Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah motor 3 kW pada 1450 rpm menggerakkan cacing dengan 2 ulir. Roda cacing memiliki 80 gigi dan efisiensi penggeraknya 50%. Cari torsi keluaran T_w pada poros roda cacing.

z = 2N_w = 80n = 1450 rpmP = 3 kWη = 50%

T_w = N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (25 gigi) pada poros masukan berputar pada 1440 rpm dan menggerakkan roda gigi B (48 gigi). Roda gigi C (32 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D pada poros keluaran. Keluaran harus berputar pada 480 rpm. Berapa jumlah gigi N_D yang harus dimiliki roda gigi D?

n_in = 1440 rpmA = 25B = 48C = 32n_out = 480 rpm

N_D =

3.Torsi porosSedang

Dalam uji torsi, spesimen pejal berdiameter 10 mm dipuntir oleh torsi 20 N·m. Kedua ujung panjang ukur 200 mm berputar 5,99° relatif satu sama lain (bahan masih elastis). Cari modulus geser G bahan.

T = 20 N·md = 10 mmL = 200 mmφ = 5,99°

G = GPa

4.Torsi porosSulit

Poros kuningan pejal meneruskan 5 kW pada 1500 rpm. Tegangan geser tidak boleh melebihi 75 MPa dan puntiran tidak boleh melebihi 1° per m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua batas.

P = 5 kWN = 1500 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 1°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = 10 MPa dan σᵧ = 40 MPa. Seberapa besar tegangan geser τ_xy (besarnya) dapat meningkat sebelum tegangan utama terbesar mencapai 95 MPa?

σ_x = 10 MPaσ_y = 40 MPaσ₁ = 95 MPa

τ_xy = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −50 MPa, σᵧ = −10 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser τ_θ pada bidang yang normalnya diputar 35° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x (positif dengan arah yang sama seperti τₓᵧ).

σ_x = −50 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 35°

τ_θ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari pertambahan panjang δ batang aluminium akibat beban aksial.

P = 60 kNd = 10 mmL = 1 mE = 70 GPa

δ = mm

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah segmen baja (diameter 20 mm, panjang 600 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari tembaga (diameter 60 mm, panjang 400 mm, E = 120 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 30 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ₂ pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPasegmen 2: tembaga, Ø60 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (baja)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 6 mE = 200 GPa (baja)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanisSedang

Massa 20 kg pada pegas dengan kekakuan 10 kN/m memiliki peredam viskos yang memberikan rasio redaman 0,45. Cari frekuensi alami teredam f_d getaran bebasnya dalam Hz.

m = 20 kgk = 10 kN/mζ = 0,45

f_d = Hz

12.Getaran mekanisSulit

Massa 10 kg tergantung pada dua pegas yang disambung ujung ke ujung (seri): pegas atas memiliki k₁ = 40 kN/m dan pegas bawah k₂ = 60 kN/m. Cari kekakuan ekivalen k_eq sistem pegas dalam kN/m.

m = 10 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 60 kN/m

k_eq = kN/m

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T_w = 395,1 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Kecepatan roda

n_w = n·z/N_w = 1450·2/80 = 36,25 rpm

Torsi keluaran

ω_w = 2π·36,25/60 = 3,796 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,5·3000/3,796 = 395,1 N·m

Jawaban

T_w = 395,1 N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: N_D = 50

Kecepatan poros antara

n_B = n_C = 1440·25/48 = 750 rpm

Jumlah gigi roda gigi D

N_D = C·n_C/n_out = 32·750/480 = 50

Jawaban

N_D = 50

3.Torsi poros

Jawaban: G = 38,97 GPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar dan sudut

J = π·10⁴/32 = 981,7 mm⁴

φ = 5,99·π/180 = 0,1045 rad

Modulus geser

T = 20 N·m = 20000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 20000·200/(981,7·0,1045) = 38972 MPa

G = 38,97 GPa

Jawaban

G = 38,97 GPa

Bandingkan: baja ≈ 80 GPa, kuningan ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsi poros

Jawaban: d = 26,27 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 5000/157,1 = 31,83 N·m

Diameter berdasarkan kekuatan

T = 31,83 N·m = 31831 N·mm

d_τ = ∛(16·31831/(π·75)) = 12,93 mm

Diameter berdasarkan kekakuan

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·31831/(π·39000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 26,27 mm

Diameter yang menentukan

Kedua batas harus terpenuhi, jadi diameter yang lebih besar yang menentukan.

d = max(12,93, 26,27) = 26,27 mm

Jawaban

d = 26,27 mm

Di sini kekakuan yang menentukan.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_xy = 68,37 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari yang diperlukan

C = (10 + 40)/2 = 25 MPa

R = σ₁ − C = 95 − 25 = 70 MPa

Tegangan geser

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(70² − 15²) = 68,37 MPa

Jawaban

τ_xy = 68,37 MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_θ = 29,05 MPa

Persamaan transformasi

τ_θ = −−20·0,9397 + 30·0,342 = 29,05 MPa

Jawaban

τ_θ = 29,05 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 10,91 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 60·1000/78,54 = 763,9 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 763,9/70000 = 0,01091 = 10913 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,01091·1000 mm = 10,91 mm

Jawaban

δ = 10,91 mm

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ₂ = 9,444 MPa

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·314,2/600 = 104720 N/mm

k₂ = 120000·2827/400 = 848230 N/mm

Bagian segmen 2

F₂ = 30000·848230/952950 = 26703 N

Tegangan

σ₂ = 26703/2827 = 9,444 MPa (tekan)

Jawaban

σ₂ = 9,444 MPa

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 9,87 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·6000 = 6000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/6000² = 9870 N = 9,87 kN

Jawaban

P_cr = 9,87 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 6,294 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

KL/r = 4200/7,5 = 560

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/560² = 6,294 MPa

Jawaban

σ_cr = 6,294 MPa

11.Getaran mekanis

Jawaban: f_d = 3,178 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi alami tak teredam

ω_n = √(10000/20) = 22,36 rad/s

f_n = 22,36/(2π) = 3,559 Hz

Frekuensi alami teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3,559·√(1 − 0,45²) = 3,178 Hz

Jawaban

f_d = 3,178 Hz

12.Getaran mekanis

Jawaban: k_eq = 24 kN/m

Kekakuan ekivalen

Pegas seri menerima gaya yang sama dan defleksinya dijumlahkan, sehingga digabung sebagai kebalikan: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/40 + 1/60 → k_eq = 40·60/(40 + 60) = 24 kN/m

Jawaban

k_eq = 24 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design