Latihan ujian FE Civil: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 30 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Tegangan efektif tanah

Tegangan total: σ = Σγ_i·h_i
Tekanan air pori: u = γ_w·(z − z_w)
Tegangan efektif: σ′ = σ − u
Air: γ_w = 9,81 kN/m³

Penurunan konsolidasi

Terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Tegangan akhir: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Rasio konsolidasi berlebih: OCR = σ′_p/σ′₀
Waktu konsolidasi: t = T_v·H_dr²/c_v
Lintasan drainase: H_dr = H/2 (drainase ganda), H (drainase tunggal)
Faktor waktu: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Gaya hidrostatis

Tekanan pada kedalaman: p = ρgh
Gaya pada dinding vertikal: F = ρg·h_c·A
Pusat tekanan: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Persegi panjang: I_c = bH³/12

Gesekan pipa & kehilangan head

Bilangan Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Rezim aliran: laminar di bawah Re ≈ 2000, turbulen di atas Re ≈ 4000
Kecepatan rata-rata: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Kerugian minor: h_m = ΣK·V²/(2g)
Nilai K tipikal: masuk 0,5, keluar 1,0, belokan 90° ≈ 0,3
Penurunan tekanan: Δp = ρ·g·h_f
Dua reservoir terbuka: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Keluaran bebas: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Aliran saluran terbuka (Manning)

Persamaan Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debit: Q = A·V
Jari-jari hidrolik: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y
Trapesium (kemiringan sisi z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Pipa bulat, penuh atau setengah penuh: R = D/4
Kemiringan yang diperlukan: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Pompa & daya pompa

Daya hidrolik: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Daya poros: P_shaft = P_h/η_pump
Daya listrik: P_el = P_shaft/η_motor
Head pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Kerugian sistem: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Nilai waktu uang

Nilai masa depan: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Nilai sekarang: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Beberapa periode per tahun: i = r/m, N = m·n
Anuitas, nilai sekarang: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitas, nilai masa depan: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metode

Gambar garis waktu dengan setiap arus kas dan waktunya.
Sesuaikan suku bunga dengan periodenya: suku bunga bulanan untuk pembayaran bulanan.
Gunakan FV = PV·(1 + i)ⁿ untuk jumlah tunggal dan rumus anuitas untuk pembayaran yang sama besar.
Periksa tanda dan orde besaran jawabannya.

NPV & IRR

Nilai sekarang bersih: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Arus kas yang sama: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tingkat pengembalian internal: nilai r saat NPV = 0
Keputusan: terima jika NPV > 0 (atau IRR > tingkat pengembalian yang disyaratkan)

Metode

Daftarkan semua arus kas beserta tahunnya; investasi pada tahun 0 bernilai negatif.
Diskontokan setiap arus kas: CF_t/(1 + r)^t.
Jumlahkan semuanya untuk mendapatkan NPV. Positif berarti proyek menghasilkan lebih dari r.
Untuk IRR, cari suku bunga yang membuat NPV nol dengan coba-coba atau interpolasi.

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal R_A.

L = 6 mP₁ = 50 kN di 2,5 mP₂ = 50 kN di 3,5 m

R_A = kN

2.Reaksi tumpuan balokSulit

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Beban P bekerja pada 3 m dari A, miring 40° terhadap horizontal, dan beban vertikal Q bekerja pada 5 m dari A. Cari besar gaya reaksi total R_A di sendi A.

L = 8 mP = 40 kN di 3 m, θ = 40°Q = 25 kN di 5 m

R_A = kN

3.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AC pada batang AC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 4 mtinggi = 4 mB berjarak 1 m dari Abeban vertikal = 60 kN

F_AC = kN

4.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AC pada batang AC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 4 mtinggi = 3 mB berjarak 3 m dari Abeban vertikal = 10 kNbeban horizontal = 15 kN ←

F_AC = kN

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

55 kN @ 3 m15 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Balok bertumpu pada sendi di A dan rol di B, dan menjorok (overstek) sejauh 2,5 m melewati B hingga ujung bebas C. Beban merata w bekerja di sepanjang A–C. Cari momen lentur M_B di tumpuan B. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 8,5 mw = 2 kN/m dari 0 sampai 8,5 mtumpuan di x = 0 dan x = 6 m

M_B = kN·m

7.Lendutan balokSedang

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari kemiringan θ_A balok di tumpuan A, dalam radian.

w = 2 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 160 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.Lendutan balokSulit

Balok sederhana menahan beban merata w dan beban terpusat P di tengah bentang. Dengan superposisi, cari lendutan tengah δ_max.

P = 12 kNw = 2 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Titik berat & momen inersiaSedang

Cari momen inersia I_x penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

b_f = 140 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersiaSulit

Balok besi tuang memiliki penampang T seperti pada gambar, dengan sayap di atas. Tegangan izinnya 40 MPa untuk tarik dan 100 MPa untuk tekan. Cari momen lentur negatif terbesar M_allow yang dapat ditahan balok (nyatakan besarnya).

b_f = 240 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmh_w = 220 mmσ_t,allow = 40 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

13.Tegangan efektif tanahSedang

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tekanan air pori u di titik X.

z = 8 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 15,5 kN/m³pasir: γ_sat = 20 kN/m³

u = kPa

14.Tegangan efektif tanahSulit

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tekanan air pori u di titik X.

z = 8,5 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 15,5 kN/m³pasir: γ_sat = 18,5 kN/m³lempung: γ_sat = 17 kN/m³

u = kPa

15.Penurunan konsolidasiSedang

Lapisan lempung terkonsolidasi berlebih setebal 6,5 m memiliki C_c = 0,4, C_r = 0,05, dan e₀ = 0,65. Di tengah kedalamannya tegangan vertikal efektifnya 95 kPa dan tekanan prakonsolidasinya 215 kPa. Sebuah bangunan baru menambah tegangan vertikal 200 kPa di tengah kedalaman. Cari penurunan konsolidasi primer S dalam mm.

H = 6,5 mC_c = 0,4C_r = 0,05e₀ = 0,65σ′₀ = 95 kPaσ′_p = 215 kPaΔσ = 200 kPa

S = mm

16.Penurunan konsolidasiSulit

Sebuah lapisan lempung setebal 3 m memiliki koefisien konsolidasi c_v = 0,5 m²/tahun. Lapisan berada di atas batuan kedap air, dengan pasir di atasnya, sehingga air hanya terdrainase keluar di atas. Untuk konsolidasi rata-rata 60% faktor waktunya T_v = 0,287. Berapa tahun t yang diperlukan lapisan untuk mencapai konsolidasi 60%?

H = 3 mc_v = 0,5 m²/tahunU = 60%T_v = 0,287drainase tunggal

t = tahun

17.Gaya hidrostatisSedang

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 1,5 m berada di dinding tangki berisi air, dengan tepi atasnya 0,5 m di bawah permukaan. Cari gaya hidrostatis resultan F pada pintu air.

d = 0,5 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Gaya hidrostatisSulit

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 1 m berada di dinding tangki berisi oli, dengan tepi atasnya 4 m di bawah permukaan. Cari kedalaman y_cp pusat tekanan di bawah permukaan.

d = 4 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Gesekan pipa & kehilangan headSedang

Air (ρ = 1000 kg/m³) mengalir dengan kecepatan 1,4 m/s melalui pipa horizontal sepanjang 50 m dengan diameter dalam 200 mm. Gunakan faktor gesekan Darcy f = 0,02 dan g = 9,81 m/s². Cari penurunan tekanan Δp sepanjang pipa dalam kPa.

V = 1,4 m/sL = 50 mD = 200 mmf = 0,02ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Gesekan pipa & kehilangan headSulit

Sebuah pipa sepanjang 400 m dengan diameter dalam 300 mm (faktor gesekan Darcy f = 0,015) berawal dari reservoir terbuka dan mengeluarkan air sebagai pancaran bebas ke udara. Kerugian minornya adalah lubang masuk bersudut tajam (K = 0,5), 4 belokan (masing-masing K = 0,3), dan sebuah katup (K = 2). Gunakan g = 9,81 m/s². Berapa tinggi H permukaan reservoir harus berada di atas lubang keluar pipa untuk debit 100 L/s?

Q = 100 L/sL = 400 mD = 300 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2

H = m

21.Aliran saluran terbuka (Manning)Sedang

Sebuah saluran drainase beton dengan diameter dalam 1200 mm mengalir tepat penuh (sebagai saluran terbuka, bukan bertekanan). n Manning = 0,013 dan kemiringannya S = 0,005. Cari debit Q dalam m³/s.

D = 1200 mmn = 0,013S = 0,005

Q = m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)Sulit

Sebuah saluran drainase beton dengan diameter dalam 375 mm (n Manning = 0,013) harus mencapai kecepatan swabersih 0,9 m/s saat mengalir tepat penuh. Cari kemiringan minimum S (dalam m/m).

D = 375 mmn = 0,013V = 0,9 m/s

S = m/m

23.Pompa & daya pompaSedang

Sebuah pompa mengalirkan 80 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) melawan head 38 m. Efisiensi pompa 78% dan motor listrik penggeraknya memiliki efisiensi 90%. Gunakan g = 9,81 m/s². Cari daya listrik P_el yang ditarik motor, dalam kW.

Q = 80 L/sH = 38 mη_pump = 78%η_motor = 90%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.Pompa & daya pompaSulit

Sebuah pompa memindahkan 20 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) dari reservoir bawah yang terbuka ke tangki atas yang permukaan airnya 21 m lebih tinggi. Pipa sepanjang 150 m dengan diameter dalam 100 mm dan faktor gesekan Darcy f = 0,022; koefisien kerugian minornya berjumlah ΣK = 6 (termasuk lubang masuk dan keluar). Gunakan g = 9,81 m/s². Cari head H yang harus ditambahkan pompa.

Q = 20 L/sΔz = 21 mL = 150 mD = 100 mmf = 0,022ΣK = 6

H = m

25.Nilai waktu uangSedang

Anda menginvestasikan €8 000 dengan suku bunga nominal 3,6% per tahun, dimajemukkan bulanan. Tentukan nilai FV investasi setelah 2 tahun.

PV = €8 0003,6% / 12n = 2

FV = €

26.Nilai waktu uangSulit

Pinjaman sebesar €12 000 dilunasi dengan angsuran bulanan yang sama selama 6 tahun. Suku bunganya 6% per tahun, dimajemukkan bulanan. Tentukan angsuran bulanan A.

P = €12 0006% / 12N = 72

A = €

27.NPV & IRRSedang

Investasi sebesar €75 000 memberikan arus kas berikut di akhir tahun 1 sampai 4: €36 000, €31 000, €20 000, €25 000. Biaya modal 6%. Tentukan nilai sekarang bersih NPV.

r = 6%CF₀ = −75 000CF₁ = 36 000CF₂ = 31 000CF₃ = 20 000CF₄ = 25 000

NPV = €

28.NPV & IRRSulit

Proyek A berbiaya €30 000 dan menghasilkan €17 000, €11 500, €7 000 di akhir tahun 1 sampai 3. Proyek B berbiaya €32 000 dan menghasilkan €9 000, €13 000, €17 000. Tentukan tingkat persilangan r* saat kedua proyek memiliki NPV yang sama, dalam persen.

A: −30 000, 17 000, 11 500, 7 000B: −32 000, 9 000, 13 000, 17 000

r* = %

29.Distribusi normalSedang

Seret z sehingga luas berarsir di antara −z dan z di bawah kurva normal baku adalah 0,8293. Cari z sampai dua desimal.

A = 0,8293

z =

30.Distribusi normalSulit

tinggi badan pria dewasa berdistribusi normal dengan rata-rata 178 cm dan simpangan baku 7 cm. Seret batas sehingga 90% teratas yang diarsir berada di sebelah kanannya. Cari batas x.

μ = 178 cmσ = 7 cm90%

x = cm

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = 50 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 50·2,5 + 50·3,5

R_B = 300/6 = 50 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 50 = 50 kN

Jawaban

R_A = 50 kN

2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = 39,83 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Komponen P

P_v = 40·sin 40° = 25,71 kN

P_h = 40·cos 40° = 30,64 kN

Reaksi

ΣM_A = 0: R_B·8 = 25,71·3 + 25·5 → R_B = 25,27 kN

A_y = 25,71 + 25 − 25,27 = 25,44 kN

A_x = P_h = 30,64 kN

Resultan di A

R_A = √(30,64² + 25,44²) = 39,83 kN

Jawaban

R_A = 39,83 kN

3.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AC = 11,25 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 60·1 → C_y = 15 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 15 = 45 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −15/0,8 = −18,75 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−18,75)·0,6 = 11,25 kN

Jawaban

F_AC = 11,25 kN (tarik)

4.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AC = −1,25 kN

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 10·3 − 15·3 → C_y = −3,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − −3,75 = 13,75 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−3,75/0,9487 = 3,953 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(3,953)·0,3162 = −1,25 kN

Jawaban

F_AC = −1,25 kN (tekan)

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: D (x = 3 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R₁ = 72,5 kN, R₂ = 72,5 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

M_A = 0, M_B = 65, M_C = 115, M_D = 150 kN·m, M_E = 115, M_F = 65, M_G = 0

Jawaban

Tanda D: M_D = 150 kN·m

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_B = −6,25 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok, termasuk beban pada overstek.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 2·8,5 = 17 kN, bekerja di x̄ = 4,25 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 2·8,5·4,25

R_B = 72,25/6 = 12,04 kN

ΣF_y = 0: R_A = 17 − 12,04 = 4,958 kN

Potong di B dan ambil bagian overstek

Beban pada overstek, w·a, bekerja di a/2 dari B dan menimbulkan momen negatif di atas tumpuan.

M_B = −w·a²/2 = −2·2,5²/2 = −6,25 kN·m

Jawaban

M_B = −6,25 kN·m

7.Lendutan balok

Jawaban: θ_A = 0,005919 rad

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi). Kemiringan θ = dv/dx adalah integral pertama dari M/(EI); dengan satuan yang konsisten hasilnya dalam radian.

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 5000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Kemiringan ujung

θ_A = wL³/(24EI) = 2·5000³/(24·1,76 × 10¹²) = 0,005919 rad

Jawaban

θ_A = 0,005919 rad

Itu sama dengan 0,3391°.

8.Lendutan balok

Jawaban: δ_max = 37,3 mm

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 12000 N, w = 2 N/mm, L = 2500 mm, EI = 1,32 × 10¹¹ N·mm²

Setiap beban sendiri

δ_P = PL³/(48EI) = 12000·2500³/(48·1,32 × 10¹¹) = 29,59 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·2500⁴/(384·1,32 × 10¹¹) = 7,706 mm

Jumlahkan

δ_max = 29,59 + 7,706 = 37,3 mm

Jawaban

δ_max = 37,3 mm

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 4,998 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·1500 = 3000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/3000² = 4998 N = 4,998 kN

Jawaban

P_cr = 4,998 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 38,86 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

KL/r = 2000/15 = 133,3

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/133,3² = 38,86 MPa

Jawaban

σ_cr = 38,86 MPa

11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 9,33 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 140·15 = 2100 mm², y_f = 140 + 15/2 = 147,5 mm

badan: A_w = 14·140 = 1960 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2100·147,5 + 1960·70)/4060 = 110,1 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 140·15³/12 + 2100·(147,5 − 110,1)² = 2,979 × 10⁶ mm⁴

badan: 14·140³/12 + 1960·(70 − 110,1)² = 6,351 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,979 × 10⁶ + 6,351 × 10⁶ = 9,33 × 10⁶ mm⁴ = 9,33 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 9,33 × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: M_allow = 14,16 kN·m

Titik berat

ȳ = (2400·225 + 2200·110)/4600 = 170 mm

tepi atas: c = 230 − 170 = 60 mm

Momen inersia penampang

I = 240·10³/12 + 2400·55² + 10·220³/12 + 2200·60² = 2,407 × 10⁷ mm⁴

Momen yang diizinkan tiap tepi

Momen negatif: sisi atas tertarik, sisi bawah tertekan.

tepi atas: M = 40·2,407 × 10⁷/60 = 16,05 kN·m

tepi bawah: M = 100·2,407 × 10⁷/170 = 14,16 kN·m

Nilai yang menentukan

M_allow = min = 14,16 kN·m (tepi bawah)

Jawaban

M_allow = 14,16 kN·m

13.Tegangan efektif tanah

Jawaban: u = 58,86 kPa

Tegangan efektif (Terzaghi): butiran tanah menahan σ′ = σ − u. Tegangan total σ adalah berat semua yang ada di atas titik, Σγ·h, memakai berat isi kering di atas muka air tanah dan berat isi jenuh di bawahnya. Di bawah muka air tanah tekanan air pori bersifat hidrostatis: u = γ_w·(kedalaman di bawah muka air tanah).

Tekanan air pori

Tekanan air bertambah dengan kedalaman di bawah muka air tanah.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·6 = 58,86 kPa

Jawaban

u = 58,86 kPa

14.Tegangan efektif tanah

Jawaban: u = 53,96 kPa

Tekanan air pori

Tekanan air bertambah dengan kedalaman di bawah muka air tanah.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5,5 = 53,96 kPa

Jawaban

u = 53,96 kPa

15.Penurunan konsolidasi

Jawaban: S = 286,4 mm

Konsolidasi primer lapisan lempung setebal H, dengan tegangan efektif di tengah lapisan: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Lempung terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Lempung terkonsolidasi berlebih mengalami rekompresi sepanjang C_r sampai tekanan prakonsolidasi σ′_p dan baru mengikuti C_c setelah melewatinya. Waktu: t = T_v·H_dr²/c_v, dengan lintasan drainase H_dr sebesar H/2 bila air dapat keluar di atas dan di bawah, dan H bila hanya satu sisi yang berdrainase.

Bandingkan dengan tekanan prakonsolidasi

σ′_f = 95 + 200 = 295 kPa > 215 kPa

Penurunan

Rekompresi sampai σ′_p, kompresi murni setelahnya.

S = 0,05·6,5/(1 + 0,65)·log₁₀(215/95) + 0,4·6,5/(1 + 0,65)·log₁₀(295/215)

S = 69,87 + 216,5 = 286,4 mm

Jawaban

S = 286,4 mm

16.Penurunan konsolidasi

Jawaban: t = 5,166 tahun

Lintasan drainase

H_dr = H = 3 m

Waktu

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,287·3²/0,5 = 5,166 tahun

Jawaban

t = 5,166 tahun

17.Gaya hidrostatis

Jawaban: F = 44,15 kN

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2/2 = 1,5 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,5·3 = 44,15 kN

Jawaban

F = 44,15 kN

18.Gaya hidrostatis

Jawaban: y_cp = 5,349 m

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·5,25·2,5 = 113,3 kN

Pusat tekanan

Tekanan bertambah dengan kedalaman, jadi resultan bekerja di bawah titik berat.

I_c = b·H³/12 = 1·2,5³/12 = 1,302 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 5,25 + 1,302/(5,25·2,5) = 5,349 m

Jawaban

y_cp = 5,349 m

19.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: Δp = 4,9 kPa

Aliran pipa: bilangan Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ membedakan aliran laminar (Re di bawah sekitar 2000) dari aliran turbulen (di atas sekitar 4000). Gesekan sepanjang pipa menyebabkan kehilangan head Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Sambungan, katup, lubang masuk, dan lubang keluar menambah kerugian minor h_m = ΣK·V²/(2g). Di antara dua permukaan reservoir terbuka, persamaan energi memberikan Δz = h_f + h_m, termasuk kerugian keluar K = 1.

Kehilangan head

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(50/0,2)·1,4²/(2·9,81) = 0,4995 m

Penurunan tekanan

Pipa horizontal dan kecepatannya tidak berubah, sehingga persamaan energi menjadi Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·0,4995 = 4900 Pa = 4,9 kPa

Jawaban

Δp = 4,9 kPa

20.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: H = 2,52 m

Kecepatan

V = Q/A = 0,1/0,07069 = 1,415 m/s

V²/(2g) = 0,102 m

Koefisien kerugian

f·L/D = 0,015·400/0,3 = 20

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 = 3,7

Persamaan energi

Pancaran keluar masih membawa head kecepatannya; itu bukan kerugian, tetapi harus disediakan.

H = (1 + 20 + 3,7)·0,102 = 2,52 m

Jawaban

H = 2,52 m

21.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: Q = 2,757 m³/s

Persamaan Manning (SI): untuk aliran seragam di saluran terbuka V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 dan Q = A·V, dengan n koefisien kekasaran, S kemiringan dasar (m/m), dan R = A/P jari-jari hidrolik: luas aliran dibagi keliling basah. Hanya batas yang bersentuhan dengan air yang dihitung dalam P, bukan permukaan bebas. Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y. Trapesium dengan kemiringan sisi z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pipa bulat yang mengalir penuh atau setengah penuh memiliki R = D/4.

Geometri

A = 1,131 m², R = D/4 = 0,3 m

Kecepatan

V = (1/0,013)·0,3^2/3·0,005^1/2 = 2,438 m/s

Debit

Q = A·V = 1,131·2,438 = 2,757 m³/s

Jawaban

Q = 2,757 m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: S = 0,003214 m/m

Jari-jari hidrolik

R = D/4 = 0,375/4 = 0,09375 m

Selesaikan Manning untuk S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,9/0,2064)² = 0,003214

Jawaban

S = 0,003214

Itu penurunan 3,214 m per kilometer.

23.Pompa & daya pompa

Jawaban: P_el = 42,48 kW

Daya pompa: daya yang diberikan kepada air adalah daya hidrolik P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Poros harus menyalurkan lebih banyak karena pompa mengalami rugi: P_shaft = P_h/η_pump, dan motor menarik P_el = P_shaft/η_motor. Head pompa H diperoleh dari persamaan energi: tinggi angkat statis + head tekanan + semua kerugian gesekan dan minor.

Daya hidrolik

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·38 = 29,82 kW

Daya poros

P_shaft = 29,82/0,78 = 38,23 kW

Daya listrik

P_el = 38,23/0,9 = 42,48 kW

Jawaban

P_el = 42,48 kW

24.Pompa & daya pompa

Jawaban: H = 33,89 m

Kecepatan

V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Kehilangan head

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (33 + 6)·0,3305 = 12,89 m

Head pompa

Kedua permukaan terbuka dan praktis diam, sehingga suku tekanan dan kecepatan hilang.

H = Δz + h_L = 21 + 12,89 = 33,89 m

Jawaban

H = 33,89 m

25.Nilai waktu uang

Jawaban: FV = 8596 €

Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)ⁿ. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.

Suku bunga dan jumlah periode

i = r/m = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = m·n = 12·2 = 24

Nilai masa depan

FV = 8 000·(1 + 0,003)²⁴ = 8 000·1,075 = €8 596,32

Jawaban

FV = €8 596,32

26.Nilai waktu uang

Jawaban: A = 198,9 €

Suku bunga bulanan dan jumlah angsuran

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·6 = 72

Angsuran

Nilai sekarang dari N pembayaran yang sama A adalah A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Samakan dengan pinjaman dan selesaikan untuk A.

(1 + i)^−N = 0,6983

A = 12 000·0,005/(1 − 0,6983) = €198,87

Jawaban

A = €198,87

27.NPV & IRR

Jawaban: NPV = 23147 €

Nilai sekarang bersih: diskontokan setiap arus kas ke hari ini dengan tingkat pengembalian yang disyaratkan r, lalu jumlahkan: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Proyek dengan NPV > 0 menghasilkan lebih dari r dan menambah nilai. Tingkat pengembalian internal (IRR) adalah tingkat yang membuat NPV = 0.

Nilai sekarang setiap arus kas

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,06)¹ = 36 000/1,06 = 33 962,26

CF₂/(1 + 0,06)² = 31 000/1,124 = 27 589,89

CF₃/(1 + 0,06)³ = 20 000/1,191 = 16 792,39

CF₄/(1 + 0,06)⁴ = 25 000/1,262 = 19 802,34

Jumlahkan

NPV = €23 146,88

Jawaban

NPV = €23 146,88

NPV positif, jadi proyek menghasilkan lebih dari pengembalian yang disyaratkan.

28.NPV & IRR

Jawaban: r* = 6,981 %

Tingkat persilangan: tingkat diskonto saat dua proyek memiliki NPV yang sama. Tingkat ini adalah IRR dari selisih arus kasnya (B − A). Di bawahnya, proyek dengan arus kas yang lebih lambat dan lebih besar memiliki NPV lebih tinggi; di atasnya, proyek yang lain lebih unggul.

Selisih arus kas

ΔCF₀ = −32 000 − (−30 000) = −2 000

ΔCF₁ = 9 000 − 17 000 = −8 000

ΔCF₂ = 13 000 − 11 500 = 1 500

ΔCF₃ = 17 000 − 7 000 = 10 000

IRR selisih

NPV_Δ(6%) = 184,02

NPV_Δ(7%) = −3,50

r* = 6,981%

Jawaban

r* = 6,981%

Periksa: pada 6,981% kedua NPV bernilai €1 655,95.

29.Distribusi normal

Jawaban: z = 1,37

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = (1 + 0,8293)/2 = 0,9147

Baca tabel z secara terbalik

Cari 0,9147 di dalam tabel dan baca z.

z = 1,37

Jawaban

z = 1,37

30.Distribusi normal

Jawaban: x = 169 cm

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0,1

z dari tabel

z ≈ −1,28

Kembali ke satuan semula

x = 178 − 1,28·7 = 169 cm

Jawaban

x = 169 cm

Ini adalah materi latihan independen. ExamProblems tidak berafiliasi dengan atau didukung oleh organisasi penyelenggara ujian ini, dan nama ujian hanya digunakan untuk menggambarkan isinya. FE exam diselenggarakan oleh NCEES, yang tidak berafiliasi dengan ExamProblems dan tidak mendukungnya.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil