Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah sabuk berjalan pada puli penggerak 150 mm pada 2880 rpm. Tegangannya 400 N pada sisi tarik dan 160 N pada sisi kendor. Cari daya P yang ditransmisikan, dalam kW.

d₁ = 150 mmn₁ = 2880 rpmT₁ = 400 NT₂ = 160 N

P = kW

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Sebuah sabuk terbuka menghubungkan puli penggerak 150 mm pada 1500 rpm ke puli 200 mm; jarak sumbunya 600 mm. Koefisien gesekan adalah 0,25 dan tegangan sisi tarik tidak boleh melebihi 800 N. Cari daya terbesar P yang dapat ditransmisikan sabuk tanpa slip, dalam kW (abaikan efek sentrifugal).

d₁ = 150 mmn₁ = 1500 rpmd₂ = 200 mmC = 600 mmμ = 0,25T₁ = 800 N

P = kW

3.Torsi porosSedang

Poros kuningan pejal bertingkat dijepit di A. Segmen AB berdiameter 75 mm dan panjang 3 m; segmen BC berdiameter 30 mm dan panjang 0,8 m. Torsi 500 N·m bekerja di ujung bebas C. Cari tegangan geser maksimum τ_max pada poros.

T = 500 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 3 md₂ = 30 mm, L₂ = 0,8 m

τ_max = MPa

4.Torsi porosSulit

Poros kuningan pejal berdiameter 40 mm dijepit di A. Torsi 750 N·m bekerja di B, 2,5 m dari A, dan torsi 250 N·m dengan arah yang sama bekerja di ujung bebas C, 0,8 m lebih jauh. Cari tegangan geser maksimum τ_max pada poros.

d = 40 mmT_B = 750 N·mT_C = 250 N·mAB = 2,5 mBC = 0,8 m

τ_max = MPa

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = 140 MPa, σᵧ = −20 MPa, dan τₓᵧ = 20 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_s, antara −90° dan 90°, dari sumbu x ke normal bidang tempat tegangan geser mencapai nilai positif maksimumnya +R (geser positif searah dengan τₓᵧ).

σ_x = 140 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_s = °

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Poros pejal berdiameter 20 mm menahan gaya tarik aksial sebesar 110 kN bersama torsi 400 N·m. Di permukaan poros, cari tegangan utama terbesar σ₁.

d = 20 mmF = 110 kNT = 400 N·m

σ₁ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang baja (diameter 40 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari aluminium (diameter luar 100 mm, diameter dalam 70 mm, E = 70 GPa). Keduanya panjangnya 300 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 150 kN. Cari pemendekan δ.

P = 150 kNbatang: Ø40 mm, E = 200 GPatabung: Ø100/Ø70 mm, E = 70 GPaL = 300 mm

δ = mm

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah segmen baja (diameter 20 mm, panjang 300 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari tembaga (diameter 40 mm, panjang 400 mm, E = 120 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 20 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ₂ pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPasegmen 2: tembaga, Ø40 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Kolom harus menahan 30 kN dengan faktor keamanan 2,5 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 30 kNn = 2,5L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Getaran mekanisSedang

Massa 40 kg pada pegas dengan kekakuan 12 kN/m memiliki peredam viskos yang memberikan rasio redaman 0,6. Cari frekuensi alami teredam f_d getaran bebasnya dalam Hz.

m = 40 kgk = 12 kN/mζ = 0,6

f_d = Hz

12.Getaran mekanisSulit

Massa 10 kg tergantung pada dua pegas yang disambung ujung ke ujung (seri): pegas atas memiliki k₁ = 20 kN/m dan pegas bawah k₂ = 20 kN/m. Cari kekakuan ekivalen k_eq sistem pegas dalam kN/m.

m = 10 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 20 kN/m

k_eq = kN/m

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: P = 5,429 kW

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Kecepatan sabuk

v = 22,62 m/s

Daya

P = (400 − 160)·22,62 = 5429 W = 5,429 kW

Jawaban

P = 5,429 kW

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: P = 5,037 kW

Sudut kontak

θ = 3,058 rad

Tegangan sisi kendor

e^μθ = e^0,7646 = 2,148, T₂ = 800/2,148 = 372,4 N

Daya

P = (800 − 372,4)·11,78 = 5,037 kW

Jawaban

P = 5,037 kW

3.Torsi poros

Jawaban: τ_max = 94,31 MPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Tegangan pada tiap segmen

T = 500 N·m = 500000 N·mm

τ_AB = 16·500000/(π·75³) = 6,036 MPa

τ_BC = 16·500000/(π·30³) = 94,31 MPa

Jawaban

τ_max = 94,31 MPa

4.Torsi poros

Jawaban: τ_max = 79,58 MPa

Torsi dalam

Arah T_C diambil sebagai positif.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C + T_B = 250 + 750 = 1000 N·m

Tegangan geser maksimum

Segmen dengan torsi dalam terbesar memiliki tegangan terbesar (diameter sama).

|T|_max = 1000 N·m

τ_max = 16·1 × 10⁶/(π·40³) = 79,58 MPa

Jawaban

τ_max = 79,58 MPa

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_s = −37,98 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Sudut pada lingkaran

Pada lingkaran Mohr titik puncak (+R) berjarak 90° dari titik utama σ₁; pada elemen itu sama dengan 45°.

cos 2θ_s = 20/82,46 = 0,2425, sin 2θ_s = −80/82,46 = −0,9701

2θ_s = atan2(−80, 20) = −75,96°

Sudut pada elemen

θ_s = −37,98°

periksa: θ_s − θ_p = −37,98 − 7,018 = −45°

Jawaban

θ_s = −37,98°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ₁ = 484,1 MPa

Tegangan di permukaan

σ = F/A = 110000/(π·20²/4) = 110000/314,2 = 350,1 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·20³) = 254,6 MPa

Lingkaran Mohr

C = σ/2 = 175,1 MPa

R = √(175,1² + 254,6²) = 309 MPa

σ₁ = C + R = 484,1 MPa

σ₂ = C − R = −134 MPa

Jawaban

σ₁ = 484,1 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,08463 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·4006 = 5,317 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 150000·300/5,317 × 10⁸ = 0,08463 mm

Jawaban

δ = 0,08463 mm

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ₂ = 10,23 MPa

Kekakuan

k₁ = 200000·314,2/300 = 209440 N/mm

k₂ = 120000·1257/400 = 376991 N/mm

Bagian segmen 2

F₂ = 20000·376991/586431 = 12857 N

Tegangan

σ₂ = 12857/1257 = 10,23 MPa (tekan)

Jawaban

σ₂ = 10,23 MPa

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 44,29 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/1400² = 44295 N = 44,29 kN

Jawaban

P_cr = 44,29 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 64,53 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2,5·30000 = 75000 N

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·2800²/(π³·70000))^(1/4) = 64,53 mm

Jawaban

d = 64,53 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 173,6, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: f_d = 2,205 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi alami tak teredam

ω_n = √(12000/40) = 17,32 rad/s

f_n = 17,32/(2π) = 2,757 Hz

Frekuensi alami teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2,757·√(1 − 0,6²) = 2,205 Hz

Jawaban

f_d = 2,205 Hz

12.Getaran mekanis

Jawaban: k_eq = 10 kN/m

Kekakuan ekivalen

Pegas seri menerima gaya yang sama dan defleksinya dijumlahkan, sehingga digabung sebagai kebalikan: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/20 + 1/20 → k_eq = 20·20/(20 + 20) = 10 kN/m

Jawaban

k_eq = 10 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design