Latihan ujian FE Civil: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 30 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Tegangan efektif tanah

Tegangan total: σ = Σγ_i·h_i
Tekanan air pori: u = γ_w·(z − z_w)
Tegangan efektif: σ′ = σ − u
Air: γ_w = 9,81 kN/m³

Penurunan konsolidasi

Terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Tegangan akhir: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Rasio konsolidasi berlebih: OCR = σ′_p/σ′₀
Waktu konsolidasi: t = T_v·H_dr²/c_v
Lintasan drainase: H_dr = H/2 (drainase ganda), H (drainase tunggal)
Faktor waktu: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Gaya hidrostatis

Tekanan pada kedalaman: p = ρgh
Gaya pada dinding vertikal: F = ρg·h_c·A
Pusat tekanan: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Persegi panjang: I_c = bH³/12

Gesekan pipa & kehilangan head

Bilangan Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Rezim aliran: laminar di bawah Re ≈ 2000, turbulen di atas Re ≈ 4000
Kecepatan rata-rata: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Kerugian minor: h_m = ΣK·V²/(2g)
Nilai K tipikal: masuk 0,5, keluar 1,0, belokan 90° ≈ 0,3
Penurunan tekanan: Δp = ρ·g·h_f
Dua reservoir terbuka: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Keluaran bebas: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Aliran saluran terbuka (Manning)

Persamaan Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debit: Q = A·V
Jari-jari hidrolik: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y
Trapesium (kemiringan sisi z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Pipa bulat, penuh atau setengah penuh: R = D/4
Kemiringan yang diperlukan: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Pompa & daya pompa

Daya hidrolik: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Daya poros: P_shaft = P_h/η_pump
Daya listrik: P_el = P_shaft/η_motor
Head pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Kerugian sistem: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Nilai waktu uang

Nilai masa depan: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Nilai sekarang: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Beberapa periode per tahun: i = r/m, N = m·n
Anuitas, nilai sekarang: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitas, nilai masa depan: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metode

Gambar garis waktu dengan setiap arus kas dan waktunya.
Sesuaikan suku bunga dengan periodenya: suku bunga bulanan untuk pembayaran bulanan.
Gunakan FV = PV·(1 + i)ⁿ untuk jumlah tunggal dan rumus anuitas untuk pembayaran yang sama besar.
Periksa tanda dan orde besaran jawabannya.

NPV & IRR

Nilai sekarang bersih: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Arus kas yang sama: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tingkat pengembalian internal: nilai r saat NPV = 0
Keputusan: terima jika NPV > 0 (atau IRR > tingkat pengembalian yang disyaratkan)

Metode

Daftarkan semua arus kas beserta tahunnya; investasi pada tahun 0 bernilai negatif.
Diskontokan setiap arus kas: CF_t/(1 + r)^t.
Jumlahkan semuanya untuk mendapatkan NPV. Positif berarti proyek menghasilkan lebih dari r.
Untuk IRR, cari suku bunga yang membuat NPV nol dengan coba-coba atau interpolasi.

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B, 4 m dari A, dan menjorok (overstek) melewati B hingga ujung bebas C. Cari reaksi vertikal R_A, dengan arah ke atas positif.

AB = 4 mAC = 5 mP₁ = 55 kN di 3,5 mP₂ = 80 kN di 5 m

R_A = kN

2.Reaksi tumpuan balokSulit

Balok kantilever dijepit ke dinding di A. Balok menahan beban yang berubah linear, nol di dinding dan naik sampai 4 kN/m di ujung bebas B, ditambah beban terpusat P pada 4 m dari dinding. Cari besar momen reaksi M_A di dinding.

L = 8 mw₀ = 4 kN/mP = 30 kN di 4 m

M_A = kN·m

3.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_BC pada batang BC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 8 mtinggi = 2 mB berjarak 2 m dari Abeban vertikal = 15 kN

F_BC = kN

4.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

B: 40 kN ↓C: 20 kN ↓G: 10 kN ↓H: 30 kN ↓H: 25 kN ←

1elemen AB
2elemen BC
3elemen CD
4elemen DE
5elemen FG
6elemen GH
7elemen AF
8elemen HE
9elemen BF
10elemen CG
11elemen DH
12elemen FC
13elemen HC

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Kantilever dijepit di A. Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P pada jarak 2 m dari A. Cari momen lentur M_x pada potongan x = 1,5 m dari tumpuan jepit A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 2 mP = 70 kN di 2 mw = 6 kN/m dari 0 sampai 2 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 0,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 5 mP = 35 kN di 3 mw = 4 kN/m dari 0 sampai 5 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

7.Lendutan balokSedang

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P di ujung bebasnya. Dengan superposisi, cari lendutan δ di ujung bebas.

P = 21 kNw = 12 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Lendutan balokSulit

Balok kayu sederhana berpenampang persegi panjang selebar 100 mm menahan beban merata w di seluruh bentang. Lendutan tengah bentangnya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari tinggi terkecil h_req penampang.

w = 2,5 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (kayu struktural)b = 100 mm

h_req = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (baja)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Kolom harus menahan 70 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 70 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Titik berat & momen inersiaSedang

Profil I simetris memiliki sayap selebar 100 mm dan setebal 20 mm, tinggi total 280 mm, dan badan setebal 12 mm. Cari momen inersianya I_x terhadap sumbu titik berat horizontal x.

B = 100 mmH = 280 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersiaSulit

Sebuah pelat 120 mm × 300 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 80 mm dan setinggi 30 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 195 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas I_x terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 120 mmh = 300 mmpotongan: 80 × 30 mmpusat lubang: y = 195 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Tegangan efektif tanahSedang

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tegangan efektif vertikal σ′ di titik X.

z = 10 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 16,5 kN/m³pasir: γ_sat = 19 kN/m³

σ′ = kPa

14.Tegangan efektif tanahSulit

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tekanan air pori u di titik X.

z = 7 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 17 kN/m³pasir: γ_sat = 18,5 kN/m³lempung: γ_sat = 18 kN/m³

u = kPa

15.Penurunan konsolidasiSedang

Lapisan lempung terkonsolidasi berlebih setebal 8 m memiliki C_c = 0,35, C_r = 0,02, dan e₀ = 1,15. Di tengah kedalamannya tegangan vertikal efektifnya 80 kPa dan rasio konsolidasi berlebihnya OCR = 2,5. Sebuah bangunan baru menambah tegangan vertikal 130 kPa di tengah kedalaman. Cari penurunan konsolidasi primer S dalam mm.

H = 8 mC_c = 0,35C_r = 0,02e₀ = 1,15σ′₀ = 80 kPaOCR = 2,5Δσ = 130 kPa

S = mm

16.Penurunan konsolidasiSulit

Sebuah lapisan lempung setebal 2,5 m memiliki koefisien konsolidasi c_v = 1 m²/tahun. Lapisan berada di atas batuan kedap air, dengan pasir di atasnya, sehingga air hanya terdrainase keluar di atas. Untuk konsolidasi rata-rata 90% faktor waktunya T_v = 0,848. Berapa tahun t yang diperlukan lapisan untuk mencapai konsolidasi 90%?

H = 2,5 mc_v = 1 m²/tahunU = 90%T_v = 0,848drainase tunggal

t = tahun

17.Gaya hidrostatisSedang

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 3 m berada di dinding tangki berisi air, dengan tepi atasnya 1,5 m di bawah permukaan. Cari gaya hidrostatis resultan F pada pintu air.

d = 1,5 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Gaya hidrostatisSulit

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 3 m berada di dinding tangki berisi oli, dengan tepi atasnya 2,5 m di bawah permukaan. Cari kedalaman y_cp pusat tekanan di bawah permukaan.

d = 2,5 mH = 1 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Gesekan pipa & kehilangan headSedang

Air mengalir dengan kecepatan rata-rata 1,2 m/s melalui pipa sepanjang 1000 m dengan diameter dalam 300 mm. Gunakan faktor gesekan Darcy f = 0,02 dan g = 9,81 m/s². Cari kehilangan head akibat gesekan h_f.

V = 1,2 m/sL = 1000 mD = 300 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Gesekan pipa & kehilangan headSulit

Sebuah pipa sepanjang 150 m dengan diameter dalam 300 mm (faktor gesekan Darcy f = 0,018) berawal dari reservoir terbuka dan mengeluarkan air sebagai pancaran bebas ke udara. Kerugian minornya adalah lubang masuk bersudut tajam (K = 0,5), 2 belokan (masing-masing K = 0,3), dan sebuah katup (K = 5). Gunakan g = 9,81 m/s². Berapa tinggi H permukaan reservoir harus berada di atas lubang keluar pipa untuk debit 75 L/s?

Q = 75 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 5

H = m

21.Aliran saluran terbuka (Manning)Sedang

Sebuah saluran trapesium beton kasar memiliki lebar dasar 3 m dan kemiringan sisi 1:1 (horizontal:vertikal). Air mengalir seragam sedalam 2,3 m. n Manning = 0,014 dan kemiringan dasarnya S = 0,003. Cari debit Q dalam m³/s.

b = 3 my = 2,3 mz = 1n = 0,014S = 0,003

Q = m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)Sulit

Sebuah saluran trapesium kerikil dengan lebar dasar 2 m dan kemiringan sisi 1,5:1 (horizontal:vertikal) harus mengalirkan 3,9 m³/s dalam aliran seragam pada kedalaman 1,3 m. n Manning = 0,025. Cari kemiringan dasar yang diperlukan S (dalam m/m).

Q = 3,9 m³/sb = 2 my = 1,3 mz = 1,5n = 0,025

S = m/m

23.Pompa & daya pompaSedang

Dalam sebuah pengujian, pompa mengalirkan 20 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) melawan head 36 m sementara porosnya menyerap 9,4 kW. Gunakan g = 9,81 m/s². Cari efisiensi pompa η dalam persen.

Q = 20 L/sH = 36 mP_shaft = 9,4 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Pompa & daya pompaSulit

Sebuah pompa memindahkan 15 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) dari reservoir bawah yang terbuka ke tangki atas yang permukaan airnya 21 m lebih tinggi. Pipa sepanjang 100 m dengan diameter dalam 100 mm dan faktor gesekan Darcy f = 0,025; koefisien kerugian minornya berjumlah ΣK = 8 (termasuk lubang masuk dan keluar). Gunakan g = 9,81 m/s². Efisiensi pompa 65%. Cari daya poros P_shaft dalam kW.

Q = 15 L/sΔz = 21 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,025ΣK = 8η = 65%

P_shaft = kW

25.Nilai waktu uangSedang

Anda butuh €10 000 dalam 2 tahun. Sebuah rekening memberi 6% per tahun, dimajemukkan triwulanan. Berapa yang harus Anda setor hari ini? Tentukan nilai sekarang PV.

FV = €10 0006% / 4n = 2

PV = €

26.Nilai waktu uangSulit

Anda meminjam €8 000 dengan bunga 5,4% per tahun, dimajemukkan bulanan, dan mengangsur €250 di akhir setiap bulan. Berapa bulan yang diperlukan sampai pinjaman lunas (angsuran terakhir boleh lebih kecil)? Berikan jumlah angsuran N.

P = €8 000A = €2505,4% / 12

N = angsuran

27.NPV & IRRSedang

Investasi sebesar €30 000 memberikan arus kas berikut di akhir tahun 1 sampai 4: €10 000, €14 000, €7 000, €11 000. Biaya modal 5%. Tentukan nilai sekarang bersih NPV.

r = 5%CF₀ = −30 000CF₁ = 10 000CF₂ = 14 000CF₃ = 7 000CF₄ = 11 000

NPV = €

28.NPV & IRRSulit

Sebuah proyek berbiaya €20 000 dan menghasilkan €15 000, €12 000, €11 500 di akhir tahun 1 sampai 3. Tentukan tingkat pengembalian internalnya IRR dalam persen.

CF₀ = −20 000CF₁ = 15 000CF₂ = 12 000CF₃ = 11 500

IRR = %

29.Distribusi normalSedang

Massa penumpang dengan bagasi saling bebas dan normal dengan rata-rata 85 kg dan simpangan baku 12 kg. Cari peluang P bahwa massa total 16 di antaranya melebihi 1384 kg. Bulatkan z ke dua desimal.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 16> 1384 kg

P =

30.Distribusi normalSulit

Diameter lubang D normal dengan rata-rata 25,04 mm dan simpangan baku 0,015 mm. Diameter poros d saling bebas dan normal dengan rata-rata 25 mm dan simpangan baku 0,01 mm. Sebuah poros yang dipilih acak pas bila D − d > 0. Cari peluang P bahwa poros itu pas. Bulatkan z ke dua desimal.

lubang: μ = 25,04 mm, σ = 0,015 mmporos: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = −13,13 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Momen terhadap A

Berlawanan arah jarum jam positif.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 55·3,5 + 80·5

R_B = 592,5/4 = 148,1 kN

Kesetimbangan vertikal

R_A = 55 + 80 − 148,1 = −13,13 kN

Jawaban

R_A = −13,13 kN

R_A negatif: sendi di A harus menahan balok agar tidak terangkat.

2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: M_A = 205,3 kN·m

Kesetimbangan kantilever: tumpuan jepit dapat mendorong ke atas sekaligus menahan rotasi, jadi memberi reaksi vertikal R_A dan momen reaksi M_A. ΣF_y = 0 memberi R_A, dan momen terhadap dinding memberi M_A = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban merata bekerja sebagai resultannya di titik berat diagram beban.

Resultan beban segitiga

W = ½·4·8 = 16 kN

x̄ = 2L/3 = 5,333 m

Momen terhadap dinding

M_A = W·x̄ + P·a = 16·5,333 + 30·4 = 205,3 kN·m

Jawaban

M_A = 205,3 kN·m

3.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_BC = −11,86 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 15·2 → C_y = 3,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 3,75 = 11,25 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 2/6,325 = 0,3162, cos γ = 6/6,325 = 0,9487

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −3,75/0,3162 = −11,86 kN

Jawaban

F_BC = −11,86 kN (tekan)

4.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen DH

Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.

Simpul D

CD dan DE terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 51,25 kN (T), BC: 51,25 kN (T), CD: 57,08 kN (T), DE: 57,08 kN (T), FG: 99,17 kN (C), GH: 99,17 kN (C), AF: 95,31 kN (C), HE: 71,35 kN (C), BF: 40 kN (T), CG: 10 kN (C), DH: 0, FC: 28,65 kN (T), HC: 21,35 kN (T)

Jawaban

Elemen gaya-nol: DH

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = −35,75 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Ambil bagian ujung bebas

P: −70·0,5 = −35 kN·m

w: −6·0,5²/2 = −0,75 kN·m

M_x = −35 − 0,75 = −35,75 kN·m

Jawaban

M_x = −35,75 kN·m

Negatif berarti momen negatif: sisi atas tertarik.

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 11,5 kN·m

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 35·3 + 4·5·2,5

R_B = 155/5 = 31 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 31 = 24 kN

Potong di x = 0,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 24·0,5 − 4·0,5·0,25 = 11,5 kN·m

Jawaban

M_x = 11,5 kN·m

7.Lendutan balok

Jawaban: δ = 3,717 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 21000 N, w = 12 N/mm, L = 1500 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Setiap beban sendiri

δ_P = PL³/(3EI) = 21000·1500³/(3·8,4 × 10¹²) = 2,813 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 12·1500⁴/(8·8,4 × 10¹²) = 0,904 mm

Jumlahkan

δ = 2,813 + 0,904 = 3,717 mm

Jawaban

δ = 3,717 mm

8.Lendutan balok

Jawaban: h_req = 201,5 mm

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²

Batas lendutan

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Momen inersia yang diperlukan

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2,5·4000⁴/(384·11000·11,11) = 6,818 × 10⁷ mm⁴

Tinggi yang diperlukan

bh³/12 = I_req → h = (12·6,818 × 10⁷/100)^1/3 = 201,5 mm

Jawaban

h_req = 201,5 mm

Dalam praktik, pilih tinggi standar berikutnya di atas nilai ini.

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 4,284 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·3000 = 6000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·78125/6000² = 4284 N = 4,284 kN

Jawaban

P_cr = 4,284 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 63,75 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·70000 = 140000 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·140000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 63,75 mm

Jawaban

d = 63,75 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 125,5, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 81,56 × 10⁶ mm⁴

Momen inersia penampang: untuk persegi panjang terhadap sumbu titik beratnya sendiri I = bh³/12, dan terhadap alasnya bh³/3 (teorema sumbu sejajar I = I_c + A·d²). Lubang diperhitungkan dengan mengurangkan I-nya, asalkan kedua bagian memakai sumbu yang sama. Modulus penampang elastis adalah S = I/c, dengan c jarak ke serat terluar.

Persegi panjang luar dikurangi dua potongan samping

Kedua potongan bersama-sama selebar (B − t_w) dan setinggi h_w = H − 2t_f, dan memakai sumbu x yang sama.

h_w = 280 − 2·20 = 240 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (100·280³ − 88·240³)/12

I_x = 8,156 × 10⁷ mm⁴ = 81,56 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 81,56 × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 264,6 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki I_c = bh³/12 dan lingkaran I_c = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (36000·150 − 2400·195)/(36000 − 2400) = 146,8 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

120·300³/12 + 36000·3,214² = 270,4 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

80·30³/12 + 2400·48,21² = 5,759 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

I_x = 264,6 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 264,6 × 10⁶ mm⁴

13.Tegangan efektif tanah

Jawaban: σ′ = 99,21 kPa

Tegangan efektif (Terzaghi): butiran tanah menahan σ′ = σ − u. Tegangan total σ adalah berat semua yang ada di atas titik, Σγ·h, memakai berat isi kering di atas muka air tanah dan berat isi jenuh di bawahnya. Di bawah muka air tanah tekanan air pori bersifat hidrostatis: u = γ_w·(kedalaman di bawah muka air tanah).

Tegangan total

Jumlahkan berat setiap lapisan tanah di atas X. Di atas muka air tanah gunakan berat isi kering, di bawahnya berat isi jenuh.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16,5·1 + 19·9 = 187,5 kPa

Tekanan air pori

Tekanan air bertambah dengan kedalaman di bawah muka air tanah.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·9 = 88,29 kPa

Tegangan efektif

σ′ = σ − u = 187,5 − 88,29 = 99,21 kPa

Jawaban

σ′ = 99,21 kPa

14.Tegangan efektif tanah

Jawaban: u = 29,43 kPa

Tekanan air pori

Tekanan air bertambah dengan kedalaman di bawah muka air tanah.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·3 = 29,43 kPa

Jawaban

u = 29,43 kPa

15.Penurunan konsolidasi

Jawaban: S = 57,21 mm

Konsolidasi primer lapisan lempung setebal H, dengan tegangan efektif di tengah lapisan: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Lempung terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Lempung terkonsolidasi berlebih mengalami rekompresi sepanjang C_r sampai tekanan prakonsolidasi σ′_p dan baru mengikuti C_c setelah melewatinya. Waktu: t = T_v·H_dr²/c_v, dengan lintasan drainase H_dr sebesar H/2 bila air dapat keluar di atas dan di bawah, dan H bila hanya satu sisi yang berdrainase.

Tekanan prakonsolidasi

σ′_p = OCR·σ′₀ = 2,5·80 = 200 kPa

Bandingkan dengan tekanan prakonsolidasi

σ′_f = 80 + 130 = 210 kPa > 200 kPa

Penurunan

Rekompresi sampai σ′_p, kompresi murni setelahnya.

S = 0,02·8/(1 + 1,15)·log₁₀(200/80) + 0,35·8/(1 + 1,15)·log₁₀(210/200)

S = 29,61 + 27,6 = 57,21 mm

Jawaban

S = 57,21 mm

16.Penurunan konsolidasi

Jawaban: t = 5,3 tahun

Lintasan drainase

H_dr = H = 2,5 m

Waktu

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,848·2,5²/1 = 5,3 tahun

Jawaban

t = 5,3 tahun

17.Gaya hidrostatis

Jawaban: F = 202,3 kN

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,75·7,5 = 202,3 kN

Jawaban

F = 202,3 kN

18.Gaya hidrostatis

Jawaban: y_cp = 3,028 m

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·3·3 = 77,7 kN

Pusat tekanan

Tekanan bertambah dengan kedalaman, jadi resultan bekerja di bawah titik berat.

I_c = b·H³/12 = 3·1³/12 = 0,25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3 + 0,25/(3·3) = 3,028 m

Jawaban

y_cp = 3,028 m

19.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: h_f = 4,893 m

Aliran pipa: bilangan Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ membedakan aliran laminar (Re di bawah sekitar 2000) dari aliran turbulen (di atas sekitar 4000). Gesekan sepanjang pipa menyebabkan kehilangan head Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Sambungan, katup, lubang masuk, dan lubang keluar menambah kerugian minor h_m = ΣK·V²/(2g). Di antara dua permukaan reservoir terbuka, persamaan energi memberikan Δz = h_f + h_m, termasuk kerugian keluar K = 1.

Head kecepatan

V²/(2g) = 1,2²/(2·9,81) = 0,07339 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(1000/0,3)·1,2²/(2·9,81) = 4,893 m

Jawaban

h_f = 4,893 m

20.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: H = 0,9238 m

Kecepatan

V = Q/A = 0,075/0,07069 = 1,061 m/s

V²/(2g) = 0,05738 m

Koefisien kerugian

f·L/D = 0,018·150/0,3 = 9

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 = 6,1

Persamaan energi

Pancaran keluar masih membawa head kecepatannya; itu bukan kerugian, tetapi harus disediakan.

H = (1 + 9 + 6,1)·0,05738 = 0,9238 m

Jawaban

H = 0,9238 m

21.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: Q = 56,29 m³/s

Persamaan Manning (SI): untuk aliran seragam di saluran terbuka V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 dan Q = A·V, dengan n koefisien kekasaran, S kemiringan dasar (m/m), dan R = A/P jari-jari hidrolik: luas aliran dibagi keliling basah. Hanya batas yang bersentuhan dengan air yang dihitung dalam P, bukan permukaan bebas. Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y. Trapesium dengan kemiringan sisi z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pipa bulat yang mengalir penuh atau setengah penuh memiliki R = D/4.

Geometri

A = (b + z·y)·y = (3 + 1·2,3)·2,3 = 12,19 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·2,3·√(1 + 1²) = 9,505 m

R = A/P = 1,282 m

Kecepatan

V = (1/0,014)·1,282^2/3·0,003^1/2 = 4,618 m/s

Debit

Q = A·V = 12,19·4,618 = 56,29 m³/s

Jawaban

Q = 56,29 m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: S = 0,0005127 m/m

Geometri

A = (b + z·y)·y = (2 + 1,5·1,3)·1,3 = 5,135 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2 + 2·1,3·√(1 + 1,5²) = 6,687 m

R = A/P = 0,7679 m

Selesaikan Manning untuk S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·3,9/(5,135·0,8386) = 0,02264

S = 0,02264² = 0,0005127

Jawaban

S = 0,0005127

Itu penurunan 0,5127 m per kilometer.

23.Pompa & daya pompa

Jawaban: η = 75,14 %

Daya pompa: daya yang diberikan kepada air adalah daya hidrolik P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Poros harus menyalurkan lebih banyak karena pompa mengalami rugi: P_shaft = P_h/η_pump, dan motor menarik P_el = P_shaft/η_motor. Head pompa H diperoleh dari persamaan energi: tinggi angkat statis + head tekanan + semua kerugian gesekan dan minor.

Daya hidrolik

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·36 = 7,063 kW

Efisiensi

η = P_h/P_shaft = 7,063/9,4 = 75,14%

Jawaban

η = 75,14%

24.Pompa & daya pompa

Jawaban: P_shaft = 6,143 kW

Kecepatan

V = Q/A = 0,015/0,007854 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Kehilangan head

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (25 + 8)·0,1859 = 6,135 m

Head pompa

H = Δz + h_L = 21 + 6,135 = 27,14 m

Daya poros

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,015·27,14/0,65 = 6,143 kW

Jawaban

P_shaft = 6,143 kW

25.Nilai waktu uang

Jawaban: PV = 8877 €

Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)ⁿ. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.

Suku bunga dan jumlah periode

i = 0,06/4 = 0,015

N = 4·2 = 8

Nilai sekarang

PV = FV/(1 + i)^N = 10 000/1,126 = €8 877,11

Jawaban

PV = €8 877,11

26.Nilai waktu uang

Jawaban: N = 35 angsuran

Susun ulang rumus anuitas

i = 0,0045

(1 + i)^−N = 1 − 8 000·0,0045/250 = 0,856

Selesaikan dengan logaritma

N = −ln(0,856)/ln(1,004) = 34,63

Bulatkan ke atas ke angsuran penuh

34 angsuran penuh menyisakan sedikit saldo, yang dilunasi oleh angsuran terakhir yang lebih kecil.

N = 35

Jawaban

N = 35 angsuran

27.NPV & IRR

Jawaban: NPV = 7319 €

Nilai sekarang bersih: diskontokan setiap arus kas ke hari ini dengan tingkat pengembalian yang disyaratkan r, lalu jumlahkan: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Proyek dengan NPV > 0 menghasilkan lebih dari r dan menambah nilai. Tingkat pengembalian internal (IRR) adalah tingkat yang membuat NPV = 0.

Nilai sekarang setiap arus kas

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,05)¹ = 10 000/1,05 = 9 523,81

CF₂/(1 + 0,05)² = 14 000/1,103 = 12 698,41

CF₃/(1 + 0,05)³ = 7 000/1,158 = 6 046,86

CF₄/(1 + 0,05)⁴ = 11 000/1,216 = 9 049,73

Jumlahkan

NPV = €7 318,81

Jawaban

NPV = €7 318,81

NPV positif, jadi proyek menghasilkan lebih dari pengembalian yang disyaratkan.

28.NPV & IRR

Jawaban: IRR = 44,24 %

Apit IRR dari dua sisi

NPV turun saat tingkat naik, jadi IRR terletak di antara tingkat dengan NPV positif dan tingkat dengan NPV negatif.

NPV(40%) = 1 027,70

NPV(45%) = −175,49

Persempit

Interpolasi linear memberi perkiraan awal; mengulanginya (atau fungsi IRR kalkulator) memberi tingkat yang tepat.

IRR ≈ 40 + 5·1 027,70/(1 027,70 − (−175,49)) = 44,27%

tepat: NPV(44,24%) = 0 → IRR = 44,24%

Jawaban

IRR = 44,24%

29.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,3085

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², sehingga σ = √(σ_X² + σ_Y²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi total

μ_T = 1360 kg, σ_T = 12·√16 = 48 kg

Standarkan

z = (1384 − 1360)/48 = 0,5

Peluang

P = 1 − Φ(0,5) = 0,3085

Jawaban

P = 0,3085

30.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,9868

Distribusi selisih

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,01803 mm

Standarkan

z = (0 − 0,04)/0,01803 = −2,22

Peluang

P = 1 − Φ(−2,22) = 0,9868

Jawaban

P = 0,9868

Ini adalah materi latihan independen. ExamProblems tidak berafiliasi dengan atau didukung oleh organisasi penyelenggara ujian ini, dan nama ujian hanya digunakan untuk menggambarkan isinya. FE exam diselenggarakan oleh NCEES, yang tidak berafiliasi dengan ExamProblems dan tidak mendukungnya.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil