Latihan ujian FE Civil: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 30 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Tegangan efektif tanah

Tegangan total: σ = Σγ_i·h_i
Tekanan air pori: u = γ_w·(z − z_w)
Tegangan efektif: σ′ = σ − u
Air: γ_w = 9,81 kN/m³

Penurunan konsolidasi

Terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Tegangan akhir: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Rasio konsolidasi berlebih: OCR = σ′_p/σ′₀
Waktu konsolidasi: t = T_v·H_dr²/c_v
Lintasan drainase: H_dr = H/2 (drainase ganda), H (drainase tunggal)
Faktor waktu: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Gaya hidrostatis

Tekanan pada kedalaman: p = ρgh
Gaya pada dinding vertikal: F = ρg·h_c·A
Pusat tekanan: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Persegi panjang: I_c = bH³/12

Gesekan pipa & kehilangan head

Bilangan Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Rezim aliran: laminar di bawah Re ≈ 2000, turbulen di atas Re ≈ 4000
Kecepatan rata-rata: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Kerugian minor: h_m = ΣK·V²/(2g)
Nilai K tipikal: masuk 0,5, keluar 1,0, belokan 90° ≈ 0,3
Penurunan tekanan: Δp = ρ·g·h_f
Dua reservoir terbuka: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Keluaran bebas: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Aliran saluran terbuka (Manning)

Persamaan Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debit: Q = A·V
Jari-jari hidrolik: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y
Trapesium (kemiringan sisi z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Pipa bulat, penuh atau setengah penuh: R = D/4
Kemiringan yang diperlukan: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Pompa & daya pompa

Daya hidrolik: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Daya poros: P_shaft = P_h/η_pump
Daya listrik: P_el = P_shaft/η_motor
Head pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Kerugian sistem: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Nilai waktu uang

Nilai masa depan: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Nilai sekarang: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Beberapa periode per tahun: i = r/m, N = m·n
Anuitas, nilai sekarang: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitas, nilai masa depan: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metode

Gambar garis waktu dengan setiap arus kas dan waktunya.
Sesuaikan suku bunga dengan periodenya: suku bunga bulanan untuk pembayaran bulanan.
Gunakan FV = PV·(1 + i)ⁿ untuk jumlah tunggal dan rumus anuitas untuk pembayaran yang sama besar.
Periksa tanda dan orde besaran jawabannya.

NPV & IRR

Nilai sekarang bersih: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Arus kas yang sama: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tingkat pengembalian internal: nilai r saat NPV = 0
Keputusan: terima jika NPV > 0 (atau IRR > tingkat pengembalian yang disyaratkan)

Metode

Daftarkan semua arus kas beserta tahunnya; investasi pada tahun 0 bernilai negatif.
Diskontokan setiap arus kas: CF_t/(1 + r)^t.
Jumlahkan semuanya untuk mendapatkan NPV. Positif berarti proyek menghasilkan lebih dari r.
Untuk IRR, cari suku bunga yang membuat NPV nol dengan coba-coba atau interpolasi.

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B, 3,5 m dari A, dan menjorok (overstek) melewati B hingga ujung bebas C. Cari reaksi vertikal R_A, dengan arah ke atas positif.

AB = 3,5 mAC = 5 mP₁ = 35 kN di 2,5 mP₂ = 70 kN di 5 m

R_A = kN

2.Reaksi tumpuan balokSulit

Balok memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B, 3 m dari A, dan menjorok (overstek) melewati B hingga ujung bebas C. Balok menahan beban terpusat P pada 1,5 m dari A dan beban merata w dari 3 m sampai ujung bebas di 5 m. Cari reaksi vertikal R_B, dengan arah ke atas positif.

AB = 3 mAC = 5 mP = 45 kN di 1,5 mw = 8 kN/m dari 3 sampai 5 m

R_B = kN

3.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

F: 10 kN ↓G: 25 kN ↓

1elemen AB
2elemen BC
3elemen CD
4elemen DE
5elemen FG
6elemen GH
7elemen AF
8elemen HE
9elemen BF
10elemen CG
11elemen DH
12elemen BG
13elemen DG

4.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 4 mtinggi = 4 mB berjarak 3 m dari Abeban vertikal = 45 kNbeban horizontal = 5 kN ←

F_AB = kN

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Balok sederhana menahan dua beban terpusat. Cari momen lentur maksimum M_max pada balok.

L = 8 mP₁ = 35 kN di 5 mP₂ = 75 kN di 6 m

M_max = kN·m

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang dan beban terpusat P. Cari momen lentur maksimum M_max pada balok.

L = 5 mP = 30 kN di 3,5 mw = 8 kN/m dari 0 sampai 5 m

M_max = kN·m

7.Lendutan balokSedang

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada a = 5,5 m dari tumpuan A. Cari lendutan δ_P di bawah beban.

P = 12 kNa = 5,5 mL = 8 mE = 200 GPa (baja)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Lendutan balokSulit

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil I_req yang memenuhi batas ini.

w = 15 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (baja)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Kolom harus menahan 135 kN dengan faktor keamanan 2,5 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 135 kNn = 2,5L = 1 mE = 200 GPa (baja)

d = mm

11.Titik berat & momen inersiaSedang

Sebuah pelat 150 mm × 200 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 60 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 60 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas I_x terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 150 mmh = 200 mmd = 60 mmpusat lubang: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersiaSulit

Balok besi tuang memiliki penampang T seperti pada gambar, dengan sayap di atas. Tegangan izinnya 40 MPa untuk tarik dan 120 MPa untuk tekan. Cari momen lentur positif terbesar M_allow yang dapat ditahan balok.

b_f = 280 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmh_w = 300 mmσ_t,allow = 40 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

13.Tegangan efektif tanahSedang

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tegangan efektif vertikal σ′ di titik X.

z = 5 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 15,5 kN/m³pasir: γ_sat = 19 kN/m³

σ′ = kPa

14.Tegangan efektif tanahSulit

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tekanan air pori u di titik X.

z = 8,5 mz_w = 5 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 17 kN/m³pasir: γ_sat = 19 kN/m³lempung: γ_sat = 19 kN/m³

u = kPa

15.Penurunan konsolidasiSedang

Lapisan lempung terkonsolidasi berlebih setebal 6,5 m memiliki C_c = 0,25, C_r = 0,06, dan e₀ = 0,7. Di tengah kedalamannya tegangan vertikal efektifnya 50 kPa dan tekanan prakonsolidasinya 140 kPa. Sebuah bangunan baru menambah tegangan vertikal 240 kPa di tengah kedalaman. Cari penurunan konsolidasi primer S dalam mm.

H = 6,5 mC_c = 0,25C_r = 0,06e₀ = 0,7σ′₀ = 50 kPaσ′_p = 140 kPaΔσ = 240 kPa

S = mm

16.Penurunan konsolidasiSulit

Dalam uji oedometer di laboratorium, benda uji lempung setebal 25 mm, berdrainase di atas dan di bawah, mencapai konsolidasi 50% dalam 5 menit. Di lapangan, lempung yang sama membentuk lapisan setebal 6,5 m. Lapisan berada di atas batuan kedap air, dengan pasir di atasnya, sehingga air hanya terdrainase keluar di atas. Berapa hari t yang diperlukan lapisan di lapangan untuk mencapai konsolidasi 50%?

h_lab = 25 mmt_lab = 5 minH = 6,5 mlapangan: drainase tunggal

t = hari

17.Gaya hidrostatisSedang

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 3 m berada di dinding tangki berisi air, dengan tepi atasnya 2,5 m di bawah permukaan. Cari gaya hidrostatis resultan F pada pintu air.

d = 2,5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Gaya hidrostatisSulit

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 1 m berada di dinding tangki berisi air laut, dengan tepi atasnya 2 m di bawah permukaan. Cari gaya hidrostatis resultan F pada pintu air.

d = 2 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Gesekan pipa & kehilangan headSedang

Air (ρ = 1000 kg/m³) mengalir dengan kecepatan 2,7 m/s melalui pipa horizontal sepanjang 150 m dengan diameter dalam 75 mm. Gunakan faktor gesekan Darcy f = 0,022 dan g = 9,81 m/s². Cari penurunan tekanan Δp sepanjang pipa dalam kPa.

V = 2,7 m/sL = 150 mD = 75 mmf = 0,022ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Gesekan pipa & kehilangan headSulit

Dua reservoir terbuka dihubungkan oleh pipa sepanjang 500 m dengan diameter dalam 300 mm dan faktor gesekan Darcy f = 0,015. Permukaan air reservoir atas berada 36 m di atas permukaan reservoir bawah. Kerugian minornya adalah lubang masuk bersudut tajam (K = 0,5), 2 belokan (masing-masing K = 0,3), sebuah katup (K = 10), dan lubang keluar ke reservoir bawah (K = 1,0). Gunakan g = 9,81 m/s². Cari debit Q dalam L/s.

Δz = 36 mL = 500 mD = 300 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 10K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Aliran saluran terbuka (Manning)Sedang

Sebuah saluran persegi panjang beton kasar selebar 2,5 m. Air mengalir seragam sedalam 1,2 m. n Manning = 0,014 dan kemiringan dasarnya S = 0,003. Cari debit Q dalam m³/s.

b = 2,5 my = 1,2 mn = 0,014S = 0,003

Q = m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)Sulit

Sebuah saluran trapesium tanah bersih dengan lebar dasar 2,5 m dan kemiringan sisi 3:1 (horizontal:vertikal) harus mengalirkan 27 m³/s dalam aliran seragam pada kedalaman 1,4 m. n Manning = 0,022. Cari kemiringan dasar yang diperlukan S (dalam m/m).

Q = 27 m³/sb = 2,5 my = 1,4 mz = 3n = 0,022

S = m/m

23.Pompa & daya pompaSedang

Sebuah pompa dengan efisiensi 78% mengalirkan 60 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) melawan head 44 m. Gunakan g = 9,81 m/s². Cari daya poros P_shaft yang diperlukan, dalam kW.

Q = 60 L/sH = 44 mη = 78%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Pompa & daya pompaSulit

Sebuah pompa memindahkan 80 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) dari reservoir bawah yang terbuka ke tangki atas yang permukaan airnya 7 m lebih tinggi. Pipa sepanjang 100 m dengan diameter dalam 250 mm dan faktor gesekan Darcy f = 0,025; koefisien kerugian minornya berjumlah ΣK = 5 (termasuk lubang masuk dan keluar). Gunakan g = 9,81 m/s². Efisiensi pompa 85%. Cari daya poros P_shaft dalam kW.

Q = 80 L/sΔz = 7 mL = 100 mD = 250 mmf = 0,025ΣK = 5η = 85%

P_shaft = kW

25.Nilai waktu uangSedang

Sebuah kartu kredit mengenakan suku bunga nominal 19,5% per tahun, dimajemukkan triwulanan. Tentukan suku bunga efektif tahunan EAR dalam persen.

r = 19,5%m = 4

EAR = %

26.Nilai waktu uangSulit

Pinjaman sebesar €20 000 dilunasi dengan angsuran bulanan yang sama selama 5 tahun. Suku bunganya 7,2% per tahun, dimajemukkan bulanan. Tentukan angsuran bulanan A.

P = €20 0007,2% / 12N = 60

A = €

27.NPV & IRRSedang

Investasi sebesar €20 000 memberikan arus kas berikut di akhir tahun 1 sampai 4: €6 000, €5 000, €9 000, €9 000. Biaya modal 6%. Tentukan nilai sekarang bersih NPV.

r = 6%CF₀ = −20 000CF₁ = 6 000CF₂ = 5 000CF₃ = 9 000CF₄ = 9 000

NPV = €

28.NPV & IRRSulit

Sebuah proyek berbiaya €40 000 dan menghasilkan €28 000, €26 000 di akhir tahun 1 sampai 2. Tentukan tingkat pengembalian internalnya IRR dalam persen.

CF₀ = −40 000CF₁ = 28 000CF₂ = 26 000

IRR = %

29.Distribusi normalSedang

Seret z sehingga luas berarsir di antara −z dan z di bawah kurva normal baku adalah 0,5223. Cari z sampai dua desimal.

A = 0,5223

z =

30.Distribusi normalSulit

Data berat kantong berdistribusi normal dengan rata-rata 250 g dan simpangan baku 5 g. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 20% data (persentil ke-20).

μ = 250σ = 5P = 20%

x = g

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = −20 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Momen terhadap A

Berlawanan arah jarum jam positif.

ΣM_A = 0: R_B·3,5 = 35·2,5 + 70·5

R_B = 437,5/3,5 = 125 kN

Kesetimbangan vertikal

R_A = 35 + 70 − 125 = −20 kN

Jawaban

R_A = −20 kN

R_A negatif: sendi di A harus menahan balok agar tidak terangkat.

2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_B = 43,83 kN

Resultan beban merata

W = 8·2 = 16 kN, x̄ = (3 + 5)/2 = 4 m

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣM_A = 0: R_B·3 = 45·1,5 + 16·4

R_B = 131,5/3 = 43,83 kN

R_A = 61 − 43,83 = 17,17 kN

Jawaban

R_B = 43,83 kN

3.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen CG

Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.

Simpul C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 15 kN (T), BC: 22,5 kN (T), CD: 22,5 kN (T), DE: 11,25 kN (T), FG: 15 kN (C), GH: 11,25 kN (C), AF: 25 kN (C), HE: 18,75 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 0, DH: 15 kN (T), BG: 12,5 kN (C), DG: 18,75 kN (C)

Jawaban

Elemen gaya-nol: CG

4.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AB = −20,31 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 45·3 − 5·4 → C_y = 28,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 28,75 = 16,25 kN

ΣF_x = 0: A_x = 5 kN

Titik buhul A

Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.

sin α = 4/5 = 0,8

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −16,25/0,8 = −20,31 kN

Jawaban

F_AB = −20,31 kN (tekan)

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_max = 159,4 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 35·5 + 75·6

R_B = 625/8 = 78,13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 78,13 = 31,88 kN

Momen di bawah tiap beban

Ambil bagian di kiri tiap beban.

di bawah P₁: M = R_A·5 = 31,88·5 = 159,4 kN·m

di bawah P₂: M = R_B·2 = 78,13·2 = 156,3 kN·m

Nilai terbesar

M_max = 159,4 kN·m (di bawah P₁)

Jawaban

M_max = 159,4 kN·m

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_max = 52,5 kN·m

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 30·3,5 + 8·5·2,5

R_B = 205/5 = 41 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 41 = 29 kN

Di mana V = 0?

V(3,5⁻) = R_A − w·3,5 = 1 kN

V(3,5⁺) = 1 − 30 = −29 kN

Gaya geser berganti tanda di titik beban, jadi maksimum berada di bawah beban.

Momen maksimum

M_max = R_A·3,5 − w·3,5²/2 = 29·3,5 − 8·3,5²/2 = 52,5 kN·m

Jawaban

M_max = 52,5 kN·m

Terjadi di x = 3,5 m dari A.

7.Lendutan balok

Jawaban: δ_P = 20,55 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 12000 N, a = 5500 mm, b = 2500 mm, L = 8000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Lendutan di bawah beban

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 12000·5500²·2500²/(3·4,6 × 10¹²·8000) = 20,55 mm

Jawaban

δ_P = 20,55 mm

8.Lendutan balok

Jawaban: I_req = 2,813 × 10⁶ mm⁴

Batas lendutan

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·2000⁴/(384·200000·5,556) = 2,813 × 10⁶ mm⁴

I_req = 2,813 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_req = 2,813 × 10⁶ mm⁴

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 7,197 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/2500² = 7197 N = 7,197 kN

Jawaban

P_cr = 7,197 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 61,1 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2,5·135000 = 337500 N

KL = 2·1000 = 2000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·337500·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 61,1 mm

Jawaban

d = 61,1 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 130,9, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 94,37 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki I_c = bh³/12 dan lingkaran I_c = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (30000·100 − 2827·60)/(30000 − 2827) = 104,2 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

150·200³/12 + 30000·−4,162² = 100,5 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−44,16² = 6,151 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

I_x = 94,37 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 94,37 × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: M_allow = 10,2 kN·m

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Titik berat

ȳ = (2800·305 + 3000·150)/5800 = 224,8 mm

tepi atas: c = 310 − 224,8 = 85,17 mm

Momen inersia penampang

I = 280·10³/12 + 2800·80,17² + 10·300³/12 + 3000·74,83² = 5,732 × 10⁷ mm⁴

Momen yang diizinkan tiap tepi

Momen positif: sisi atas tertekan, sisi bawah tertarik.

tepi atas: M = 120·5,732 × 10⁷/85,17 = 80,76 kN·m

tepi bawah: M = 40·5,732 × 10⁷/224,8 = 10,2 kN·m

Nilai yang menentukan

M_allow = min = 10,2 kN·m (tepi bawah)

Jawaban

M_allow = 10,2 kN·m

13.Tegangan efektif tanah

Jawaban: σ′ = 71,19 kPa

Tegangan efektif (Terzaghi): butiran tanah menahan σ′ = σ − u. Tegangan total σ adalah berat semua yang ada di atas titik, Σγ·h, memakai berat isi kering di atas muka air tanah dan berat isi jenuh di bawahnya. Di bawah muka air tanah tekanan air pori bersifat hidrostatis: u = γ_w·(kedalaman di bawah muka air tanah).

Tegangan total

Jumlahkan berat setiap lapisan tanah di atas X. Di atas muka air tanah gunakan berat isi kering, di bawahnya berat isi jenuh.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15,5·4 + 19·1 = 81 kPa

Tekanan air pori

Tekanan air bertambah dengan kedalaman di bawah muka air tanah.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·1 = 9,81 kPa

Tegangan efektif

σ′ = σ − u = 81 − 9,81 = 71,19 kPa

Jawaban

σ′ = 71,19 kPa

14.Tegangan efektif tanah

Jawaban: u = 34,34 kPa

Tekanan air pori

Tekanan air bertambah dengan kedalaman di bawah muka air tanah.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·3,5 = 34,34 kPa

Jawaban

u = 34,34 kPa

15.Penurunan konsolidasi

Jawaban: S = 404,9 mm

Konsolidasi primer lapisan lempung setebal H, dengan tegangan efektif di tengah lapisan: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Lempung terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Lempung terkonsolidasi berlebih mengalami rekompresi sepanjang C_r sampai tekanan prakonsolidasi σ′_p dan baru mengikuti C_c setelah melewatinya. Waktu: t = T_v·H_dr²/c_v, dengan lintasan drainase H_dr sebesar H/2 bila air dapat keluar di atas dan di bawah, dan H bila hanya satu sisi yang berdrainase.

Bandingkan dengan tekanan prakonsolidasi

σ′_f = 50 + 240 = 290 kPa > 140 kPa

Penurunan

Rekompresi sampai σ′_p, kompresi murni setelahnya.

S = 0,06·6,5/(1 + 0,7)·log₁₀(140/50) + 0,25·6,5/(1 + 0,7)·log₁₀(290/140)

S = 102,6 + 302,3 = 404,9 mm

Jawaban

S = 404,9 mm

16.Penurunan konsolidasi

Jawaban: t = 938,9 hari

Lintasan drainase

H_dr,lab = 25/2 = 12,5 mm = 0,0125 m

H_dr,field = 6,5 m

Skalakan waktunya

t = T_v·H_dr²/c_v dengan T_v dan c_v yang sama di laboratorium dan di lapangan.

t_field = 5·(6,5/0,0125)² = 1,352 × 10⁶ min

t_field = 1,352 × 10⁶/1440 = 938,9 hari

Jawaban

t = 938,9 hari

17.Gaya hidrostatis

Jawaban: F = 206 kN

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2/2 = 3,5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·6 = 206 kN

Jawaban

F = 206 kN

18.Gaya hidrostatis

Jawaban: F = 81,7 kN

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 2 + 2,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·3,25·2,5 = 81,7 kN

Jawaban

F = 81,7 kN

19.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: Δp = 160,4 kPa

Aliran pipa: bilangan Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ membedakan aliran laminar (Re di bawah sekitar 2000) dari aliran turbulen (di atas sekitar 4000). Gesekan sepanjang pipa menyebabkan kehilangan head Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Sambungan, katup, lubang masuk, dan lubang keluar menambah kerugian minor h_m = ΣK·V²/(2g). Di antara dua permukaan reservoir terbuka, persamaan energi memberikan Δz = h_f + h_m, termasuk kerugian keluar K = 1.

Kehilangan head

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(150/0,075)·2,7²/(2·9,81) = 16,35 m

Penurunan tekanan

Pipa horizontal dan kecepatannya tidak berubah, sehingga persamaan energi menjadi Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·16,35 = 160380 Pa = 160,4 kPa

Jawaban

Δp = 160,4 kPa

20.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: Q = 308,4 L/s

Koefisien kerugian

f·L/D = 0,015·500/0,3 = 25

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 + 1,0 = 12,1

Persamaan energi

Kedua permukaan terbuka ke udara dan praktis diam, sehingga seluruh Δz hilang di dalam pipa.

36 = (25 + 12,1)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·36/37,1) = 4,363 m/s

Debit

Q = V·π·D²/4 = 4,363·0,07069 = 0,3084 m³/s = 308,4 L/s

Jawaban

Q = 308,4 L/s

21.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: Q = 8,463 m³/s

Persamaan Manning (SI): untuk aliran seragam di saluran terbuka V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 dan Q = A·V, dengan n koefisien kekasaran, S kemiringan dasar (m/m), dan R = A/P jari-jari hidrolik: luas aliran dibagi keliling basah. Hanya batas yang bersentuhan dengan air yang dihitung dalam P, bukan permukaan bebas. Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y. Trapesium dengan kemiringan sisi z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pipa bulat yang mengalir penuh atau setengah penuh memiliki R = D/4.

Geometri

A = b·y = 2,5·1,2 = 3 m²

P = b + 2y = 2,5 + 2·1,2 = 4,9 m

R = A/P = 0,6122 m

Kecepatan

V = (1/0,014)·0,6122^2/3·0,003^1/2 = 2,821 m/s

Debit

Q = A·V = 3·2,821 = 8,463 m³/s

Jawaban

Q = 8,463 m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: S = 0,005173 m/m

Geometri

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 3·1,4)·1,4 = 9,38 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·1,4·√(1 + 3²) = 11,35 m

R = A/P = 0,8261 m

Selesaikan Manning untuk S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·27/(9,38·0,8804) = 0,07193

S = 0,07193² = 0,005173

Jawaban

S = 0,005173

Itu penurunan 5,173 m per kilometer.

23.Pompa & daya pompa

Jawaban: P_shaft = 33,2 kW

Daya pompa: daya yang diberikan kepada air adalah daya hidrolik P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Poros harus menyalurkan lebih banyak karena pompa mengalami rugi: P_shaft = P_h/η_pump, dan motor menarik P_el = P_shaft/η_motor. Head pompa H diperoleh dari persamaan energi: tinggi angkat statis + head tekanan + semua kerugian gesekan dan minor.

Daya hidrolik

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·44 = 25,9 kW

Daya poros

P_shaft = P_h/η = 25,9/0,78 = 33,2 kW

Jawaban

P_shaft = 33,2 kW

24.Pompa & daya pompa

Jawaban: P_shaft = 8,338 kW

Kecepatan

V = Q/A = 0,08/0,04909 = 1,63 m/s

V²/(2g) = 0,1354 m

Kehilangan head

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (10 + 5)·0,1354 = 2,031 m

Head pompa

H = Δz + h_L = 7 + 2,031 = 9,031 m

Daya poros

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,08·9,031/0,85 = 8,338 kW

Jawaban

P_shaft = 8,338 kW

25.Nilai waktu uang

Jawaban: EAR = 20,97 %

Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)ⁿ. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.

Suku bunga per periode

r/m = 0,195/4 = 0,04875

Majemukkan selama satu tahun

EAR = (1 + 0,04875)⁴ − 1 = 1,21 − 1 = 20,97%

Jawaban

EAR = 20,97%

EAR selalu di atas suku bunga nominal jika bunga dimajemukkan lebih dari sekali setahun.

26.Nilai waktu uang

Jawaban: A = 397,9 €

Suku bunga bulanan dan jumlah angsuran

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·5 = 60

Angsuran

Nilai sekarang dari N pembayaran yang sama A adalah A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Samakan dengan pinjaman dan selesaikan untuk A.

(1 + i)^−N = 0,6984

A = 20 000·0,006/(1 − 0,6984) = €397,91

Jawaban

A = €397,91

27.NPV & IRR

Jawaban: NPV = 4796 €

Nilai sekarang bersih: diskontokan setiap arus kas ke hari ini dengan tingkat pengembalian yang disyaratkan r, lalu jumlahkan: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Proyek dengan NPV > 0 menghasilkan lebih dari r dan menambah nilai. Tingkat pengembalian internal (IRR) adalah tingkat yang membuat NPV = 0.

Nilai sekarang setiap arus kas

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,06)¹ = 6 000/1,06 = 5 660,38

CF₂/(1 + 0,06)² = 5 000/1,124 = 4 449,98

CF₃/(1 + 0,06)³ = 9 000/1,191 = 7 556,57

CF₄/(1 + 0,06)⁴ = 9 000/1,262 = 7 128,84

Jumlahkan

NPV = €4 795,78

Jawaban

NPV = €4 795,78

NPV positif, jadi proyek menghasilkan lebih dari pengembalian yang disyaratkan.

28.NPV & IRR

Jawaban: IRR = 22,89 %

Apit IRR dari dua sisi

NPV turun saat tingkat naik, jadi IRR terletak di antara tingkat dengan NPV positif dan tingkat dengan NPV negatif.

NPV(20%) = 1 388,89

NPV(25%) = −960,00

Persempit

Interpolasi linear memberi perkiraan awal; mengulanginya (atau fungsi IRR kalkulator) memberi tingkat yang tepat.

IRR ≈ 20 + 5·1 388,89/(1 388,89 − (−960,00)) = 22,96%

tepat: NPV(22,89%) = 0 → IRR = 22,89%

Jawaban

IRR = 22,89%

29.Distribusi normal

Jawaban: z = 0,71

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = (1 + 0,5223)/2 = 0,7611

Baca tabel z secara terbalik

Cari 0,7611 di dalam tabel dan baca z.

z = 0,71

Jawaban

z = 0,71

30.Distribusi normal

Jawaban: x = 245,8 g

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

z untuk persentil

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Kembali ke x

x = 250 + −0,8416·5 = 245,79 g

Jawaban

x = 245,79 g

Ini adalah materi latihan independen. ExamProblems tidak berafiliasi dengan atau didukung oleh organisasi penyelenggara ujian ini, dan nama ujian hanya digunakan untuk menggambarkan isinya. FE exam diselenggarakan oleh NCEES, yang tidak berafiliasi dengan ExamProblems dan tidak mendukungnya.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil