Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah motor 3 kW yang berputar pada 1500 rpm menggerakkan pinion dengan 32 gigi, yang berpasangan dengan roda gigi 60 gigi. Pasangan roda gigi memiliki efisiensi 95%. Cari torsi keluaran T₂ pada poros roda gigi.

P = 3 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 32N₂ = 60η = 95%

T₂ = N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Sebuah sabuk terbuka menghubungkan puli 150 mm dan puli 315 mm yang jarak sumbunya 1000 mm. Cari sudut kontak θ pada puli yang lebih kecil, dalam derajat.

d₁ = 150 mmd₂ = 315 mmC = 1000 mm

θ = °

3.Torsi porosSedang

Poros pejal aluminium dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 500 N·md = 40 mmL = 2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros pejal harus meneruskan 20 kW pada 1000 rpm tanpa tegangan geser melebihi 60 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 20 kWN = 1000 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = 40 MPa, σᵧ = −60 MPa, dan τₓᵧ = −30 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_s, antara −90° dan 90°, dari sumbu x ke normal bidang tempat tegangan geser mencapai nilai positif maksimumnya +R (geser positif searah dengan τₓᵧ).

σ_x = 40 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −30 MPa

θ_s = °

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 120 MPa, σᵧ = −10 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser τ_θ pada bidang yang normalnya diputar 50° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x (positif dengan arah yang sama seperti τₓᵧ).

σ_x = 120 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 50°

τ_θ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang baja (diameter 40 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari kuningan (diameter luar 100 mm, diameter dalam 50 mm, E = 100 GPa). Keduanya panjangnya 400 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 150 kN. Cari pemendekan δ.

P = 150 kNbatang: Ø40 mm, E = 200 GPatabung: Ø100/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 400 mm

δ = mm

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 15 kNsegmen 1: Ø40 mm, 2 m, kuningan (E = 100 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 1 m, aluminium (E = 70 GPa)

δ = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Kolom harus menahan 110 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 110 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (baja)

d = mm

11.Getaran mekanisSedang

Massa 20 kg pada pegas dengan kekakuan 8 kN/m memiliki peredam viskos yang memberikan rasio redaman 0,45. Cari frekuensi alami teredam f_d getaran bebasnya dalam Hz.

m = 20 kgk = 8 kN/mζ = 0,45

f_d = Hz

12.Getaran mekanisSulit

Massa 50 kg tergantung pada pegas k₃ = 10 kN/m. Ujung atas k₃ terpasang pada batang kaku yang tergantung pada dua pegas berdampingan, k₁ = 25 kN/m dan k₂ = 10 kN/m; batang tetap datar. Abaikan redaman serta massa pegas dan batang. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 50 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 10 kN/mk₃ = 10 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T₂ = 34,02 N·m

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Torsi motor

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 3000/157,1 = 19,1 N·m

Torsi keluaran

T₂ = 19,1·60/32·0,95 = 34,02 N·m

Jawaban

T₂ = 34,02 N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: θ = 170,5 °

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Sudut sabuk

asin(0,0825) = 4,732°

Sudut kontak

θ = 180 − 2·4,732 = 170,5°

Jawaban

θ = 170,5°

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 8,768 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 500·1000·2000/(26000·251327) = 0,153 rad

φ = 0,153·180/π = 8,768°

Jawaban

φ = 8,768°

4.Torsi poros

Jawaban: d = 25,31 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 20000/104,7 = 191 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·190986/(π·60)) = 25,31 mm

Jawaban

d = 25,31 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_s = −60,48 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Sudut pada lingkaran

Pada lingkaran Mohr titik puncak (+R) berjarak 90° dari titik utama σ₁; pada elemen itu sama dengan 45°.

cos 2θ_s = −30/58,31 = −0,5145, sin 2θ_s = −50/58,31 = −0,8575

2θ_s = atan2(−50, −30) = −121°

Sudut pada elemen

θ_s = −60,48°

periksa: θ_s − θ_p = −60,48 − (−15,48) = −45°

Jawaban

θ_s = −60,48°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_θ = −69,22 MPa

Persamaan transformasi

τ_θ = −65·0,9848 + 30·−0,1736 = −69,22 MPa

Jawaban

τ_θ = −69,22 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,0714 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·5890 = 8,404 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 150000·400/8,404 × 10⁸ = 0,0714 mm

Jawaban

δ = 0,0714 mm

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,9208 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 11,94 MPa

σ₂ = 47,75 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 11,94·2000/100000 = 0,2387 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 47,75·1000/70000 = 0,6821 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0,9208 mm

Jawaban

δ = 0,9208 mm

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 56,06 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·1000 = 700 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/700² = 56060 N = 56,06 kN

Jawaban

P_cr = 56,06 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 67,23 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·110000 = 220000 N

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·220000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 67,23 mm

Jawaban

d = 67,23 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 178,5, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: f_d = 2,843 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi alami tak teredam

ω_n = √(8000/20) = 20 rad/s

f_n = 20/(2π) = 3,183 Hz

Frekuensi alami teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3,183·√(1 − 0,45²) = 2,843 Hz

Jawaban

f_d = 2,843 Hz

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 1,985 Hz

Kekakuan ekivalen

Hanya k₁ dan k₂ yang paralel. Pasangan itu seri dengan k₃, jadi gabungkan sebagai kebalikan.

k₁₂ = 25 + 10 = 35 kN/m

k_eq = 35·10/(35 + 10) = 7,778 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(7778/50) = 12,47 rad/s

f_n = 12,47/(2π) = 1,985 Hz

Jawaban

f_n = 1,985 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design