Latihan ujian FE Civil: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 30 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Tegangan efektif tanah

Tegangan total: σ = Σγ_i·h_i
Tekanan air pori: u = γ_w·(z − z_w)
Tegangan efektif: σ′ = σ − u
Air: γ_w = 9,81 kN/m³

Penurunan konsolidasi

Terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Tegangan akhir: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Rasio konsolidasi berlebih: OCR = σ′_p/σ′₀
Waktu konsolidasi: t = T_v·H_dr²/c_v
Lintasan drainase: H_dr = H/2 (drainase ganda), H (drainase tunggal)
Faktor waktu: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Gaya hidrostatis

Tekanan pada kedalaman: p = ρgh
Gaya pada dinding vertikal: F = ρg·h_c·A
Pusat tekanan: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Persegi panjang: I_c = bH³/12

Gesekan pipa & kehilangan head

Bilangan Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Rezim aliran: laminar di bawah Re ≈ 2000, turbulen di atas Re ≈ 4000
Kecepatan rata-rata: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Kerugian minor: h_m = ΣK·V²/(2g)
Nilai K tipikal: masuk 0,5, keluar 1,0, belokan 90° ≈ 0,3
Penurunan tekanan: Δp = ρ·g·h_f
Dua reservoir terbuka: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Keluaran bebas: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Aliran saluran terbuka (Manning)

Persamaan Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debit: Q = A·V
Jari-jari hidrolik: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y
Trapesium (kemiringan sisi z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Pipa bulat, penuh atau setengah penuh: R = D/4
Kemiringan yang diperlukan: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Pompa & daya pompa

Daya hidrolik: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Daya poros: P_shaft = P_h/η_pump
Daya listrik: P_el = P_shaft/η_motor
Head pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Kerugian sistem: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Nilai waktu uang

Nilai masa depan: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Nilai sekarang: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Beberapa periode per tahun: i = r/m, N = m·n
Anuitas, nilai sekarang: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitas, nilai masa depan: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metode

Gambar garis waktu dengan setiap arus kas dan waktunya.
Sesuaikan suku bunga dengan periodenya: suku bunga bulanan untuk pembayaran bulanan.
Gunakan FV = PV·(1 + i)ⁿ untuk jumlah tunggal dan rumus anuitas untuk pembayaran yang sama besar.
Periksa tanda dan orde besaran jawabannya.

NPV & IRR

Nilai sekarang bersih: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Arus kas yang sama: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tingkat pengembalian internal: nilai r saat NPV = 0
Keputusan: terima jika NPV > 0 (atau IRR > tingkat pengembalian yang disyaratkan)

Metode

Daftarkan semua arus kas beserta tahunnya; investasi pada tahun 0 bernilai negatif.
Diskontokan setiap arus kas: CF_t/(1 + r)^t.
Jumlahkan semuanya untuk mendapatkan NPV. Positif berarti proyek menghasilkan lebih dari r.
Untuk IRR, cari suku bunga yang membuat NPV nol dengan coba-coba atau interpolasi.

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B, 3,5 m dari A, dan menjorok (overstek) melewati B hingga ujung bebas C. Cari reaksi vertikal R_B, dengan arah ke atas positif.

AB = 3,5 mAC = 5 mP₁ = 25 kN di 3 mP₂ = 70 kN di 5 m

R_B = kN

2.Reaksi tumpuan balokSulit

Balok kantilever dijepit ke dinding di A. Balok menahan beban yang berubah linear, sebesar 4 kN/m di dinding dan turun sampai nol di ujung bebas B, ditambah beban terpusat P pada 4 m dari dinding. Cari besar momen reaksi M_A di dinding.

L = 10 mw₀ = 4 kN/mP = 40 kN di 4 m

M_A = kN·m

3.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 5 mtinggi = 3 mB berjarak 4 m dari Abeban vertikal = 15 kN

F_AB = kN

4.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

H: 35 kN ←

1elemen AB
2elemen BC
3elemen CD
4elemen DE
5elemen FG
6elemen GH
7elemen AF
8elemen HE
9elemen BF
10elemen CG
11elemen DH
12elemen BG
13elemen DG

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Balok sederhana menahan dua beban terpusat. Cari momen lentur maksimum M_max pada balok.

L = 5 mP₁ = 75 kN di 1,5 mP₂ = 65 kN di 2 m

M_max = kN·m

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang dan beban terpusat P. Cari momen lentur maksimum M_max pada balok.

L = 8 mP = 15 kN di 6 mw = 6 kN/m dari 0 sampai 8 m

M_max = kN·m

7.Lendutan balokSedang

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari lendutan maksimum δ_max di tengah bentang.

w = 20 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Lendutan balokSulit

Balok sederhana menahan beban merata w dan beban terpusat P di tengah bentang. Dengan superposisi, cari lendutan tengah δ_max.

P = 10 kNw = 8 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (baja)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Kolom harus menahan 55 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 55 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (baja)

d = mm

11.Titik berat & momen inersiaSedang

Sebuah pelat 200 mm × 300 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 50 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 195 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas I_x terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 200 mmh = 300 mmd = 50 mmpusat lubang: y = 195 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersiaSulit

Profil I las memiliki sayap atas 160 × 12 mm, badan setinggi 400 mm dan setebal 12 mm, dan sayap bawah 280 × 22 mm (lebar × tebal). Cari momen inersianya I_x terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

sayap atas: 160 × 12 mmbadan: 12 × 400 mmsayap bawah: 280 × 22 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Tegangan efektif tanahSedang

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tegangan efektif vertikal σ′ di titik X.

z = 4 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 15 kN/m³pasir: γ_sat = 20 kN/m³

σ′ = kPa

14.Tegangan efektif tanahSulit

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tekanan air pori u di titik X.

z = 5,5 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 17 kN/m³pasir: γ_sat = 19 kN/m³lempung: γ_sat = 18,5 kN/m³

u = kPa

15.Penurunan konsolidasiSedang

Lapisan lempung terkonsolidasi berlebih setebal 5,5 m memiliki C_c = 0,45, C_r = 0,06, dan e₀ = 1,05. Di tengah kedalamannya tegangan vertikal efektifnya 85 kPa dan tekanan prakonsolidasinya 145 kPa. Sebuah bangunan baru menambah tegangan vertikal 180 kPa di tengah kedalaman. Cari penurunan konsolidasi primer S dalam mm.

H = 5,5 mC_c = 0,45C_r = 0,06e₀ = 1,05σ′₀ = 85 kPaσ′_p = 145 kPaΔσ = 180 kPa

S = mm

16.Penurunan konsolidasiSulit

Sebuah lapisan lempung setebal 4,5 m memiliki koefisien konsolidasi c_v = 1,2 m²/tahun. Lapisan berada di antara dua lapisan pasir, sehingga air terdrainase keluar di atas dan di bawah. Untuk konsolidasi rata-rata 50% faktor waktunya T_v = 0,197. Berapa tahun t yang diperlukan lapisan untuk mencapai konsolidasi 50%?

H = 4,5 mc_v = 1,2 m²/tahunU = 50%T_v = 0,197drainase ganda

t = tahun

17.Gaya hidrostatisSedang

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 1,5 m berada di dinding tangki berisi air, dengan tepi atasnya 2 m di bawah permukaan. Cari gaya hidrostatis resultan F pada pintu air.

d = 2 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Gaya hidrostatisSulit

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 3 m berada di dinding tangki berisi oli, dengan tepi atasnya 1 m di bawah permukaan. Cari gaya hidrostatis resultan F pada pintu air.

d = 1 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Gesekan pipa & kehilangan headSedang

Air mengalir dengan debit 12 L/s melalui pipa sepanjang 100 m dengan diameter dalam 150 mm. Gunakan faktor gesekan Darcy f = 0,025 dan g = 9,81 m/s². Cari kehilangan head akibat gesekan h_f.

Q = 12 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Gesekan pipa & kehilangan headSulit

Dua reservoir terbuka dihubungkan oleh pipa sepanjang 400 m dengan diameter dalam 200 mm dan faktor gesekan Darcy f = 0,015. Kerugian minornya adalah lubang masuk bersudut tajam (K = 0,5), 3 belokan (masing-masing K = 0,3), sebuah katup (K = 2), dan lubang keluar ke reservoir bawah (K = 1,0). Gunakan g = 9,81 m/s². Berapa selisih muka air Δz antara kedua reservoir yang menghasilkan debit 50 L/s?

Q = 50 L/sL = 400 mD = 200 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

21.Aliran saluran terbuka (Manning)Sedang

Sebuah saluran persegi panjang pasangan bata selebar 1,5 m. Air mengalir seragam sedalam 1,5 m. n Manning = 0,015 dan kemiringan dasarnya S = 0,001. Cari debit Q dalam m³/s.

b = 1,5 my = 1,5 mn = 0,015S = 0,001

Q = m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)Sulit

Sebuah saluran drainase beton dengan diameter dalam 450 mm (n Manning = 0,013) harus mencapai kecepatan swabersih 0,6 m/s saat mengalir tepat penuh. Cari kemiringan minimum S (dalam m/m).

D = 450 mmn = 0,013V = 0,6 m/s

S = m/m

23.Pompa & daya pompaSedang

Sebuah pompa dengan efisiensi 75% mengalirkan 150 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) melawan head 40 m. Gunakan g = 9,81 m/s². Cari daya poros P_shaft yang diperlukan, dalam kW.

Q = 150 L/sH = 40 mη = 75%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Pompa & daya pompaSulit

Sebuah pompa memindahkan 100 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) dari reservoir bawah yang terbuka ke tangki atas yang permukaan airnya 13 m lebih tinggi. Pipa sepanjang 400 m dengan diameter dalam 250 mm dan faktor gesekan Darcy f = 0,015; koefisien kerugian minornya berjumlah ΣK = 8 (termasuk lubang masuk dan keluar). Gunakan g = 9,81 m/s². Tangki atas tertutup dan udara di atas airnya bertekanan gauge 400 kPa. Cari head H yang harus ditambahkan pompa.

Q = 100 L/sΔz = 13 mL = 400 mD = 250 mmf = 0,015ΣK = 8p_tank = 400 kPa

H = m

25.Nilai waktu uangSedang

Sebuah properti diperkirakan menghasilkan sewa bersih €20 000 tahun depan. Sewa diperkirakan tumbuh 2% per tahun selamanya. Tingkat pengembalian yang disyaratkan 6% per tahun. Tentukan nilai PV properti saat ini.

C₁ = €20 000g = 2%r = 6%

PV = €

26.Nilai waktu uangSulit

Pinjaman sebesar €150 000 dilunasi dengan angsuran bulanan yang sama selama 30 tahun dengan bunga 5,4% per tahun, dimajemukkan bulanan. Berapa total bunga I yang dibayar selama masa pinjaman?

P = €150 0005,4% / 12N = 360

I = €

27.NPV & IRRSedang

Investasi sebesar €45 000 memberikan arus kas berikut di akhir tahun 1 sampai 3: €17 000, €10 000, €17 000. Biaya modal 9%. Tentukan nilai sekarang bersih NPV.

r = 9%CF₀ = −45 000CF₁ = 17 000CF₂ = 10 000CF₃ = 17 000

NPV = €

28.NPV & IRRSulit

Proyek A berbiaya €10 000 dan menghasilkan €5 500, €3 500, €2 500 di akhir tahun 1 sampai 3. Proyek B berbiaya €12 000 dan menghasilkan €3 000, €5 000, €6 000. Tentukan tingkat persilangan r* saat kedua proyek memiliki NPV yang sama, dalam persen.

A: −10 000, 5 500, 3 500, 2 500B: −12 000, 3 000, 5 000, 6 000

r* = %

29.Distribusi normalSedang

Massa baut saling bebas dan normal dengan rata-rata 40 g dan simpangan baku 1,2 g. Cari peluang P bahwa massa total 16 di antaranya melebihi 649,6 g. Bulatkan z ke dua desimal.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 16> 649,6 g

P =

30.Distribusi normalSulit

skor IQ berdistribusi normal dengan rata-rata 100 poin dan simpangan baku 15 poin. Seret batas sehingga 75% teratas yang diarsir berada di sebelah kanannya. Cari batas x.

μ = 100 poinσ = 15 poin75%

x = poin

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_B = 121,4 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Momen terhadap A

Berlawanan arah jarum jam positif.

ΣM_A = 0: R_B·3,5 = 25·3 + 70·5

R_B = 425/3,5 = 121,4 kN

Kesetimbangan vertikal

R_A = 25 + 70 − 121,4 = −26,43 kN

Jawaban

R_B = 121,4 kN

R_A negatif: sendi di A harus menahan balok agar tidak terangkat.

2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: M_A = 226,7 kN·m

Kesetimbangan kantilever: tumpuan jepit dapat mendorong ke atas sekaligus menahan rotasi, jadi memberi reaksi vertikal R_A dan momen reaksi M_A. ΣF_y = 0 memberi R_A, dan momen terhadap dinding memberi M_A = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban merata bekerja sebagai resultannya di titik berat diagram beban.

Resultan beban segitiga

W = ½·4·10 = 20 kN

x̄ = L/3 = 3,333 m

Momen terhadap dinding

M_A = W·x̄ + P·a = 20·3,333 + 40·4 = 226,7 kN·m

Jawaban

M_A = 226,7 kN·m

3.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AB = −5 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 15·4 → C_y = 12 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 12 = 3 kN

Titik buhul A

Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.

sin α = 3/5 = 0,6

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −3/0,6 = −5 kN

Jawaban

F_AB = −5 kN (tekan)

4.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen CG

Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.

Simpul C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 26,25 kN (C), BC: 17,5 kN (C), CD: 17,5 kN (C), DE: 8,75 kN (C), FG: 8,75 kN (C), GH: 26,25 kN (C), AF: 10,94 kN (C), HE: 10,94 kN (T), BF: 6,562 kN (T), CG: 0, DH: 6,563 kN (C), BG: 10,94 kN (C), DG: 10,94 kN (T)

Jawaban

Elemen gaya-nol: CG

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_max = 145,5 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 75·1,5 + 65·2

R_B = 242,5/5 = 48,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 140 − 48,5 = 91,5 kN

Momen di bawah tiap beban

Ambil bagian di kiri tiap beban.

di bawah P₁: M = R_A·1,5 = 91,5·1,5 = 137,3 kN·m

di bawah P₂: M = R_B·3 = 48,5·3 = 145,5 kN·m

Nilai terbesar

M_max = 145,5 kN·m (di bawah P₂)

Jawaban

M_max = 145,5 kN·m

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_max = 64,17 kN·m

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, bekerja di x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 15·6 + 6·8·4

R_B = 282/8 = 35,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 63 − 35,25 = 27,75 kN

Di mana V = 0?

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 27,75/6 = 4,625 m

Momen maksimum

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = 27,75·4,625 − 6·4,625²/2 = 64,17 kN·m

Jawaban

M_max = 64,17 kN·m

Terjadi di x = 4,625 m dari A.

7.Lendutan balok

Jawaban: δ_max = 7,706 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Lendutan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2500⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 7,706 mm

Jawaban

δ_max = 7,706 mm

8.Lendutan balok

Jawaban: δ_max = 55,49 mm

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 10000 N, w = 8 N/mm, L = 2500 mm, EI = 1,32 × 10¹¹ N·mm²

Setiap beban sendiri

δ_P = PL³/(48EI) = 10000·2500³/(48·1,32 × 10¹¹) = 24,66 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·2500⁴/(384·1,32 × 10¹¹) = 30,83 mm

Jumlahkan

δ_max = 24,66 + 30,83 = 55,49 mm

Jawaban

δ_max = 55,49 mm

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 91,39 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·1500 = 1500 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/1500² = 91385 N = 91,39 kN

Jawaban

P_cr = 91,39 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 66,9 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·55000 = 110000 N

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·110000·4200²/(π³·200000))^(1/4) = 66,9 mm

Jawaban

d = 66,9 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 251,1, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 445,6 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki I_c = bh³/12 dan lingkaran I_c = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (60000·150 − 1963·195)/(60000 − 1963) = 148,5 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

200·300³/12 + 60000·1,522² = 450,1 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

π·50⁴/64 + 1963·46,52² = 4,556 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

I_x = 445,6 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 445,6 × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 356,5 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi tiga persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap atas: A = 1920 mm², y = 428 mm

badan: A = 4800 mm², y = 222 mm

sayap bawah: A = 6160 mm², y = 11 mm

Titik berat

ȳ = (1920·428 + 4800·222 + 6160·11)/12880 = 151,8 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap atas: 160·12³/12 + 1920·276,2² = 1,465 × 10⁸ mm⁴

badan: 12·400³/12 + 4800·70,2² = 8,766 × 10⁷ mm⁴

sayap bawah: 280·22³/12 + 6160·140,8² = 1,224 × 10⁸ mm⁴

I_x = 1,465 × 10⁸ + 8,766 × 10⁷ + 1,224 × 10⁸

I_x = 3,565 × 10⁸ mm⁴ = 356,5 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 356,5 × 10⁶ mm⁴

13.Tegangan efektif tanah

Jawaban: σ′ = 45,57 kPa

Tegangan efektif (Terzaghi): butiran tanah menahan σ′ = σ − u. Tegangan total σ adalah berat semua yang ada di atas titik, Σγ·h, memakai berat isi kering di atas muka air tanah dan berat isi jenuh di bawahnya. Di bawah muka air tanah tekanan air pori bersifat hidrostatis: u = γ_w·(kedalaman di bawah muka air tanah).

Tegangan total

Jumlahkan berat setiap lapisan tanah di atas X. Di atas muka air tanah gunakan berat isi kering, di bawahnya berat isi jenuh.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15·1 + 20·3 = 75 kPa

Tekanan air pori

Tekanan air bertambah dengan kedalaman di bawah muka air tanah.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·3 = 29,43 kPa

Tegangan efektif

σ′ = σ − u = 75 − 29,43 = 45,57 kPa

Jawaban

σ′ = 45,57 kPa

14.Tegangan efektif tanah

Jawaban: u = 34,34 kPa

Tekanan air pori

Tekanan air bertambah dengan kedalaman di bawah muka air tanah.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·3,5 = 34,34 kPa

Jawaban

u = 34,34 kPa

15.Penurunan konsolidasi

Jawaban: S = 353,5 mm

Konsolidasi primer lapisan lempung setebal H, dengan tegangan efektif di tengah lapisan: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Lempung terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Lempung terkonsolidasi berlebih mengalami rekompresi sepanjang C_r sampai tekanan prakonsolidasi σ′_p dan baru mengikuti C_c setelah melewatinya. Waktu: t = T_v·H_dr²/c_v, dengan lintasan drainase H_dr sebesar H/2 bila air dapat keluar di atas dan di bawah, dan H bila hanya satu sisi yang berdrainase.

Bandingkan dengan tekanan prakonsolidasi

σ′_f = 85 + 180 = 265 kPa > 145 kPa

Penurunan

Rekompresi sampai σ′_p, kompresi murni setelahnya.

S = 0,06·5,5/(1 + 1,05)·log₁₀(145/85) + 0,45·5,5/(1 + 1,05)·log₁₀(265/145)

S = 37,34 + 316,2 = 353,5 mm

Jawaban

S = 353,5 mm

16.Penurunan konsolidasi

Jawaban: t = 0,8311 tahun

Lintasan drainase

H_dr = H/2 = 4,5/2 = 2,25 m

Waktu

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,197·2,25²/1,2 = 0,8311 tahun

Jawaban

t = 0,8311 tahun

17.Gaya hidrostatis

Jawaban: F = 88,29 kN

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·3 = 88,29 kN

Jawaban

F = 88,29 kN

18.Gaya hidrostatis

Jawaban: F = 145,7 kN

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 1 + 2,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·2,25·7,5 = 145,7 kN

Jawaban

F = 145,7 kN

19.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: h_f = 0,3917 m

Aliran pipa: bilangan Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ membedakan aliran laminar (Re di bawah sekitar 2000) dari aliran turbulen (di atas sekitar 4000). Gesekan sepanjang pipa menyebabkan kehilangan head Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Sambungan, katup, lubang masuk, dan lubang keluar menambah kerugian minor h_m = ΣK·V²/(2g). Di antara dua permukaan reservoir terbuka, persamaan energi memberikan Δz = h_f + h_m, termasuk kerugian keluar K = 1.

Kecepatan rata-rata

A = π·0,15²/4 = 0,01767 m²

V = Q/A = 0,012/0,01767 = 0,6791 m/s

Head kecepatan

V²/(2g) = 0,6791²/(2·9,81) = 0,0235 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(100/0,15)·0,6791²/(2·9,81) = 0,3917 m

Jawaban

h_f = 0,3917 m

20.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: Δz = 4,441 m

Kecepatan

V = Q/A = 0,05/0,03142 = 1,592 m/s

V²/(2g) = 0,1291 m

Koefisien kerugian

f·L/D = 0,015·400/0,2 = 30

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4

Kehilangan head total

h_f = 30·0,1291 = 3,873 m

h_m = 4,4·0,1291 = 0,5681 m

Δz = h_f + h_m = 4,441 m

Jawaban

Δz = 4,441 m

21.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: Q = 2,988 m³/s

Persamaan Manning (SI): untuk aliran seragam di saluran terbuka V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 dan Q = A·V, dengan n koefisien kekasaran, S kemiringan dasar (m/m), dan R = A/P jari-jari hidrolik: luas aliran dibagi keliling basah. Hanya batas yang bersentuhan dengan air yang dihitung dalam P, bukan permukaan bebas. Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y. Trapesium dengan kemiringan sisi z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pipa bulat yang mengalir penuh atau setengah penuh memiliki R = D/4.

Geometri

A = b·y = 1,5·1,5 = 2,25 m²

P = b + 2y = 1,5 + 2·1,5 = 4,5 m

R = A/P = 0,5 m

Kecepatan

V = (1/0,015)·0,5^2/3·0,001^1/2 = 1,328 m/s

Debit

Q = A·V = 2,25·1,328 = 2,988 m³/s

Jawaban

Q = 2,988 m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: S = 0,00112 m/m

Jari-jari hidrolik

R = D/4 = 0,45/4 = 0,1125 m

Selesaikan Manning untuk S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,6/0,233)² = 0,00112

Jawaban

S = 0,00112

Itu penurunan 1,12 m per kilometer.

23.Pompa & daya pompa

Jawaban: P_shaft = 78,48 kW

Daya pompa: daya yang diberikan kepada air adalah daya hidrolik P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Poros harus menyalurkan lebih banyak karena pompa mengalami rugi: P_shaft = P_h/η_pump, dan motor menarik P_el = P_shaft/η_motor. Head pompa H diperoleh dari persamaan energi: tinggi angkat statis + head tekanan + semua kerugian gesekan dan minor.

Daya hidrolik

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·40 = 58,86 kW

Daya poros

P_shaft = P_h/η = 58,86/0,75 = 78,48 kW

Jawaban

P_shaft = 78,48 kW

24.Pompa & daya pompa

Jawaban: H = 60,54 m

Kecepatan

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Kehilangan head

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (24 + 8)·0,2115 = 6,769 m

Head tekanan

p/(ρ·g) = 400000/(1000·9,81) = 40,77 m

Head pompa

Kedua permukaan praktis diam, sehingga tidak ada suku head kecepatan.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 13 + 40,77 + 6,769 = 60,54 m

Jawaban

H = 60,54 m

25.Nilai waktu uang

Jawaban: PV = 500000 €

Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)ⁿ. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.

Perpetuitas bertumbuh

PV = C₁/(r − g) = 20 000/(0,06 − 0,02) = 20 000/0,04 = €500 000,00

Jawaban

PV = €500 000,00

26.Nilai waktu uang

Jawaban: I = 153227 €

Angsuran bulanan

i = 0,0045, N = 360

A = 150 000·0,0045/(1 − (1 + 0,0045)⁻³⁶⁰) = €842,30

Total bunga

I = N·A − P = 360·842,3 − 150 000 = €153 226,63

Jawaban

I = €153 226,63

27.NPV & IRR

Jawaban: NPV = −7860 €

Nilai sekarang bersih: diskontokan setiap arus kas ke hari ini dengan tingkat pengembalian yang disyaratkan r, lalu jumlahkan: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Proyek dengan NPV > 0 menghasilkan lebih dari r dan menambah nilai. Tingkat pengembalian internal (IRR) adalah tingkat yang membuat NPV = 0.

Nilai sekarang setiap arus kas

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,09)¹ = 17 000/1,09 = 15 596,33

CF₂/(1 + 0,09)² = 10 000/1,188 = 8 416,80

CF₃/(1 + 0,09)³ = 17 000/1,295 = 13 127,12

Jumlahkan

NPV = €−7 859,75

Jawaban

NPV = €−7 859,75

NPV negatif, jadi proyek menghasilkan kurang dari pengembalian yang disyaratkan.

28.NPV & IRR

Jawaban: r* = 5,034 %

Tingkat persilangan: tingkat diskonto saat dua proyek memiliki NPV yang sama. Tingkat ini adalah IRR dari selisih arus kasnya (B − A). Di bawahnya, proyek dengan arus kas yang lebih lambat dan lebih besar memiliki NPV lebih tinggi; di atasnya, proyek yang lain lebih unggul.

Selisih arus kas

ΔCF₀ = −12 000 − (−10 000) = −2 000

ΔCF₁ = 3 000 − 5 500 = −2 500

ΔCF₂ = 5 000 − 3 500 = 1 500

ΔCF₃ = 6 000 − 2 500 = 3 500

IRR selisih

NPV_Δ(5%) = 3,02

NPV_Δ(6%) = −84,83

r* = 5,034%

Jawaban

r* = 5,034%

Periksa: pada 5,034% kedua NPV bernilai €566,49.

29.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,02275

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², sehingga σ = √(σ_X² + σ_Y²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi total

μ_T = 640 g, σ_T = 1,2·√16 = 4,8 g

Standarkan

z = (649,6 − 640)/4,8 = 2

Peluang

P = 1 − Φ(2) = 0,02275

Jawaban

P = 0,02275

30.Distribusi normal

Jawaban: x = 90 poin

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0,25

z dari tabel

z ≈ −0,67

Kembali ke satuan semula

x = 100 − 0,67·15 = 90 poin

Jawaban

x = 90 poin

Ini adalah materi latihan independen. ExamProblems tidak berafiliasi dengan atau didukung oleh organisasi penyelenggara ujian ini, dan nama ujian hanya digunakan untuk menggambarkan isinya. FE exam diselenggarakan oleh NCEES, yang tidak berafiliasi dengan ExamProblems dan tidak mendukungnya.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil