Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah motor 11 kW yang berputar pada 1450 rpm menggerakkan pinion dengan 15 gigi, yang berpasangan dengan roda gigi 50 gigi. Pasangan roda gigi memiliki efisiensi 95%. Cari torsi keluaran T₂ pada poros roda gigi.

P = 11 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 15N₂ = 50η = 95%

T₂ = N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (36 gigi) pada poros masukan berputar pada 1440 rpm dan menggerakkan roda gigi B (72 gigi). Roda gigi C (20 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D pada poros keluaran. Keluaran harus berputar pada 450 rpm. Berapa jumlah gigi N_D yang harus dimiliki roda gigi D?

n_in = 1440 rpmA = 36B = 72C = 20n_out = 450 rpm

N_D =

3.Torsi porosSedang

Dalam uji torsi, spesimen pejal berdiameter 15 mm dipuntir oleh torsi 20 N·m. Kedua ujung panjang ukur 200 mm berputar 1,77° relatif satu sama lain (bahan masih elastis). Cari modulus geser G bahan.

T = 20 N·md = 15 mmL = 200 mmφ = 1,77°

G = GPa

4.Torsi porosSulit

Poros kuningan pejal berdiameter 25 mm dijepit di A. Torsi 100 N·m bekerja di B, 2,5 m dari A, dan torsi 250 N·m dengan arah berlawanan bekerja di ujung bebas C, 0,5 m lebih jauh. Cari tegangan geser maksimum τ_max pada poros.

d = 25 mmT_B = 100 N·mT_C = 250 N·mAB = 2,5 mBC = 0,5 m

τ_max = MPa

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 110 MPa, σᵧ = −20 MPa, dan τₓᵧ = 40 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_p dari sumbu x ke arah tegangan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = 110 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_p = °

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 90 MPa, σᵧ = 80 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σ_θ pada bidang yang normalnya diputar 40° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σ_x = 90 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari regangan aksial ε pada batang aluminium, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 110 kNd = 25 mmL = 2,5 mE = 70 GPa

ε = µε

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah segmen baja (diameter 25 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari kuningan (diameter 50 mm, panjang 500 mm, E = 100 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 40 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ₂ pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuningan, Ø50 mm, 500 mm, E = 100 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 20 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Kolom harus menahan 35 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 35 kNn = 2L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Getaran mekanisSedang

Massa 80 kg pada pegas dengan kekakuan 150 kN/m memiliki peredam viskos yang memberikan rasio redaman 0,4. Cari frekuensi alami teredam f_d getaran bebasnya dalam Hz.

m = 80 kgk = 150 kN/mζ = 0,4

f_d = Hz

12.Getaran mekanisSulit

Massa 40 kg tergantung pada pegas k₃ = 25 kN/m. Ujung atas k₃ terpasang pada batang kaku yang tergantung pada dua pegas berdampingan, k₁ = 25 kN/m dan k₂ = 30 kN/m; batang tetap datar. Abaikan redaman serta massa pegas dan batang. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 40 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 30 kN/mk₃ = 25 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T₂ = 229,4 N·m

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Torsi motor

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 11000/151,8 = 72,44 N·m

Torsi keluaran

T₂ = 72,44·50/15·0,95 = 229,4 N·m

Jawaban

T₂ = 229,4 N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: N_D = 32

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Kecepatan poros antara

n_B = n_C = 1440·36/72 = 720 rpm

Jumlah gigi roda gigi D

N_D = C·n_C/n_out = 20·720/450 = 32

Jawaban

N_D = 32

3.Torsi poros

Jawaban: G = 26,05 GPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar dan sudut

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 1,77·π/180 = 0,03089 rad

Modulus geser

T = 20 N·m = 20000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 20000·200/(4970·0,03089) = 26052 MPa

G = 26,05 GPa

Jawaban

G = 26,05 GPa

Bandingkan: baja ≈ 80 GPa, kuningan ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsi poros

Jawaban: τ_max = 81,49 MPa

Torsi dalam

Arah T_C diambil sebagai positif.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C − T_B = 250 − 100 = 150 N·m

Tegangan geser maksimum

Segmen dengan torsi dalam terbesar memiliki tegangan terbesar (diameter sama).

|T|_max = 250 N·m

τ_max = 16·250000/(π·25³) = 81,49 MPa

Jawaban

τ_max = 81,49 MPa

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_p = 15,8 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Sudut pada lingkaran

Titik x terletak pada sudut 2θp dari sumbu σ pada lingkaran Mohr; kuadrannya ditentukan oleh tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·40, 110 − −20) = 31,61°

Sudut pada elemen

θ_p = 15,8°

Jawaban

θ_p = 15,8°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_θ = 115,4 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 85 + 5·0,1736 + 30·0,9848 = 115,4 MPa

Jawaban

σ_θ = 115,4 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 3201 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 110·1000/490,9 = 224,1 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 224,1/70000 = 0,003201 = 3201 µε

Jawaban

ε = 3201 µε

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ₂ = 12,54 MPa

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·490,9/400 = 245437 N/mm

k₂ = 100000·1963/500 = 392699 N/mm

Bagian segmen 2

F₂ = 40000·392699/638136 = 24615 N

Tegangan

σ₂ = 24615/1963 = 12,54 MPa (tekan)

Jawaban

σ₂ = 12,54 MPa

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 9,646 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/750² = 9646 N = 9,646 kN

Jawaban

P_cr = 9,646 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 50,14 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·35000 = 70000 N

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·70000·1750²/(π³·70000))^(1/4) = 50,14 mm

Jawaban

d = 50,14 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 139,6, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: f_d = 6,316 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi alami tak teredam

ω_n = √(150000/80) = 43,3 rad/s

f_n = 43,3/(2π) = 6,892 Hz

Frekuensi alami teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 6,892·√(1 − 0,4²) = 6,316 Hz

Jawaban

f_d = 6,316 Hz

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 3,299 Hz

Kekakuan ekivalen

Hanya k₁ dan k₂ yang paralel. Pasangan itu seri dengan k₃, jadi gabungkan sebagai kebalikan.

k₁₂ = 25 + 30 = 55 kN/m

k_eq = 55·25/(55 + 25) = 17,19 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(17188/40) = 20,73 rad/s

f_n = 20,73/(2π) = 3,299 Hz

Jawaban

f_n = 3,299 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design