Latihan ujian FE Civil: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 30 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Tegangan efektif tanah

Tegangan total: σ = Σγ_i·h_i
Tekanan air pori: u = γ_w·(z − z_w)
Tegangan efektif: σ′ = σ − u
Air: γ_w = 9,81 kN/m³

Penurunan konsolidasi

Terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Tegangan akhir: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Rasio konsolidasi berlebih: OCR = σ′_p/σ′₀
Waktu konsolidasi: t = T_v·H_dr²/c_v
Lintasan drainase: H_dr = H/2 (drainase ganda), H (drainase tunggal)
Faktor waktu: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Gaya hidrostatis

Tekanan pada kedalaman: p = ρgh
Gaya pada dinding vertikal: F = ρg·h_c·A
Pusat tekanan: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Persegi panjang: I_c = bH³/12

Gesekan pipa & kehilangan head

Bilangan Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Rezim aliran: laminar di bawah Re ≈ 2000, turbulen di atas Re ≈ 4000
Kecepatan rata-rata: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Kerugian minor: h_m = ΣK·V²/(2g)
Nilai K tipikal: masuk 0,5, keluar 1,0, belokan 90° ≈ 0,3
Penurunan tekanan: Δp = ρ·g·h_f
Dua reservoir terbuka: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Keluaran bebas: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Aliran saluran terbuka (Manning)

Persamaan Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debit: Q = A·V
Jari-jari hidrolik: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y
Trapesium (kemiringan sisi z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Pipa bulat, penuh atau setengah penuh: R = D/4
Kemiringan yang diperlukan: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Pompa & daya pompa

Daya hidrolik: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Daya poros: P_shaft = P_h/η_pump
Daya listrik: P_el = P_shaft/η_motor
Head pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Kerugian sistem: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Nilai waktu uang

Nilai masa depan: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Nilai sekarang: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Beberapa periode per tahun: i = r/m, N = m·n
Anuitas, nilai sekarang: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitas, nilai masa depan: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metode

Gambar garis waktu dengan setiap arus kas dan waktunya.
Sesuaikan suku bunga dengan periodenya: suku bunga bulanan untuk pembayaran bulanan.
Gunakan FV = PV·(1 + i)ⁿ untuk jumlah tunggal dan rumus anuitas untuk pembayaran yang sama besar.
Periksa tanda dan orde besaran jawabannya.

NPV & IRR

Nilai sekarang bersih: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Arus kas yang sama: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tingkat pengembalian internal: nilai r saat NPV = 0
Keputusan: terima jika NPV > 0 (atau IRR > tingkat pengembalian yang disyaratkan)

Metode

Daftarkan semua arus kas beserta tahunnya; investasi pada tahun 0 bernilai negatif.
Diskontokan setiap arus kas: CF_t/(1 + r)^t.
Jumlahkan semuanya untuk mendapatkan NPV. Positif berarti proyek menghasilkan lebih dari r.
Untuk IRR, cari suku bunga yang membuat NPV nol dengan coba-coba atau interpolasi.

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal R_A.

L = 6 mP₁ = 25 kN di 2 mP₂ = 35 kN di 4 m

R_A = kN

2.Reaksi tumpuan balokSulit

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal R_A.

L = 8 mP = 50 kN di 5 mw = 12 kN/m dari 4 sampai 8 m

R_A = kN

3.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AC pada batang AC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 5 mtinggi = 3 mB berjarak 1 m dari Abeban vertikal = 60 kN

F_AC = kN

4.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 6 mtinggi = 4 mB berjarak 1 m dari Abeban vertikal = 60 kNbeban horizontal = 30 kN →

F_AB = kN

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Balok sederhana menahan dua beban terpusat. Cari momen lentur maksimum M_max pada balok.

L = 6 mP₁ = 70 kN di 1 mP₂ = 80 kN di 4 m

M_max = kN·m

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

35 kN @ 0 m20 kN @ 12 m20 kN @ 6 m10 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Lendutan balokSedang

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang. Cari lendutan δ di ujung bebas.

w = 8 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Lendutan balokSulit

Balok sederhana menahan beban merata w dan beban terpusat P di tengah bentang. Dengan superposisi, cari lendutan tengah δ_max.

P = 12 kNw = 15 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (baja)b × h = 20 × 60 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Kolom harus menahan 100 kN dengan faktor keamanan 2,5 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 100 kNn = 2,5L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Titik berat & momen inersiaSedang

Cari momen inersia I_x penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

b_f = 240 mmt_f = 25 mmt_w = 20 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersiaSulit

Balok besi tuang memiliki penampang T seperti pada gambar, dengan sayap di atas. Tegangan izinnya 35 MPa untuk tarik dan 100 MPa untuk tekan. Cari momen lentur positif terbesar M_allow yang dapat ditahan balok.

b_f = 180 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 220 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

13.Tegangan efektif tanahSedang

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tegangan vertikal total σ di titik X.

z = 7 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 16,5 kN/m³pasir: γ_sat = 20 kN/m³

σ = kPa

14.Tegangan efektif tanahSulit

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tegangan efektif vertikal σ′ di titik X.

z = 6,5 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 15,5 kN/m³pasir: γ_sat = 19,5 kN/m³lempung: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ′ = kPa

15.Penurunan konsolidasiSedang

Lapisan lempung terkonsolidasi berlebih setebal 6,5 m memiliki C_c = 0,35, C_r = 0,03, dan e₀ = 0,65. Di tengah kedalamannya tegangan vertikal efektifnya 100 kPa dan tekanan prakonsolidasinya 140 kPa. Sebuah bangunan baru menambah tegangan vertikal 120 kPa di tengah kedalaman. Cari penurunan konsolidasi primer S dalam mm.

H = 6,5 mC_c = 0,35C_r = 0,03e₀ = 0,65σ′₀ = 100 kPaσ′_p = 140 kPaΔσ = 120 kPa

S = mm

16.Penurunan konsolidasiSulit

Sebuah lapisan lempung setebal 10 m memiliki koefisien konsolidasi c_v = 0,8 m²/tahun. Lapisan berada di atas batuan kedap air, dengan pasir di atasnya, sehingga air hanya terdrainase keluar di atas. Untuk konsolidasi rata-rata 70% faktor waktunya T_v = 0,403. Berapa tahun t yang diperlukan lapisan untuk mencapai konsolidasi 70%?

H = 10 mc_v = 0,8 m²/tahunU = 70%T_v = 0,403drainase tunggal

t = tahun

17.Gaya hidrostatisSedang

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 1,5 m berada di dinding tangki berisi air, dengan tepi atasnya 1,5 m di bawah permukaan. Cari gaya hidrostatis resultan F pada pintu air.

d = 1,5 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Gaya hidrostatisSulit

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 2 m berada di dinding tangki berisi air laut, dengan tepi atasnya 3 m di bawah permukaan. Cari kedalaman y_cp pusat tekanan di bawah permukaan.

d = 3 mH = 2 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Gesekan pipa & kehilangan headSedang

Air mengalir dengan debit 200 L/s melalui pipa sepanjang 500 m dengan diameter dalam 300 mm. Gunakan faktor gesekan Darcy f = 0,018 dan g = 9,81 m/s². Cari kehilangan head akibat gesekan h_f.

Q = 200 L/sL = 500 mD = 300 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Gesekan pipa & kehilangan headSulit

Dua reservoir terbuka dihubungkan oleh pipa sepanjang 200 m dengan diameter dalam 250 mm dan faktor gesekan Darcy f = 0,022. Permukaan air reservoir atas berada 17 m di atas permukaan reservoir bawah. Kerugian minornya adalah lubang masuk bersudut tajam (K = 0,5), 3 belokan (masing-masing K = 0,3), sebuah katup (K = 5), dan lubang keluar ke reservoir bawah (K = 1,0). Gunakan g = 9,81 m/s². Cari debit Q dalam L/s.

Δz = 17 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Aliran saluran terbuka (Manning)Sedang

Sebuah saluran trapesium kerikil memiliki lebar dasar 2 m dan kemiringan sisi 1,5:1 (horizontal:vertikal). Air mengalir seragam sedalam 0,7 m. n Manning = 0,025 dan kemiringan dasarnya S = 0,003. Cari debit Q dalam m³/s.

b = 2 my = 0,7 mz = 1,5n = 0,025S = 0,003

Q = m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)Sulit

Sebuah saluran persegi panjang pasangan bata selebar 2 m harus mengalirkan 9,8 m³/s dalam aliran seragam pada kedalaman 1,8 m. n Manning = 0,015. Cari kemiringan dasar yang diperlukan S (dalam m/m).

Q = 9,8 m³/sb = 2 my = 1,8 mn = 0,015

S = m/m

23.Pompa & daya pompaSedang

Dalam sebuah pengujian, pompa mengalirkan 80 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) melawan head 58 m sementara porosnya menyerap 63,2 kW. Gunakan g = 9,81 m/s². Cari efisiensi pompa η dalam persen.

Q = 80 L/sH = 58 mP_shaft = 63,2 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Pompa & daya pompaSulit

Sebuah pompa memindahkan 30 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) dari reservoir bawah yang terbuka ke tangki atas yang permukaan airnya 6 m lebih tinggi. Pipa sepanjang 150 m dengan diameter dalam 150 mm dan faktor gesekan Darcy f = 0,02; koefisien kerugian minornya berjumlah ΣK = 4 (termasuk lubang masuk dan keluar). Gunakan g = 9,81 m/s². Tangki atas tertutup dan udara di atas airnya bertekanan gauge 150 kPa. Cari head H yang harus ditambahkan pompa.

Q = 30 L/sΔz = 6 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,02ΣK = 4p_tank = 150 kPa

H = m

25.Nilai waktu uangSedang

Anda butuh €5 000 dalam 5 tahun. Sebuah rekening memberi 3% per tahun, dimajemukkan bulanan. Berapa yang harus Anda setor hari ini? Tentukan nilai sekarang PV.

FV = €5 0003% / 12n = 5

PV = €

26.Nilai waktu uangSulit

Pinjaman sebesar €150 000 dilunasi dengan angsuran bulanan yang sama selama 20 tahun dengan bunga 5,4% per tahun, dimajemukkan bulanan. Berapa total bunga I yang dibayar selama masa pinjaman?

P = €150 0005,4% / 12N = 240

I = €

27.NPV & IRRSedang

Sebuah proyek berbiaya €500 000 hari ini. Proyek menghasilkan €54 000 di akhir tahun pertama, lalu arus kasnya tumbuh 3% per tahun selamanya. Biaya modalnya 12%. Tentukan nilai sekarang bersih NPV.

C₀ = €500 000CF₁ = €54 000g = 3%r = 12%

NPV = €

28.NPV & IRRSulit

Proyek A berbiaya €30 000 dan menghasilkan €17 000, €12 000, €7 000 di akhir tahun 1 sampai 3. Proyek B berbiaya €40 000 dan menghasilkan €10 500, €15 500, €23 500. Tentukan tingkat persilangan r* saat kedua proyek memiliki NPV yang sama, dalam persen.

A: −30 000, 17 000, 12 000, 7 000B: −40 000, 10 500, 15 500, 23 500

r* = %

29.Distribusi normalSedang

Massa baut saling bebas dan normal dengan rata-rata 40 g dan simpangan baku 1,2 g. Cari peluang P bahwa massa total 5 di antaranya melebihi 202,7 g. Bulatkan z ke dua desimal.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 5> 202,7 g

P =

30.Distribusi normalSulit

Data berat kantong berdistribusi normal dengan rata-rata 250 g dan simpangan baku 5 g. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 95% data (persentil ke-95).

μ = 250σ = 5P = 95%

x = g

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = 28,33 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 25·2 + 35·4

R_B = 190/6 = 31,67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 31,67 = 28,33 kN

Jawaban

R_A = 28,33 kN

2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = 30,75 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, bekerja di x̄ = 6 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 50·5 + 12·4·6

R_B = 538/8 = 67,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 98 − 67,25 = 30,75 kN

Jawaban

R_A = 30,75 kN

3.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AC = 16 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 60·1 → C_y = 12 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 12 = 48 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 3/5 = 0,6, cos γ = 4/5 = 0,8

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −12/0,6 = −20 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−20)·0,8 = 16 kN

Jawaban

F_AC = 16 kN (tarik)

4.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AB = −30,92 kN

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 60·1 + 30·4 → C_y = 30 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 30 = 30 kN

ΣF_x = 0: A_x = −30 kN

Titik buhul A

Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.

sin α = 4/4,123 = 0,9701

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −30/0,9701 = −30,92 kN

Jawaban

F_AB = −30,92 kN (tekan)

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_max = 130 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 70·1 + 80·4

R_B = 390/6 = 65 kN

ΣF_y = 0: R_A = 150 − 65 = 85 kN

Momen di bawah tiap beban

Ambil bagian di kiri tiap beban.

di bawah P₁: M = R_A·1 = 85·1 = 85 kN·m

di bawah P₂: M = R_B·2 = 65·2 = 130 kN·m

Nilai terbesar

M_max = 130 kN·m (di bawah P₂)

Jawaban

M_max = 130 kN·m

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: E (x = 8 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R₁ = 70 kN, R₂ = 65 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

M_A = 0, M_B = −70, M_C = −20, M_D = −10, M_E = −80 kN·m, M_F = −40, M_G = 0

Jawaban

Tanda E: M_E = −80 kN·m

7.Lendutan balok

Jawaban: δ = 2,876 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 1500 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Lendutan

δ = wL⁴/(8EI) = 8·1500⁴/(8·1,76 × 10¹²) = 2,876 mm

Jawaban

δ = 2,876 mm

8.Lendutan balok

Jawaban: δ_max = 5,547 mm

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 12000 N, w = 15 N/mm, L = 2000 mm, EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Setiap beban sendiri

δ_P = PL³/(48EI) = 12000·2000³/(48·9,24 × 10¹¹) = 2,165 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2000⁴/(384·9,24 × 10¹¹) = 3,382 mm

Jumlahkan

δ_max = 2,165 + 3,382 = 5,547 mm

Jawaban

δ_max = 5,547 mm

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 19,74 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·40000/2000² = 19739 N = 19,74 kN

Jawaban

P_cr = 19,74 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 73,69 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2,5·100000 = 250000 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 73,69 mm

Jawaban

d = 73,69 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 108,6, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 56,15 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 240·25 = 6000 mm², y_f = 220 + 25/2 = 232,5 mm

badan: A_w = 20·220 = 4400 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·232,5 + 4400·110)/10400 = 180,7 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 240·25³/12 + 6000·(232,5 − 180,7)² = 1,643 × 10⁷ mm⁴

badan: 20·220³/12 + 4400·(110 − 180,7)² = 3,972 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,643 × 10⁷ + 3,972 × 10⁷ = 5,615 × 10⁷ mm⁴ = 56,15 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 56,15 × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: M_allow = 5,546 kN·m

Titik berat

ȳ = (1800·225 + 2640·110)/4440 = 156,6 mm

tepi atas: c = 230 − 156,6 = 73,38 mm

Momen inersia penampang

I = 180·10³/12 + 1800·68,38² + 12·220³/12 + 2640·46,62² = 2,482 × 10⁷ mm⁴

Momen yang diizinkan tiap tepi

Momen positif: sisi atas tertekan, sisi bawah tertarik.

tepi atas: M = 100·2,482 × 10⁷/73,38 = 33,82 kN·m

tepi bawah: M = 35·2,482 × 10⁷/156,6 = 5,546 kN·m

Nilai yang menentukan

M_allow = min = 5,546 kN·m (tepi bawah)

Jawaban

M_allow = 5,546 kN·m

13.Tegangan efektif tanah

Jawaban: σ = 136,5 kPa

Tegangan efektif (Terzaghi): butiran tanah menahan σ′ = σ − u. Tegangan total σ adalah berat semua yang ada di atas titik, Σγ·h, memakai berat isi kering di atas muka air tanah dan berat isi jenuh di bawahnya. Di bawah muka air tanah tekanan air pori bersifat hidrostatis: u = γ_w·(kedalaman di bawah muka air tanah).

Tegangan total

Jumlahkan berat setiap lapisan tanah di atas X. Di atas muka air tanah gunakan berat isi kering, di bawahnya berat isi jenuh.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16,5·1 + 20·6 = 136,5 kPa

Jawaban

σ = 136,5 kPa

14.Tegangan efektif tanah

Jawaban: σ′ = 71,1 kPa

Tegangan total

Jumlahkan berat setiap lapisan tanah di atas X. Di atas muka air tanah gunakan berat isi kering, di bawahnya berat isi jenuh.

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·3,5

σ = 15,5·2 + 19,5·1 + 18,5·3,5 = 115,3 kPa

Tekanan air pori

Tekanan air bertambah dengan kedalaman di bawah muka air tanah.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4,5 = 44,15 kPa

Tegangan efektif

σ′ = σ − u = 115,3 − 44,15 = 71,1 kPa

Jawaban

σ′ = 71,1 kPa

15.Penurunan konsolidasi

Jawaban: S = 287,9 mm

Konsolidasi primer lapisan lempung setebal H, dengan tegangan efektif di tengah lapisan: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Lempung terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Lempung terkonsolidasi berlebih mengalami rekompresi sepanjang C_r sampai tekanan prakonsolidasi σ′_p dan baru mengikuti C_c setelah melewatinya. Waktu: t = T_v·H_dr²/c_v, dengan lintasan drainase H_dr sebesar H/2 bila air dapat keluar di atas dan di bawah, dan H bila hanya satu sisi yang berdrainase.

Bandingkan dengan tekanan prakonsolidasi

σ′_f = 100 + 120 = 220 kPa > 140 kPa

Penurunan

Rekompresi sampai σ′_p, kompresi murni setelahnya.

S = 0,03·6,5/(1 + 0,65)·log₁₀(140/100) + 0,35·6,5/(1 + 0,65)·log₁₀(220/140)

S = 17,27 + 270,6 = 287,9 mm

Jawaban

S = 287,9 mm

16.Penurunan konsolidasi

Jawaban: t = 50,38 tahun

Lintasan drainase

H_dr = H = 10 m

Waktu

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,403·10²/0,8 = 50,38 tahun

Jawaban

t = 50,38 tahun

17.Gaya hidrostatis

Jawaban: F = 29,43 kN

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·1,5 = 29,43 kN

Jawaban

F = 29,43 kN

18.Gaya hidrostatis

Jawaban: y_cp = 4,083 m

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·4·4 = 160,9 kN

Pusat tekanan

Tekanan bertambah dengan kedalaman, jadi resultan bekerja di bawah titik berat.

I_c = b·H³/12 = 2·2³/12 = 1,333 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4 + 1,333/(4·4) = 4,083 m

Jawaban

y_cp = 4,083 m

19.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: h_f = 12,24 m

Aliran pipa: bilangan Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ membedakan aliran laminar (Re di bawah sekitar 2000) dari aliran turbulen (di atas sekitar 4000). Gesekan sepanjang pipa menyebabkan kehilangan head Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Sambungan, katup, lubang masuk, dan lubang keluar menambah kerugian minor h_m = ΣK·V²/(2g). Di antara dua permukaan reservoir terbuka, persamaan energi memberikan Δz = h_f + h_m, termasuk kerugian keluar K = 1.

Kecepatan rata-rata

A = π·0,3²/4 = 0,07069 m²

V = Q/A = 0,2/0,07069 = 2,829 m/s

Head kecepatan

V²/(2g) = 2,829²/(2·9,81) = 0,408 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(500/0,3)·2,829²/(2·9,81) = 12,24 m

Jawaban

h_f = 12,24 m

20.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: Q = 179,3 L/s

Koefisien kerugian

f·L/D = 0,022·200/0,25 = 17,6

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 + 1,0 = 7,4

Persamaan energi

Kedua permukaan terbuka ke udara dan praktis diam, sehingga seluruh Δz hilang di dalam pipa.

17 = (17,6 + 7,4)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·17/25) = 3,653 m/s

Debit

Q = V·π·D²/4 = 3,653·0,04909 = 0,1793 m³/s = 179,3 L/s

Jawaban

Q = 179,3 L/s

21.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: Q = 2,835 m³/s

Persamaan Manning (SI): untuk aliran seragam di saluran terbuka V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 dan Q = A·V, dengan n koefisien kekasaran, S kemiringan dasar (m/m), dan R = A/P jari-jari hidrolik: luas aliran dibagi keliling basah. Hanya batas yang bersentuhan dengan air yang dihitung dalam P, bukan permukaan bebas. Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y. Trapesium dengan kemiringan sisi z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pipa bulat yang mengalir penuh atau setengah penuh memiliki R = D/4.

Geometri

A = (b + z·y)·y = (2 + 1,5·0,7)·0,7 = 2,135 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2 + 2·0,7·√(1 + 1,5²) = 4,524 m

R = A/P = 0,4719 m

Kecepatan

V = (1/0,025)·0,4719^2/3·0,003^1/2 = 1,328 m/s

Debit

Q = A·V = 2,135·1,328 = 2,835 m³/s

Jawaban

Q = 2,835 m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: S = 0,003005 m/m

Geometri

A = b·y = 2·1,8 = 3,6 m²

P = b + 2y = 2 + 2·1,8 = 5,6 m

R = A/P = 0,6429 m

Selesaikan Manning untuk S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·9,8/(3,6·0,7449) = 0,05482

S = 0,05482² = 0,003005

Jawaban

S = 0,003005

Itu penurunan 3,005 m per kilometer.

23.Pompa & daya pompa

Jawaban: η = 72,02 %

Daya pompa: daya yang diberikan kepada air adalah daya hidrolik P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Poros harus menyalurkan lebih banyak karena pompa mengalami rugi: P_shaft = P_h/η_pump, dan motor menarik P_el = P_shaft/η_motor. Head pompa H diperoleh dari persamaan energi: tinggi angkat statis + head tekanan + semua kerugian gesekan dan minor.

Daya hidrolik

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·58 = 45,52 kW

Efisiensi

η = P_h/P_shaft = 45,52/63,2 = 72,02%

Jawaban

η = 72,02%

24.Pompa & daya pompa

Jawaban: H = 24,82 m

Kecepatan

V = Q/A = 0,03/0,01767 = 1,698 m/s

V²/(2g) = 0,1469 m

Kehilangan head

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 4)·0,1469 = 3,525 m

Head tekanan

p/(ρ·g) = 150000/(1000·9,81) = 15,29 m

Head pompa

Kedua permukaan praktis diam, sehingga tidak ada suku head kecepatan.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 6 + 15,29 + 3,525 = 24,82 m

Jawaban

H = 24,82 m

25.Nilai waktu uang

Jawaban: PV = 4304 €

Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)ⁿ. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.

Suku bunga dan jumlah periode

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·5 = 60

Nilai sekarang

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1,162 = €4 304,35

Jawaban

PV = €4 304,35

26.Nilai waktu uang

Jawaban: I = 95611 €

Angsuran bulanan

i = 0,0045, N = 240

A = 150 000·0,0045/(1 − (1 + 0,0045)⁻²⁴⁰) = €1 023,38

Total bunga

I = N·A − P = 240·1023 − 150 000 = €95 610,57

Jawaban

I = €95 610,57

27.NPV & IRR

Jawaban: NPV = 100000 €

Nilai sekarang bersih: diskontokan setiap arus kas ke hari ini dengan tingkat pengembalian yang disyaratkan r, lalu jumlahkan: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Proyek dengan NPV > 0 menghasilkan lebih dari r dan menambah nilai. Tingkat pengembalian internal (IRR) adalah tingkat yang membuat NPV = 0.

Nilai arus kas

PV = 54 000/(0,12 − 0,03) = 600 000,00

NPV

NPV = 600 000,00 − 500 000 = €100 000,00

Jawaban

NPV = €100 000,00

NPV positif, jadi proyek menghasilkan lebih dari pengembalian yang disyaratkan.

28.NPV & IRR

Jawaban: r* = 8,222 %

Tingkat persilangan: tingkat diskonto saat dua proyek memiliki NPV yang sama. Tingkat ini adalah IRR dari selisih arus kasnya (B − A). Di bawahnya, proyek dengan arus kas yang lebih lambat dan lebih besar memiliki NPV lebih tinggi; di atasnya, proyek yang lain lebih unggul.

Selisih arus kas

ΔCF₀ = −40 000 − (−30 000) = −10 000

ΔCF₁ = 10 500 − 17 000 = −6 500

ΔCF₂ = 15 500 − 12 000 = 3 500

ΔCF₃ = 23 500 − 7 000 = 16 500

IRR selisih

NPV_Δ(8%) = 80,40

NPV_Δ(9%) = −276,40

r* = 8,222%

Jawaban

r* = 8,222%

Periksa: pada 8,222% kedua NPV bernilai €1 477,04.

29.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,1562

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², sehingga σ = √(σ_X² + σ_Y²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi total

μ_T = 200 g, σ_T = 1,2·√5 = 2,683 g

Standarkan

z = (202,7 − 200)/2,683 = 1,01

Peluang

P = 1 − Φ(1,01) = 0,1562

Jawaban

P = 0,1562

30.Distribusi normal

Jawaban: x = 258,2 g

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

z untuk persentil

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Kembali ke x

x = 250 + 1,645·5 = 258,22 g

Jawaban

x = 258,22 g

Ini adalah materi latihan independen. ExamProblems tidak berafiliasi dengan atau didukung oleh organisasi penyelenggara ujian ini, dan nama ujian hanya digunakan untuk menggambarkan isinya. FE exam diselenggarakan oleh NCEES, yang tidak berafiliasi dengan ExamProblems dan tidak mendukungnya.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil