Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Puli 160 mm pada 2880 rpm menggerakkan puli 300 mm dengan sabuk yang slipnya 2,5 %. Cari kecepatan n₂ puli yang digerakkan.

n₁ = 2880 rpmd₁ = 160 mmd₂ = 300 mms = 2,5 %

n₂ = rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Dalam set roda gigi planet, roda gigi matahari memiliki 20 gigi dan setiap roda gigi planet 12 gigi. Pembawa planet ditahan diam dan matahari digerakkan pada 1200 rpm. Cari kecepatan n_r roda gigi cincin (besarnya).

N_s = 20N_p = 12n_s = 1200 rpm

n_r = rpm

3.Torsi porosSedang

Dalam uji torsi, spesimen pejal berdiameter 10 mm dipuntir oleh torsi 50 N·m. Kedua ujung panjang ukur 250 mm berputar 9,12° relatif satu sama lain (bahan masih elastis). Cari modulus geser G bahan.

T = 50 N·md = 10 mmL = 250 mmφ = 9,12°

G = GPa

4.Torsi porosSulit

Poros berongga harus meneruskan 5 kW pada 1450 rpm. Diameter dalamnya ditetapkan 0,8 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 80 MPa. Cari diameter luar terkecil d_o.

P = 5 kWN = 1450 rpmd_i/d_o = 0,8τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −30 MPa, σᵧ = −30 MPa, dan τₓᵧ = 50 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τ_max.

σ_x = −30 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 50 MPa

τ_max = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 60 MPa, σᵧ = −20 MPa, dan τₓᵧ = 40 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σ_θ pada bidang yang normalnya diputar 45° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σ_x = 60 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 45°

σ_θ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 40 mm, panjang 300 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari perunggu (diameter 40 mm, panjang 200 mm, E = 110 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,3 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPasegmen 2: perunggu, Ø40 mm, 200 mm, E = 110 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah segmen baja (diameter 40 mm, panjang 600 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari tembaga (diameter 60 mm, panjang 300 mm, E = 120 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 30 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ₂ pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPasegmen 2: tembaga, Ø60 mm, 300 mm, E = 120 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (baja)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Kolom harus menahan 40 kN dengan faktor keamanan 2,5 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 40 kNn = 2,5L = 3 mE = 200 GPa (baja)

d = mm

11.Getaran mekanisSedang

Massa 20 kg ditopang oleh pegas dengan kekakuan 25 kN/m dan peredam viskos dengan koefisien redaman 280 N·s/m. Cari rasio redaman ζ.

m = 20 kgk = 25 kN/mc = 280 N·s/m

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 100 kg tergantung pada pegas k₃ = 20 kN/m. Ujung atas k₃ terpasang pada batang kaku yang tergantung pada dua pegas berdampingan, k₁ = 30 kN/m dan k₂ = 40 kN/m; batang tetap datar. Abaikan redaman serta massa pegas dan batang. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 100 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 40 kN/mk₃ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n₂ = 1498 rpm

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Kecepatan tanpa slip

2880·160/300 = 1536 rpm

Dengan slip

n₂ = 1536·0,975 = 1498 rpm

Jawaban

n₂ = 1498 rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n_r = 545,5 rpm

Set roda gigi planet: kecepatan matahari, cincin, dan pembawa dihubungkan oleh persamaan Willis (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: dilihat dari pembawa, set ini adalah rangkaian roda gigi biasa dengan planet sebagai roda perantara. Menahan satu anggota diam mengubah set menjadi reduktor dengan satu rasio.

Jumlah gigi roda gigi cincin

N_r = N_s + 2·N_p = 20 + 2·12 = 44

Persamaan Willis dengan pembawa diam

Dengan n_c = 0, matahari menggerakkan cincin melalui planet, yang bertindak sebagai roda perantara.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −1200·20/44 = −545,5 rpm

|n_r| = 545,5 rpm

Jawaban

n_r = 545,5 rpm

Cincin berputar berlawanan arah dengan matahari.

3.Torsi poros

Jawaban: G = 79,99 GPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar dan sudut

J = π·10⁴/32 = 981,7 mm⁴

φ = 9,12·π/180 = 0,1592 rad

Modulus geser

T = 50 N·m = 50000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 50000·250/(981,7·0,1592) = 79990 MPa

G = 79,99 GPa

Jawaban

G = 79,99 GPa

Bandingkan: baja ≈ 80 GPa, kuningan ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsi poros

Jawaban: d_o = 15,26 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 5000/151,8 = 32,93 N·m

Diameter luar dari tegangan izin

T = 32,93 N·m = 32929 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·32929/(π·80·0,5904)) = 15,26 mm

d_i = 0,8·15,26 = 12,2 mm

Jawaban

d_o = 15,26 mm

Poros pejal memerlukan d = 12,8 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_max = 50 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari lingkaran Mohr

τ_max = R = √(((−30 − −30)/2)² + 50²) = 50 MPa

Jawaban

τ_max = 50 MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_θ = 60 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 20 + 40·0 + 40·1 = 60 MPa

Jawaban

σ_θ = 60 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 113,6 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1257 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·1257) = 1,194 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(110000·1257) = 1,447 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,3/2,641 × 10⁻⁶ = 113614 N = 113,6 kN

Jawaban

P = 113,6 kN

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ₂ = 7,743 MPa

Kekakuan

k₁ = 200000·1257/600 = 418879 N/mm

k₂ = 120000·2827/300 = 1,131 × 10⁶ N/mm

Bagian segmen 2

F₂ = 30000·1,131 × 10⁶/1,55 × 10⁶ = 21892 N

Tegangan

σ₂ = 21892/2827 = 7,743 MPa (tekan)

Jawaban

σ₂ = 7,743 MPa

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 110,2 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·6000 = 6000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/6000² = 110245 N = 110,2 kN

Jawaban

P_cr = 110,2 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 46,19 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2,5·40000 = 100000 N

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·100000·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 46,19 mm

Jawaban

d = 46,19 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 181,9, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,198

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman kritis

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(25000·20) = 1414 N·s/m

Rasio redaman

ζ = c/c_c = 280/1414 = 0,198

Jawaban

ζ = 0,198

ζ < 1, sehingga sistem kurang teredam dan berosilasi sambil meluruh.

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 1,985 Hz

Kekakuan ekivalen

Hanya k₁ dan k₂ yang paralel. Pasangan itu seri dengan k₃, jadi gabungkan sebagai kebalikan.

k₁₂ = 30 + 40 = 70 kN/m

k_eq = 70·20/(70 + 20) = 15,56 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(15556/100) = 12,47 rad/s

f_n = 12,47/(2π) = 1,985 Hz

Jawaban

f_n = 1,985 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design