Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah motor 2,2 kW yang berputar pada 1440 rpm menggerakkan pinion dengan 25 gigi, yang berpasangan dengan roda gigi 60 gigi. Pasangan roda gigi memiliki efisiensi 96%. Cari torsi keluaran T₂ pada poros roda gigi.

P = 2,2 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 25N₂ = 60η = 96%

T₂ = N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Sebuah motor 11 kW pada 2900 rpm menggerakkan roda gigi A (16 gigi), yang berpasangan dengan roda gigi B (45 gigi). Roda gigi C (20 gigi) pada poros yang sama dengan B menggerakkan roda gigi D (32 gigi) pada poros keluaran. Setiap pasangan roda gigi memiliki efisiensi 96%. Cari torsi keluaran T_out.

P = 11 kWn_in = 2900 rpmA = 16B = 45C = 20D = 32η_mesh = 96%

T_out = N·m

3.Torsi porosSedang

Poros aluminium pejal sepanjang 3 m menahan torsi 1000 N·m. Sudut puntir antara kedua ujungnya tidak boleh melebihi 1°. Cari diameter terkecil d yang memenuhi batas ini.

T = 1000 N·mL = 3 mG = 26 GPaφ_allow = 1°

d = mm

4.Torsi porosSulit

Poros pejal harus meneruskan 50 kW pada 1800 rpm tanpa tegangan geser melebihi 40 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 50 kWN = 1800 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 130 MPa, σᵧ = −70 MPa, dan τₓᵧ = −60 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τ_max.

σ_x = 130 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −60 MPa

τ_max = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 0 MPa, σᵧ = −70 MPa, dan τₓᵧ = −50 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser τ_θ pada bidang yang normalnya diputar 60° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x (positif dengan arah yang sama seperti τₓᵧ).

σ_x = 0 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 60°

τ_θ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 25 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari perunggu (diameter 50 mm, panjang 300 mm, E = 110 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,5 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: perunggu, Ø50 mm, 300 mm, E = 110 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah segmen baja (diameter 40 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari perunggu (diameter 50 mm, panjang 200 mm, E = 110 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 30 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ₂ pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: perunggu, Ø50 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (baja)b × h = 20 × 60 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanisSedang

Massa 40 kg ditopang oleh pegas dengan kekakuan 5 kN/m dan peredam viskos dengan koefisien redaman 360 N·s/m. Cari rasio redaman ζ.

m = 40 kgk = 5 kN/mc = 360 N·s/m

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 100 kg tergantung pada pegas k₃ = 80 kN/m. Ujung atas k₃ terpasang pada batang kaku yang tergantung pada dua pegas berdampingan, k₁ = 25 kN/m dan k₂ = 20 kN/m; batang tetap datar. Abaikan redaman serta massa pegas dan batang. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 100 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 20 kN/mk₃ = 80 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T₂ = 33,61 N·m

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Torsi motor

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 2200/150,8 = 14,59 N·m

Torsi keluaran

T₂ = 14,59·60/25·0,96 = 33,61 N·m

Jawaban

T₂ = 33,61 N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T_out = 150,2 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Kecepatan keluaran

n_out = 2900·(16/45)·(20/32) = 644,4 rpm

ω_out = 2π·644,4/60 = 67,49 rad/s

Daya dan torsi keluaran

P_out = 11000·0,96² = 10138 W

T_out = P_out/ω_out = 10138/67,49 = 150,2 N·m

Jawaban

T_out = 150,2 N·m

3.Torsi poros

Jawaban: d = 90,59 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar yang diperlukan

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 1·π/180 = 0,01745 rad

J = TL/(Gφ) = 1 × 10⁶·3000/(26000·0,01745) = 6,611 × 10⁶ mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 90,59 mm

Jawaban

d = 90,59 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

4.Torsi poros

Jawaban: d = 32,32 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 50000/188,5 = 265,3 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·265258/(π·40)) = 32,32 mm

Jawaban

d = 32,32 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_max = 116,6 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari lingkaran Mohr

τ_max = R = √(((130 − −70)/2)² + −60²) = 116,6 MPa

Jawaban

τ_max = 116,6 MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_θ = −5,311 MPa

Persamaan transformasi

τ_θ = −35·0,866 + −50·−0,5 = −5,311 MPa

Jawaban

τ_θ = −5,311 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 91,52 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490,9) = 4,074 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(110000·1963) = 1,389 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,5/5,463 × 10⁻⁶ = 91519 N = 91,52 kN

Jawaban

P = 91,52 kN

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ₂ = 9,659 MPa

Kekakuan

k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm

k₂ = 110000·1963/200 = 1,08 × 10⁶ N/mm

Bagian segmen 2

F₂ = 30000·1,08 × 10⁶/1,708 × 10⁶ = 18966 N

Tegangan

σ₂ = 18966/1963 = 9,659 MPa (tekan)

Jawaban

σ₂ = 9,659 MPa

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 50,53 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·40000/1250² = 50532 N = 50,53 kN

Jawaban

P_cr = 50,53 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 69,09 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/20 = 100

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69,09 MPa

Jawaban

σ_cr = 69,09 MPa

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,4025

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman kritis

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(5000·40) = 894,4 N·s/m

Rasio redaman

ζ = c/c_c = 360/894,4 = 0,4025

Jawaban

ζ = 0,4025

ζ < 1, sehingga sistem kurang teredam dan berosilasi sambil meluruh.

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 2,701 Hz

Kekakuan ekivalen

Hanya k₁ dan k₂ yang paralel. Pasangan itu seri dengan k₃, jadi gabungkan sebagai kebalikan.

k₁₂ = 25 + 20 = 45 kN/m

k_eq = 45·80/(45 + 80) = 28,8 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(28800/100) = 16,97 rad/s

f_n = 16,97/(2π) = 2,701 Hz

Jawaban

f_n = 2,701 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design