Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah motor 1,1 kW yang berputar pada 1500 rpm menggerakkan pinion dengan 12 gigi, yang berpasangan dengan roda gigi 45 gigi. Pasangan roda gigi memiliki efisiensi 97%. Cari torsi keluaran T₂ pada poros roda gigi.

P = 1,1 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 12N₂ = 45η = 97%

T₂ = N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Sebuah motor 3 kW pada 1450 rpm menggerakkan roda gigi A (36 gigi), yang berpasangan dengan roda gigi B (45 gigi). Roda gigi C (40 gigi) pada poros yang sama dengan B menggerakkan roda gigi D (48 gigi) pada poros keluaran. Setiap pasangan roda gigi memiliki efisiensi 96%. Cari torsi keluaran T_out.

P = 3 kWn_in = 1450 rpmA = 36B = 45C = 40D = 48η_mesh = 96%

T_out = N·m

3.Torsi porosSedang

Poros pejal aluminium dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 500 N·md = 40 mmL = 2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros kuningan pejal berdiameter 50 mm dijepit di A. Torsi 250 N·m bekerja di B, 0,5 m dari A, dan torsi 400 N·m dengan arah berlawanan bekerja di ujung bebas C, 1,5 m lebih jauh. Cari besar sudut puntir φ_C ujung C, dalam derajat.

d = 50 mmT_B = 250 N·mT_C = 400 N·mAB = 0,5 mBC = 1,5 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = −20 MPa, σᵧ = 40 MPa, dan τₓᵧ = 50 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_s, antara −90° dan 90°, dari sumbu x ke normal bidang tempat tegangan geser mencapai nilai positif maksimumnya +R (geser positif searah dengan τₓᵧ).

σ_x = −20 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 50 MPa

θ_s = °

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 10 MPa, σᵧ = 110 MPa, dan τₓᵧ = −10 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σ_θ pada bidang yang normalnya diputar 15° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σ_x = 10 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 15°

σ_θ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 25 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari aluminium (diameter 50 mm, panjang 400 mm, E = 70 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,25 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø50 mm, 400 mm, E = 70 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah batang baja (diameter 40 mm, E = 200 GPa, tegangan izin 200 MPa) berada di dalam tabung dari kuningan (diameter luar 120 mm, diameter dalam 60 mm, E = 100 GPa, tegangan izin 80 MPa). Keduanya ditekan bersama di antara pelat kaku. Cari beban terbesar P_max.

batang: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPatabung: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)d = 25 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Kolom harus menahan 60 kN dengan faktor keamanan 3 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 60 kNn = 3L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Getaran mekanisSedang

Massa 15 kg ditopang oleh pegas dengan kekakuan 15 kN/m dan peredam viskos dengan koefisien redaman 80 N·s/m. Cari rasio redaman ζ.

m = 15 kgk = 15 kN/mc = 80 N·s/m

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 50 kg tergantung pada pegas k₃ = 50 kN/m. Ujung atas k₃ terpasang pada batang kaku yang tergantung pada dua pegas berdampingan, k₁ = 12 kN/m dan k₂ = 80 kN/m; batang tetap datar. Abaikan redaman serta massa pegas dan batang. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 50 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 80 kN/mk₃ = 50 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T₂ = 25,47 N·m

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Torsi motor

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1100/157,1 = 7,003 N·m

Torsi keluaran

T₂ = 7,003·45/12·0,97 = 25,47 N·m

Jawaban

T₂ = 25,47 N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T_out = 27,31 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Kecepatan keluaran

n_out = 1450·(36/45)·(40/48) = 966,7 rpm

ω_out = 2π·966,7/60 = 101,2 rad/s

Daya dan torsi keluaran

P_out = 3000·0,96² = 2765 W

T_out = P_out/ω_out = 2765/101,2 = 27,31 N·m

Jawaban

T_out = 27,31 N·m

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 8,768 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 500·1000·2000/(26000·251327) = 0,153 rad

φ = 0,153·180/π = 8,768°

Jawaban

φ = 8,768°

4.Torsi poros

Jawaban: φ_C = 1,616 °

Torsi dalam

Arah T_C diambil sebagai positif.

T_BC = T_C = 400 N·m

T_AB = T_C − T_B = 400 − 250 = 150 N·m

Puntiran tiap segmen

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 150000·500/(39000·613592) = 0,003134 rad

φ_BC = 400000·1500/(39000·613592) = 0,02507 rad

Puntiran ujung C

φ_C = 0,003134 + 0,02507 = 0,02821 rad → |φ_C| = 1,616°

Jawaban

φ_C = 1,616°

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_s = 15,48 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Sudut pada lingkaran

Pada lingkaran Mohr titik puncak (+R) berjarak 90° dari titik utama σ₁; pada elemen itu sama dengan 45°.

cos 2θ_s = 50/58,31 = 0,8575, sin 2θ_s = −(−30)/58,31 = 0,5145

2θ_s = atan2(30, 50) = 30,96°

Sudut pada elemen

θ_s = 15,48°

periksa: θ_s − θ_p = 15,48 − 60,48 = −45°

Jawaban

θ_s = 15,48°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_θ = 11,7 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 60 + −50·0,866 + −10·0,5 = 11,7 MPa

Jawaban

σ_θ = 11,7 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 31,24 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·490,9) = 5,093 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(70000·1963) = 2,91 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,25/8,003 × 10⁻⁶ = 31237 N = 31,24 kN

Jawaban

P = 31,24 kN

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P_max = 879,6 kN

Luas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·8482 = 1,1 × 10⁹ N

Regangan penentu

ε = min(0,001, 0,0008) = 0,0008 (kuningan)

Beban terbesar

P_max = 0,0008·1,1 × 10⁹ = 879646 N = 879,6 kN

Jawaban

P_max = 879,6 kN

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 13,25 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·1000 = 1000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/1000² = 13247 N = 13,25 kN

Jawaban

P_cr = 13,25 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 69,56 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·60000 = 180000 N

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·2100²/(π³·70000))^(1/4) = 69,56 mm

Jawaban

d = 69,56 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 120,8, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,08433

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman kritis

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(15000·15) = 948,7 N·s/m

Rasio redaman

ζ = c/c_c = 80/948,7 = 0,08433

Jawaban

ζ = 0,08433

ζ < 1, sehingga sistem kurang teredam dan berosilasi sambil meluruh.

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 4,051 Hz

Kekakuan ekivalen

Hanya k₁ dan k₂ yang paralel. Pasangan itu seri dengan k₃, jadi gabungkan sebagai kebalikan.

k₁₂ = 12 + 80 = 92 kN/m

k_eq = 92·50/(92 + 50) = 32,39 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(32394/50) = 25,45 rad/s

f_n = 25,45/(2π) = 4,051 Hz

Jawaban

f_n = 4,051 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design