Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Puli 200 mm pada 1440 rpm menggerakkan puli 315 mm dengan sabuk yang slipnya 2 %. Cari kecepatan n₂ puli yang digerakkan.

n₁ = 1440 rpmd₁ = 200 mmd₂ = 315 mms = 2 %

n₂ = rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Dalam set roda gigi planet, roda gigi matahari memiliki 24 gigi dan setiap roda gigi planet 20 gigi. Pembawa planet ditahan diam dan matahari digerakkan pada 3000 rpm. Cari kecepatan n_r roda gigi cincin (besarnya).

N_s = 24N_p = 20n_s = 3000 rpm

n_r = rpm

3.Torsi porosSedang

Poros pejal baja dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 400 N·md = 40 mmL = 3 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros pejal harus meneruskan 15 kW pada 3000 rpm tanpa tegangan geser melebihi 50 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 15 kWN = 3000 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 80 MPa, σᵧ = −60 MPa, dan τₓᵧ = 10 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τ_max.

σ_x = 80 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 10 MPa

τ_max = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 10 MPa, σᵧ = −70 MPa, dan τₓᵧ = 40 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σ_θ pada bidang yang normalnya diputar 25° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σ_x = 10 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang baja (diameter 40 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari aluminium (diameter luar 100 mm, diameter dalam 50 mm, E = 70 GPa). Keduanya panjangnya 400 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 100 kN. Cari pemendekan δ.

P = 100 kNbatang: Ø40 mm, E = 200 GPatabung: Ø100/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 400 mm

δ = mm

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah segmen baja (diameter 40 mm, panjang 300 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari kuningan (diameter 60 mm, panjang 300 mm, E = 100 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 50 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ₂ pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuningan, Ø60 mm, 300 mm, E = 100 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Kolom harus menahan 85 kN dengan faktor keamanan 3 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 85 kNn = 3L = 1,5 mE = 200 GPa (baja)

d = mm

11.Getaran mekanisSedang

Massa 25 kg pada pegas dengan kekakuan 12 kN/m memiliki peredam viskos yang memberikan rasio redaman 0,4. Cari frekuensi alami teredam f_d getaran bebasnya dalam Hz.

m = 25 kgk = 12 kN/mζ = 0,4

f_d = Hz

12.Getaran mekanisSulit

Massa 50 kg tergantung pada pegas k₃ = 60 kN/m. Ujung atas k₃ terpasang pada batang kaku yang tergantung pada dua pegas berdampingan, k₁ = 30 kN/m dan k₂ = 60 kN/m; batang tetap datar. Abaikan redaman serta massa pegas dan batang. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 50 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 60 kN/mk₃ = 60 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n₂ = 896 rpm

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Kecepatan tanpa slip

1440·200/315 = 914,3 rpm

Dengan slip

n₂ = 914,3·0,98 = 896 rpm

Jawaban

n₂ = 896 rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n_r = 1125 rpm

Set roda gigi planet: kecepatan matahari, cincin, dan pembawa dihubungkan oleh persamaan Willis (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: dilihat dari pembawa, set ini adalah rangkaian roda gigi biasa dengan planet sebagai roda perantara. Menahan satu anggota diam mengubah set menjadi reduktor dengan satu rasio.

Jumlah gigi roda gigi cincin

N_r = N_s + 2·N_p = 24 + 2·20 = 64

Persamaan Willis dengan pembawa diam

Dengan n_c = 0, matahari menggerakkan cincin melalui planet, yang bertindak sebagai roda perantara.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −3000·24/64 = −1125 rpm

|n_r| = 1125 rpm

Jawaban

n_r = 1125 rpm

Cincin berputar berlawanan arah dengan matahari.

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 3,42 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 400·1000·3000/(80000·251327) = 0,05968 rad

φ = 0,05968·180/π = 3,42°

Jawaban

φ = 3,42°

4.Torsi poros

Jawaban: d = 16,94 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 15000/314,2 = 47,75 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·47746/(π·50)) = 16,94 mm

Jawaban

d = 16,94 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_max = 70,71 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari lingkaran Mohr

τ_max = R = √(((80 − −60)/2)² + 10²) = 70,71 MPa

Jawaban

τ_max = 70,71 MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_θ = 26,35 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = −30 + 40·0,6428 + 40·0,766 = 26,35 MPa

Jawaban

σ_θ = 26,35 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,06027 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·5890 = 6,637 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 100000·400/6,637 × 10⁸ = 0,06027 mm

Jawaban

δ = 0,06027 mm

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ₂ = 9,362 MPa

Kekakuan

k₁ = 200000·1257/300 = 837758 N/mm

k₂ = 100000·2827/300 = 942478 N/mm

Bagian segmen 2

F₂ = 50000·942478/1,78 × 10⁶ = 26471 N

Tegangan

σ₂ = 26471/2827 = 9,362 MPa (tekan)

Jawaban

σ₂ = 9,362 MPa

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 2,937 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/3500² = 2937 N = 2,937 kN

Jawaban

P_cr = 2,937 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 49,33 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·85000 = 255000 N

KL = 1·1500 = 1500 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·255000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 49,33 mm

Jawaban

d = 49,33 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 121,6, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: f_d = 3,196 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi alami tak teredam

ω_n = √(12000/25) = 21,91 rad/s

f_n = 21,91/(2π) = 3,487 Hz

Frekuensi alami teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3,487·√(1 − 0,4²) = 3,196 Hz

Jawaban

f_d = 3,196 Hz

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 4,271 Hz

Kekakuan ekivalen

Hanya k₁ dan k₂ yang paralel. Pasangan itu seri dengan k₃, jadi gabungkan sebagai kebalikan.

k₁₂ = 30 + 60 = 90 kN/m

k_eq = 90·60/(90 + 60) = 36 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(36000/50) = 26,83 rad/s

f_n = 26,83/(2π) = 4,271 Hz

Jawaban

f_n = 4,271 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design