Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan
n1·N1 = n2·N2
Torsi
T2 = T1·(N2/N1)·η
Daya
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk
rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Dari defleksi statis
ωn = √(g/δst)
Redaman kritis
cc = 2√(km) = 2mωn
Rasio redaman
ζ = c/cc
Frekuensi teredam
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel
k = k1 + k2
Pegas seri
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang
N1​ = 40N2​ = 60

Sebuah motor 15 kW yang berputar pada 2900 rpm menggerakkan pinion dengan 40 gigi, yang berpasangan dengan roda gigi 60 gigi. Pasangan roda gigi memiliki efisiensi 96%. Cari torsi T1 pada poros motor.

P = 15 kWn1 = 2900 rpmN1 = 40N2 = 60η = 96%
T1 = N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit
A = 12B = 36C = 16D = 50

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (12 gigi) pada poros masukan yang berputar pada 1440 rpm menggerakkan roda gigi B (36 gigi). Roda gigi C (16 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D (50 gigi) pada poros keluaran. Cari putaran keluaran nout.

nin = 1440 rpmA = 12B = 36C = 16D = 50
nout = rpm
3.Torsi porosSedang
do​ = ?T = 100 N·m

Poros berongga harus menahan torsi 100 N·m. Diameter dalamnya ditetapkan 0,8 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 50 MPa. Cari diameter luar terkecil do.

T = 100 N·mdi/do = 0,8τallow = 50 MPa
do = mm
4.Torsi porosSulit
Tdo​ = 75 mm, di​ = 56 mm

Poros berongga meneruskan 100 kW pada 300 rpm. Cari tegangan geser maksimum τmax pada poros.

P = 100 kWN = 300 rpmdo = 75 mmdi = 56 mm
τmax = MPa
5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = −30σy​ = −60τxy​ = 30MPa

Suatu titik memiliki σₓ = −30 MPa, σᵧ = −60 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (tarik positif). Cari sudut θs, antara −90° dan 90°, dari sumbu x ke normal bidang tempat tegangan geser mencapai nilai positif maksimumnya +R (geser positif searah dengan τₓᵧ).

σx = −30 MPaσy = −60 MPaτxy = 30 MPa
θs = °
6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = 100σy​ = −60τxy​ = −10MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 100 MPa, σᵧ = −60 MPa, dan τₓᵧ = −10 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σθ pada bidang yang normalnya diputar 60° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σx = 100 MPaσy = −60 MPaτxy = −10 MPaθ = 60°
σθ = MPa
7.Tegangan & regangan aksialSedang
P = ?12500 mm300 mmØ40Ø40δ = 0,25 mm

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 40 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari kuningan (diameter 40 mm, panjang 300 mm, E = 100 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,25 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuningan, Ø40 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0,25 mm
P = kN
8.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 40 mmKuningan0,5 mØ 20 mmKuningan1,5 mP = 45 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σmax pada batang.

P = 45 kNsegmen 1: Ø40 mm, 0,5 m, kuningan (E = 100 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 1,5 m, kuningan (E = 100 GPa)
σmax = MPa
9.Tekuk kolomSedang
PL = 2 md = 30 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 2 mE = 200 GPa (baja)d = 30 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
PL = 2,5 md = 25 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 2,5 mE = 200 GPa (baja)d = 25 mm
σcr = MPa
11.Getaran mekanisSedang
k = 20 kN/mζ = 0,7m = 40 kg

Massa 40 kg pada pegas dengan kekakuan 20 kN/m memiliki peredam viskos yang memberikan rasio redaman 0,7. Cari frekuensi alami teredam fd getaran bebasnya dalam Hz.

m = 40 kgk = 20 kN/mζ = 0,7
fd = Hz
12.Getaran mekanisSulit
k1​ = 5k2​ = 60m = 20 kg

Massa 20 kg tergantung pada dua pegas berdampingan (paralel), dengan kekakuan k₁ = 5 kN/m dan k₂ = 60 kN/m. Massa tetap datar. Cari kekakuan ekivalen keq sistem pegas dalam kN/m.

m = 20 kgk1 = 5 kN/mk2 = 60 kN/m
keq = kN/m

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T1 = 49,39 N·m

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Torsi motor

ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s
T1 = P/ω₁ = 15000/303,7 = 49,39 N·m

Jawaban

T1 = 49,39 N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: nout = 153,6 rpm

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tingkat pertama

nB = 1440·12/36 = 480 rpm = nC

Tingkat kedua

nout = 480·16/50 = 153,6 rpm

Jawaban

nout = 153,6 rpm

rasio total = 9,375 : 1

3.Torsi poros

Jawaban: do = 25,84 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Diameter luar dari tegangan izin

T = 100 N·m = 100000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·100000/(π·50·0,5904)) = 25,84 mm
di = 0,8·25,84 = 20,67 mm

Jawaban

do = 25,84 mm

Poros pejal memerlukan d = 21,68 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

4.Torsi poros

Jawaban: τmax = 55,76 MPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s
T = P/ω = 100000/31,42 = 3183 N·m

Momen inersia polar

J = π(75⁴ − 56⁴)/32 = 2,141 × 10⁶ mm⁴

Tegangan geser maksimum

τmax = T·(do/2)/J = 3,183 × 10⁶·37,5/2,141 × 10⁶ = 55,76 MPa

Jawaban

τmax = 55,76 MPa
5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θs = −13,28 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCτmax​

Sudut pada lingkaran

Pada lingkaran Mohr titik puncak (+R) berjarak 90° dari titik utama σ₁; pada elemen itu sama dengan 45°.

cos 2θs = 30/33,54 = 0,8944, sin 2θs = −15/33,54 = −0,4472
2θs = atan2(−15, 30) = −26,57°

Sudut pada elemen

θs = −13,28°
periksa: θs − θp = −13,28 − 31,72 = −45°

Jawaban

θs = −13,28°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σθ = −28,66 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi

σθ = 20 + 80·−0,5 + −10·0,866 = −28,66 MPa

Jawaban

σθ = −28,66 MPa
7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 57,12 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1257 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1,989 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·1257) = 2,387 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,25/4,377 × 10⁻⁶ = 57120 N = 57,12 kN

Jawaban

P = 57,12 kN
8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σmax = 143,2 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 35,81 MPa
σ2 = 143,2 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σmax = 143,2 MPa

Jawaban

σmax = 143,2 MPa
9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 4,905 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·2000 = 4000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/4000² = 4905 N = 4,905 kN

Jawaban

Pcr = 4,905 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 12,34 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 1·2500 = 2500 mm
KL/r = 2500/6,25 = 400

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Jawaban

σcr = 12,34 MPa
11.Getaran mekanis

Jawaban: fd = 2,542 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi alami tak teredam

ωn = √(20000/40) = 22,36 rad/s
fn = 22,36/(2π) = 3,559 Hz

Frekuensi alami teredam

fd = fn·√(1 − ζ²) = 3,559·√(1 − 0,7²) = 2,542 Hz

Jawaban

fd = 2,542 Hz
12.Getaran mekanis

Jawaban: keq = 65 kN/m

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kekakuan ekivalen

Pegas berdampingan berbagi defleksi dan gayanya dijumlahkan, sehingga kekakuannya cukup dijumlahkan: k = k1 + k2.

keq = 5 + 60 = 65 kN/m

Jawaban

keq = 65 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design