Latihan ujian FE Civil: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 30 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Tegangan efektif tanah

Tegangan total: σ = Σγ_i·h_i
Tekanan air pori: u = γ_w·(z − z_w)
Tegangan efektif: σ′ = σ − u
Air: γ_w = 9,81 kN/m³

Penurunan konsolidasi

Terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Tegangan akhir: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Rasio konsolidasi berlebih: OCR = σ′_p/σ′₀
Waktu konsolidasi: t = T_v·H_dr²/c_v
Lintasan drainase: H_dr = H/2 (drainase ganda), H (drainase tunggal)
Faktor waktu: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Gaya hidrostatis

Tekanan pada kedalaman: p = ρgh
Gaya pada dinding vertikal: F = ρg·h_c·A
Pusat tekanan: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Persegi panjang: I_c = bH³/12

Gesekan pipa & kehilangan head

Bilangan Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Rezim aliran: laminar di bawah Re ≈ 2000, turbulen di atas Re ≈ 4000
Kecepatan rata-rata: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Kerugian minor: h_m = ΣK·V²/(2g)
Nilai K tipikal: masuk 0,5, keluar 1,0, belokan 90° ≈ 0,3
Penurunan tekanan: Δp = ρ·g·h_f
Dua reservoir terbuka: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Keluaran bebas: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Aliran saluran terbuka (Manning)

Persamaan Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debit: Q = A·V
Jari-jari hidrolik: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y
Trapesium (kemiringan sisi z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Pipa bulat, penuh atau setengah penuh: R = D/4
Kemiringan yang diperlukan: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Pompa & daya pompa

Daya hidrolik: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Daya poros: P_shaft = P_h/η_pump
Daya listrik: P_el = P_shaft/η_motor
Head pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Kerugian sistem: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Nilai waktu uang

Nilai masa depan: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Nilai sekarang: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Beberapa periode per tahun: i = r/m, N = m·n
Anuitas, nilai sekarang: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitas, nilai masa depan: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metode

Gambar garis waktu dengan setiap arus kas dan waktunya.
Sesuaikan suku bunga dengan periodenya: suku bunga bulanan untuk pembayaran bulanan.
Gunakan FV = PV·(1 + i)ⁿ untuk jumlah tunggal dan rumus anuitas untuk pembayaran yang sama besar.
Periksa tanda dan orde besaran jawabannya.

NPV & IRR

Nilai sekarang bersih: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Arus kas yang sama: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tingkat pengembalian internal: nilai r saat NPV = 0
Keputusan: terima jika NPV > 0 (atau IRR > tingkat pengembalian yang disyaratkan)

Metode

Daftarkan semua arus kas beserta tahunnya; investasi pada tahun 0 bernilai negatif.
Diskontokan setiap arus kas: CF_t/(1 + r)^t.
Jumlahkan semuanya untuk mendapatkan NPV. Positif berarti proyek menghasilkan lebih dari r.
Untuk IRR, cari suku bunga yang membuat NPV nol dengan coba-coba atau interpolasi.

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal R_A.

L = 5 mP₁ = 50 kN di 2 mP₂ = 55 kN di 3,5 m

R_A = kN

2.Reaksi tumpuan balokSulit

Balok kantilever dijepit ke dinding di A. Balok menahan beban yang berubah linear, sebesar 10 kN/m di dinding dan turun sampai nol di ujung bebas B, ditambah beban terpusat P pada 3,5 m dari dinding. Cari besar momen reaksi M_A di dinding.

L = 5 mw₀ = 10 kN/mP = 65 kN di 3,5 m

M_A = kN·m

3.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

B: 30 kN ↓F: 10 kN ↓G: 25 kN ↓H: 15 kN ↓

1elemen AB
2elemen BC
3elemen CD
4elemen DE
5elemen FG
6elemen GH
7elemen AF
8elemen HE
9elemen BF
10elemen CG
11elemen DH
12elemen BG
13elemen DG

4.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 6 mtinggi = 3 mB berjarak 5 m dari Abeban vertikal = 60 kNbeban horizontal = 15 kN →

F_AB = kN

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

50 kN @ 2 m45 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 2,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 6 mP = 30 kN di 5 mw = 8 kN/m dari 0 sampai 6 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

7.Lendutan balokSedang

Kantilever sepanjang L dijepit di A dan menahan beban terpusat P pada jarak a = 1,5 m dari A. Cari lendutan δ_B di ujung bebas B.

P = 29 kNa = 1,5 mL = 2 mE = 200 GPa (baja)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

8.Lendutan balokSulit

Kantilever bertopang dijepit di A dan ditumpu sederhana (ditopang) di B. Balok menahan beban terpusat P di tengah bentang. EI konstan. Cari reaksi R_B di topang.

L = 8 mP = 20 kN di 4 m

R_B = kN

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (baja)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Titik berat & momen inersiaSedang

Profil I simetris memiliki sayap selebar 120 mm dan setebal 12 mm, tinggi total 440 mm, dan badan setebal 6 mm. Cari modulus penampang elastisnya S_x untuk lentur terhadap sumbu titik berat horizontal x.

B = 120 mmH = 440 mmt_f = 12 mmt_w = 6 mm

S_x = × 10³ mm³

12.Titik berat & momen inersiaSulit

Sebuah pelat 120 mm × 300 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 60 mm dan setinggi 40 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 210 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas I_x terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 120 mmh = 300 mmpotongan: 60 × 40 mmpusat lubang: y = 210 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Tegangan efektif tanahSedang

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tegangan vertikal total σ di titik X.

z = 5 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 15,5 kN/m³pasir: γ_sat = 19,5 kN/m³

σ = kPa

14.Tegangan efektif tanahSulit

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tekanan air pori u di titik X.

z = 7,5 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 16 kN/m³pasir: γ_sat = 18,5 kN/m³lempung: γ_sat = 17 kN/m³

u = kPa

15.Penurunan konsolidasiSedang

Lapisan lempung terkonsolidasi berlebih setebal 4 m memiliki C_c = 0,3, C_r = 0,02, dan e₀ = 0,75. Di tengah kedalamannya tegangan vertikal efektifnya 105 kPa dan tekanan prakonsolidasinya 155 kPa. Sebuah bangunan baru menambah tegangan vertikal 10 kPa di tengah kedalaman. Cari penurunan konsolidasi primer S dalam mm.

H = 4 mC_c = 0,3C_r = 0,02e₀ = 0,75σ′₀ = 105 kPaσ′_p = 155 kPaΔσ = 10 kPa

S = mm

16.Penurunan konsolidasiSulit

Dalam uji oedometer di laboratorium, benda uji lempung setebal 19 mm, berdrainase di atas dan di bawah, mencapai konsolidasi 50% dalam 15 menit. Di lapangan, lempung yang sama membentuk lapisan setebal 8,5 m. Lapisan berada di antara dua lapisan pasir, sehingga air terdrainase keluar di atas dan di bawah. Berapa hari t yang diperlukan lapisan di lapangan untuk mencapai konsolidasi 50%?

h_lab = 19 mmt_lab = 15 minH = 8,5 mlapangan: drainase ganda

t = hari

17.Gaya hidrostatisSedang

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 1,5 m berada di dinding tangki berisi air, dengan tepi atasnya 1 m di bawah permukaan. Cari gaya hidrostatis resultan F pada pintu air.

d = 1 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Gaya hidrostatisSulit

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 1,5 m berada di dinding tangki berisi gliserin, dengan tepi atasnya 4 m di bawah permukaan. Cari gaya hidrostatis resultan F pada pintu air.

d = 4 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Gesekan pipa & kehilangan headSedang

Air (ρ = 1000 kg/m³) mengalir dengan kecepatan 2,5 m/s melalui pipa horizontal sepanjang 150 m dengan diameter dalam 150 mm. Gunakan faktor gesekan Darcy f = 0,03 dan g = 9,81 m/s². Cari penurunan tekanan Δp sepanjang pipa dalam kPa.

V = 2,5 m/sL = 150 mD = 150 mmf = 0,03ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Gesekan pipa & kehilangan headSulit

Dua reservoir terbuka dihubungkan oleh pipa sepanjang 150 m dengan diameter dalam 200 mm dan faktor gesekan Darcy f = 0,025. Permukaan air reservoir atas berada 38 m di atas permukaan reservoir bawah. Kerugian minornya adalah lubang masuk bersudut tajam (K = 0,5), 4 belokan (masing-masing K = 0,3), sebuah katup (K = 2), dan lubang keluar ke reservoir bawah (K = 1,0). Gunakan g = 9,81 m/s². Cari debit Q dalam L/s.

Δz = 38 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Aliran saluran terbuka (Manning)Sedang

Sebuah saluran trapesium pasangan bata memiliki lebar dasar 6 m dan kemiringan sisi 3:1 (horizontal:vertikal). Air mengalir seragam sedalam 2,2 m. n Manning = 0,015 dan kemiringan dasarnya S = 0,002. Cari debit Q dalam m³/s.

b = 6 my = 2,2 mz = 3n = 0,015S = 0,002

Q = m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)Sulit

Sebuah saluran drainase beton dengan diameter dalam 375 mm (n Manning = 0,013) harus mencapai kecepatan swabersih 0,9 m/s saat mengalir tepat penuh. Cari kemiringan minimum S (dalam m/m).

D = 375 mmn = 0,013V = 0,9 m/s

S = m/m

23.Pompa & daya pompaSedang

Dalam sebuah pengujian, pompa mengalirkan 150 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) melawan head 54 m sementara porosnya menyerap 101,9 kW. Gunakan g = 9,81 m/s². Cari efisiensi pompa η dalam persen.

Q = 150 L/sH = 54 mP_shaft = 101,9 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Pompa & daya pompaSulit

Sebuah pompa memindahkan 50 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) dari reservoir bawah yang terbuka ke tangki atas yang permukaan airnya 20 m lebih tinggi. Pipa sepanjang 300 m dengan diameter dalam 150 mm dan faktor gesekan Darcy f = 0,025; koefisien kerugian minornya berjumlah ΣK = 6 (termasuk lubang masuk dan keluar). Gunakan g = 9,81 m/s². Cari head H yang harus ditambahkan pompa.

Q = 50 L/sΔz = 20 mL = 300 mD = 150 mmf = 0,025ΣK = 6

H = m

25.Nilai waktu uangSedang

Sebuah anuitas membayar €1 000 di akhir setiap tahun selama 6 tahun. Suku bunganya 8% per tahun. Tentukan nilai sekarang PV anuitas tersebut.

A = €1 000i = 8%n = 6

PV = €

26.Nilai waktu uangSulit

KPR sebesar €300 000 dilunasi dengan angsuran bulanan yang sama selama 30 tahun dengan bunga 2,4% per tahun, dimajemukkan bulanan. Berapa utang yang masih tersisa tepat setelah pembayaran di akhir tahun ke-10? Tentukan sisa pokok utang B.

P = €300 0002,4% / 12N = 360k = 120

B = €

27.NPV & IRRSedang

Investasi sebesar €20 000 memberikan arus kas berikut di akhir tahun 1 sampai 3: €6 000, €8 000, €8 000. Biaya modal 7,000000000000001%. Tentukan nilai sekarang bersih NPV.

r = 7,000000000000001%CF₀ = −20 000CF₁ = 6 000CF₂ = 8 000CF₃ = 8 000

NPV = €

28.NPV & IRRSulit

Investasi sebesar €20 000 menghasilkan €4 000 di akhir setiap tahun selama 7 tahun. Tentukan tingkat pengembalian internalnya IRR dalam persen.

C₀ = €20 000CF = €4 000n = 7

IRR = %

29.Distribusi normalSedang

Massa kantong semen saling bebas dan normal dengan rata-rata 25 kg dan simpangan baku 0,5 kg. Cari peluang P bahwa massa total 4 di antaranya di bawah 99 kg. Bulatkan z ke dua desimal.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 4< 99 kg

P =

30.Distribusi normalSulit

Data berat kantong berdistribusi normal dengan rata-rata 250 g dan simpangan baku 5 g. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 20% data (persentil ke-20).

μ = 250σ = 5P = 20%

x = g

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = 46,5 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·2 + 55·3,5

R_B = 292,5/5 = 58,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 58,5 = 46,5 kN

Jawaban

R_A = 46,5 kN

2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: M_A = 269,2 kN·m

Kesetimbangan kantilever: tumpuan jepit dapat mendorong ke atas sekaligus menahan rotasi, jadi memberi reaksi vertikal R_A dan momen reaksi M_A. ΣF_y = 0 memberi R_A, dan momen terhadap dinding memberi M_A = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban merata bekerja sebagai resultannya di titik berat diagram beban.

Resultan beban segitiga

W = ½·10·5 = 25 kN

x̄ = L/3 = 1,667 m

Momen terhadap dinding

M_A = W·x̄ + P·a = 25·1,667 + 65·3,5 = 269,2 kN·m

Jawaban

M_A = 269,2 kN·m

3.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen CG

Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.

Simpul C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 46,25 kN (T), BC: 52,5 kN (T), CD: 52,5 kN (T), DE: 33,75 kN (T), FG: 46,25 kN (C), GH: 33,75 kN (C), AF: 65,41 kN (C), HE: 47,73 kN (C), BF: 36,25 kN (T), CG: 0, DH: 18,75 kN (T), BG: 8,839 kN (C), DG: 26,52 kN (C)

Jawaban

Elemen gaya-nol: CG

4.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AB = −4,859 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 60·5 + 15·3 → C_y = 57,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 57,5 = 2,5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −15 kN

Titik buhul A

Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.

sin α = 3/5,831 = 0,5145

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −2,5/0,5145 = −4,859 kN

Jawaban

F_AB = −4,859 kN (tekan)

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: C (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R₁ = 71,67 kN, R₂ = 23,33 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

M_A = 0, M_B = 143,3, M_C = 186,7 kN·m, M_D = 140, M_E = 93,33, M_F = 46,67, M_G = 0

Jawaban

Tanda C: M_C = 186,7 kN·m

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 47,5 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, bekerja di x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·5 + 8·6·3

R_B = 294/6 = 49 kN

ΣF_y = 0: R_A = 78 − 49 = 29 kN

Potong di x = 2,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 29·2,5 − 8·2,5·1,25 = 47,5 kN·m

Jawaban

M_x = 47,5 kN·m

7.Lendutan balok

Jawaban: δ_B = 1,529 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 29000 N, a = 1500 mm, L = 2000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Lendutan di ujung bebas

Lendutan di titik beban ditambah kemiringan di titik beban dikali sisa panjang.

δ_P = Pa³/(3EI) = 1,02 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,00102 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 1,529 mm

Jawaban

δ_B = 1,529 mm

8.Lendutan balok

Jawaban: R_B = 6,25 kN

Lepaskan topang

Tanpa topang, balok adalah kantilever. Ujung bebasnya akan melendut akibat beban.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Kompatibilitas di topang

Gaya topang R_B sendiri mengangkat ujung bebas sebesar R_BL³/(3EI). Topang menahan B pada lendutan nol, jadi keduanya harus saling meniadakan. EI saling menghapus.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·20/16 = 6,25 kN

Jawaban

R_B = 6,25 kN

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 200,9 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·2500 = 2500 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2500² = 200921 N = 200,9 kN

Jawaban

P_cr = 200,9 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 11,05 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/10 = 250

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/250² = 11,05 MPa

Jawaban

σ_cr = 11,05 MPa

11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: S_x = 763,3 × 10³ mm³

Momen inersia penampang: untuk persegi panjang terhadap sumbu titik beratnya sendiri I = bh³/12, dan terhadap alasnya bh³/3 (teorema sumbu sejajar I = I_c + A·d²). Lubang diperhitungkan dengan mengurangkan I-nya, asalkan kedua bagian memakai sumbu yang sama. Modulus penampang elastis adalah S = I/c, dengan c jarak ke serat terluar.

Persegi panjang luar dikurangi dua potongan samping

Kedua potongan bersama-sama selebar (B − t_w) dan setinggi h_w = H − 2t_f, dan memakai sumbu x yang sama.

h_w = 440 − 2·12 = 416 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (120·440³ − 114·416³)/12

I_x = 1,679 × 10⁸ mm⁴

Modulus penampang

c = H/2 = 220 mm

S_x = I/c = 1,679 × 10⁸/220

S_x = 763285 mm³ = 763,3 × 10³ mm³

Jawaban

S_x = 763,3 × 10³ mm³

12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 260,4 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki I_c = bh³/12 dan lingkaran I_c = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (36000·150 − 2400·210)/(36000 − 2400) = 145,7 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

120·300³/12 + 36000·4,286² = 270,7 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

60·40³/12 + 2400·64,29² = 10,24 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

I_x = 260,4 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 260,4 × 10⁶ mm⁴

13.Tegangan efektif tanah

Jawaban: σ = 81,5 kPa

Tegangan efektif (Terzaghi): butiran tanah menahan σ′ = σ − u. Tegangan total σ adalah berat semua yang ada di atas titik, Σγ·h, memakai berat isi kering di atas muka air tanah dan berat isi jenuh di bawahnya. Di bawah muka air tanah tekanan air pori bersifat hidrostatis: u = γ_w·(kedalaman di bawah muka air tanah).

Tegangan total

Jumlahkan berat setiap lapisan tanah di atas X. Di atas muka air tanah gunakan berat isi kering, di bawahnya berat isi jenuh.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15,5·4 + 19,5·1 = 81,5 kPa

Jawaban

σ = 81,5 kPa

14.Tegangan efektif tanah

Jawaban: u = 53,96 kPa

Tekanan air pori

Tekanan air bertambah dengan kedalaman di bawah muka air tanah.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5,5 = 53,96 kPa

Jawaban

u = 53,96 kPa

15.Penurunan konsolidasi

Jawaban: S = 1,806 mm

Konsolidasi primer lapisan lempung setebal H, dengan tegangan efektif di tengah lapisan: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Lempung terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Lempung terkonsolidasi berlebih mengalami rekompresi sepanjang C_r sampai tekanan prakonsolidasi σ′_p dan baru mengikuti C_c setelah melewatinya. Waktu: t = T_v·H_dr²/c_v, dengan lintasan drainase H_dr sebesar H/2 bila air dapat keluar di atas dan di bawah, dan H bila hanya satu sisi yang berdrainase.

Bandingkan dengan tekanan prakonsolidasi

σ′_f = 105 + 10 = 115 kPa ≤ 155 kPa

Penurunan

Lempung tetap berada pada garis rekompresinya.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,02·4/(1 + 0,75)·log₁₀(115/105) = 1,806 mm

Jawaban

S = 1,806 mm

16.Penurunan konsolidasi

Jawaban: t = 2085 hari

Lintasan drainase

H_dr,lab = 19/2 = 9,5 mm = 0,0095 m

H_dr,field = 8,5/2 = 4,25 m

Skalakan waktunya

t = T_v·H_dr²/c_v dengan T_v dan c_v yang sama di laboratorium dan di lapangan.

t_field = 15·(4,25/0,0095)² = 3,002 × 10⁶ min

t_field = 3,002 × 10⁶/1440 = 2085 hari

Jawaban

t = 2085 hari

17.Gaya hidrostatis

Jawaban: F = 58,86 kN

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·3 = 58,86 kN

Jawaban

F = 58,86 kN

18.Gaya hidrostatis

Jawaban: F = 305,9 kN

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5,5 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·5,5·4,5 = 305,9 kN

Jawaban

F = 305,9 kN

19.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: Δp = 93,75 kPa

Aliran pipa: bilangan Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ membedakan aliran laminar (Re di bawah sekitar 2000) dari aliran turbulen (di atas sekitar 4000). Gesekan sepanjang pipa menyebabkan kehilangan head Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Sambungan, katup, lubang masuk, dan lubang keluar menambah kerugian minor h_m = ΣK·V²/(2g). Di antara dua permukaan reservoir terbuka, persamaan energi memberikan Δz = h_f + h_m, termasuk kerugian keluar K = 1.

Kehilangan head

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(150/0,15)·2,5²/(2·9,81) = 9,557 m

Penurunan tekanan

Pipa horizontal dan kecepatannya tidak berubah, sehingga persamaan energi menjadi Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·9,557 = 93750 Pa = 93,75 kPa

Jawaban

Δp = 93,75 kPa

20.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: Q = 177,1 L/s

Koefisien kerugian

f·L/D = 0,025·150/0,2 = 18,75

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7

Persamaan energi

Kedua permukaan terbuka ke udara dan praktis diam, sehingga seluruh Δz hilang di dalam pipa.

38 = (18,75 + 4,7)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·38/23,45) = 5,639 m/s

Debit

Q = V·π·D²/4 = 5,639·0,03142 = 0,1771 m³/s = 177,1 L/s

Jawaban

Q = 177,1 L/s

21.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: Q = 103 m³/s

Persamaan Manning (SI): untuk aliran seragam di saluran terbuka V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 dan Q = A·V, dengan n koefisien kekasaran, S kemiringan dasar (m/m), dan R = A/P jari-jari hidrolik: luas aliran dibagi keliling basah. Hanya batas yang bersentuhan dengan air yang dihitung dalam P, bukan permukaan bebas. Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y. Trapesium dengan kemiringan sisi z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pipa bulat yang mengalir penuh atau setengah penuh memiliki R = D/4.

Geometri

A = (b + z·y)·y = (6 + 3·2,2)·2,2 = 27,72 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·2,2·√(1 + 3²) = 19,91 m

R = A/P = 1,392 m

Kecepatan

V = (1/0,015)·1,392^2/3·0,002^1/2 = 3,717 m/s

Debit

Q = A·V = 27,72·3,717 = 103 m³/s

Jawaban

Q = 103 m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: S = 0,003214 m/m

Jari-jari hidrolik

R = D/4 = 0,375/4 = 0,09375 m

Selesaikan Manning untuk S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,9/0,2064)² = 0,003214

Jawaban

S = 0,003214

Itu penurunan 3,214 m per kilometer.

23.Pompa & daya pompa

Jawaban: η = 77,98 %

Daya pompa: daya yang diberikan kepada air adalah daya hidrolik P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Poros harus menyalurkan lebih banyak karena pompa mengalami rugi: P_shaft = P_h/η_pump, dan motor menarik P_el = P_shaft/η_motor. Head pompa H diperoleh dari persamaan energi: tinggi angkat statis + head tekanan + semua kerugian gesekan dan minor.

Daya hidrolik

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·54 = 79,46 kW

Efisiensi

η = P_h/P_shaft = 79,46/101,9 = 77,98%

Jawaban

η = 77,98%

24.Pompa & daya pompa

Jawaban: H = 42,85 m

Kecepatan

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Kehilangan head

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (50 + 6)·0,408 = 22,85 m

Head pompa

Kedua permukaan terbuka dan praktis diam, sehingga suku tekanan dan kecepatan hilang.

H = Δz + h_L = 20 + 22,85 = 42,85 m

Jawaban

H = 42,85 m

25.Nilai waktu uang

Jawaban: PV = 4623 €

Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)ⁿ. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.

Faktor anuitas

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,6302)/0,08 = 4,623

Nilai sekarang

PV = 1 000·4,623 = €4 622,88

Jawaban

PV = €4 622,88

26.Nilai waktu uang

Jawaban: B = 222805 €

Angsuran bulanan

i = 0,002, N = 360

A = 300 000·0,002/(1 − (1 + 0,002)⁻³⁶⁰) = €1 169,82

Nilai sekarang sisa angsuran

Apa pun yang masih terutang harus tepat dilunasi oleh sisa angsuran.

N − k = 360 − 120 = 240

B = 1170·(1 − (1 + 0,002)⁻²⁴⁰)/0,002 = €222 804,65

Jawaban

B = €222 804,65

27.NPV & IRR

Jawaban: NPV = −874,6 €

Nilai sekarang bersih: diskontokan setiap arus kas ke hari ini dengan tingkat pengembalian yang disyaratkan r, lalu jumlahkan: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Proyek dengan NPV > 0 menghasilkan lebih dari r dan menambah nilai. Tingkat pengembalian internal (IRR) adalah tingkat yang membuat NPV = 0.

Nilai sekarang setiap arus kas

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,07)¹ = 6 000/1,07 = 5 607,48

CF₂/(1 + 0,07)² = 8 000/1,145 = 6 987,51

CF₃/(1 + 0,07)³ = 8 000/1,225 = 6 530,38

Jumlahkan

NPV = €−874,63

Jawaban

NPV = €−874,63

NPV negatif, jadi proyek menghasilkan kurang dari pengembalian yang disyaratkan.

28.NPV & IRR

Jawaban: IRR = 9,196 %

Faktor anuitas yang diperlukan

(1 − (1 + i)⁻⁷)/i = 20 000/4 000 = 5

Selesaikan untuk suku bunga

Faktor anuitas turun saat suku bunga naik; apit suku bunganya lalu persempit.

i = 9%: 5,033

i = 10%: 4,868

IRR = 9,196%

Jawaban

IRR = 9,196%

29.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,1587

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², sehingga σ = √(σ_X² + σ_Y²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi total

μ_T = 100 kg, σ_T = 0,5·√4 = 1 kg

Standarkan

z = (99 − 100)/1 = −1

Peluang

P = Φ(−1) = 0,1587

Jawaban

P = 0,1587

30.Distribusi normal

Jawaban: x = 245,8 g

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

z untuk persentil

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Kembali ke x

x = 250 + −0,8416·5 = 245,79 g

Jawaban

x = 245,79 g

Ini adalah materi latihan independen. ExamProblems tidak berafiliasi dengan atau didukung oleh organisasi penyelenggara ujian ini, dan nama ujian hanya digunakan untuk menggambarkan isinya. FE exam diselenggarakan oleh NCEES, yang tidak berafiliasi dengan ExamProblems dan tidak mendukungnya.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil