Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah sabuk berjalan pada puli penggerak 125 mm pada 2880 rpm. Tegangannya 500 N pada sisi tarik dan 250 N pada sisi kendor. Cari daya P yang ditransmisikan, dalam kW.

d₁ = 125 mmn₁ = 2880 rpmT₁ = 500 NT₂ = 250 N

P = kW

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (12 gigi) pada poros masukan yang berputar pada 3000 rpm menggerakkan roda gigi B (50 gigi). Roda gigi C (40 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D (48 gigi) pada poros keluaran. Cari putaran keluaran n_out.

n_in = 3000 rpmA = 12B = 50C = 40D = 48

n_out = rpm

3.Torsi porosSedang

Poros berongga harus menahan torsi 200 N·m. Diameter dalamnya ditetapkan 0,75 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 75 MPa. Cari diameter luar terkecil d_o.

T = 200 N·md_i/d_o = 0,75τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

4.Torsi porosSulit

Poros berongga harus meneruskan 15 kW pada 1800 rpm. Diameter dalamnya ditetapkan 0,75 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 60 MPa. Cari diameter luar terkecil d_o.

P = 15 kWN = 1800 rpmd_i/d_o = 0,75τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 140 MPa, σᵧ = 90 MPa, dan τₓᵧ = 20 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_p dari sumbu x ke arah tegangan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = 140 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_p = °

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 20 MPa, σᵧ = −40 MPa, dan τₓᵧ = 10 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser τ_θ pada bidang yang normalnya diputar 15° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x (positif dengan arah yang sama seperti τₓᵧ).

σ_x = 20 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 15°

τ_θ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari pertambahan panjang δ batang tembaga akibat beban aksial.

P = 20 kNd = 30 mmL = 0,5 mE = 117 GPa

δ = mm

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah batang baja (diameter 25 mm, E = 200 GPa, tegangan izin 150 MPa) berada di dalam tabung dari perunggu (diameter luar 120 mm, diameter dalam 70 mm, E = 110 GPa, tegangan izin 70 MPa). Keduanya ditekan bersama di antara pelat kaku. Cari beban terbesar P_max.

batang: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPatabung: Ø120/Ø70 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Kolom harus menahan 65 kN dengan faktor keamanan 2,5 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 65 kNn = 2,5L = 4 mE = 200 GPa (baja)

d = mm

11.Getaran mekanisSedang

Dalam uji getaran bebas sistem massa–pegas teredam, puncak simpangan 50 mm diikuti satu siklus kemudian oleh puncak 30,2 mm. Cari rasio redaman ζ.

x₀ = 50 mmx₁ = 30,2 mmn = 1

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 100 kg tergantung pada dua pegas yang disambung ujung ke ujung (seri): pegas atas memiliki k₁ = 12 kN/m dan pegas bawah k₂ = 80 kN/m. Cari kekakuan ekivalen k_eq sistem pegas dalam kN/m.

m = 100 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 80 kN/m

k_eq = kN/m

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: P = 4,712 kW

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Kecepatan sabuk

v = 18,85 m/s

Daya

P = (500 − 250)·18,85 = 4712 W = 4,712 kW

Jawaban

P = 4,712 kW

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n_out = 600 rpm

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tingkat pertama

n_B = 3000·12/50 = 720 rpm = n_C

Tingkat kedua

n_out = 720·40/48 = 600 rpm

Jawaban

n_out = 600 rpm

rasio total = 5 : 1

3.Torsi poros

Jawaban: d_o = 27,08 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Diameter luar dari tegangan izin

T = 200 N·m = 200000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·200000/(π·75·0,6836)) = 27,08 mm

d_i = 0,75·27,08 = 20,31 mm

Jawaban

d_o = 27,08 mm

Poros pejal memerlukan d = 23,86 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

4.Torsi poros

Jawaban: d_o = 21,46 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 15000/188,5 = 79,58 N·m

Diameter luar dari tegangan izin

T = 79,58 N·m = 79577 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·79577/(π·60·0,6836)) = 21,46 mm

d_i = 0,75·21,46 = 16,09 mm

Jawaban

d_o = 21,46 mm

Poros pejal memerlukan d = 18,9 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_p = 19,33 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Sudut pada lingkaran

Titik x terletak pada sudut 2θp dari sumbu σ pada lingkaran Mohr; kuadrannya ditentukan oleh tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·20, 140 − 90) = 38,66°

Sudut pada elemen

θ_p = 19,33°

Jawaban

θ_p = 19,33°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_θ = −6,34 MPa

Persamaan transformasi

τ_θ = −30·0,5 + 10·0,866 = −6,34 MPa

Jawaban

τ_θ = −6,34 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,1209 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 20·1000/706,9 = 28,29 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for tembaga = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 28,29/117000 = 0,0002418 = 241,8 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,0002418·500 mm = 0,1209 mm

Jawaban

δ = 0,1209 mm

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P_max = 584,8 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·490,9 + 110·10³·7461 = 9,189 × 10⁸ N

Regangan penentu

ε = min(0,00075, 0,0006364) = 0,0006364 (perunggu)

Beban terbesar

P_max = 0,0006364·9,189 × 10⁸ = 584765 N = 584,8 kN

Jawaban

P_max = 584,8 kN

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 21,7 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·2000 = 2000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/2000² = 21704 N = 21,7 kN

Jawaban

P_cr = 21,7 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 101,8 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2,5·65000 = 162500 N

KL = 2·4000 = 8000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·162500·8000²/(π³·200000))^(1/4) = 101,8 mm

Jawaban

d = 101,8 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 314,4, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,07999

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Dekremen logaritmik

δ = (1/1)·ln(50/30,2) = 0,5042

Rasio redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,5042/√(39,48 + 0,2542) = 0,07999

Jawaban

ζ = 0,07999

12.Getaran mekanis

Jawaban: k_eq = 10,43 kN/m

Kekakuan ekivalen

Pegas seri menerima gaya yang sama dan defleksinya dijumlahkan, sehingga digabung sebagai kebalikan: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/12 + 1/80 → k_eq = 12·80/(12 + 80) = 10,43 kN/m

Jawaban

k_eq = 10,43 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design