Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah motor 3 kW yang berputar pada 1440 rpm menggerakkan pinion dengan 18 gigi dan modul 4 mm. Cari gaya tangensial F_t pada gigi pinion.

P = 3 kWn = 1440 rpmN₁ = 18m = 4 mm

F_t = N

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (20 gigi) pada poros masukan yang berputar pada 960 rpm menggerakkan roda gigi B (30 gigi). Roda gigi C (16 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D (30 gigi) pada poros keluaran. Cari putaran keluaran n_out.

n_in = 960 rpmA = 20B = 30C = 16D = 30

n_out = rpm

3.Torsi porosSedang

Poros pejal aluminium dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 200 N·md = 30 mmL = 2,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros pejal harus meneruskan 15 kW pada 300 rpm tanpa tegangan geser melebihi 80 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 15 kWN = 300 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 150 MPa, σᵧ = −30 MPa, dan τₓᵧ = −60 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τ_max.

σ_x = 150 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −60 MPa

τ_max = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −80 MPa, σᵧ = 120 MPa, dan τₓᵧ = −40 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser τ_θ pada bidang yang normalnya diputar 30° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x (positif dengan arah yang sama seperti τₓᵧ).

σ_x = −80 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 30°

τ_θ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 30 mm, panjang 600 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari perunggu (diameter 60 mm, panjang 300 mm, E = 110 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,5 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPasegmen 2: perunggu, Ø60 mm, 300 mm, E = 110 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah segmen baja (diameter 30 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari perunggu (diameter 40 mm, panjang 300 mm, E = 110 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 30 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ₂ pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: perunggu, Ø40 mm, 300 mm, E = 110 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Kolom harus menahan 30 kN dengan faktor keamanan 3 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 30 kNn = 3L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Getaran mekanisSedang

Massa 20 kg ditopang oleh pegas dengan kekakuan 4 kN/m dan peredam viskos dengan koefisien redaman 230 N·s/m. Cari rasio redaman ζ.

m = 20 kgk = 4 kN/mc = 230 N·s/m

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 100 kg tergantung pada dua pegas yang disambung ujung ke ujung (seri): pegas atas memiliki k₁ = 60 kN/m dan pegas bawah k₂ = 25 kN/m. Abaikan redaman dan massa pegas. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 100 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 25 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: F_t = 552,6 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Torsi pada pinion

ω = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T = P/ω = 3000/150,8 = 19,89 N·m

Diameter jarak bagi

d = m·N = 4·18 = 72 mm

Gaya tangensial

F_t = 2T/d = 2·19,89/0,072 = 552,6 N

Jawaban

F_t = 552,6 N

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n_out = 341,3 rpm

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tingkat pertama

n_B = 960·20/30 = 640 rpm = n_C

Tingkat kedua

n_out = 640·16/30 = 341,3 rpm

Jawaban

n_out = 341,3 rpm

rasio total = 2,813 : 1

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 13,86 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2500/(26000·79522) = 0,2418 rad

φ = 0,2418·180/π = 13,86°

Jawaban

φ = 13,86°

4.Torsi poros

Jawaban: d = 31,21 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 15000/31,42 = 477,5 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·477465/(π·80)) = 31,21 mm

Jawaban

d = 31,21 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_max = 108,2 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari lingkaran Mohr

τ_max = R = √(((150 − −30)/2)² + −60²) = 108,2 MPa

Jawaban

τ_max = 108,2 MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_θ = 66,6 MPa

Persamaan transformasi

τ_θ = −−100·0,866 + −40·0,5 = 66,6 MPa

Jawaban

τ_θ = 66,6 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 95,99 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 2827 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·706,9) = 4,244 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(110000·2827) = 9,646 × 10⁻⁷ mm/N

Beban

P = 0,5/5,209 × 10⁻⁶ = 95993 N = 95,99 kN

Jawaban

P = 95,99 kN

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ₂ = 14,79 MPa

Kekakuan

k₁ = 200000·706,9/500 = 282743 N/mm

k₂ = 110000·1257/300 = 460767 N/mm

Bagian segmen 2

F₂ = 30000·460767/743510 = 18592 N

Tegangan

σ₂ = 18592/1257 = 14,79 MPa (tekan)

Jawaban

σ₂ = 14,79 MPa

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 23,55 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·3000 = 3000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/3000² = 23551 N = 23,55 kN

Jawaban

P_cr = 23,55 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 47,76 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·30000 = 90000 N

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·1400²/(π³·70000))^(1/4) = 47,76 mm

Jawaban

d = 47,76 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 117,3, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,4066

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman kritis

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(4000·20) = 565,7 N·s/m

Rasio redaman

ζ = c/c_c = 230/565,7 = 0,4066

Jawaban

ζ = 0,4066

ζ < 1, sehingga sistem kurang teredam dan berosilasi sambil meluruh.

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 2,114 Hz

Kekakuan ekivalen

Pegas seri menerima gaya yang sama dan defleksinya dijumlahkan, sehingga digabung sebagai kebalikan: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/60 + 1/25 → k_eq = 60·25/(60 + 25) = 17,65 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(17647/100) = 13,28 rad/s

f_n = 13,28/(2π) = 2,114 Hz

Jawaban

f_n = 2,114 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design