Latihan ujian FE Civil: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 30 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Tegangan efektif tanah

Tegangan total: σ = Σγ_i·h_i
Tekanan air pori: u = γ_w·(z − z_w)
Tegangan efektif: σ′ = σ − u
Air: γ_w = 9,81 kN/m³

Penurunan konsolidasi

Terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Tegangan akhir: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Rasio konsolidasi berlebih: OCR = σ′_p/σ′₀
Waktu konsolidasi: t = T_v·H_dr²/c_v
Lintasan drainase: H_dr = H/2 (drainase ganda), H (drainase tunggal)
Faktor waktu: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Gaya hidrostatis

Tekanan pada kedalaman: p = ρgh
Gaya pada dinding vertikal: F = ρg·h_c·A
Pusat tekanan: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Persegi panjang: I_c = bH³/12

Gesekan pipa & kehilangan head

Bilangan Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Rezim aliran: laminar di bawah Re ≈ 2000, turbulen di atas Re ≈ 4000
Kecepatan rata-rata: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Kerugian minor: h_m = ΣK·V²/(2g)
Nilai K tipikal: masuk 0,5, keluar 1,0, belokan 90° ≈ 0,3
Penurunan tekanan: Δp = ρ·g·h_f
Dua reservoir terbuka: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Keluaran bebas: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Aliran saluran terbuka (Manning)

Persamaan Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debit: Q = A·V
Jari-jari hidrolik: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y
Trapesium (kemiringan sisi z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Pipa bulat, penuh atau setengah penuh: R = D/4
Kemiringan yang diperlukan: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Pompa & daya pompa

Daya hidrolik: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Daya poros: P_shaft = P_h/η_pump
Daya listrik: P_el = P_shaft/η_motor
Head pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Kerugian sistem: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Nilai waktu uang

Nilai masa depan: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Nilai sekarang: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Beberapa periode per tahun: i = r/m, N = m·n
Anuitas, nilai sekarang: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitas, nilai masa depan: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metode

Gambar garis waktu dengan setiap arus kas dan waktunya.
Sesuaikan suku bunga dengan periodenya: suku bunga bulanan untuk pembayaran bulanan.
Gunakan FV = PV·(1 + i)ⁿ untuk jumlah tunggal dan rumus anuitas untuk pembayaran yang sama besar.
Periksa tanda dan orde besaran jawabannya.

NPV & IRR

Nilai sekarang bersih: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Arus kas yang sama: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tingkat pengembalian internal: nilai r saat NPV = 0
Keputusan: terima jika NPV > 0 (atau IRR > tingkat pengembalian yang disyaratkan)

Metode

Daftarkan semua arus kas beserta tahunnya; investasi pada tahun 0 bernilai negatif.
Diskontokan setiap arus kas: CF_t/(1 + r)^t.
Jumlahkan semuanya untuk mendapatkan NPV. Positif berarti proyek menghasilkan lebih dari r.
Untuk IRR, cari suku bunga yang membuat NPV nol dengan coba-coba atau interpolasi.

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B, 4 m dari A, dan menjorok (overstek) melewati B hingga ujung bebas C. Cari reaksi vertikal R_B, dengan arah ke atas positif.

AB = 4 mAC = 5 mP₁ = 80 kN di 1,5 mP₂ = 30 kN di 5 m

R_B = kN

2.Reaksi tumpuan balokSulit

Balok kantilever dijepit ke dinding di A. Balok menahan beban yang berubah linear, sebesar 6 kN/m di dinding dan turun sampai nol di ujung bebas B, ditambah beban terpusat P pada 2 m dari dinding. Cari besar momen reaksi M_A di dinding.

L = 6 mw₀ = 6 kN/mP = 75 kN di 2 m

M_A = kN·m

3.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AC pada batang AC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 4 mtinggi = 3 mB berjarak 3 m dari Abeban vertikal = 15 kN

F_AC = kN

4.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

B: 35 kN ↓D: 35 kN ↓G: 35 kN ↓H: 10 kN ↓H: 30 kN ←

1elemen AB
2elemen BC
3elemen CD
4elemen DE
5elemen FG
6elemen GH
7elemen AF
8elemen HE
9elemen BF
10elemen CG
11elemen DH
12elemen BG
13elemen DG

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

55 kN @ 5 m25 kN @ 1 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Balok bertumpu pada sendi di A dan rol di B, dan menjorok (overstek) sejauh 1 m melewati B hingga ujung bebas C. Beban merata w bekerja di sepanjang A–C. Cari momen lentur positif maksimum M_max di antara tumpuan.

L = 7 mw = 8 kN/m dari 0 sampai 7 mtumpuan di x = 0 dan x = 6 m

M_max = kN·m

7.Lendutan balokSedang

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari lendutan maksimum δ_max di tengah bentang.

w = 4 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Lendutan balokSulit

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada b = 2 m dari tumpuan B. Cari lendutan δ_mid di tengah bentang.

P = 15 kNb = 2 mL = 6 mE = 200 GPa (baja)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (baja)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 3 mE = 200 GPa (baja)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Titik berat & momen inersiaSedang

Pipa bulat memiliki diameter luar D = 190 mm dan diameter dalam d = 170 mm. Cari jari-jari girasinya r terhadap sumbu titik berat horizontal.

D = 190 mmd = 170 mm

r = mm

12.Titik berat & momen inersiaSulit

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 10 kN·m. Cari besar tegangan lentur σ_atas di tepi atas.

b_f = 200 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 180 mmM = 10 kN·m

σ_atas = MPa

13.Tegangan efektif tanahSedang

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tegangan vertikal total σ di titik X.

z = 8 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 15 kN/m³pasir: γ_sat = 20,5 kN/m³

σ = kPa

14.Tegangan efektif tanahSulit

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tegangan vertikal total σ di titik X.

z = 8 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 16,5 kN/m³pasir: γ_sat = 18,5 kN/m³lempung: γ_sat = 18 kN/m³

σ = kPa

15.Penurunan konsolidasiSedang

Lapisan lempung terkonsolidasi berlebih setebal 2,5 m memiliki C_c = 0,45, C_r = 0,04, dan e₀ = 1,1. Di tengah kedalamannya tegangan vertikal efektifnya 55 kPa dan tekanan prakonsolidasinya 85 kPa. Sebuah bangunan baru menambah tegangan vertikal 25 kPa di tengah kedalaman. Cari penurunan konsolidasi primer S dalam mm.

H = 2,5 mC_c = 0,45C_r = 0,04e₀ = 1,1σ′₀ = 55 kPaσ′_p = 85 kPaΔσ = 25 kPa

S = mm

16.Penurunan konsolidasiSulit

Sebuah lapisan lempung setebal 5 m memiliki koefisien konsolidasi c_v = 2 m²/tahun. Lapisan berada di antara dua lapisan pasir, sehingga air terdrainase keluar di atas dan di bawah. Untuk konsolidasi rata-rata 50% faktor waktunya T_v = 0,197. Berapa tahun t yang diperlukan lapisan untuk mencapai konsolidasi 50%?

H = 5 mc_v = 2 m²/tahunU = 50%T_v = 0,197drainase ganda

t = tahun

17.Gaya hidrostatisSedang

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 3 m berada di dinding tangki berisi air, dengan tepi atasnya 2,5 m di bawah permukaan. Cari gaya hidrostatis resultan F pada pintu air.

d = 2,5 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Gaya hidrostatisSulit

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 2 m berada di dinding tangki berisi oli, dengan tepi atasnya 1 m di bawah permukaan. Cari gaya hidrostatis resultan F pada pintu air.

d = 1 mH = 1 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Gesekan pipa & kehilangan headSedang

Air (ρ = 1000 kg/m³) mengalir dengan kecepatan 2,7 m/s melalui pipa horizontal sepanjang 100 m dengan diameter dalam 300 mm. Gunakan faktor gesekan Darcy f = 0,022 dan g = 9,81 m/s². Cari penurunan tekanan Δp sepanjang pipa dalam kPa.

V = 2,7 m/sL = 100 mD = 300 mmf = 0,022ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Gesekan pipa & kehilangan headSulit

Dua reservoir terbuka dihubungkan oleh pipa sepanjang 300 m dengan diameter dalam 300 mm dan faktor gesekan Darcy f = 0,022. Permukaan air reservoir atas berada 21 m di atas permukaan reservoir bawah. Kerugian minornya adalah lubang masuk bersudut tajam (K = 0,5), 2 belokan (masing-masing K = 0,3), sebuah katup (K = 5), dan lubang keluar ke reservoir bawah (K = 1,0). Gunakan g = 9,81 m/s². Cari debit Q dalam L/s.

Δz = 21 mL = 300 mD = 300 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 5K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Aliran saluran terbuka (Manning)Sedang

Sebuah saluran persegi panjang kerikil selebar 6 m. Air mengalir seragam sedalam 0,8 m. n Manning = 0,025 dan kemiringan dasarnya S = 0,005. Cari debit Q dalam m³/s.

b = 6 my = 0,8 mn = 0,025S = 0,005

Q = m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)Sulit

Sebuah saluran persegi panjang kerikil selebar 3 m harus mengalirkan 5,7 m³/s dalam aliran seragam pada kedalaman 1,9 m. n Manning = 0,025. Cari kemiringan dasar yang diperlukan S (dalam m/m).

Q = 5,7 m³/sb = 3 my = 1,9 mn = 0,025

S = m/m

23.Pompa & daya pompaSedang

Sebuah pompa dengan efisiensi 72% mengalirkan 150 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) melawan head 26 m. Gunakan g = 9,81 m/s². Cari daya poros P_shaft yang diperlukan, dalam kW.

Q = 150 L/sH = 26 mη = 72%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Pompa & daya pompaSulit

Sebuah pompa memindahkan 120 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) dari reservoir bawah yang terbuka ke tangki atas yang permukaan airnya 6 m lebih tinggi. Pipa sepanjang 100 m dengan diameter dalam 250 mm dan faktor gesekan Darcy f = 0,015; koefisien kerugian minornya berjumlah ΣK = 8 (termasuk lubang masuk dan keluar). Gunakan g = 9,81 m/s². Efisiensi pompa 82%. Cari daya poros P_shaft dalam kW.

Q = 120 L/sΔz = 6 mL = 100 mD = 250 mmf = 0,015ΣK = 8η = 82%

P_shaft = kW

25.Nilai waktu uangSedang

Anda menginvestasikan €2 000 dengan bunga 4% per tahun yang dimajemukkan secara kontinu. Tentukan nilainya FV setelah 13 tahun.

PV = €2 000r = 4%t = 13

FV = €

26.Nilai waktu uangSulit

Anda menyetor €5 000 di awal setiap tahun selama 20 tahun, setoran pertama hari ini. Rekening memberi bunga 3% per tahun. Berapa saldo rekening di akhir tahun ke-20? Tentukan FV.

A = €5 000i = 3%n = 20

FV = €

27.NPV & IRRSedang

Investasi sebesar €20 000 memberikan arus kas berikut di akhir tahun 1 sampai 4: €4 000, €5 000, €10 000, €6 000. Biaya modal 5%. Tentukan nilai sekarang bersih NPV.

r = 5%CF₀ = −20 000CF₁ = 4 000CF₂ = 5 000CF₃ = 10 000CF₄ = 6 000

NPV = €

28.NPV & IRRSulit

Sebuah proyek berbiaya €20 000 dan menghasilkan €11 000, €13 500, €10 500 di akhir tahun 1 sampai 3. Tentukan tingkat pengembalian internalnya IRR dalam persen.

CF₀ = −20 000CF₁ = 11 000CF₂ = 13 500CF₃ = 10 500

IRR = %

29.Distribusi normalSedang

Seret z sehingga luas berarsir di antara −z dan z di bawah kurva normal baku adalah 0,7373. Cari z sampai dua desimal.

A = 0,7373

z =

30.Distribusi normalSulit

Data waktu pengiriman berdistribusi normal dengan rata-rata 32 min dan simpangan baku 6 min. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 99% data (persentil ke-99).

μ = 32σ = 6P = 99%

x = min

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_B = 67,5 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Momen terhadap A

Berlawanan arah jarum jam positif.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 80·1,5 + 30·5

R_B = 270/4 = 67,5 kN

Kesetimbangan vertikal

R_A = 80 + 30 − 67,5 = 42,5 kN

Jawaban

R_B = 67,5 kN

2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: M_A = 186 kN·m

Kesetimbangan kantilever: tumpuan jepit dapat mendorong ke atas sekaligus menahan rotasi, jadi memberi reaksi vertikal R_A dan momen reaksi M_A. ΣF_y = 0 memberi R_A, dan momen terhadap dinding memberi M_A = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban merata bekerja sebagai resultannya di titik berat diagram beban.

Resultan beban segitiga

W = ½·6·6 = 18 kN

x̄ = L/3 = 2 m

Momen terhadap dinding

M_A = W·x̄ + P·a = 18·2 + 75·2 = 186 kN·m

Jawaban

M_A = 186 kN·m

3.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AC = 3,75 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 15·3 → C_y = 11,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 11,25 = 3,75 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −11,25/0,9487 = −11,86 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−11,86)·0,3162 = 3,75 kN

Jawaban

F_AC = 3,75 kN (tarik)

4.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen CG

Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.

Simpul C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 18,75 kN (T), BC: 41,25 kN (T), CD: 41,25 kN (T), DE: 37,5 kN (T), FG: 48,75 kN (C), GH: 67,5 kN (C), AF: 81,25 kN (C), HE: 62,5 kN (C), BF: 65 kN (T), CG: 0, DH: 40 kN (T), BG: 37,5 kN (C), DG: 6,25 kN (C)

Jawaban

Elemen gaya-nol: CG

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: F (x = 5 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R₁ = 30 kN, R₂ = 50 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

M_A = 0, M_B = 30, M_C = 35, M_D = 40, M_E = 45, M_F = 50 kN·m, M_G = 0

Jawaban

Tanda F: M_F = 50 kN·m

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_max = 34,03 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok, termasuk beban pada overstek.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 8·7 = 56 kN, bekerja di x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 8·7·3,5

R_B = 196/6 = 32,67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 56 − 32,67 = 23,33 kN

Gaya geser nol

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 23,33/8 = 2,917 m

Momen positif maksimum

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 23,33²/(2·8) = 34,03 kN·m

Jawaban

M_max = 34,03 kN·m

7.Lendutan balok

Jawaban: δ_max = 10,1 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Lendutan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·4000⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 10,1 mm

Jawaban

δ_max = 10,1 mm

8.Lendutan balok

Jawaban: δ_mid = 23,96 mm

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 15000 N, b = 2000 mm, L = 6000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Lendutan tengah bentang

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 15000·2000·(3·6000² − 4·2000²)/(48·2,4 × 10¹²) = 23,96 mm

Jawaban

δ_mid = 23,96 mm

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 34,33 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/4200² = 34331 N = 34,33 kN

Jawaban

P_cr = 34,33 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 12,34 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·3000 = 6000 mm

KL/r = 6000/15 = 400

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Jawaban

σ_cr = 12,34 MPa

11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: r = 63,74 mm

Momen inersia penampang: untuk persegi panjang terhadap sumbu titik beratnya sendiri I = bh³/12, dan terhadap alasnya bh³/3 (teorema sumbu sejajar I = I_c + A·d²). Lubang diperhitungkan dengan mengurangkan I-nya, asalkan kedua bagian memakai sumbu yang sama. Modulus penampang elastis adalah S = I/c, dengan c jarak ke serat terluar. Jari-jari girasi r = √(I/A) adalah jarak tempat seluruh luas akan memberi I yang sama; besaran ini dipakai pada tekuk kolom.

Luas bersih dan momen inersia

A = π(D² − d²)/4 = 5655 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 2,297 × 10⁷ mm⁴

Jari-jari girasi

r = √(I/A) = √(2,297 × 10⁷/5655) = 63,74 mm

Jawaban

r = 63,74 mm

12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σ_atas = 34,33 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 200·10 = 2000 mm², y_f = 180 + 10/2 = 185 mm

badan: A_w = 14·180 = 2520 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·185 + 2520·90)/4520 = 132 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 200·10³/12 + 2000·(185 − 132)² = 5,627 × 10⁶ mm⁴

badan: 14·180³/12 + 2520·(90 − 132)² = 1,126 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,627 × 10⁶ + 1,126 × 10⁷ = 1,688 × 10⁷ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi atas berjarak h − ȳ dari sumbu.

y = 190 − 132 = 57,96 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·57,96/1,688 × 10⁷ = 34,33 MPa

Jawaban

σ_atas = 34,33 MPa

13.Tegangan efektif tanah

Jawaban: σ = 147,5 kPa

Tegangan efektif (Terzaghi): butiran tanah menahan σ′ = σ − u. Tegangan total σ adalah berat semua yang ada di atas titik, Σγ·h, memakai berat isi kering di atas muka air tanah dan berat isi jenuh di bawahnya. Di bawah muka air tanah tekanan air pori bersifat hidrostatis: u = γ_w·(kedalaman di bawah muka air tanah).

Tegangan total

Jumlahkan berat setiap lapisan tanah di atas X. Di atas muka air tanah gunakan berat isi kering, di bawahnya berat isi jenuh.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15·3 + 20,5·5 = 147,5 kPa

Jawaban

σ = 147,5 kPa

14.Tegangan efektif tanah

Jawaban: σ = 144,5 kPa

Tegangan total

Jumlahkan berat setiap lapisan tanah di atas X. Di atas muka air tanah gunakan berat isi kering, di bawahnya berat isi jenuh.

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·4 + γ_sat,clay·3

σ = 16,5·1 + 18,5·4 + 18·3 = 144,5 kPa

Jawaban

σ = 144,5 kPa

15.Penurunan konsolidasi

Jawaban: S = 7,749 mm

Konsolidasi primer lapisan lempung setebal H, dengan tegangan efektif di tengah lapisan: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Lempung terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Lempung terkonsolidasi berlebih mengalami rekompresi sepanjang C_r sampai tekanan prakonsolidasi σ′_p dan baru mengikuti C_c setelah melewatinya. Waktu: t = T_v·H_dr²/c_v, dengan lintasan drainase H_dr sebesar H/2 bila air dapat keluar di atas dan di bawah, dan H bila hanya satu sisi yang berdrainase.

Bandingkan dengan tekanan prakonsolidasi

σ′_f = 55 + 25 = 80 kPa ≤ 85 kPa

Penurunan

Lempung tetap berada pada garis rekompresinya.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,04·2,5/(1 + 1,1)·log₁₀(80/55) = 7,749 mm

Jawaban

S = 7,749 mm

16.Penurunan konsolidasi

Jawaban: t = 0,6156 tahun

Lintasan drainase

H_dr = H/2 = 5/2 = 2,5 m

Waktu

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,197·2,5²/2 = 0,6156 tahun

Jawaban

t = 0,6156 tahun

17.Gaya hidrostatis

Jawaban: F = 275,9 kN

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,75·7,5 = 275,9 kN

Jawaban

F = 275,9 kN

18.Gaya hidrostatis

Jawaban: F = 25,9 kN

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1,5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·1,5·2 = 25,9 kN

Jawaban

F = 25,9 kN

19.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: Δp = 26,73 kPa

Aliran pipa: bilangan Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ membedakan aliran laminar (Re di bawah sekitar 2000) dari aliran turbulen (di atas sekitar 4000). Gesekan sepanjang pipa menyebabkan kehilangan head Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Sambungan, katup, lubang masuk, dan lubang keluar menambah kerugian minor h_m = ΣK·V²/(2g). Di antara dua permukaan reservoir terbuka, persamaan energi memberikan Δz = h_f + h_m, termasuk kerugian keluar K = 1.

Kehilangan head

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(100/0,3)·2,7²/(2·9,81) = 2,725 m

Penurunan tekanan

Pipa horizontal dan kecepatannya tidak berubah, sehingga persamaan energi menjadi Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·2,725 = 26730 Pa = 26,73 kPa

Jawaban

Δp = 26,73 kPa

20.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: Q = 266 L/s

Koefisien kerugian

f·L/D = 0,022·300/0,3 = 22

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 + 1,0 = 7,1

Persamaan energi

Kedua permukaan terbuka ke udara dan praktis diam, sehingga seluruh Δz hilang di dalam pipa.

21 = (22 + 7,1)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·21/29,1) = 3,763 m/s

Debit

Q = V·π·D²/4 = 3,763·0,07069 = 0,266 m³/s = 266 L/s

Jawaban

Q = 266 L/s

21.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: Q = 9,994 m³/s

Persamaan Manning (SI): untuk aliran seragam di saluran terbuka V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 dan Q = A·V, dengan n koefisien kekasaran, S kemiringan dasar (m/m), dan R = A/P jari-jari hidrolik: luas aliran dibagi keliling basah. Hanya batas yang bersentuhan dengan air yang dihitung dalam P, bukan permukaan bebas. Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y. Trapesium dengan kemiringan sisi z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pipa bulat yang mengalir penuh atau setengah penuh memiliki R = D/4.

Geometri

A = b·y = 6·0,8 = 4,8 m²

P = b + 2y = 6 + 2·0,8 = 7,6 m

R = A/P = 0,6316 m

Kecepatan

V = (1/0,025)·0,6316^2/3·0,005^1/2 = 2,082 m/s

Debit

Q = A·V = 4,8·2,082 = 9,994 m³/s

Jawaban

Q = 9,994 m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: S = 0,0007908 m/m

Geometri

A = b·y = 3·1,9 = 5,7 m²

P = b + 2y = 3 + 2·1,9 = 6,8 m

R = A/P = 0,8382 m

Selesaikan Manning untuk S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·5,7/(5,7·0,889) = 0,02812

S = 0,02812² = 0,0007908

Jawaban

S = 0,0007908

Itu penurunan 0,7908 m per kilometer.

23.Pompa & daya pompa

Jawaban: P_shaft = 53,14 kW

Daya pompa: daya yang diberikan kepada air adalah daya hidrolik P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Poros harus menyalurkan lebih banyak karena pompa mengalami rugi: P_shaft = P_h/η_pump, dan motor menarik P_el = P_shaft/η_motor. Head pompa H diperoleh dari persamaan energi: tinggi angkat statis + head tekanan + semua kerugian gesekan dan minor.

Daya hidrolik

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·26 = 38,26 kW

Daya poros

P_shaft = P_h/η = 38,26/0,72 = 53,14 kW

Jawaban

P_shaft = 53,14 kW

24.Pompa & daya pompa

Jawaban: P_shaft = 14,74 kW

Kecepatan

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Kehilangan head

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (6 + 8)·0,3046 = 4,264 m

Head pompa

H = Δz + h_L = 6 + 4,264 = 10,26 m

Daya poros

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,12·10,26/0,82 = 14,74 kW

Jawaban

P_shaft = 14,74 kW

25.Nilai waktu uang

Jawaban: FV = 3364 €

Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)ⁿ. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.

Eksponen

r·t = 0,04·13 = 0,52

e^0,52 = 1,682

Nilai masa depan

FV = 2 000·1,682 = €3 364,06

Jawaban

FV = €3 364,06

26.Nilai waktu uang

Jawaban: FV = 138382 €

Faktor anuitas biasa

((1 + 0,03)²⁰ − 1)/0,03 = 26,87

Anuitas di muka

Setiap setoran diinvestasikan satu tahun lebih lama.

FV = 5 000·26,87·1,03 = €138 382,43

Jawaban

FV = €138 382,43

27.NPV & IRR

Jawaban: NPV = 1919 €

Nilai sekarang bersih: diskontokan setiap arus kas ke hari ini dengan tingkat pengembalian yang disyaratkan r, lalu jumlahkan: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Proyek dengan NPV > 0 menghasilkan lebih dari r dan menambah nilai. Tingkat pengembalian internal (IRR) adalah tingkat yang membuat NPV = 0.

Nilai sekarang setiap arus kas

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,05)¹ = 4 000/1,05 = 3 809,52

CF₂/(1 + 0,05)² = 5 000/1,103 = 4 535,15

CF₃/(1 + 0,05)³ = 10 000/1,158 = 8 638,38

CF₄/(1 + 0,05)⁴ = 6 000/1,216 = 4 936,21

Jumlahkan

NPV = €1 919,26

Jawaban

NPV = €1 919,26

NPV positif, jadi proyek menghasilkan lebih dari pengembalian yang disyaratkan.

28.NPV & IRR

Jawaban: IRR = 34,34 %

Apit IRR dari dua sisi

NPV turun saat tingkat naik, jadi IRR terletak di antara tingkat dengan NPV positif dan tingkat dengan NPV negatif.

NPV(30%) = 1 228,95

NPV(35%) = −176,80

Persempit

Interpolasi linear memberi perkiraan awal; mengulanginya (atau fungsi IRR kalkulator) memberi tingkat yang tepat.

IRR ≈ 30 + 5·1 228,95/(1 228,95 − (−176,80)) = 34,37%

tepat: NPV(34,34%) = 0 → IRR = 34,34%

Jawaban

IRR = 34,34%

29.Distribusi normal

Jawaban: z = 1,12

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = (1 + 0,7373)/2 = 0,8686

Baca tabel z secara terbalik

Cari 0,8686 di dalam tabel dan baca z.

z = 1,12

Jawaban

z = 1,12

30.Distribusi normal

Jawaban: x = 45,96 min

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

z untuk persentil

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Kembali ke x

x = 32 + 2,326·6 = 45,96 min

Jawaban

x = 45,96 min

Ini adalah materi latihan independen. ExamProblems tidak berafiliasi dengan atau didukung oleh organisasi penyelenggara ujian ini, dan nama ujian hanya digunakan untuk menggambarkan isinya. FE exam diselenggarakan oleh NCEES, yang tidak berafiliasi dengan ExamProblems dan tidak mendukungnya.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil