Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Puli 100 mm pada 1450 rpm menggerakkan puli 300 mm dengan sabuk yang slipnya 4 %. Cari kecepatan n₂ puli yang digerakkan.

n₁ = 1450 rpmd₁ = 100 mmd₂ = 300 mms = 4 %

n₂ = rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (40 gigi) pada poros masukan yang berputar pada 1450 rpm menggerakkan roda gigi B (48 gigi). Roda gigi C (50 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D (80 gigi) pada poros keluaran. Cari putaran keluaran n_out.

n_in = 1450 rpmA = 40B = 48C = 50D = 80

n_out = rpm

3.Torsi porosSedang

Poros baja pejal sepanjang 1,2 m menahan torsi 750 N·m. Sudut puntir antara kedua ujungnya tidak boleh melebihi 0,5°. Cari diameter terkecil d yang memenuhi batas ini.

T = 750 N·mL = 1,2 mG = 80 GPaφ_allow = 0,5°

d = mm

4.Torsi porosSulit

Poros kuningan pejal meneruskan 75 kW pada 1000 rpm. Tegangan geser tidak boleh melebihi 80 MPa dan puntiran tidak boleh melebihi 1° per m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua batas.

P = 75 kWN = 1000 rpmτ_allow = 80 MPaθ_allow = 1°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 50 MPa, σᵧ = 50 MPa, dan τₓᵧ = 40 MPa, dengan σ_z = 0. Cari tegangan geser maksimum absolut τ_abs di titik itu (dengan meninjau semua bidang dalam tiga dimensi).

σ_x = 50 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 40 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 120 MPa, σᵧ = −10 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σ_θ pada bidang yang normalnya diputar 30° searah jarum jam dari sumbu x.

σ_x = 120 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 30 MPaθ = -30°

σ_θ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari regangan aksial ε pada batang aluminium, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 110 kNd = 12 mmL = 0,5 mE = 70 GPa

ε = µε

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 30 kNsegmen 1: Ø30 mm, 2 m, baja (E = 200 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 2 m, kuningan (E = 100 GPa)

δ = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanisSedang

Massa 10 kg pada pegas dengan kekakuan 150 kN/m memiliki peredam viskos yang memberikan rasio redaman 0,35. Cari frekuensi alami teredam f_d getaran bebasnya dalam Hz.

m = 10 kgk = 150 kN/mζ = 0,35

f_d = Hz

12.Getaran mekanisSulit

Massa 25 kg tergantung pada pegas k₃ = 50 kN/m. Ujung atas k₃ terpasang pada batang kaku yang tergantung pada dua pegas berdampingan, k₁ = 60 kN/m dan k₂ = 80 kN/m; batang tetap datar. Abaikan redaman serta massa pegas dan batang. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 25 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 80 kN/mk₃ = 50 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n₂ = 464 rpm

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Kecepatan tanpa slip

1450·100/300 = 483,3 rpm

Dengan slip

n₂ = 483,3·0,96 = 464 rpm

Jawaban

n₂ = 464 rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n_out = 755,2 rpm

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tingkat pertama

n_B = 1450·40/48 = 1208 rpm = n_C

Tingkat kedua

n_out = 1208·50/80 = 755,2 rpm

Jawaban

n_out = 755,2 rpm

rasio total = 1,92 : 1

3.Torsi poros

Jawaban: d = 60,2 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar yang diperlukan

T = 750 N·m = 750000 N·mm

L = 1,2 m = 1200 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 0,5·π/180 = 0,008727 rad

J = TL/(Gφ) = 750000·1200/(80000·0,008727) = 1,289 × 10⁶ mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 60,2 mm

Jawaban

d = 60,2 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

4.Torsi poros

Jawaban: d = 57,22 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 75000/104,7 = 716,2 N·m

Diameter berdasarkan kekuatan

T = 716,2 N·m = 716197 N·mm

d_τ = ∛(16·716197/(π·80)) = 35,72 mm

Diameter berdasarkan kekakuan

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·716197/(π·39000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 57,22 mm

Diameter yang menentukan

Kedua batas harus terpenuhi, jadi diameter yang lebih besar yang menentukan.

d = max(35,72, 57,22) = 57,22 mm

Jawaban

d = 57,22 mm

Di sini kekakuan yang menentukan.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_abs = 45 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Dalam tiga dimensi, tegangan geser maksimum absolut adalah (σ_max − σ_min)/2 dari ketiga tegangan utama; pada tegangan bidang tegangan utama ketiga bernilai nol.

Tegangan utama sebidang

C = 50 MPa, R = √(0² + 40²) = 40 MPa

σ₁ = 90 MPa, σ₂ = 10 MPa, σ_z = 0

Lingkaran terbesar dari ketiganya

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(80, 90, 10)/2 = 45 MPa

Jawaban

τ_abs = 45 MPa

Di sini lingkaran di luar bidang yang menentukan: maksimum absolutnya lebih besar daripada maksimum sebidang R.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_θ = 61,52 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 55 + 65·0,5 + 30·−0,866 = 61,52 MPa

Jawaban

σ_θ = 61,52 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 13894 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 110·1000/113,1 = 972,6 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 972,6/70000 = 0,01389 = 13894 µε

Jawaban

ε = 13894 µε

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 5,73 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 42,44 MPa

σ₂ = 265,3 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 42,44·2000/200000 = 0,4244 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 265,3·2000/100000 = 5,305 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5,73 mm

Jawaban

δ = 5,73 mm

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 5,829 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·2000 = 4000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·135000/4000² = 5829 N = 5,829 kN

Jawaban

P_cr = 5,829 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 13,77 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

KL/r = 1400/6,25 = 224

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/224² = 13,77 MPa

Jawaban

σ_cr = 13,77 MPa

11.Getaran mekanis

Jawaban: f_d = 18,26 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi alami tak teredam

ω_n = √(150000/10) = 122,5 rad/s

f_n = 122,5/(2π) = 19,49 Hz

Frekuensi alami teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 19,49·√(1 − 0,35²) = 18,26 Hz

Jawaban

f_d = 18,26 Hz

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 6,11 Hz

Kekakuan ekivalen

Hanya k₁ dan k₂ yang paralel. Pasangan itu seri dengan k₃, jadi gabungkan sebagai kebalikan.

k₁₂ = 60 + 80 = 140 kN/m

k_eq = 140·50/(140 + 50) = 36,84 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(36842/25) = 38,39 rad/s

f_n = 38,39/(2π) = 6,11 Hz

Jawaban

f_n = 6,11 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design