Latihan ujian FE Civil: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 30 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Tegangan efektif tanah

Tegangan total: σ = Σγ_i·h_i
Tekanan air pori: u = γ_w·(z − z_w)
Tegangan efektif: σ′ = σ − u
Air: γ_w = 9,81 kN/m³

Penurunan konsolidasi

Terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Tegangan akhir: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Rasio konsolidasi berlebih: OCR = σ′_p/σ′₀
Waktu konsolidasi: t = T_v·H_dr²/c_v
Lintasan drainase: H_dr = H/2 (drainase ganda), H (drainase tunggal)
Faktor waktu: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Gaya hidrostatis

Tekanan pada kedalaman: p = ρgh
Gaya pada dinding vertikal: F = ρg·h_c·A
Pusat tekanan: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Persegi panjang: I_c = bH³/12

Gesekan pipa & kehilangan head

Bilangan Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Rezim aliran: laminar di bawah Re ≈ 2000, turbulen di atas Re ≈ 4000
Kecepatan rata-rata: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Kerugian minor: h_m = ΣK·V²/(2g)
Nilai K tipikal: masuk 0,5, keluar 1,0, belokan 90° ≈ 0,3
Penurunan tekanan: Δp = ρ·g·h_f
Dua reservoir terbuka: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Keluaran bebas: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Aliran saluran terbuka (Manning)

Persamaan Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debit: Q = A·V
Jari-jari hidrolik: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y
Trapesium (kemiringan sisi z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Pipa bulat, penuh atau setengah penuh: R = D/4
Kemiringan yang diperlukan: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Pompa & daya pompa

Daya hidrolik: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Daya poros: P_shaft = P_h/η_pump
Daya listrik: P_el = P_shaft/η_motor
Head pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Kerugian sistem: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Nilai waktu uang

Nilai masa depan: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Nilai sekarang: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Beberapa periode per tahun: i = r/m, N = m·n
Anuitas, nilai sekarang: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitas, nilai masa depan: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metode

Gambar garis waktu dengan setiap arus kas dan waktunya.
Sesuaikan suku bunga dengan periodenya: suku bunga bulanan untuk pembayaran bulanan.
Gunakan FV = PV·(1 + i)ⁿ untuk jumlah tunggal dan rumus anuitas untuk pembayaran yang sama besar.
Periksa tanda dan orde besaran jawabannya.

NPV & IRR

Nilai sekarang bersih: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Arus kas yang sama: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tingkat pengembalian internal: nilai r saat NPV = 0
Keputusan: terima jika NPV > 0 (atau IRR > tingkat pengembalian yang disyaratkan)

Metode

Daftarkan semua arus kas beserta tahunnya; investasi pada tahun 0 bernilai negatif.
Diskontokan setiap arus kas: CF_t/(1 + r)^t.
Jumlahkan semuanya untuk mendapatkan NPV. Positif berarti proyek menghasilkan lebih dari r.
Untuk IRR, cari suku bunga yang membuat NPV nol dengan coba-coba atau interpolasi.

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal R_A.

L = 10 mP₁ = 25 kN di 7 mP₂ = 55 kN di 9 m

R_A = kN

2.Reaksi tumpuan balokSulit

Balok memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B, 4 m dari A, dan menjorok (overstek) melewati B hingga ujung bebas C. Balok menahan beban terpusat P pada 3 m dari A dan beban merata w dari 4 m sampai ujung bebas di 6 m. Cari reaksi vertikal R_A, dengan arah ke atas positif.

AB = 4 mAC = 6 mP = 65 kN di 3 mw = 10 kN/m dari 4 sampai 6 m

R_A = kN

3.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 6 mtinggi = 3 mB berjarak 4 m dari Abeban vertikal = 35 kN

F_AB = kN

4.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

B: 25 kN ↓H: 20 kN ←

1elemen AB
2elemen BC
3elemen CD
4elemen DE
5elemen FG
6elemen GH
7elemen AF
8elemen HE
9elemen BF
10elemen CG
11elemen DH
12elemen BG
13elemen DG

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Balok sederhana menahan kopel searah jarum jam M₀ = 25 kN·m di x = 3,5 m dari A, tanpa beban lain. Cari momen lentur M_x tepat di kiri kopel. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 6 mM₀ = 25 kN·m searah jarum jam, di 3,5 m

M_x = kN·m

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Balok bertumpu pada sendi di A dan rol di B, dan menjorok (overstek) sejauh 2 m melewati B hingga ujung bebas C. Beban merata w bekerja di sepanjang A–C. Cari momen lentur positif maksimum M_max di antara tumpuan.

L = 10 mw = 5 kN/m dari 0 sampai 10 mtumpuan di x = 0 dan x = 8 m

M_max = kN·m

7.Lendutan balokSedang

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P di ujung bebasnya. Dengan superposisi, cari lendutan δ di ujung bebas.

P = 22 kNw = 12 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (baja)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Lendutan balokSulit

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada b = 1,5 m dari tumpuan B. Cari lendutan δ_mid di tengah bentang.

P = 7 kNb = 1,5 mL = 4 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (baja)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Kolom harus menahan 25 kN dengan faktor keamanan 2,5 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 25 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 200 GPa (baja)

d = mm

11.Titik berat & momen inersiaSedang

Cari momen inersia I_x penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

b_f = 100 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersiaSulit

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 5 kN·m. Cari besar tegangan lentur σ_atas di tepi atas.

b_f = 140 mmt_f = 30 mmt_w = 18 mmh_w = 280 mmM = 5 kN·m

σ_atas = MPa

13.Tegangan efektif tanahSedang

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tekanan air pori u di titik X.

z = 10 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 15,5 kN/m³pasir: γ_sat = 19 kN/m³

u = kPa

14.Tegangan efektif tanahSulit

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tegangan vertikal total σ di titik X.

z = 8 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 15 kN/m³pasir: γ_sat = 18,5 kN/m³lempung: γ_sat = 17,5 kN/m³

σ = kPa

15.Penurunan konsolidasiSedang

Lapisan lempung terkonsolidasi berlebih setebal 2 m memiliki C_c = 0,3, C_r = 0,04, dan e₀ = 0,7. Di tengah kedalamannya tegangan vertikal efektifnya 50 kPa dan tekanan prakonsolidasinya 130 kPa. Sebuah bangunan baru menambah tegangan vertikal 10 kPa di tengah kedalaman. Cari penurunan konsolidasi primer S dalam mm.

H = 2 mC_c = 0,3C_r = 0,04e₀ = 0,7σ′₀ = 50 kPaσ′_p = 130 kPaΔσ = 10 kPa

S = mm

16.Penurunan konsolidasiSulit

Sebuah lapisan lempung setebal 4 m memiliki koefisien konsolidasi c_v = 2 m²/tahun. Lapisan berada di antara dua lapisan pasir, sehingga air terdrainase keluar di atas dan di bawah. Untuk konsolidasi rata-rata 50% faktor waktunya T_v = 0,197. Berapa tahun t yang diperlukan lapisan untuk mencapai konsolidasi 50%?

H = 4 mc_v = 2 m²/tahunU = 50%T_v = 0,197drainase ganda

t = tahun

17.Gaya hidrostatisSedang

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 1 m berada di dinding tangki berisi air, dengan tepi atasnya 4 m di bawah permukaan. Cari gaya hidrostatis resultan F pada pintu air.

d = 4 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Gaya hidrostatisSulit

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 1 m berada di dinding tangki berisi air, dengan tepi atasnya 2,5 m di bawah permukaan. Cari gaya hidrostatis resultan F pada pintu air.

d = 2,5 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Gesekan pipa & kehilangan headSedang

Air mengalir dengan kecepatan rata-rata 2,6 m/s melalui pipa sepanjang 200 m dengan diameter dalam 50 mm. Gunakan faktor gesekan Darcy f = 0,028 dan g = 9,81 m/s². Cari kehilangan head akibat gesekan h_f.

V = 2,6 m/sL = 200 mD = 50 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Gesekan pipa & kehilangan headSulit

Dua reservoir terbuka dihubungkan oleh pipa sepanjang 100 m dengan diameter dalam 200 mm dan faktor gesekan Darcy f = 0,025. Kerugian minornya adalah lubang masuk bersudut tajam (K = 0,5), 2 belokan (masing-masing K = 0,3), sebuah katup (K = 2), dan lubang keluar ke reservoir bawah (K = 1,0). Gunakan g = 9,81 m/s². Berapa selisih muka air Δz antara kedua reservoir yang menghasilkan debit 60 L/s?

Q = 60 L/sL = 100 mD = 200 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

21.Aliran saluran terbuka (Manning)Sedang

Sebuah saluran persegi panjang beton halus selebar 3 m. Air mengalir seragam sedalam 1,5 m. n Manning = 0,012 dan kemiringan dasarnya S = 0,0015. Cari debit Q dalam m³/s.

b = 3 my = 1,5 mn = 0,012S = 0,0015

Q = m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)Sulit

Sebuah saluran drainase beton dengan diameter dalam 300 mm (n Manning = 0,013) harus mencapai kecepatan swabersih 0,6 m/s saat mengalir tepat penuh. Cari kemiringan minimum S (dalam m/m).

D = 300 mmn = 0,013V = 0,6 m/s

S = m/m

23.Pompa & daya pompaSedang

Sebuah pompa dengan efisiensi 65% mengalirkan 30 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) melawan head 30 m. Gunakan g = 9,81 m/s². Cari daya poros P_shaft yang diperlukan, dalam kW.

Q = 30 L/sH = 30 mη = 65%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Pompa & daya pompaSulit

Sebuah pompa memindahkan 80 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) dari reservoir bawah yang terbuka ke tangki atas yang permukaan airnya 6 m lebih tinggi. Pipa sepanjang 600 m dengan diameter dalam 200 mm dan faktor gesekan Darcy f = 0,02; koefisien kerugian minornya berjumlah ΣK = 5 (termasuk lubang masuk dan keluar). Gunakan g = 9,81 m/s². Efisiensi pompa 85%. Cari daya poros P_shaft dalam kW.

Q = 80 L/sΔz = 6 mL = 600 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 5η = 85%

P_shaft = kW

25.Nilai waktu uangSedang

Sebuah properti diperkirakan menghasilkan sewa bersih €6 000 tahun depan. Sewa diperkirakan tumbuh 2,5% per tahun selamanya. Tingkat pengembalian yang disyaratkan 4,5% per tahun. Tentukan nilai PV properti saat ini.

C₁ = €6 000g = 2,5%r = 4,5%

PV = €

26.Nilai waktu uangSulit

Pinjaman sebesar €20 000 dilunasi dengan angsuran bulanan yang sama selama 6 tahun. Suku bunganya 4,2% per tahun, dimajemukkan bulanan. Tentukan angsuran bulanan A.

P = €20 0004,2% / 12N = 72

A = €

27.NPV & IRRSedang

Sebuah mesin berharga €40 000 hari ini. Mesin menghasilkan €14 000 di akhir setiap tahun selama 3 tahun dan kemudian dapat dijual seharga €10 000. Biaya modalnya 6%. Tentukan nilai sekarang bersih NPV.

C₀ = €40 000CF = €14 000S = €10 000n = 3r = 6%

NPV = €

28.NPV & IRRSulit

Sebuah proyek berbiaya €40 000 dan menghasilkan €19 000, €21 000, €26 500 di akhir tahun 1 sampai 3. Tentukan tingkat pengembalian internalnya IRR dalam persen.

CF₀ = −40 000CF₁ = 19 000CF₂ = 21 000CF₃ = 26 500

IRR = %

29.Distribusi normalSedang

Seret z sehingga luas berarsir di bawah kurva normal baku, di sebelah kanan z, adalah 0,2643. Cari z sampai dua desimal.

A = 0,2643

z =

30.Distribusi normalSulit

berat kantong berdistribusi normal dengan rata-rata 250 g dan simpangan baku 5 g. Seret batas sehingga 20% teratas yang diarsir berada di sebelah kanannya. Cari batas x.

μ = 250 gσ = 5 g20%

x = g

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = 13 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 25·7 + 55·9

R_B = 670/10 = 67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 67 = 13 kN

Jawaban

R_A = 13 kN

2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = 11,25 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Resultan beban merata

W = 10·2 = 20 kN, x̄ = (4 + 6)/2 = 5 m

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 65·3 + 20·5

R_B = 295/4 = 73,75 kN

R_A = 85 − 73,75 = 11,25 kN

Jawaban

R_A = 11,25 kN

3.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AB = −19,44 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 35·4 → C_y = 23,33 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 23,33 = 11,67 kN

Titik buhul A

Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.

sin α = 3/5 = 0,6

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −11,67/0,6 = −19,44 kN

Jawaban

F_AB = −19,44 kN (tekan)

4.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen CG

Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.

Simpul C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 0,9375 kN (C), BC: 0,625 kN (C), CD: 0,625 kN (C), DE: 0,3125 kN (C), FG: 19,06 kN (C), GH: 19,69 kN (C), AF: 31,77 kN (C), HE: 0,5208 kN (T), BF: 25,42 kN (T), CG: 0, DH: 0,4167 kN (C), BG: 0,5208 kN (C), DG: 0,5208 kN (T)

Jawaban

Elemen gaya-nol: CG

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = −14,58 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Kopel yang bekerja membuat diagram momen lentur melompat sebesar kopel tersebut.

Reaksi tumpuan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam: R_B·L − M₀ = 0. Kesetimbangan vertikal: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 25/6 = 4,167 kN (ke atas)

R_A = −R_B = −4,167 kN (ke bawah)

Potong tepat di kiri kopel

Bagian kiri hanya memuat R_A.

M_x = R_A·a = −4,167·3,5 = −14,58 kN·m

Jawaban

M_x = −14,58 kN·m

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_max = 35,16 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok, termasuk beban pada overstek.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, bekerja di x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 5·10·5

R_B = 250/8 = 31,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 31,25 = 18,75 kN

Gaya geser nol

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 18,75/5 = 3,75 m

Momen positif maksimum

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 18,75²/(2·5) = 35,16 kN·m

Jawaban

M_max = 35,16 kN·m

7.Lendutan balok

Jawaban: δ = 5,412 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 22000 N, w = 12 N/mm, L = 2500 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Setiap beban sendiri

δ_P = PL³/(3EI) = 22000·2500³/(3·3,2 × 10¹³) = 3,581 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 12·2500⁴/(8·3,2 × 10¹³) = 1,831 mm

Jumlahkan

δ = 3,581 + 1,831 = 5,412 mm

Jawaban

δ = 5,412 mm

8.Lendutan balok

Jawaban: δ_mid = 4,847 mm

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 7000 N, b = 1500 mm, L = 4000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Lendutan tengah bentang

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 7000·1500·(3·4000² − 4·1500²)/(48·1,76 × 10¹²) = 4,847 mm

Jawaban

δ_mid = 4,847 mm

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 111 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·1000 = 2000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/2000² = 111033 N = 111 kN

Jawaban

P_cr = 111 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 63,37 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2,5·25000 = 62500 N

KL = 2·2500 = 5000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·62500·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 63,37 mm

Jawaban

d = 63,37 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 315,6, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 18,15 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 100·30 = 3000 mm², y_f = 160 + 30/2 = 175 mm

badan: A_w = 16·160 = 2560 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·175 + 2560·80)/5560 = 131,3 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 100·30³/12 + 3000·(175 − 131,3)² = 5,965 × 10⁶ mm⁴

badan: 16·160³/12 + 2560·(80 − 131,3)² = 1,219 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,965 × 10⁶ + 1,219 × 10⁷ = 1,815 × 10⁷ mm⁴ = 18,15 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 18,15 × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σ_atas = 5,638 MPa

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 140·30 = 4200 mm², y_f = 280 + 30/2 = 295 mm

badan: A_w = 18·280 = 5040 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·295 + 5040·140)/9240 = 210,5 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 140·30³/12 + 4200·(295 − 210,5)² = 3,034 × 10⁷ mm⁴

badan: 18·280³/12 + 5040·(140 − 210,5)² = 5,795 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,034 × 10⁷ + 5,795 × 10⁷ = 8,828 × 10⁷ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi atas berjarak h − ȳ dari sumbu.

y = 310 − 210,5 = 99,55 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·99,55/8,828 × 10⁷ = 5,638 MPa

Jawaban

σ_atas = 5,638 MPa

13.Tegangan efektif tanah

Jawaban: u = 68,67 kPa

Tegangan efektif (Terzaghi): butiran tanah menahan σ′ = σ − u. Tegangan total σ adalah berat semua yang ada di atas titik, Σγ·h, memakai berat isi kering di atas muka air tanah dan berat isi jenuh di bawahnya. Di bawah muka air tanah tekanan air pori bersifat hidrostatis: u = γ_w·(kedalaman di bawah muka air tanah).

Tekanan air pori

Tekanan air bertambah dengan kedalaman di bawah muka air tanah.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·7 = 68,67 kPa

Jawaban

u = 68,67 kPa

14.Tegangan efektif tanah

Jawaban: σ = 142,5 kPa

Tegangan total

Jumlahkan berat setiap lapisan tanah di atas X. Di atas muka air tanah gunakan berat isi kering, di bawahnya berat isi jenuh.

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·5 + γ_sat,clay·2

σ = 15·1 + 18,5·5 + 17,5·2 = 142,5 kPa

Jawaban

σ = 142,5 kPa

15.Penurunan konsolidasi

Jawaban: S = 3,726 mm

Konsolidasi primer lapisan lempung setebal H, dengan tegangan efektif di tengah lapisan: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Lempung terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Lempung terkonsolidasi berlebih mengalami rekompresi sepanjang C_r sampai tekanan prakonsolidasi σ′_p dan baru mengikuti C_c setelah melewatinya. Waktu: t = T_v·H_dr²/c_v, dengan lintasan drainase H_dr sebesar H/2 bila air dapat keluar di atas dan di bawah, dan H bila hanya satu sisi yang berdrainase.

Bandingkan dengan tekanan prakonsolidasi

σ′_f = 50 + 10 = 60 kPa ≤ 130 kPa

Penurunan

Lempung tetap berada pada garis rekompresinya.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,04·2/(1 + 0,7)·log₁₀(60/50) = 3,726 mm

Jawaban

S = 3,726 mm

16.Penurunan konsolidasi

Jawaban: t = 0,394 tahun

Lintasan drainase

H_dr = H/2 = 4/2 = 2 m

Waktu

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,197·2²/2 = 0,394 tahun

Jawaban

t = 0,394 tahun

17.Gaya hidrostatis

Jawaban: F = 98,1 kN

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5·2 = 98,1 kN

Jawaban

F = 98,1 kN

18.Gaya hidrostatis

Jawaban: F = 91,97 kN

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,75·2,5 = 91,97 kN

Jawaban

F = 91,97 kN

19.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: h_f = 38,59 m

Aliran pipa: bilangan Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ membedakan aliran laminar (Re di bawah sekitar 2000) dari aliran turbulen (di atas sekitar 4000). Gesekan sepanjang pipa menyebabkan kehilangan head Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Sambungan, katup, lubang masuk, dan lubang keluar menambah kerugian minor h_m = ΣK·V²/(2g). Di antara dua permukaan reservoir terbuka, persamaan energi memberikan Δz = h_f + h_m, termasuk kerugian keluar K = 1.

Head kecepatan

V²/(2g) = 2,6²/(2·9,81) = 0,3445 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(200/0,05)·2,6²/(2·9,81) = 38,59 m

Jawaban

h_f = 38,59 m

20.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: Δz = 3,086 m

Kecepatan

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Koefisien kerugian

f·L/D = 0,025·100/0,2 = 12,5

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 + 1,0 = 4,1

Kehilangan head total

h_f = 12,5·0,1859 = 2,324 m

h_m = 4,1·0,1859 = 0,7622 m

Δz = h_f + h_m = 3,086 m

Jawaban

Δz = 3,086 m

21.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: Q = 11,99 m³/s

Persamaan Manning (SI): untuk aliran seragam di saluran terbuka V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 dan Q = A·V, dengan n koefisien kekasaran, S kemiringan dasar (m/m), dan R = A/P jari-jari hidrolik: luas aliran dibagi keliling basah. Hanya batas yang bersentuhan dengan air yang dihitung dalam P, bukan permukaan bebas. Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y. Trapesium dengan kemiringan sisi z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pipa bulat yang mengalir penuh atau setengah penuh memiliki R = D/4.

Geometri

A = b·y = 3·1,5 = 4,5 m²

P = b + 2y = 3 + 2·1,5 = 6 m

R = A/P = 0,75 m

Kecepatan

V = (1/0,012)·0,75^2/3·0,0015^1/2 = 2,664 m/s

Debit

Q = A·V = 4,5·2,664 = 11,99 m³/s

Jawaban

Q = 11,99 m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: S = 0,001924 m/m

Jari-jari hidrolik

R = D/4 = 0,3/4 = 0,075 m

Selesaikan Manning untuk S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,6/0,1778)² = 0,001924

Jawaban

S = 0,001924

Itu penurunan 1,924 m per kilometer.

23.Pompa & daya pompa

Jawaban: P_shaft = 13,58 kW

Daya pompa: daya yang diberikan kepada air adalah daya hidrolik P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Poros harus menyalurkan lebih banyak karena pompa mengalami rugi: P_shaft = P_h/η_pump, dan motor menarik P_el = P_shaft/η_motor. Head pompa H diperoleh dari persamaan energi: tinggi angkat statis + head tekanan + semua kerugian gesekan dan minor.

Daya hidrolik

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·30 = 8,829 kW

Daya poros

P_shaft = P_h/η = 8,829/0,65 = 13,58 kW

Jawaban

P_shaft = 13,58 kW

24.Pompa & daya pompa

Jawaban: P_shaft = 25,37 kW

Kecepatan

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Kehilangan head

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (60 + 5)·0,3305 = 21,48 m

Head pompa

H = Δz + h_L = 6 + 21,48 = 27,48 m

Daya poros

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,08·27,48/0,85 = 25,37 kW

Jawaban

P_shaft = 25,37 kW

25.Nilai waktu uang

Jawaban: PV = 300000 €

Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)ⁿ. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.

Perpetuitas bertumbuh

PV = C₁/(r − g) = 6 000/(0,045 − 0,025) = 6 000/0,02 = €300 000,00

Jawaban

PV = €300 000,00

26.Nilai waktu uang

Jawaban: A = 314,7 €

Suku bunga bulanan dan jumlah angsuran

i = 0,042/12 = 0,0035

N = 12·6 = 72

Angsuran

Nilai sekarang dari N pembayaran yang sama A adalah A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Samakan dengan pinjaman dan selesaikan untuk A.

(1 + i)^−N = 0,7776

A = 20 000·0,0035/(1 − 0,7776) = €314,73

Jawaban

A = €314,73

27.NPV & IRR

Jawaban: NPV = 5818 €

Nilai sekarang bersih: diskontokan setiap arus kas ke hari ini dengan tingkat pengembalian yang disyaratkan r, lalu jumlahkan: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Proyek dengan NPV > 0 menghasilkan lebih dari r dan menambah nilai. Tingkat pengembalian internal (IRR) adalah tingkat yang membuat NPV = 0.

Nilai sekarang arus kas tahunan

14 000·2,673 = 37 422,17

Nilai sekarang nilai sisa

10 000/1,191 = 8 396,19

NPV

NPV = −40 000 + 37 422,17 + 8 396,19 = €5 818,36

Jawaban

NPV = €5 818,36

28.NPV & IRR

Jawaban: IRR = 28,49 %

Apit IRR dari dua sisi

NPV turun saat tingkat naik, jadi IRR terletak di antara tingkat dengan NPV positif dan tingkat dengan NPV negatif.

NPV(25%) = 2 208,00

NPV(30%) = −896,68

Persempit

Interpolasi linear memberi perkiraan awal; mengulanginya (atau fungsi IRR kalkulator) memberi tingkat yang tepat.

IRR ≈ 25 + 5·2 208,00/(2 208,00 − (−896,68)) = 28,56%

tepat: NPV(28,49%) = 0 → IRR = 28,49%

Jawaban

IRR = 28,49%

29.Distribusi normal

Jawaban: z = 0,63

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = 1 − 0,2643 = 0,7357

Baca tabel z secara terbalik

Cari 0,7357 di dalam tabel dan baca z.

z = 0,63

Jawaban

z = 0,63

30.Distribusi normal

Jawaban: x = 254,2 g

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0,8

z dari tabel

z ≈ 0,84

Kembali ke satuan semula

x = 250 + 0,84·5 = 254,2 g

Jawaban

x = 254,2 g

Ini adalah materi latihan independen. ExamProblems tidak berafiliasi dengan atau didukung oleh organisasi penyelenggara ujian ini, dan nama ujian hanya digunakan untuk menggambarkan isinya. FE exam diselenggarakan oleh NCEES, yang tidak berafiliasi dengan ExamProblems dan tidak mendukungnya.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil