Latihan ujian FE Civil: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 30 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Tegangan efektif tanah

Tegangan total: σ = Σγ_i·h_i
Tekanan air pori: u = γ_w·(z − z_w)
Tegangan efektif: σ′ = σ − u
Air: γ_w = 9,81 kN/m³

Penurunan konsolidasi

Terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Tegangan akhir: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Rasio konsolidasi berlebih: OCR = σ′_p/σ′₀
Waktu konsolidasi: t = T_v·H_dr²/c_v
Lintasan drainase: H_dr = H/2 (drainase ganda), H (drainase tunggal)
Faktor waktu: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Gaya hidrostatis

Tekanan pada kedalaman: p = ρgh
Gaya pada dinding vertikal: F = ρg·h_c·A
Pusat tekanan: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Persegi panjang: I_c = bH³/12

Gesekan pipa & kehilangan head

Bilangan Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Rezim aliran: laminar di bawah Re ≈ 2000, turbulen di atas Re ≈ 4000
Kecepatan rata-rata: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Kerugian minor: h_m = ΣK·V²/(2g)
Nilai K tipikal: masuk 0,5, keluar 1,0, belokan 90° ≈ 0,3
Penurunan tekanan: Δp = ρ·g·h_f
Dua reservoir terbuka: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Keluaran bebas: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Aliran saluran terbuka (Manning)

Persamaan Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debit: Q = A·V
Jari-jari hidrolik: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y
Trapesium (kemiringan sisi z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Pipa bulat, penuh atau setengah penuh: R = D/4
Kemiringan yang diperlukan: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Pompa & daya pompa

Daya hidrolik: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Daya poros: P_shaft = P_h/η_pump
Daya listrik: P_el = P_shaft/η_motor
Head pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Kerugian sistem: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Nilai waktu uang

Nilai masa depan: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Nilai sekarang: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Beberapa periode per tahun: i = r/m, N = m·n
Anuitas, nilai sekarang: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitas, nilai masa depan: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metode

Gambar garis waktu dengan setiap arus kas dan waktunya.
Sesuaikan suku bunga dengan periodenya: suku bunga bulanan untuk pembayaran bulanan.
Gunakan FV = PV·(1 + i)ⁿ untuk jumlah tunggal dan rumus anuitas untuk pembayaran yang sama besar.
Periksa tanda dan orde besaran jawabannya.

NPV & IRR

Nilai sekarang bersih: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Arus kas yang sama: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tingkat pengembalian internal: nilai r saat NPV = 0
Keputusan: terima jika NPV > 0 (atau IRR > tingkat pengembalian yang disyaratkan)

Metode

Daftarkan semua arus kas beserta tahunnya; investasi pada tahun 0 bernilai negatif.
Diskontokan setiap arus kas: CF_t/(1 + r)^t.
Jumlahkan semuanya untuk mendapatkan NPV. Positif berarti proyek menghasilkan lebih dari r.
Untuk IRR, cari suku bunga yang membuat NPV nol dengan coba-coba atau interpolasi.

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Balok menahan beban terpusat P pada 1,5 m dari A dan kopel searah jarum jam M pada 1 m dari A. Cari reaksi vertikal R_A, dengan arah ke atas positif.

L = 4 mP = 65 kN di 1,5 mM = 40 kN·m (searah jarum jam) di 1 m

R_A = kN

2.Reaksi tumpuan balokSulit

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Beban P bekerja pada 9 m dari A, miring 45° terhadap horizontal, dan beban vertikal Q bekerja pada 2 m dari A. Cari sudut α antara gaya reaksi total di sendi A dan horizontal.

L = 10 mP = 45 kN di 9 m, θ = 45°Q = 30 kN di 2 m

α = °

3.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AC pada batang AC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 8 mtinggi = 2 mB berjarak 7 m dari Abeban vertikal = 25 kN

F_AC = kN

4.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AC pada batang AC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 5 mtinggi = 2 mB berjarak 4 m dari Abeban vertikal = 60 kNbeban horizontal = 10 kN ←

F_AC = kN

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Balok sederhana menahan dua beban terpusat. Cari momen lentur maksimum M_max pada balok.

L = 6 mP₁ = 75 kN di 3,5 mP₂ = 80 kN di 4 m

M_max = kN·m

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang dan beban terpusat P. Cari momen lentur maksimum M_max pada balok.

L = 4 mP = 60 kN di 1 mw = 2 kN/m dari 0 sampai 4 m

M_max = kN·m

7.Lendutan balokSedang

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari lendutan maksimum δ_max di tengah bentang.

w = 10 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Lendutan balokSulit

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil I_req yang memenuhi batas ini.

w = 4 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (kayu struktural)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 5 mE = 200 GPa (baja)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Titik berat & momen inersiaSedang

Cari momen inersia I_x penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

b_f = 240 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersiaSulit

Profil I las memiliki sayap atas 150 × 18 mm, badan setinggi 240 mm dan setebal 14 mm, dan sayap bawah 270 × 10 mm (lebar × tebal). Cari momen inersianya I_x terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

sayap atas: 150 × 18 mmbadan: 14 × 240 mmsayap bawah: 270 × 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Tegangan efektif tanahSedang

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tegangan efektif vertikal σ′ di titik X.

z = 7 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 16 kN/m³pasir: γ_sat = 19,5 kN/m³

σ′ = kPa

14.Tegangan efektif tanahSulit

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tegangan efektif vertikal σ′ di titik X.

z = 7,5 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 16 kN/m³pasir: γ_sat = 20,5 kN/m³lempung: γ_sat = 17,5 kN/m³

σ′ = kPa

15.Penurunan konsolidasiSedang

Lapisan lempung terkonsolidasi berlebih setebal 7,5 m memiliki C_c = 0,3, C_r = 0,06, dan e₀ = 0,9. Di tengah kedalamannya tegangan vertikal efektifnya 85 kPa dan tekanan prakonsolidasinya 155 kPa. Sebuah bangunan baru menambah tegangan vertikal 80 kPa di tengah kedalaman. Cari penurunan konsolidasi primer S dalam mm.

H = 7,5 mC_c = 0,3C_r = 0,06e₀ = 0,9σ′₀ = 85 kPaσ′_p = 155 kPaΔσ = 80 kPa

S = mm

16.Penurunan konsolidasiSulit

Dalam uji oedometer di laboratorium, benda uji lempung setebal 20 mm, berdrainase di atas dan di bawah, mencapai konsolidasi 50% dalam 12 menit. Di lapangan, lempung yang sama membentuk lapisan setebal 2,5 m. Lapisan berada di antara dua lapisan pasir, sehingga air terdrainase keluar di atas dan di bawah. Berapa hari t yang diperlukan lapisan di lapangan untuk mencapai konsolidasi 50%?

h_lab = 20 mmt_lab = 12 minH = 2,5 mlapangan: drainase ganda

t = hari

17.Gaya hidrostatisSedang

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 3 m berada di dinding tangki berisi air, dengan tepi atasnya 2 m di bawah permukaan. Cari gaya hidrostatis resultan F pada pintu air.

d = 2 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Gaya hidrostatisSulit

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 3 m berada di dinding tangki berisi gliserin, dengan tepi atasnya 4 m di bawah permukaan. Cari gaya hidrostatis resultan F pada pintu air.

d = 4 mH = 3 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Gesekan pipa & kehilangan headSedang

Air mengalir dengan debit 100 L/s melalui pipa sepanjang 200 m dengan diameter dalam 300 mm. Gunakan faktor gesekan Darcy f = 0,03 dan g = 9,81 m/s². Cari kehilangan head akibat gesekan h_f.

Q = 100 L/sL = 200 mD = 300 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Gesekan pipa & kehilangan headSulit

Sebuah pipa sepanjang 300 m dengan diameter dalam 200 mm (faktor gesekan Darcy f = 0,02) berawal dari reservoir terbuka dan mengeluarkan air sebagai pancaran bebas ke udara. Kerugian minornya adalah lubang masuk bersudut tajam (K = 0,5), 2 belokan (masing-masing K = 0,3), dan sebuah katup (K = 10). Gunakan g = 9,81 m/s². Berapa tinggi H permukaan reservoir harus berada di atas lubang keluar pipa untuk debit 40 L/s?

Q = 40 L/sL = 300 mD = 200 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 10

H = m

21.Aliran saluran terbuka (Manning)Sedang

Sebuah saluran persegi panjang kerikil selebar 1,5 m. Air mengalir seragam sedalam 2,4 m. n Manning = 0,025 dan kemiringan dasarnya S = 0,003. Cari debit Q dalam m³/s.

b = 1,5 my = 2,4 mn = 0,025S = 0,003

Q = m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)Sulit

Sebuah saluran drainase beton dengan diameter dalam 300 mm (n Manning = 0,013) harus mencapai kecepatan swabersih 0,9 m/s saat mengalir tepat penuh. Cari kemiringan minimum S (dalam m/m).

D = 300 mmn = 0,013V = 0,9 m/s

S = m/m

23.Pompa & daya pompaSedang

Sebuah pompa dengan efisiensi 78% mengalirkan 10 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) melawan head 22 m. Gunakan g = 9,81 m/s². Cari daya poros P_shaft yang diperlukan, dalam kW.

Q = 10 L/sH = 22 mη = 78%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Pompa & daya pompaSulit

Sebuah pompa memindahkan 80 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) dari reservoir bawah yang terbuka ke tangki atas yang permukaan airnya 20 m lebih tinggi. Pipa sepanjang 400 m dengan diameter dalam 200 mm dan faktor gesekan Darcy f = 0,018; koefisien kerugian minornya berjumlah ΣK = 6 (termasuk lubang masuk dan keluar). Gunakan g = 9,81 m/s². Tangki atas tertutup dan udara di atas airnya bertekanan gauge 250 kPa. Cari head H yang harus ditambahkan pompa.

Q = 80 L/sΔz = 20 mL = 400 mD = 200 mmf = 0,018ΣK = 6p_tank = 250 kPa

H = m

25.Nilai waktu uangSedang

Anda menginvestasikan €5 000 dengan bunga 7% per tahun yang dimajemukkan secara kontinu. Tentukan nilainya FV setelah 2 tahun.

PV = €5 000r = 7%t = 2

FV = €

26.Nilai waktu uangSulit

Pinjaman sebesar €20 000 dilunasi dengan angsuran bulanan yang sama selama 3 tahun dengan bunga 3% per tahun, dimajemukkan bulanan. Berapa total bunga I yang dibayar selama masa pinjaman?

P = €20 0003% / 12N = 36

I = €

27.NPV & IRRSedang

Sebuah mesin berharga €60 000 hari ini. Mesin menghasilkan €23 500 di akhir setiap tahun selama 3 tahun dan kemudian dapat dijual seharga €6 000. Biaya modalnya 6%. Tentukan nilai sekarang bersih NPV.

C₀ = €60 000CF = €23 500S = €6 000n = 3r = 6%

NPV = €

28.NPV & IRRSulit

Sebuah proyek berbiaya €25 000 dan menghasilkan €11 000, €18 000, €17 500 di akhir tahun 1 sampai 3. Tentukan tingkat pengembalian internalnya IRR dalam persen.

CF₀ = −25 000CF₁ = 11 000CF₂ = 18 000CF₃ = 17 500

IRR = %

29.Distribusi normalSedang

Data waktu pengiriman berdistribusi normal dengan rata-rata 32 min dan simpangan baku 6 min. Berapa proporsi yang berada di antara 26 dan 33,2 min? Nyatakan P dalam bentuk desimal.

μ = 32σ = 6x₁ = 26x₂ = 33,2

P =

30.Distribusi normalSulit

tinggi badan pria dewasa berdistribusi normal dengan rata-rata 178 cm dan simpangan baku 7 cm. Seret batas sehingga 20% teratas yang diarsir berada di sebelah kanannya. Cari batas x.

μ = 178 cmσ = 7 cm20%

x = cm

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = 30,63 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Momen terhadap A

Berlawanan arah jarum jam positif.

ΣM_A = 0: R_B·4 − 65·1,5 − 40 = 0

R_B = 137,5/4 = 34,38 kN

Kesetimbangan vertikal

R_A = 65 − 34,38 = 30,63 kN

Jawaban

R_A = 30,63 kN

Reaksi negatif bekerja ke bawah.

2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: α = 40,51 °

Komponen P

P_v = 45·sin 45° = 31,82 kN

P_h = 45·cos 45° = 31,82 kN

Reaksi

ΣM_A = 0: R_B·10 = 31,82·9 + 30·2 → R_B = 34,64 kN

A_y = 31,82 + 30 − 34,64 = 27,18 kN

A_x = P_h = 31,82 kN

Arah di A

α = atan(A_y/A_x) = atan(27,18/31,82) = 40,51°

Jawaban

α = 40,51°

3.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AC = 10,94 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 25·7 → C_y = 21,88 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 21,88 = 3,125 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −21,88/0,8944 = −24,46 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−24,46)·0,4472 = 10,94 kN

Jawaban

F_AC = 10,94 kN (tarik)

4.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AC = 22 kN

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 60·4 − 10·2 → C_y = 44 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 44 = 16 kN

ΣF_x = 0: A_x = 10 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −44/0,8944 = −49,19 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−49,19)·0,4472 = 22 kN

Jawaban

F_AC = 22 kN (tarik)

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_max = 202,7 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 75·3,5 + 80·4

R_B = 582,5/6 = 97,08 kN

ΣF_y = 0: R_A = 155 − 97,08 = 57,92 kN

Momen di bawah tiap beban

Ambil bagian di kiri tiap beban.

di bawah P₁: M = R_A·3,5 = 57,92·3,5 = 202,7 kN·m

di bawah P₂: M = R_B·2 = 97,08·2 = 194,2 kN·m

Nilai terbesar

M_max = 202,7 kN·m (di bawah P₁)

Jawaban

M_max = 202,7 kN·m

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_max = 48 kN·m

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, bekerja di x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 60·1 + 2·4·2

R_B = 76/4 = 19 kN

ΣF_y = 0: R_A = 68 − 19 = 49 kN

Di mana V = 0?

V(1⁻) = R_A − w·1 = 47 kN

V(1⁺) = 47 − 60 = −13 kN

Gaya geser berganti tanda di titik beban, jadi maksimum berada di bawah beban.

Momen maksimum

M_max = R_A·1 − w·1²/2 = 49·1 − 2·1²/2 = 48 kN·m

Jawaban

M_max = 48 kN·m

Terjadi di x = 1 m dari A.

7.Lendutan balok

Jawaban: δ_max = 2,89 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Lendutan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·2500⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 2,89 mm

Jawaban

δ_max = 2,89 mm

8.Lendutan balok

Jawaban: I_req = 46,02 × 10⁶ mm⁴

Batas lendutan

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·3000⁴/(384·11000·8,333) = 4,602 × 10⁷ mm⁴

I_req = 46,02 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_req = 46,02 × 10⁶ mm⁴

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 3,052 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·1500 = 3000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/3000² = 3052 N = 3,052 kN

Jawaban

P_cr = 3,052 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 25,18 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

KL/r = 3500/12,5 = 280

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/280² = 25,18 MPa

Jawaban

σ_cr = 25,18 MPa

11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 6,482 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 240·15 = 3600 mm², y_f = 120 + 15/2 = 127,5 mm

badan: A_w = 12·120 = 1440 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·127,5 + 1440·60)/5040 = 108,2 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 240·15³/12 + 3600·(127,5 − 108,2)² = 1,406 × 10⁶ mm⁴

badan: 12·120³/12 + 1440·(60 − 108,2)² = 5,075 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,406 × 10⁶ + 5,075 × 10⁶ = 6,482 × 10⁶ mm⁴ = 6,482 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 6,482 × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 103,3 × 10⁶ mm⁴

Bagi menjadi tiga persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap atas: A = 2700 mm², y = 259 mm

badan: A = 3360 mm², y = 130 mm

sayap bawah: A = 2700 mm², y = 5 mm

Titik berat

ȳ = (2700·259 + 3360·130 + 2700·5)/8760 = 131,2 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap atas: 150·18³/12 + 2700·127,8² = 4,415 × 10⁷ mm⁴

badan: 14·240³/12 + 3360·1,233² = 1,613 × 10⁷ mm⁴

sayap bawah: 270·10³/12 + 2700·126,2² = 4,305 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,415 × 10⁷ + 1,613 × 10⁷ + 4,305 × 10⁷

I_x = 1,033 × 10⁸ mm⁴ = 103,3 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 103,3 × 10⁶ mm⁴

13.Tegangan efektif tanah

Jawaban: σ′ = 93,07 kPa

Tegangan efektif (Terzaghi): butiran tanah menahan σ′ = σ − u. Tegangan total σ adalah berat semua yang ada di atas titik, Σγ·h, memakai berat isi kering di atas muka air tanah dan berat isi jenuh di bawahnya. Di bawah muka air tanah tekanan air pori bersifat hidrostatis: u = γ_w·(kedalaman di bawah muka air tanah).

Tegangan total

Jumlahkan berat setiap lapisan tanah di atas X. Di atas muka air tanah gunakan berat isi kering, di bawahnya berat isi jenuh.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16·4 + 19,5·3 = 122,5 kPa

Tekanan air pori

Tekanan air bertambah dengan kedalaman di bawah muka air tanah.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·3 = 29,43 kPa

Tegangan efektif

σ′ = σ − u = 122,5 − 29,43 = 93,07 kPa

Jawaban

σ′ = 93,07 kPa

14.Tegangan efektif tanah

Jawaban: σ′ = 80,29 kPa

Tegangan total

Jumlahkan berat setiap lapisan tanah di atas X. Di atas muka air tanah gunakan berat isi kering, di bawahnya berat isi jenuh.

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·3,5

σ = 16·2 + 20,5·2 + 17,5·3,5 = 134,3 kPa

Tekanan air pori

Tekanan air bertambah dengan kedalaman di bawah muka air tanah.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5,5 = 53,96 kPa

Tegangan efektif

σ′ = σ − u = 134,3 − 53,96 = 80,29 kPa

Jawaban

σ′ = 80,29 kPa

15.Penurunan konsolidasi

Jawaban: S = 93,95 mm

Konsolidasi primer lapisan lempung setebal H, dengan tegangan efektif di tengah lapisan: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Lempung terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Lempung terkonsolidasi berlebih mengalami rekompresi sepanjang C_r sampai tekanan prakonsolidasi σ′_p dan baru mengikuti C_c setelah melewatinya. Waktu: t = T_v·H_dr²/c_v, dengan lintasan drainase H_dr sebesar H/2 bila air dapat keluar di atas dan di bawah, dan H bila hanya satu sisi yang berdrainase.

Bandingkan dengan tekanan prakonsolidasi

σ′_f = 85 + 80 = 165 kPa > 155 kPa

Penurunan

Rekompresi sampai σ′_p, kompresi murni setelahnya.

S = 0,06·7,5/(1 + 0,9)·log₁₀(155/85) + 0,3·7,5/(1 + 0,9)·log₁₀(165/155)

S = 61,8 + 32,15 = 93,95 mm

Jawaban

S = 93,95 mm

16.Penurunan konsolidasi

Jawaban: t = 130,2 hari

Lintasan drainase

H_dr,lab = 20/2 = 10 mm = 0,01 m

H_dr,field = 2,5/2 = 1,25 m

Skalakan waktunya

t = T_v·H_dr²/c_v dengan T_v dan c_v yang sama di laboratorium dan di lapangan.

t_field = 12·(1,25/0,01)² = 187500 min

t_field = 187500/1440 = 130,2 hari

Jawaban

t = 130,2 hari

17.Gaya hidrostatis

Jawaban: F = 176,6 kN

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·6 = 176,6 kN

Jawaban

F = 176,6 kN

18.Gaya hidrostatis

Jawaban: F = 611,8 kN

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5,5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·5,5·9 = 611,8 kN

Jawaban

F = 611,8 kN

19.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: h_f = 2,04 m

Aliran pipa: bilangan Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ membedakan aliran laminar (Re di bawah sekitar 2000) dari aliran turbulen (di atas sekitar 4000). Gesekan sepanjang pipa menyebabkan kehilangan head Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Sambungan, katup, lubang masuk, dan lubang keluar menambah kerugian minor h_m = ΣK·V²/(2g). Di antara dua permukaan reservoir terbuka, persamaan energi memberikan Δz = h_f + h_m, termasuk kerugian keluar K = 1.

Kecepatan rata-rata

A = π·0,3²/4 = 0,07069 m²

V = Q/A = 0,1/0,07069 = 1,415 m/s

Head kecepatan

V²/(2g) = 1,415²/(2·9,81) = 0,102 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(200/0,3)·1,415²/(2·9,81) = 2,04 m

Jawaban

h_f = 2,04 m

20.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: H = 3,479 m

Kecepatan

V = Q/A = 0,04/0,03142 = 1,273 m/s

V²/(2g) = 0,08263 m

Koefisien kerugian

f·L/D = 0,02·300/0,2 = 30

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 = 11,1

Persamaan energi

Pancaran keluar masih membawa head kecepatannya; itu bukan kerugian, tetapi harus disediakan.

H = (1 + 30 + 11,1)·0,08263 = 3,479 m

Jawaban

H = 3,479 m

21.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: Q = 5,431 m³/s

Persamaan Manning (SI): untuk aliran seragam di saluran terbuka V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 dan Q = A·V, dengan n koefisien kekasaran, S kemiringan dasar (m/m), dan R = A/P jari-jari hidrolik: luas aliran dibagi keliling basah. Hanya batas yang bersentuhan dengan air yang dihitung dalam P, bukan permukaan bebas. Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y. Trapesium dengan kemiringan sisi z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pipa bulat yang mengalir penuh atau setengah penuh memiliki R = D/4.

Geometri

A = b·y = 1,5·2,4 = 3,6 m²

P = b + 2y = 1,5 + 2·2,4 = 6,3 m

R = A/P = 0,5714 m

Kecepatan

V = (1/0,025)·0,5714^2/3·0,003^1/2 = 1,509 m/s

Debit

Q = A·V = 3,6·1,509 = 5,431 m³/s

Jawaban

Q = 5,431 m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: S = 0,004328 m/m

Jari-jari hidrolik

R = D/4 = 0,3/4 = 0,075 m

Selesaikan Manning untuk S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,9/0,1778)² = 0,004328

Jawaban

S = 0,004328

Itu penurunan 4,328 m per kilometer.

23.Pompa & daya pompa

Jawaban: P_shaft = 2,767 kW

Daya pompa: daya yang diberikan kepada air adalah daya hidrolik P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Poros harus menyalurkan lebih banyak karena pompa mengalami rugi: P_shaft = P_h/η_pump, dan motor menarik P_el = P_shaft/η_motor. Head pompa H diperoleh dari persamaan energi: tinggi angkat statis + head tekanan + semua kerugian gesekan dan minor.

Daya hidrolik

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·22 = 2,158 kW

Daya poros

P_shaft = P_h/η = 2,158/0,78 = 2,767 kW

Jawaban

P_shaft = 2,767 kW

24.Pompa & daya pompa

Jawaban: H = 59,37 m

Kecepatan

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Kehilangan head

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (36 + 6)·0,3305 = 13,88 m

Head tekanan

p/(ρ·g) = 250000/(1000·9,81) = 25,48 m

Head pompa

Kedua permukaan praktis diam, sehingga tidak ada suku head kecepatan.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 20 + 25,48 + 13,88 = 59,37 m

Jawaban

H = 59,37 m

25.Nilai waktu uang

Jawaban: FV = 5751 €

Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)ⁿ. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.

Eksponen

r·t = 0,07·2 = 0,14

e^0,14 = 1,15

Nilai masa depan

FV = 5 000·1,15 = €5 751,37

Jawaban

FV = €5 751,37

26.Nilai waktu uang

Jawaban: I = 938,5 €

Angsuran bulanan

i = 0,0025, N = 36

A = 20 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)⁻³⁶) = €581,62

Total bunga

I = N·A − P = 36·581,6 − 20 000 = €938,47

Jawaban

I = €938,47

27.NPV & IRR

Jawaban: NPV = 7853 €

Nilai sekarang bersih: diskontokan setiap arus kas ke hari ini dengan tingkat pengembalian yang disyaratkan r, lalu jumlahkan: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Proyek dengan NPV > 0 menghasilkan lebih dari r dan menambah nilai. Tingkat pengembalian internal (IRR) adalah tingkat yang membuat NPV = 0.

Nilai sekarang arus kas tahunan

23 500·2,673 = 62 815,78

Nilai sekarang nilai sisa

6 000/1,191 = 5 037,72

NPV

NPV = −60 000 + 62 815,78 + 5 037,72 = €7 853,50

Jawaban

NPV = €7 853,50

28.NPV & IRR

Jawaban: IRR = 35,38 %

Apit IRR dari dua sisi

NPV turun saat tingkat naik, jadi IRR terletak di antara tingkat dengan NPV positif dan tingkat dengan NPV negatif.

NPV(35%) = 137,43

NPV(40%) = −1 581,63

Persempit

Interpolasi linear memberi perkiraan awal; mengulanginya (atau fungsi IRR kalkulator) memberi tingkat yang tepat.

IRR ≈ 35 + 5·137,43/(137,43 − (−1 581,63)) = 35,4%

tepat: NPV(35,38%) = 0 → IRR = 35,38%

Jawaban

IRR = 35,38%

29.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,4206

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

Skor z

z₁ = (26 − 32)/6 = −1

z₂ = (33,2 − 32)/6 = 0,2

Luas di antara

P = Φ(0,2) − Φ(−1) = 0,5793 − 0,1587 = 0,4206

Jawaban

P = 0,4206

30.Distribusi normal

Jawaban: x = 183,9 cm

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0,8

z dari tabel

z ≈ 0,84

Kembali ke satuan semula

x = 178 + 0,84·7 = 183,9 cm

Jawaban

x = 183,9 cm

Ini adalah materi latihan independen. ExamProblems tidak berafiliasi dengan atau didukung oleh organisasi penyelenggara ujian ini, dan nama ujian hanya digunakan untuk menggambarkan isinya. FE exam diselenggarakan oleh NCEES, yang tidak berafiliasi dengan ExamProblems dan tidak mendukungnya.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil