Latihan ujian FE Civil: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 30 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Tegangan efektif tanah

Tegangan total: σ = Σγ_i·h_i
Tekanan air pori: u = γ_w·(z − z_w)
Tegangan efektif: σ′ = σ − u
Air: γ_w = 9,81 kN/m³

Penurunan konsolidasi

Terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Tegangan akhir: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Rasio konsolidasi berlebih: OCR = σ′_p/σ′₀
Waktu konsolidasi: t = T_v·H_dr²/c_v
Lintasan drainase: H_dr = H/2 (drainase ganda), H (drainase tunggal)
Faktor waktu: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Gaya hidrostatis

Tekanan pada kedalaman: p = ρgh
Gaya pada dinding vertikal: F = ρg·h_c·A
Pusat tekanan: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Persegi panjang: I_c = bH³/12

Gesekan pipa & kehilangan head

Bilangan Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Rezim aliran: laminar di bawah Re ≈ 2000, turbulen di atas Re ≈ 4000
Kecepatan rata-rata: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Kerugian minor: h_m = ΣK·V²/(2g)
Nilai K tipikal: masuk 0,5, keluar 1,0, belokan 90° ≈ 0,3
Penurunan tekanan: Δp = ρ·g·h_f
Dua reservoir terbuka: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Keluaran bebas: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Aliran saluran terbuka (Manning)

Persamaan Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debit: Q = A·V
Jari-jari hidrolik: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y
Trapesium (kemiringan sisi z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Pipa bulat, penuh atau setengah penuh: R = D/4
Kemiringan yang diperlukan: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Pompa & daya pompa

Daya hidrolik: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Daya poros: P_shaft = P_h/η_pump
Daya listrik: P_el = P_shaft/η_motor
Head pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Kerugian sistem: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Nilai waktu uang

Nilai masa depan: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Nilai sekarang: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Beberapa periode per tahun: i = r/m, N = m·n
Anuitas, nilai sekarang: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitas, nilai masa depan: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metode

Gambar garis waktu dengan setiap arus kas dan waktunya.
Sesuaikan suku bunga dengan periodenya: suku bunga bulanan untuk pembayaran bulanan.
Gunakan FV = PV·(1 + i)ⁿ untuk jumlah tunggal dan rumus anuitas untuk pembayaran yang sama besar.
Periksa tanda dan orde besaran jawabannya.

NPV & IRR

Nilai sekarang bersih: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Arus kas yang sama: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tingkat pengembalian internal: nilai r saat NPV = 0
Keputusan: terima jika NPV > 0 (atau IRR > tingkat pengembalian yang disyaratkan)

Metode

Daftarkan semua arus kas beserta tahunnya; investasi pada tahun 0 bernilai negatif.
Diskontokan setiap arus kas: CF_t/(1 + r)^t.
Jumlahkan semuanya untuk mendapatkan NPV. Positif berarti proyek menghasilkan lebih dari r.
Untuk IRR, cari suku bunga yang membuat NPV nol dengan coba-coba atau interpolasi.

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok kantilever dijepit ke dinding di A. Balok menahan beban merata w dari dinding sampai 2 m dan beban terpusat P pada 3,5 m dari dinding. Cari besar momen reaksi M_A di dinding.

L = 4 mP = 40 kN di 3,5 mw = 5 kN/m dari 0 sampai 2 m

M_A = kN·m

2.Reaksi tumpuan balokSulit

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal R_A.

L = 8 mP = 40 kN di 4 mw = 8 kN/m dari 1 sampai 7 m

R_A = kN

3.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AC pada batang AC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 6 mtinggi = 3 mB berjarak 5 m dari Abeban vertikal = 40 kN

F_AC = kN

4.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_BC pada batang BC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 6 mtinggi = 4 mB berjarak 1 m dari Abeban vertikal = 40 kNbeban horizontal = 15 kN →

F_BC = kN

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

55 kN @ 6 m25 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 2 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 4 mP = 20 kN di 1,5 mw = 6 kN/m dari 0 sampai 4 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.Lendutan balokSedang

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang. Cari lendutan δ di ujung bebas.

w = 10 kN/mL = 1,5 mE = 200 GPa (baja)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Lendutan balokSulit

Balok sederhana menahan beban merata w dan beban terpusat P di tengah bentang. Dengan superposisi, cari lendutan tengah δ_max.

P = 24 kNw = 10 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Titik berat & momen inersiaSedang

Profil kanal diletakkan dengan sisi terbuka ke atas: pelat dasar selebar 220 mm dengan dua kaki tegak, setinggi total 190 mm. Dasar dan kaki semuanya setebal 10 mm. Cari tinggi ȳ titik berat di atas tepi bawah.

b = 220 mmh = 190 mmt = 10 mm

ȳ = mm

12.Titik berat & momen inersiaSulit

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 10 kN·m. Cari tegangan lentur σ_bawah di tepi bawah.

b_f = 300 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 260 mmM = 10 kN·m

σ_bawah = MPa

13.Tegangan efektif tanahSedang

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tegangan efektif vertikal σ′ di titik X.

z = 7 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 15,5 kN/m³pasir: γ_sat = 20 kN/m³

σ′ = kPa

14.Tegangan efektif tanahSulit

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tegangan efektif vertikal σ′ di titik X.

z = 7 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 17 kN/m³pasir: γ_sat = 19,5 kN/m³lempung: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ′ = kPa

15.Penurunan konsolidasiSedang

Lapisan lempung terkonsolidasi berlebih setebal 3,5 m memiliki C_c = 0,5, C_r = 0,03, dan e₀ = 0,7. Di tengah kedalamannya tegangan vertikal efektifnya 110 kPa dan tekanan prakonsolidasinya 190 kPa. Sebuah bangunan baru menambah tegangan vertikal 220 kPa di tengah kedalaman. Cari penurunan konsolidasi primer S dalam mm.

H = 3,5 mC_c = 0,5C_r = 0,03e₀ = 0,7σ′₀ = 110 kPaσ′_p = 190 kPaΔσ = 220 kPa

S = mm

16.Penurunan konsolidasiSulit

Sebuah lapisan lempung setebal 8,5 m memiliki koefisien konsolidasi c_v = 2 m²/tahun. Lapisan berada di antara dua lapisan pasir, sehingga air terdrainase keluar di atas dan di bawah. Untuk konsolidasi rata-rata 60% faktor waktunya T_v = 0,287. Berapa tahun t yang diperlukan lapisan untuk mencapai konsolidasi 60%?

H = 8,5 mc_v = 2 m²/tahunU = 60%T_v = 0,287drainase ganda

t = tahun

17.Gaya hidrostatisSedang

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 3 m berada di dinding tangki berisi air, dengan tepi atasnya 4 m di bawah permukaan. Cari gaya hidrostatis resultan F pada pintu air.

d = 4 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Gaya hidrostatisSulit

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 1 m berada di dinding tangki berisi gliserin, dengan tepi atasnya 3 m di bawah permukaan. Cari gaya hidrostatis resultan F pada pintu air.

d = 3 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Gesekan pipa & kehilangan headSedang

Air mengalir dengan debit 10 L/s melalui pipa sepanjang 300 m dengan diameter dalam 100 mm. Gunakan faktor gesekan Darcy f = 0,028 dan g = 9,81 m/s². Cari kehilangan head akibat gesekan h_f.

Q = 10 L/sL = 300 mD = 100 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Gesekan pipa & kehilangan headSulit

Dua reservoir terbuka dihubungkan oleh pipa sepanjang 200 m dengan diameter dalam 250 mm dan faktor gesekan Darcy f = 0,02. Permukaan air reservoir atas berada 31 m di atas permukaan reservoir bawah. Kerugian minornya adalah lubang masuk bersudut tajam (K = 0,5), 3 belokan (masing-masing K = 0,3), sebuah katup (K = 0,2), dan lubang keluar ke reservoir bawah (K = 1,0). Gunakan g = 9,81 m/s². Cari debit Q dalam L/s.

Δz = 31 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Aliran saluran terbuka (Manning)Sedang

Sebuah saluran drainase beton dengan diameter dalam 900 mm mengalir setengah penuh. n Manning = 0,013 dan kemiringannya S = 0,0005. Cari debit Q dalam m³/s.

D = 900 mmn = 0,013S = 0,0005

Q = m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)Sulit

Sebuah saluran drainase beton dengan diameter dalam 375 mm (n Manning = 0,013) harus mencapai kecepatan swabersih 0,75 m/s saat mengalir tepat penuh. Cari kemiringan minimum S (dalam m/m).

D = 375 mmn = 0,013V = 0,75 m/s

S = m/m

23.Pompa & daya pompaSedang

Sebuah pompa mengalirkan 15 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) melawan head 10 m. Efisiensi pompa 78% dan motor listrik penggeraknya memiliki efisiensi 90%. Gunakan g = 9,81 m/s². Cari daya listrik P_el yang ditarik motor, dalam kW.

Q = 15 L/sH = 10 mη_pump = 78%η_motor = 90%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.Pompa & daya pompaSulit

Sebuah pompa memindahkan 30 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) dari reservoir bawah yang terbuka ke tangki atas yang permukaan airnya 13 m lebih tinggi. Pipa sepanjang 200 m dengan diameter dalam 150 mm dan faktor gesekan Darcy f = 0,022; koefisien kerugian minornya berjumlah ΣK = 8 (termasuk lubang masuk dan keluar). Gunakan g = 9,81 m/s². Tangki atas tertutup dan udara di atas airnya bertekanan gauge 300 kPa. Cari head H yang harus ditambahkan pompa.

Q = 30 L/sΔz = 13 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,022ΣK = 8p_tank = 300 kPa

H = m

25.Nilai waktu uangSedang

Anda menginvestasikan €20 000 dengan bunga 4% per tahun yang dimajemukkan secara kontinu. Tentukan nilainya FV setelah 2 tahun.

PV = €20 000r = 4%t = 2

FV = €

26.Nilai waktu uangSulit

Anda meminjam €5 000 dengan bunga 6% per tahun, dimajemukkan bulanan, dan mengangsur €100 di akhir setiap bulan. Berapa bulan yang diperlukan sampai pinjaman lunas (angsuran terakhir boleh lebih kecil)? Berikan jumlah angsuran N.

P = €5 000A = €1006% / 12

N = angsuran

27.NPV & IRRSedang

Investasi sebesar €30 000 memberikan arus kas berikut di akhir tahun 1 sampai 4: €11 000, €6 000, €8 000, €7 000. Biaya modal 9%. Tentukan nilai sekarang bersih NPV.

r = 9%CF₀ = −30 000CF₁ = 11 000CF₂ = 6 000CF₃ = 8 000CF₄ = 7 000

NPV = €

28.NPV & IRRSulit

Sebuah proyek berbiaya €25 000 dan menghasilkan €8 500, €11 000, €12 500 di akhir tahun 1 sampai 3. Arus kas dapat diinvestasikan kembali pada biaya modal 6%. Tentukan tingkat pengembalian internal termodifikasi MIRR dalam persen.

r = 6%CF₀ = −25 000CF₁ = 8 500CF₂ = 11 000CF₃ = 12 500

MIRR = %

29.Distribusi normalSedang

Massa kotak saling bebas dan normal dengan rata-rata 12 kg dan simpangan baku 0,8 kg. Cari peluang P bahwa massa total 6 di antaranya di bawah 70 kg. Bulatkan z ke dua desimal.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 6< 70 kg

P =

30.Distribusi normalSulit

Diameter lubang D normal dengan rata-rata 25,05 mm dan simpangan baku 0,02 mm. Diameter poros d saling bebas dan normal dengan rata-rata 25 mm dan simpangan baku 0,01 mm. Sebuah poros yang dipilih acak pas bila D − d > 0. Cari peluang P bahwa poros itu pas. Bulatkan z ke dua desimal.

lubang: μ = 25,05 mm, σ = 0,02 mmporos: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: M_A = 150 kN·m

Kesetimbangan kantilever: tumpuan jepit dapat mendorong ke atas sekaligus menahan rotasi, jadi memberi reaksi vertikal R_A dan momen reaksi M_A. ΣF_y = 0 memberi R_A, dan momen terhadap dinding memberi M_A = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban merata bekerja sebagai resultannya di titik berat diagram beban.

Resultan beban merata

W = 5·2 = 10 kN, x̄ = 1 m

Momen terhadap dinding

M_A = P·a + W·x̄ = 40·3,5 + 10·1 = 150 kN·m

Jawaban

M_A = 150 kN·m

2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = 44 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, bekerja di x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 40·4 + 8·6·4

R_B = 352/8 = 44 kN

ΣF_y = 0: R_A = 88 − 44 = 44 kN

Jawaban

R_A = 44 kN

3.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AC = 11,11 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 40·5 → C_y = 33,33 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 33,33 = 6,667 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −33,33/0,9487 = −35,14 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−35,14)·0,3162 = 11,11 kN

Jawaban

F_AC = 11,11 kN (tarik)

4.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_BC = −26,68 kN

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 40·1 + 15·4 → C_y = 16,67 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 16,67 = 23,33 kN

ΣF_x = 0: A_x = −15 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 4/6,403 = 0,6247, cos γ = 5/6,403 = 0,7809

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −16,67/0,6247 = −26,68 kN

Jawaban

F_BC = −26,68 kN (tekan)

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: D (x = 6 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R₁ = 48,33 kN, R₂ = 31,67 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

M_A = 0, M_B = 96,67, M_C = 143,3, M_D = 190 kN·m, M_E = 126,7, M_F = 63,33, M_G = 0

Jawaban

Tanda D: M_D = 190 kN·m

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 27 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, bekerja di x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 20·1,5 + 6·4·2

R_B = 78/4 = 19,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 44 − 19,5 = 24,5 kN

Potong di x = 2 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 24,5·2 − 20·(2 − 1,5) − 6·2·1 = 27 kN·m

Jawaban

M_x = 27 kN·m

7.Lendutan balok

Jawaban: δ = 3,722 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 1500 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Lendutan

δ = wL⁴/(8EI) = 10·1500⁴/(8·1,7 × 10¹²) = 3,722 mm

Jawaban

δ = 3,722 mm

8.Lendutan balok

Jawaban: δ_max = 12,85 mm

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 24000 N, w = 10 N/mm, L = 5000 mm, EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Setiap beban sendiri

δ_P = PL³/(48EI) = 24000·5000³/(48·1,12 × 10¹³) = 5,58 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·5000⁴/(384·1,12 × 10¹³) = 7,266 mm

Jumlahkan

δ_max = 5,58 + 7,266 = 12,85 mm

Jawaban

δ_max = 12,85 mm

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 179,9 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·2000 = 2000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·1,042 × 10⁶/2000² = 179915 N = 179,9 kN

Jawaban

P_cr = 179,9 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 2,763 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·2500 = 5000 mm

KL/r = 5000/10 = 500

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/500² = 2,763 MPa

Jawaban

σ_cr = 2,763 MPa

11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: ȳ = 63,97 mm

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi persegi panjang

Ambil dasar selebar penuh dan dua kaki di atasnya (tinggi h − t), sehingga tidak ada yang terhitung dua kali.

basis: A₁ = 220·10 = 2200 mm², y₁ = 5 mm

dua kaki: A₂ = 2·10·180 = 3600 mm², y₂ = 10 + 180/2 = 100 mm

Titik berat

ȳ = (2200·5 + 3600·100)/5800 = 63,97 mm

Jawaban

ȳ = 63,97 mm

12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σ_bawah = 24,38 MPa

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 300·20 = 6000 mm², y_f = 260 + 20/2 = 270 mm

badan: A_w = 20·260 = 5200 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·270 + 5200·130)/11200 = 205 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 300·20³/12 + 6000·(270 − 205)² = 2,555 × 10⁷ mm⁴

badan: 20·260³/12 + 5200·(130 − 205)² = 5,854 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,555 × 10⁷ + 5,854 × 10⁷ = 8,409 × 10⁷ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi bawah berjarak ȳ dari sumbu.

y = 205 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·205/8,409 × 10⁷ = 24,38 MPa

Jawaban

σ_bawah = 24,38 MPa

13.Tegangan efektif tanah

Jawaban: σ′ = 76,64 kPa

Tegangan efektif (Terzaghi): butiran tanah menahan σ′ = σ − u. Tegangan total σ adalah berat semua yang ada di atas titik, Σγ·h, memakai berat isi kering di atas muka air tanah dan berat isi jenuh di bawahnya. Di bawah muka air tanah tekanan air pori bersifat hidrostatis: u = γ_w·(kedalaman di bawah muka air tanah).

Tegangan total

Jumlahkan berat setiap lapisan tanah di atas X. Di atas muka air tanah gunakan berat isi kering, di bawahnya berat isi jenuh.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15,5·1 + 20·6 = 135,5 kPa

Tekanan air pori

Tekanan air bertambah dengan kedalaman di bawah muka air tanah.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·6 = 58,86 kPa

Tegangan efektif

σ′ = σ − u = 135,5 − 58,86 = 76,64 kPa

Jawaban

σ′ = 76,64 kPa

14.Tegangan efektif tanah

Jawaban: σ′ = 72,14 kPa

Tegangan total

Jumlahkan berat setiap lapisan tanah di atas X. Di atas muka air tanah gunakan berat isi kering, di bawahnya berat isi jenuh.

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·3 + γ_sat,clay·3

σ = 17·1 + 19,5·3 + 18,5·3 = 131 kPa

Tekanan air pori

Tekanan air bertambah dengan kedalaman di bawah muka air tanah.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·6 = 58,86 kPa

Tegangan efektif

σ′ = σ − u = 131 − 58,86 = 72,14 kPa

Jawaban

σ′ = 72,14 kPa

15.Penurunan konsolidasi

Jawaban: S = 261,5 mm

Konsolidasi primer lapisan lempung setebal H, dengan tegangan efektif di tengah lapisan: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Lempung terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Lempung terkonsolidasi berlebih mengalami rekompresi sepanjang C_r sampai tekanan prakonsolidasi σ′_p dan baru mengikuti C_c setelah melewatinya. Waktu: t = T_v·H_dr²/c_v, dengan lintasan drainase H_dr sebesar H/2 bila air dapat keluar di atas dan di bawah, dan H bila hanya satu sisi yang berdrainase.

Bandingkan dengan tekanan prakonsolidasi

σ′_f = 110 + 220 = 330 kPa > 190 kPa

Penurunan

Rekompresi sampai σ′_p, kompresi murni setelahnya.

S = 0,03·3,5/(1 + 0,7)·log₁₀(190/110) + 0,5·3,5/(1 + 0,7)·log₁₀(330/190)

S = 14,66 + 246,8 = 261,5 mm

Jawaban

S = 261,5 mm

16.Penurunan konsolidasi

Jawaban: t = 2,592 tahun

Lintasan drainase

H_dr = H/2 = 8,5/2 = 4,25 m

Waktu

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,287·4,25²/2 = 2,592 tahun

Jawaban

t = 2,592 tahun

17.Gaya hidrostatis

Jawaban: F = 386,3 kN

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5,25·7,5 = 386,3 kN

Jawaban

F = 386,3 kN

18.Gaya hidrostatis

Jawaban: F = 131,3 kN

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 3 + 2,5/2 = 4,25 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·4,25·2,5 = 131,3 kN

Jawaban

F = 131,3 kN

19.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: h_f = 6,941 m

Aliran pipa: bilangan Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ membedakan aliran laminar (Re di bawah sekitar 2000) dari aliran turbulen (di atas sekitar 4000). Gesekan sepanjang pipa menyebabkan kehilangan head Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Sambungan, katup, lubang masuk, dan lubang keluar menambah kerugian minor h_m = ΣK·V²/(2g). Di antara dua permukaan reservoir terbuka, persamaan energi memberikan Δz = h_f + h_m, termasuk kerugian keluar K = 1.

Kecepatan rata-rata

A = π·0,1²/4 = 0,007854 m²

V = Q/A = 0,01/0,007854 = 1,273 m/s

Head kecepatan

V²/(2g) = 1,273²/(2·9,81) = 0,08263 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(300/0,1)·1,273²/(2·9,81) = 6,941 m

Jawaban

h_f = 6,941 m

20.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: Q = 280,7 L/s

Koefisien kerugian

f·L/D = 0,02·200/0,25 = 16

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,6

Persamaan energi

Kedua permukaan terbuka ke udara dan praktis diam, sehingga seluruh Δz hilang di dalam pipa.

31 = (16 + 2,6)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·31/18,6) = 5,718 m/s

Debit

Q = V·π·D²/4 = 5,718·0,04909 = 0,2807 m³/s = 280,7 L/s

Jawaban

Q = 280,7 L/s

21.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: Q = 0,2024 m³/s

Persamaan Manning (SI): untuk aliran seragam di saluran terbuka V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 dan Q = A·V, dengan n koefisien kekasaran, S kemiringan dasar (m/m), dan R = A/P jari-jari hidrolik: luas aliran dibagi keliling basah. Hanya batas yang bersentuhan dengan air yang dihitung dalam P, bukan permukaan bebas. Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y. Trapesium dengan kemiringan sisi z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pipa bulat yang mengalir penuh atau setengah penuh memiliki R = D/4.

Geometri

A = 0,3181 m², R = D/4 = 0,225 m

Kecepatan

V = (1/0,013)·0,225^2/3·0,0005^1/2 = 0,6363 m/s

Debit

Q = A·V = 0,3181·0,6363 = 0,2024 m³/s

Jawaban

Q = 0,2024 m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: S = 0,002232 m/m

Jari-jari hidrolik

R = D/4 = 0,375/4 = 0,09375 m

Selesaikan Manning untuk S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,75/0,2064)² = 0,002232

Jawaban

S = 0,002232

Itu penurunan 2,232 m per kilometer.

23.Pompa & daya pompa

Jawaban: P_el = 2,096 kW

Daya pompa: daya yang diberikan kepada air adalah daya hidrolik P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Poros harus menyalurkan lebih banyak karena pompa mengalami rugi: P_shaft = P_h/η_pump, dan motor menarik P_el = P_shaft/η_motor. Head pompa H diperoleh dari persamaan energi: tinggi angkat statis + head tekanan + semua kerugian gesekan dan minor.

Daya hidrolik

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·10 = 1,472 kW

Daya poros

P_shaft = 1,472/0,78 = 1,887 kW

Daya listrik

P_el = 1,887/0,9 = 2,096 kW

Jawaban

P_el = 2,096 kW

24.Pompa & daya pompa

Jawaban: H = 49,07 m

Kecepatan

V = Q/A = 0,03/0,01767 = 1,698 m/s

V²/(2g) = 0,1469 m

Kehilangan head

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (29,33 + 8)·0,1469 = 5,484 m

Head tekanan

p/(ρ·g) = 300000/(1000·9,81) = 30,58 m

Head pompa

Kedua permukaan praktis diam, sehingga tidak ada suku head kecepatan.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 13 + 30,58 + 5,484 = 49,07 m

Jawaban

H = 49,07 m

25.Nilai waktu uang

Jawaban: FV = 21666 €

Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)ⁿ. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.

Eksponen

r·t = 0,04·2 = 0,08

e^0,08 = 1,083

Nilai masa depan

FV = 20 000·1,083 = €21 665,74

Jawaban

FV = €21 665,74

26.Nilai waktu uang

Jawaban: N = 58 angsuran

Susun ulang rumus anuitas

i = 0,005

(1 + i)^−N = 1 − 5 000·0,005/100 = 0,75

Selesaikan dengan logaritma

N = −ln(0,75)/ln(1,005) = 57,68

Bulatkan ke atas ke angsuran penuh

57 angsuran penuh menyisakan sedikit saldo, yang dilunasi oleh angsuran terakhir yang lebih kecil.

N = 58

Jawaban

N = 58 angsuran

27.NPV & IRR

Jawaban: NPV = −3722 €

Nilai sekarang bersih: diskontokan setiap arus kas ke hari ini dengan tingkat pengembalian yang disyaratkan r, lalu jumlahkan: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Proyek dengan NPV > 0 menghasilkan lebih dari r dan menambah nilai. Tingkat pengembalian internal (IRR) adalah tingkat yang membuat NPV = 0.

Nilai sekarang setiap arus kas

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,09)¹ = 11 000/1,09 = 10 091,74

CF₂/(1 + 0,09)² = 6 000/1,188 = 5 050,08

CF₃/(1 + 0,09)³ = 8 000/1,295 = 6 177,47

CF₄/(1 + 0,09)⁴ = 7 000/1,412 = 4 958,98

Jumlahkan

NPV = €−3 721,73

Jawaban

NPV = €−3 721,73

NPV negatif, jadi proyek menghasilkan kurang dari pengembalian yang disyaratkan.

28.NPV & IRR

Jawaban: MIRR = 10,48 %

IRR termodifikasi: majemukkan setiap arus masuk ke depan sampai akhir proyek pada tingkat reinvestasi (biasanya biaya modal) untuk mendapatkan nilai akhir TV. MIRR adalah tingkat yang mengubah investasi awal menjadi TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Nilai akhir arus masuk

8 500·1,06² = 9 550,60

11 000·1,06¹ = 11 660,00

12 500·1,06⁰ = 12 500,00

TV = 33 710,60

MIRR

MIRR = (33 710,60/25 000)^1/3 − 1 = 10,48%

Jawaban

MIRR = 10,48%

29.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,1539

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², sehingga σ = √(σ_X² + σ_Y²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi total

μ_T = 72 kg, σ_T = 0,8·√6 = 1,96 kg

Standarkan

z = (70 − 72)/1,96 = −1,02

Peluang

P = Φ(−1,02) = 0,1539

Jawaban

P = 0,1539

30.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,9875

Distribusi selisih

μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,02236 mm

Standarkan

z = (0 − 0,05)/0,02236 = −2,24

Peluang

P = 1 − Φ(−2,24) = 0,9875

Jawaban

P = 0,9875

Ini adalah materi latihan independen. ExamProblems tidak berafiliasi dengan atau didukung oleh organisasi penyelenggara ujian ini, dan nama ujian hanya digunakan untuk menggambarkan isinya. FE exam diselenggarakan oleh NCEES, yang tidak berafiliasi dengan ExamProblems dan tidak mendukungnya.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil