Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah sabuk berjalan pada puli penggerak 200 mm pada 720 rpm. Tegangannya 500 N pada sisi tarik dan 250 N pada sisi kendor. Cari daya P yang ditransmisikan, dalam kW.

d₁ = 200 mmn₁ = 720 rpmT₁ = 500 NT₂ = 250 N

P = kW

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Sebuah motor 1,5 kW pada 1450 rpm menggerakkan roda gigi A (15 gigi), yang berpasangan dengan roda gigi B (24 gigi). Roda gigi C (20 gigi) pada poros yang sama dengan B menggerakkan roda gigi D (50 gigi) pada poros keluaran. Setiap pasangan roda gigi memiliki efisiensi 97%. Cari torsi keluaran T_out.

P = 1,5 kWn_in = 1450 rpmA = 15B = 24C = 20D = 50η_mesh = 97%

T_out = N·m

3.Torsi porosSedang

Poros baja pejal sepanjang 1 m menahan torsi 2000 N·m. Sudut puntir antara kedua ujungnya tidak boleh melebihi 3°. Cari diameter terkecil d yang memenuhi batas ini.

T = 2000 N·mL = 1 mG = 80 GPaφ_allow = 3°

d = mm

4.Torsi porosSulit

Poros berongga harus meneruskan 15 kW pada 750 rpm. Diameter dalamnya ditetapkan 0,7 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 50 MPa. Cari diameter luar terkecil d_o.

P = 15 kWN = 750 rpmd_i/d_o = 0,7τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 0 MPa, σᵧ = 70 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_p dari sumbu x ke arah tegangan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = 0 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_p = °

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 10 MPa, σᵧ = −10 MPa, dan τₓᵧ = 50 MPa (σ_z = 0). Bahan memiliki kekuatan luluh 250 MPa. Cari faktor keamanan n terhadap luluh menurut kriteria von Mises (energi distorsi).

σ_x = 10 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 50 MPaσ_Y = 250 MPa

n =

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari regangan aksial ε pada batang aluminium, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 120 kNd = 10 mmL = 0,5 mE = 70 GPa

ε = µε

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah batang baja (diameter 20 mm, E = 200 GPa, tegangan izin 160 MPa) berada di dalam tabung dari tembaga (diameter luar 100 mm, diameter dalam 50 mm, E = 120 GPa, tegangan izin 80 MPa). Keduanya ditekan bersama di antara pelat kaku. Cari beban terbesar P_max.

batang: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPatabung: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)d = 20 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Kolom harus menahan 15 kN dengan faktor keamanan 2,5 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 15 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 200 GPa (baja)

d = mm

11.Getaran mekanisSedang

Massa 20 kg ditopang oleh pegas dengan kekakuan 100 kN/m dan peredam viskos dengan koefisien redaman 1410 N·s/m. Cari rasio redaman ζ.

m = 20 kgk = 100 kN/mc = 1410 N·s/m

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 20 kg tergantung pada dua pegas berdampingan (paralel), dengan kekakuan k₁ = 25 kN/m dan k₂ = 80 kN/m. Massa tetap datar. Cari kekakuan ekivalen k_eq sistem pegas dalam kN/m.

m = 20 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 80 kN/m

k_eq = kN/m

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: P = 1,885 kW

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Kecepatan sabuk

v = 7,54 m/s

Daya

P = (500 − 250)·7,54 = 1885 W = 1,885 kW

Jawaban

P = 1,885 kW

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T_out = 37,18 N·m

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Kecepatan keluaran

n_out = 1450·(15/24)·(20/50) = 362,5 rpm

ω_out = 2π·362,5/60 = 37,96 rad/s

Daya dan torsi keluaran

P_out = 1500·0,97² = 1411 W

T_out = P_out/ω_out = 1411/37,96 = 37,18 N·m

Jawaban

T_out = 37,18 N·m

3.Torsi poros

Jawaban: d = 46,96 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar yang diperlukan

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 3·π/180 = 0,05236 rad

J = TL/(Gφ) = 2 × 10⁶·1000/(80000·0,05236) = 477465 mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 46,96 mm

Jawaban

d = 46,96 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

4.Torsi poros

Jawaban: d_o = 29,47 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 15000/78,54 = 191 N·m

Diameter luar dari tegangan izin

T = 191 N·m = 190986 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·190986/(π·50·0,7599)) = 29,47 mm

d_i = 0,7·29,47 = 20,63 mm

Jawaban

d_o = 29,47 mm

Poros pejal memerlukan d = 26,89 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_p = 69,7 °

Sudut pada lingkaran

Titik x terletak pada sudut 2θp dari sumbu σ pada lingkaran Mohr; kuadrannya ditentukan oleh tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·30, 0 − 70) = 139,4°

Sudut pada elemen

θ_p = 69,7°

Jawaban

θ_p = 69,7°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: n = 2,831

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σ_Y/2.

Tegangan utama

C = 0 MPa, R = 50,99 MPa

σ₁ = 50,99 MPa, σ₂ = −50,99 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(50,99² − 50,99·(−50,99) + (−50,99)²) = 88,32 MPa

n = 250/88,32 = 2,831

Jawaban

n = 2,831

n > 1 berarti titik tersebut tidak luluh; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 21827 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 120·1000/78,54 = 1528 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 1528/70000 = 0,02183 = 21827 µε

Jawaban

ε = 21827 µε

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P_max = 513,1 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·314,2 + 120·10³·5890 = 7,697 × 10⁸ N

Regangan penentu

ε = min(0,0008, 0,0006667) = 0,0006667 (tembaga)

Beban terbesar

P_max = 0,0006667·7,697 × 10⁸ = 513127 N = 513,1 kN

Jawaban

P_max = 513,1 kN

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 11,07 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·1000 = 700 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/700² = 11074 N = 11,07 kN

Jawaban

P_cr = 11,07 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 55,77 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2,5·15000 = 37500 N

KL = 2·2500 = 5000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·37500·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 55,77 mm

Jawaban

d = 55,77 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 358,6, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,4985

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman kritis

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(100000·20) = 2828 N·s/m

Rasio redaman

ζ = c/c_c = 1410/2828 = 0,4985

Jawaban

ζ = 0,4985

ζ < 1, sehingga sistem kurang teredam dan berosilasi sambil meluruh.

12.Getaran mekanis

Jawaban: k_eq = 105 kN/m

Kekakuan ekivalen

Pegas berdampingan berbagi defleksi dan gayanya dijumlahkan, sehingga kekakuannya cukup dijumlahkan: k = k₁ + k₂.

k_eq = 25 + 80 = 105 kN/m

Jawaban

k_eq = 105 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design