Latihan ujian FE Civil: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 30 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Tegangan efektif tanah

Tegangan total: σ = Σγ_i·h_i
Tekanan air pori: u = γ_w·(z − z_w)
Tegangan efektif: σ′ = σ − u
Air: γ_w = 9,81 kN/m³

Penurunan konsolidasi

Terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Tegangan akhir: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Rasio konsolidasi berlebih: OCR = σ′_p/σ′₀
Waktu konsolidasi: t = T_v·H_dr²/c_v
Lintasan drainase: H_dr = H/2 (drainase ganda), H (drainase tunggal)
Faktor waktu: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Gaya hidrostatis

Tekanan pada kedalaman: p = ρgh
Gaya pada dinding vertikal: F = ρg·h_c·A
Pusat tekanan: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Persegi panjang: I_c = bH³/12

Gesekan pipa & kehilangan head

Bilangan Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Rezim aliran: laminar di bawah Re ≈ 2000, turbulen di atas Re ≈ 4000
Kecepatan rata-rata: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Kerugian minor: h_m = ΣK·V²/(2g)
Nilai K tipikal: masuk 0,5, keluar 1,0, belokan 90° ≈ 0,3
Penurunan tekanan: Δp = ρ·g·h_f
Dua reservoir terbuka: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Keluaran bebas: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Aliran saluran terbuka (Manning)

Persamaan Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debit: Q = A·V
Jari-jari hidrolik: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y
Trapesium (kemiringan sisi z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Pipa bulat, penuh atau setengah penuh: R = D/4
Kemiringan yang diperlukan: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Pompa & daya pompa

Daya hidrolik: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Daya poros: P_shaft = P_h/η_pump
Daya listrik: P_el = P_shaft/η_motor
Head pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Kerugian sistem: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Nilai waktu uang

Nilai masa depan: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Nilai sekarang: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Beberapa periode per tahun: i = r/m, N = m·n
Anuitas, nilai sekarang: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitas, nilai masa depan: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metode

Gambar garis waktu dengan setiap arus kas dan waktunya.
Sesuaikan suku bunga dengan periodenya: suku bunga bulanan untuk pembayaran bulanan.
Gunakan FV = PV·(1 + i)ⁿ untuk jumlah tunggal dan rumus anuitas untuk pembayaran yang sama besar.
Periksa tanda dan orde besaran jawabannya.

NPV & IRR

Nilai sekarang bersih: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Arus kas yang sama: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tingkat pengembalian internal: nilai r saat NPV = 0
Keputusan: terima jika NPV > 0 (atau IRR > tingkat pengembalian yang disyaratkan)

Metode

Daftarkan semua arus kas beserta tahunnya; investasi pada tahun 0 bernilai negatif.
Diskontokan setiap arus kas: CF_t/(1 + r)^t.
Jumlahkan semuanya untuk mendapatkan NPV. Positif berarti proyek menghasilkan lebih dari r.
Untuk IRR, cari suku bunga yang membuat NPV nol dengan coba-coba atau interpolasi.

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok sederhana (sendi di A, rol di B) menahan beban yang berubah linear, naik dari nol di A sampai 8 kN/m di B. Cari reaksi tumpuan vertikal R_B.

L = 6 mw₀ = 8 kN/m

R_B = kN

2.Reaksi tumpuan balokSulit

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal R_A.

L = 5 mP = 25 kN di 2 mw = 5 kN/m dari 3 sampai 5 m

R_A = kN

3.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 4 mtinggi = 3 mB berjarak 3 m dari Abeban vertikal = 15 kN

F_AB = kN

4.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 5 mtinggi = 2 mB berjarak 4 m dari Abeban vertikal = 40 kNbeban horizontal = 15 kN ←

F_AB = kN

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Cari gaya geser V_x pada potongan x = 2 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 10 mw = 2 kN/m dari 0 sampai 10 mx = 2 m

V_x = kN

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

50 kN @ 6 m55 kN @ 2 m12 kN/m, 0–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Lendutan balokSedang

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada a = 4 m dari tumpuan A. Cari lendutan δ_P di bawah beban.

P = 11 kNa = 4 mL = 6 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Lendutan balokSulit

Kantilever bertopang dijepit di A dan ditumpu sederhana (ditopang) di B. Balok menahan beban merata w di sepanjang batang. EI konstan. Cari reaksi R_B di topang.

L = 4 mw = 10 kN/m

R_B = kN

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Titik berat & momen inersiaSedang

Cari momen inersia I_x penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

b_f = 120 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersiaSulit

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 20 kN·m. Cari besar tegangan lentur σ_atas di tepi atas.

b_f = 200 mmt_f = 30 mmt_w = 14 mmh_w = 160 mmM = 20 kN·m

σ_atas = MPa

13.Tegangan efektif tanahSedang

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tegangan efektif vertikal σ′ di titik X.

z = 10 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 15 kN/m³pasir: γ_sat = 19,5 kN/m³

σ′ = kPa

14.Tegangan efektif tanahSulit

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tekanan air pori u di titik X.

z = 8 mz_w = 5 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 16,5 kN/m³pasir: γ_sat = 19,5 kN/m³lempung: γ_sat = 17,5 kN/m³

u = kPa

15.Penurunan konsolidasiSedang

Lapisan lempung terkonsolidasi berlebih setebal 2,5 m memiliki C_c = 0,25, C_r = 0,02, dan e₀ = 1. Di tengah kedalamannya tegangan vertikal efektifnya 50 kPa dan rasio konsolidasi berlebihnya OCR = 2,5. Sebuah bangunan baru menambah tegangan vertikal 120 kPa di tengah kedalaman. Cari penurunan konsolidasi primer S dalam mm.

H = 2,5 mC_c = 0,25C_r = 0,02e₀ = 1σ′₀ = 50 kPaOCR = 2,5Δσ = 120 kPa

S = mm

16.Penurunan konsolidasiSulit

Sebuah lapisan lempung setebal 3,5 m memiliki koefisien konsolidasi c_v = 5 m²/tahun. Lapisan berada di atas batuan kedap air, dengan pasir di atasnya, sehingga air hanya terdrainase keluar di atas. Untuk konsolidasi rata-rata 50% faktor waktunya T_v = 0,197. Berapa tahun t yang diperlukan lapisan untuk mencapai konsolidasi 50%?

H = 3,5 mc_v = 5 m²/tahunU = 50%T_v = 0,197drainase tunggal

t = tahun

17.Gaya hidrostatisSedang

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 3 m berada di dinding tangki berisi air, dengan tepi atasnya 1,5 m di bawah permukaan. Cari gaya hidrostatis resultan F pada pintu air.

d = 1,5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Gaya hidrostatisSulit

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 1,5 m berada di dinding tangki berisi gliserin, dengan tepi atasnya 2,5 m di bawah permukaan. Cari kedalaman y_cp pusat tekanan di bawah permukaan.

d = 2,5 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Gesekan pipa & kehilangan headSedang

Air mengalir dengan debit 3 L/s melalui pipa sepanjang 100 m dengan diameter dalam 50 mm. Gunakan faktor gesekan Darcy f = 0,025 dan g = 9,81 m/s². Cari kehilangan head akibat gesekan h_f.

Q = 3 L/sL = 100 mD = 50 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Gesekan pipa & kehilangan headSulit

Dua reservoir terbuka dihubungkan oleh pipa sepanjang 400 m dengan diameter dalam 250 mm dan faktor gesekan Darcy f = 0,015. Permukaan air reservoir atas berada 29 m di atas permukaan reservoir bawah. Kerugian minornya adalah lubang masuk bersudut tajam (K = 0,5), 4 belokan (masing-masing K = 0,3), sebuah katup (K = 2), dan lubang keluar ke reservoir bawah (K = 1,0). Gunakan g = 9,81 m/s². Cari debit Q dalam L/s.

Δz = 29 mL = 400 mD = 250 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Aliran saluran terbuka (Manning)Sedang

Sebuah saluran persegi panjang tanah berlapis rumput selebar 4,5 m. Air mengalir seragam sedalam 1,3 m. n Manning = 0,03 dan kemiringan dasarnya S = 0,0005. Cari debit Q dalam m³/s.

b = 4,5 my = 1,3 mn = 0,03S = 0,0005

Q = m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)Sulit

Sebuah saluran trapesium tanah berlapis rumput dengan lebar dasar 1 m dan kemiringan sisi 3:1 (horizontal:vertikal) harus mengalirkan 2,5 m³/s dalam aliran seragam pada kedalaman 1 m. n Manning = 0,03. Cari kemiringan dasar yang diperlukan S (dalam m/m).

Q = 2,5 m³/sb = 1 my = 1 mz = 3n = 0,03

S = m/m

23.Pompa & daya pompaSedang

Sebuah pompa dengan efisiensi 80% mengalirkan 15 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) melawan head 16 m. Gunakan g = 9,81 m/s². Cari daya poros P_shaft yang diperlukan, dalam kW.

Q = 15 L/sH = 16 mη = 80%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Pompa & daya pompaSulit

Sebuah pompa memindahkan 80 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) dari reservoir bawah yang terbuka ke tangki atas yang permukaan airnya 25 m lebih tinggi. Pipa sepanjang 400 m dengan diameter dalam 200 mm dan faktor gesekan Darcy f = 0,015; koefisien kerugian minornya berjumlah ΣK = 8 (termasuk lubang masuk dan keluar). Gunakan g = 9,81 m/s². Tangki atas tertutup dan udara di atas airnya bertekanan gauge 200 kPa. Cari head H yang harus ditambahkan pompa.

Q = 80 L/sΔz = 25 mL = 400 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 8p_tank = 200 kPa

H = m

25.Nilai waktu uangSedang

Anda menginvestasikan €1 000 dengan bunga 8% per tahun yang dimajemukkan secara kontinu. Tentukan nilainya FV setelah 9 tahun.

PV = €1 000r = 8%t = 9

FV = €

26.Nilai waktu uangSulit

KPR sebesar €300 000 dilunasi dengan angsuran bulanan yang sama selama 20 tahun dengan bunga 6% per tahun, dimajemukkan bulanan. Berapa utang yang masih tersisa tepat setelah pembayaran di akhir tahun ke-8? Tentukan sisa pokok utang B.

P = €300 0006% / 12N = 240k = 96

B = €

27.NPV & IRRSedang

Investasi sebesar €60 000 memberikan arus kas berikut di akhir tahun 1 sampai 4: €12 000, €19 000, €14 000, €18 000. Biaya modal 10%. Tentukan nilai sekarang bersih NPV.

r = 10%CF₀ = −60 000CF₁ = 12 000CF₂ = 19 000CF₃ = 14 000CF₄ = 18 000

NPV = €

28.NPV & IRRSulit

Proyek A berbiaya €40 000 dan menghasilkan €22 500, €16 500, €9 500 di akhir tahun 1 sampai 3. Proyek B berbiaya €45 000 dan menghasilkan €15 500, €17 000, €24 000. Tentukan tingkat persilangan r* saat kedua proyek memiliki NPV yang sama, dalam persen.

A: −40 000, 22 500, 16 500, 9 500B: −45 000, 15 500, 17 000, 24 000

r* = %

29.Distribusi normalSedang

Data umur pakai baterai berdistribusi normal dengan rata-rata 500 h dan simpangan baku 40 h. Berapa proporsi yang berada di antara 488 dan 540 h? Nyatakan P dalam bentuk desimal.

μ = 500σ = 40x₁ = 488x₂ = 540

P =

30.Distribusi normalSulit

Massa X produk dari lini 1 dan Y dari lini 2 saling bebas dan normal: X memiliki rata-rata 500 g dan simpangan baku 8 g, Y memiliki rata-rata 490 g dan simpangan baku 6 g. Cari peluang P bahwa X lebih besar dari Y. Bulatkan z ke dua desimal.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_B = 16 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Resultan beban segitiga

W = ½·8·6 = 24 kN

x̄ = 2L/3 = 4 m

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 24·4

R_B = 16 kN

R_A = 24 − 16 = 8 kN

Jawaban

R_B = 16 kN

2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = 17 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 5·2 = 10 kN, bekerja di x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 25·2 + 5·2·4

R_B = 90/5 = 18 kN

ΣF_y = 0: R_A = 35 − 18 = 17 kN

Jawaban

R_A = 17 kN

3.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AB = −5,303 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 15·3 → C_y = 11,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 11,25 = 3,75 kN

Titik buhul A

Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.

sin α = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −3,75/0,7071 = −5,303 kN

Jawaban

F_AB = −5,303 kN (tekan)

4.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AB = −31,3 kN

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 40·4 − 15·2 → C_y = 26 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 26 = 14 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

Titik buhul A

Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.

sin α = 2/4,472 = 0,4472

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −14/0,4472 = −31,3 kN

Jawaban

F_AB = −31,3 kN (tekan)

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: V_x = 6 kN

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, bekerja di x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 2·10·5

R_B = 100/10 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 10 = 10 kN

Potong di x = 2 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

V = R_A − (semua beban ke bawah di kiri potongan)

V_x = 10 − 2·2 = 6 kN

Jawaban

V_x = 6 kN

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: C (x = 2 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R₁ = 53 kN, R₂ = 112 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

M_A = 0, M_B = 47, M_C = 82 kN·m, M_D = 50, M_E = 6, M_F = −50, M_G = 0

Jawaban

Tanda C: M_C = 82 kN·m

7.Lendutan balok

Jawaban: δ_P = 22,22 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 11000 N, a = 4000 mm, b = 2000 mm, L = 6000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Lendutan di bawah beban

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 11000·4000²·2000²/(3·1,76 × 10¹²·6000) = 22,22 mm

Jawaban

δ_P = 22,22 mm

8.Lendutan balok

Jawaban: R_B = 15 kN

Lepaskan topang

Tanpa topang, balok adalah kantilever. Ujung bebasnya akan melendut akibat beban.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Kompatibilitas di topang

Gaya topang R_B sendiri mengangkat ujung bebas sebesar R_BL³/(3EI). Topang menahan B pada lendutan nol, jadi keduanya harus saling meniadakan. EI saling menghapus.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·10·4/8 = 15 kN

Jawaban

R_B = 15 kN

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 3,052 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·3000 = 3000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/3000² = 3052 N = 3,052 kN

Jawaban

P_cr = 3,052 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 26,99 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/12,5 = 160

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/160² = 26,99 MPa

Jawaban

σ_cr = 26,99 MPa

11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 5,407 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 120·15 = 1800 mm², y_f = 120 + 15/2 = 127,5 mm

badan: A_w = 12·120 = 1440 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·127,5 + 1440·60)/3240 = 97,5 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 120·15³/12 + 1800·(127,5 − 97,5)² = 1,654 × 10⁶ mm⁴

badan: 12·120³/12 + 1440·(60 − 97,5)² = 3,753 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,654 × 10⁶ + 3,753 × 10⁶ = 5,407 × 10⁶ mm⁴ = 5,407 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 5,407 × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σ_atas = 40,93 MPa

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 200·30 = 6000 mm², y_f = 160 + 30/2 = 175 mm

badan: A_w = 14·160 = 2240 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·175 + 2240·80)/8240 = 149,2 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 200·30³/12 + 6000·(175 − 149,2)² = 4,452 × 10⁶ mm⁴

badan: 14·160³/12 + 2240·(80 − 149,2)² = 1,55 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,452 × 10⁶ + 1,55 × 10⁷ = 1,995 × 10⁷ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi atas berjarak h − ȳ dari sumbu.

y = 190 − 149,2 = 40,83 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·40,83/1,995 × 10⁷ = 40,93 MPa

Jawaban

σ_atas = 40,93 MPa

13.Tegangan efektif tanah

Jawaban: σ′ = 118,1 kPa

Tegangan efektif (Terzaghi): butiran tanah menahan σ′ = σ − u. Tegangan total σ adalah berat semua yang ada di atas titik, Σγ·h, memakai berat isi kering di atas muka air tanah dan berat isi jenuh di bawahnya. Di bawah muka air tanah tekanan air pori bersifat hidrostatis: u = γ_w·(kedalaman di bawah muka air tanah).

Tegangan total

Jumlahkan berat setiap lapisan tanah di atas X. Di atas muka air tanah gunakan berat isi kering, di bawahnya berat isi jenuh.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15·4 + 19,5·6 = 177 kPa

Tekanan air pori

Tekanan air bertambah dengan kedalaman di bawah muka air tanah.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·6 = 58,86 kPa

Tegangan efektif

σ′ = σ − u = 177 − 58,86 = 118,1 kPa

Jawaban

σ′ = 118,1 kPa

14.Tegangan efektif tanah

Jawaban: u = 29,43 kPa

Tekanan air pori

Tekanan air bertambah dengan kedalaman di bawah muka air tanah.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·3 = 29,43 kPa

Jawaban

u = 29,43 kPa

15.Penurunan konsolidasi

Jawaban: S = 51,68 mm

Konsolidasi primer lapisan lempung setebal H, dengan tegangan efektif di tengah lapisan: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Lempung terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Lempung terkonsolidasi berlebih mengalami rekompresi sepanjang C_r sampai tekanan prakonsolidasi σ′_p dan baru mengikuti C_c setelah melewatinya. Waktu: t = T_v·H_dr²/c_v, dengan lintasan drainase H_dr sebesar H/2 bila air dapat keluar di atas dan di bawah, dan H bila hanya satu sisi yang berdrainase.

Tekanan prakonsolidasi

σ′_p = OCR·σ′₀ = 2,5·50 = 125 kPa

Bandingkan dengan tekanan prakonsolidasi

σ′_f = 50 + 120 = 170 kPa > 125 kPa

Penurunan

Rekompresi sampai σ′_p, kompresi murni setelahnya.

S = 0,02·2,5/(1 + 1)·log₁₀(125/50) + 0,25·2,5/(1 + 1)·log₁₀(170/125)

S = 9,949 + 41,73 = 51,68 mm

Jawaban

S = 51,68 mm

16.Penurunan konsolidasi

Jawaban: t = 0,4827 tahun

Lintasan drainase

H_dr = H = 3,5 m

Waktu

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,197·3,5²/5 = 0,4827 tahun

Jawaban

t = 0,4827 tahun

17.Gaya hidrostatis

Jawaban: F = 58,86 kN

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·3 = 58,86 kN

Jawaban

F = 58,86 kN

18.Gaya hidrostatis

Jawaban: y_cp = 3,308 m

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·3,25·2,25 = 90,39 kN

Pusat tekanan

Tekanan bertambah dengan kedalaman, jadi resultan bekerja di bawah titik berat.

I_c = b·H³/12 = 1,5·1,5³/12 = 0,4219 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,25 + 0,4219/(3,25·2,25) = 3,308 m

Jawaban

y_cp = 3,308 m

19.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: h_f = 5,949 m

Aliran pipa: bilangan Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ membedakan aliran laminar (Re di bawah sekitar 2000) dari aliran turbulen (di atas sekitar 4000). Gesekan sepanjang pipa menyebabkan kehilangan head Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Sambungan, katup, lubang masuk, dan lubang keluar menambah kerugian minor h_m = ΣK·V²/(2g). Di antara dua permukaan reservoir terbuka, persamaan energi memberikan Δz = h_f + h_m, termasuk kerugian keluar K = 1.

Kecepatan rata-rata

A = π·0,05²/4 = 0,001963 m²

V = Q/A = 0,003/0,001963 = 1,528 m/s

Head kecepatan

V²/(2g) = 1,528²/(2·9,81) = 0,119 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(100/0,05)·1,528²/(2·9,81) = 5,949 m

Jawaban

h_f = 5,949 m

20.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: Q = 218,6 L/s

Koefisien kerugian

f·L/D = 0,015·400/0,25 = 24

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7

Persamaan energi

Kedua permukaan terbuka ke udara dan praktis diam, sehingga seluruh Δz hilang di dalam pipa.

29 = (24 + 4,7)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·29/28,7) = 4,453 m/s

Debit

Q = V·π·D²/4 = 4,453·0,04909 = 0,2186 m³/s = 218,6 L/s

Jawaban

Q = 218,6 L/s

21.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: Q = 3,832 m³/s

Persamaan Manning (SI): untuk aliran seragam di saluran terbuka V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 dan Q = A·V, dengan n koefisien kekasaran, S kemiringan dasar (m/m), dan R = A/P jari-jari hidrolik: luas aliran dibagi keliling basah. Hanya batas yang bersentuhan dengan air yang dihitung dalam P, bukan permukaan bebas. Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y. Trapesium dengan kemiringan sisi z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pipa bulat yang mengalir penuh atau setengah penuh memiliki R = D/4.

Geometri

A = b·y = 4,5·1,3 = 5,85 m²

P = b + 2y = 4,5 + 2·1,3 = 7,1 m

R = A/P = 0,8239 m

Kecepatan

V = (1/0,03)·0,8239^2/3·0,0005^1/2 = 0,6551 m/s

Debit

Q = A·V = 5,85·0,6551 = 3,832 m³/s

Jawaban

Q = 3,832 m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: S = 0,0007876 m/m

Geometri

A = (b + z·y)·y = (1 + 3·1)·1 = 4 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·1·√(1 + 3²) = 7,325 m

R = A/P = 0,5461 m

Selesaikan Manning untuk S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,03·2,5/(4·0,6681) = 0,02806

S = 0,02806² = 0,0007876

Jawaban

S = 0,0007876

Itu penurunan 0,7876 m per kilometer.

23.Pompa & daya pompa

Jawaban: P_shaft = 2,943 kW

Daya pompa: daya yang diberikan kepada air adalah daya hidrolik P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Poros harus menyalurkan lebih banyak karena pompa mengalami rugi: P_shaft = P_h/η_pump, dan motor menarik P_el = P_shaft/η_motor. Head pompa H diperoleh dari persamaan energi: tinggi angkat statis + head tekanan + semua kerugian gesekan dan minor.

Daya hidrolik

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·16 = 2,354 kW

Daya poros

P_shaft = P_h/η = 2,354/0,8 = 2,943 kW

Jawaban

P_shaft = 2,943 kW

24.Pompa & daya pompa

Jawaban: H = 57,95 m

Kecepatan

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Kehilangan head

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 8)·0,3305 = 12,56 m

Head tekanan

p/(ρ·g) = 200000/(1000·9,81) = 20,39 m

Head pompa

Kedua permukaan praktis diam, sehingga tidak ada suku head kecepatan.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 25 + 20,39 + 12,56 = 57,95 m

Jawaban

H = 57,95 m

25.Nilai waktu uang

Jawaban: FV = 2054 €

Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)ⁿ. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.

Eksponen

r·t = 0,08·9 = 0,72

e^0,72 = 2,054

Nilai masa depan

FV = 1 000·2,054 = €2 054,43

Jawaban

FV = €2 054,43

26.Nilai waktu uang

Jawaban: B = 220248 €

Angsuran bulanan

i = 0,005, N = 240

A = 300 000·0,005/(1 − (1 + 0,005)⁻²⁴⁰) = €2 149,29

Nilai sekarang sisa angsuran

Apa pun yang masih terutang harus tepat dilunasi oleh sisa angsuran.

N − k = 240 − 96 = 144

B = 2149·(1 − (1 + 0,005)⁻¹⁴⁴)/0,005 = €220 248,27

Jawaban

B = €220 248,27

27.NPV & IRR

Jawaban: NPV = −10576 €

Nilai sekarang bersih: diskontokan setiap arus kas ke hari ini dengan tingkat pengembalian yang disyaratkan r, lalu jumlahkan: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Proyek dengan NPV > 0 menghasilkan lebih dari r dan menambah nilai. Tingkat pengembalian internal (IRR) adalah tingkat yang membuat NPV = 0.

Nilai sekarang setiap arus kas

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 12 000/1,1 = 10 909,09

CF₂/(1 + 0,1)² = 19 000/1,21 = 15 702,48

CF₃/(1 + 0,1)³ = 14 000/1,331 = 10 518,41

CF₄/(1 + 0,1)⁴ = 18 000/1,464 = 12 294,24

Jumlahkan

NPV = €−10 575,78

Jawaban

NPV = €−10 575,78

NPV negatif, jadi proyek menghasilkan kurang dari pengembalian yang disyaratkan.

28.NPV & IRR

Jawaban: r* = 9,773 %

Tingkat persilangan: tingkat diskonto saat dua proyek memiliki NPV yang sama. Tingkat ini adalah IRR dari selisih arus kasnya (B − A). Di bawahnya, proyek dengan arus kas yang lebih lambat dan lebih besar memiliki NPV lebih tinggi; di atasnya, proyek yang lain lebih unggul.

Selisih arus kas

ΔCF₀ = −45 000 − (−40 000) = −5 000

ΔCF₁ = 15 500 − 22 500 = −7 000

ΔCF₂ = 17 000 − 16 500 = 500

ΔCF₃ = 24 000 − 9 500 = 14 500

IRR selisih

NPV_Δ(9%) = 195,48

NPV_Δ(10%) = −56,35

r* = 9,773%

Jawaban

r* = 9,773%

Periksa: pada 9,773% kedua NPV bernilai €1 371,71.

29.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,4593

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

Skor z

z₁ = (488 − 500)/40 = −0,3

z₂ = (540 − 500)/40 = 1

Luas di antara

P = Φ(1) − Φ(−0,3) = 0,8413 − 0,3821 = 0,4593

Jawaban

P = 0,4593

30.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,8413

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², sehingga σ = √(σ_X² + σ_Y²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi selisih

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Standarkan

z = (0 − 10)/10 = −1

Peluang

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Jawaban

P = 0,8413

Ini adalah materi latihan independen. ExamProblems tidak berafiliasi dengan atau didukung oleh organisasi penyelenggara ujian ini, dan nama ujian hanya digunakan untuk menggambarkan isinya. FE exam diselenggarakan oleh NCEES, yang tidak berafiliasi dengan ExamProblems dan tidak mendukungnya.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil