2 + 3,6/4 = 2,9 m

Momen maksimum

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 2)²/2 = 3,6·2,9 − 4·0,9²/2 = 8,82 kN·m

Jawaban

M_max = 8,82 kN·m

7.Lendutan balok

Jawaban: δ = 1,744 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Lendutan

δ = wL⁴/(8EI) = 6·2500⁴/(8·1,68 × 10¹³) = 1,744 mm

Jawaban

δ = 1,744 mm

8.Lendutan balok

Jawaban: M_A = 32,81 kN·m

Lepaskan topang

Tanpa topang, balok adalah kantilever. Ujung bebasnya akan melendut akibat beban.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Kompatibilitas di topang

Gaya topang R_B sendiri mengangkat ujung bebas sebesar R_BL³/(3EI). Topang menahan B pada lendutan nol, jadi keduanya harus saling meniadakan. EI saling menghapus.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·35/16 = 10,94 kN

Momen di ujung jepit

Momen beban dan gaya topang terhadap A.

M_A = P·L/2 − R_B·L = 87,5 − 54,69 = 32,81 kN·m

Jawaban

M_A = 32,81 kN·m

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 9,922 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·2500 = 5000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/5000² = 9922 N = 9,922 kN

Jawaban

P_cr = 9,922 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 41,57 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·15000 = 45000 N

KL = 1·1500 = 1500 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·45000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 41,57 mm

Jawaban

d = 41,57 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 144,3, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 143,7 × 10⁶ mm⁴

Momen inersia penampang: untuk persegi panjang terhadap sumbu titik beratnya sendiri I = bh³/12, dan terhadap alasnya bh³/3 (teorema sumbu sejajar I = I_c + A·d²). Lubang diperhitungkan dengan mengurangkan I-nya, asalkan kedua bagian memakai sumbu yang sama. Modulus penampang elastis adalah S = I/c, dengan c jarak ke serat terluar.

Persegi panjang luar dikurangi dua potongan samping

Kedua potongan bersama-sama selebar (B − t_w) dan setinggi h_w = H − 2t_f, dan memakai sumbu x yang sama.

h_w = 360 − 2·20 = 320 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (110·360³ − 104·320³)/12

I_x = 1,437 × 10⁸ mm⁴ = 143,7 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 143,7 × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 217 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki I_c = bh³/12 dan lingkaran I_c = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (30000·150 − 2000·90)/(30000 − 2000) = 154,3 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

100·300³/12 + 30000·−4,286² = 225,6 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

50·40³/12 + 2000·−64,29² = 8,532 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

I_x = 217 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 217 × 10⁶ mm⁴

13.Tegangan efektif tanah

Jawaban: σ′ = 87,33 kPa

Tegangan efektif (Terzaghi): butiran tanah menahan σ′ = σ − u. Tegangan total σ adalah berat semua yang ada di atas titik, Σγ·h, memakai berat isi kering di atas muka air tanah dan berat isi jenuh di bawahnya. Di bawah muka air tanah tekanan air pori bersifat hidrostatis: u = γ_w·(kedalaman di bawah muka air tanah).

Tegangan total

Jumlahkan berat setiap lapisan tanah di atas X. Di atas muka air tanah gunakan berat isi kering, di bawahnya berat isi jenuh.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16·1 + 20·7 = 156 kPa

Tekanan air pori

Tekanan air bertambah dengan kedalaman di bawah muka air tanah.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·7 = 68,67 kPa

Tegangan efektif

σ′ = σ − u = 156 − 68,67 = 87,33 kPa

Jawaban

σ′ = 87,33 kPa

14.Tegangan efektif tanah

Jawaban: σ′ = 105,9 kPa

Tegangan total

Jumlahkan berat setiap lapisan tanah di atas X. Di atas muka air tanah gunakan berat isi kering, di bawahnya berat isi jenuh.

σ = γ_d·4 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·2,5

σ = 16·4 + 20,5·2 + 18·2,5 = 150 kPa

Tekanan air pori

Tekanan air bertambah dengan kedalaman di bawah muka air tanah.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4,5 = 44,15 kPa

Tegangan efektif

σ′ = σ − u = 150 − 44,15 = 105,9 kPa

Jawaban

σ′ = 105,9 kPa

15.Penurunan konsolidasi

Jawaban: S = 124,4 mm

Konsolidasi primer lapisan lempung setebal H, dengan tegangan efektif di tengah lapisan: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Lempung terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Lempung terkonsolidasi berlebih mengalami rekompresi sepanjang C_r sampai tekanan prakonsolidasi σ′_p dan baru mengikuti C_c setelah melewatinya. Waktu: t = T_v·H_dr²/c_v, dengan lintasan drainase H_dr sebesar H/2 bila air dapat keluar di atas dan di bawah, dan H bila hanya satu sisi yang berdrainase.

Tekanan prakonsolidasi

σ′_p = OCR·σ′₀ = 2,5·65 = 162,5 kPa

Bandingkan dengan tekanan prakonsolidasi

σ′_f = 65 + 110 = 175 kPa > 162,5 kPa

Penurunan

Rekompresi sampai σ′_p, kompresi murni setelahnya.

S = 0,06·6/(1 + 0,85)·log₁₀(162,5/65) + 0,45·6/(1 + 0,85)·log₁₀(175/162,5)

S = 77,44 + 46,97 = 124,4 mm

Jawaban

S = 124,4 mm

16.Penurunan konsolidasi

Jawaban: t = 63,79 tahun

Lintasan drainase

H_dr = H = 7,5 m

Waktu

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,567·7,5²/0,5 = 63,79 tahun

Jawaban

t = 63,79 tahun

17.Gaya hidrostatis

Jawaban: F = 121,4 kN

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 2 + 1,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,75·4,5 = 121,4 kN

Jawaban

F = 121,4 kN

18.Gaya hidrostatis

Jawaban: F = 98,04 kN

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 1,5·2 = 3 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·3,25·3 = 98,04 kN

Jawaban

F = 98,04 kN

19.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: h_f = 42,12 m

Aliran pipa: bilangan Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ membedakan aliran laminar (Re di bawah sekitar 2000) dari aliran turbulen (di atas sekitar 4000). Gesekan sepanjang pipa menyebabkan kehilangan head Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Sambungan, katup, lubang masuk, dan lubang keluar menambah kerugian minor h_m = ΣK·V²/(2g). Di antara dua permukaan reservoir terbuka, persamaan energi memberikan Δz = h_f + h_m, termasuk kerugian keluar K = 1.

Kecepatan rata-rata

A = π·0,075²/4 = 0,004418 m²

V = Q/A = 0,012/0,004418 = 2,716 m/s

Head kecepatan

V²/(2g) = 2,716²/(2·9,81) = 0,376 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(300/0,075)·2,716²/(2·9,81) = 42,12 m

Jawaban

h_f = 42,12 m

20.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: H = 4,486 m

Kecepatan

V = Q/A = 0,012/0,007854 = 1,528 m/s

V²/(2g) = 0,119 m

Koefisien kerugian

f·L/D = 0,025·100/0,1 = 25

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 = 11,7

Persamaan energi

Pancaran keluar masih membawa head kecepatannya; itu bukan kerugian, tetapi harus disediakan.

H = (1 + 25 + 11,7)·0,119 = 4,486 m

Jawaban

H = 4,486 m

21.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: Q = 16,84 m³/s

Persamaan Manning (SI): untuk aliran seragam di saluran terbuka V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 dan Q = A·V, dengan n koefisien kekasaran, S kemiringan dasar (m/m), dan R = A/P jari-jari hidrolik: luas aliran dibagi keliling basah. Hanya batas yang bersentuhan dengan air yang dihitung dalam P, bukan permukaan bebas. Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y. Trapesium dengan kemiringan sisi z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pipa bulat yang mengalir penuh atau setengah penuh memiliki R = D/4.

Geometri

A = b·y = 5·1,3 = 6,5 m²

P = b + 2y = 5 + 2·1,3 = 7,6 m

R = A/P = 0,8553 m

Kecepatan

V = (1/0,022)·0,8553^2/3·0,004^1/2 = 2,59 m/s

Debit

Q = A·V = 6,5·2,59 = 16,84 m³/s

Jawaban

Q = 16,84 m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: S = 0,0009605 m/m

Geometri

A = (b + z·y)·y = (5 + 1·1,7)·1,7 = 11,39 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·1,7·√(1 + 1²) = 9,808 m

R = A/P = 1,161 m

Selesaikan Manning untuk S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,03·13/(11,39·1,105) = 0,03099

S = 0,03099² = 0,0009605

Jawaban

S = 0,0009605

Itu penurunan 0,9605 m per kilometer.

23.Pompa & daya pompa

Jawaban: η = 74,74 %

Daya pompa: daya yang diberikan kepada air adalah daya hidrolik P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Poros harus menyalurkan lebih banyak karena pompa mengalami rugi: P_shaft = P_h/η_pump, dan motor menarik P_el = P_shaft/η_motor. Head pompa H diperoleh dari persamaan energi: tinggi angkat statis + head tekanan + semua kerugian gesekan dan minor.

Daya hidrolik

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·10 = 7,848 kW

Efisiensi

η = P_h/P_shaft = 7,848/10,5 = 74,74%

Jawaban

η = 74,74%

24.Pompa & daya pompa

Jawaban: P_shaft = 25,01 kW

Kecepatan

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Kehilangan head

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 6)·0,3305 = 6,941 m

Head pompa

H = Δz + h_L = 16 + 6,941 = 22,94 m

Daya poros

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,08·22,94/0,72 = 25,01 kW

Jawaban

P_shaft = 25,01 kW

25.Nilai waktu uang

Jawaban: PV = 4262 €

Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)ⁿ. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.

Suku bunga dan jumlah periode

i = 0,04/12 = 0,003333

N = 12·4 = 48

Nilai sekarang

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1,173 = €4 261,85

Jawaban

PV = €4 261,85

26.Nilai waktu uang

Jawaban: N = 36 angsuran

Susun ulang rumus anuitas

i = 0,0025

(1 + i)^−N = 1 − 12 000·0,0025/350 = 0,9143

Selesaikan dengan logaritma

N = −ln(0,9143)/ln(1,002) = 35,89

Bulatkan ke atas ke angsuran penuh

35 angsuran penuh menyisakan sedikit saldo, yang dilunasi oleh angsuran terakhir yang lebih kecil.

N = 36

Jawaban

N = 36 angsuran

27.NPV & IRR

Jawaban: NPV = −694,9 €

Nilai sekarang bersih: diskontokan setiap arus kas ke hari ini dengan tingkat pengembalian yang disyaratkan r, lalu jumlahkan: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Proyek dengan NPV > 0 menghasilkan lebih dari r dan menambah nilai. Tingkat pengembalian internal (IRR) adalah tingkat yang membuat NPV = 0.

Nilai sekarang setiap arus kas

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,15)¹ = 23 000/1,15 = 20 000,00

CF₂/(1 + 0,15)² = 28 000/1,322 = 21 172,02

CF₃/(1 + 0,15)³ = 33 000/1,521 = 21 698,04

CF₄/(1 + 0,15)⁴ = 20 000/1,749 = 11 435,06

Jumlahkan

NPV = €−694,88

Jawaban

NPV = €−694,88

NPV negatif, jadi proyek menghasilkan kurang dari pengembalian yang disyaratkan.

28.NPV & IRR

Jawaban: IRR = 8,51 %

Apit IRR dari dua sisi

NPV turun saat tingkat naik, jadi IRR terletak di antara tingkat dengan NPV positif dan tingkat dengan NPV negatif.

NPV(5%) = 1 349,21

NPV(10%) = −537,19

Persempit

Interpolasi linear memberi perkiraan awal; mengulanginya (atau fungsi IRR kalkulator) memberi tingkat yang tepat.

IRR ≈ 5 + 5·1 349,21/(1 349,21 − (−537,19)) = 8,576%

tepat: NPV(8,51%) = 0 → IRR = 8,51%

Jawaban

IRR = 8,51%

29.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,1075

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², sehingga σ = √(σ_X² + σ_Y²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi jumlah

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

Standarkan

z = (35,1 − 32)/2,5 = 1,24

Ekor atas

P = 1 − Φ(1,24) = 1 − 0,8925 = 0,1075

Jawaban

P = 0,1075

30.Distribusi normal

Jawaban: x = 189,5 cm

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

z untuk persentil

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Kembali ke x

x = 178 + 1,645·7 = 189,51 cm

Jawaban

x = 189,51 cm

Ini adalah materi latihan independen. ExamProblems tidak berafiliasi dengan atau didukung oleh organisasi penyelenggara ujian ini, dan nama ujian hanya digunakan untuk menggambarkan isinya. FE exam diselenggarakan oleh NCEES, yang tidak berafiliasi dengan ExamProblems dan tidak mendukungnya.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil