Roda gigi & rangkaian roda gigi
- Roda gigi yang berpasangan
- n1·N1 = n2·N2
- Torsi
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Daya
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Rangkaian roda gigi majemuk
- rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat
Perancangan Elemen Mesin: paket kilat
Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
1Rumus dan metode
Torsi poros
- Tegangan geser
- τ = T·r/J
- Poros pejal
- J = πd⁴/32
- Poros berongga
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Sudut puntir
- φ = TL/(GJ)
- Daya
- P = T·ω = 2πnT/60
Metode
- Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
- Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
- Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
- Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.
Lingkaran Mohr & transformasi tegangan
- Pusat
- C = (σx + σy)/2
- Jari-jari
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Tegangan utama
- σ1,2 = C ± R
- Arah utama
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Bidang miring
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Metode
- Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
- Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Tegangan & regangan aksial
- Tegangan normal
- σ = F/A
- Regangan
- ε = ΔL/L
- Hukum Hooke
- σ = E·ε
- Pertambahan panjang
- ΔL = FL/(EA)
- Regangan termal
- εT = α·ΔT
Tekuk kolom
- Beban Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Faktor panjang efektif
- K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
- Tegangan kritis
- σcr = Pcr/A
- Kelangsingan
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Getaran mekanis
- Frekuensi alami
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Dari defleksi statis
- ωn = √(g/δst)
- Redaman kritis
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Rasio redaman
- ζ = c/cc
- Frekuensi teredam
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Dekremen logaritmik
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Pegas paralel
- k = k1 + k2
- Pegas seri
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Soal latihan
1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang
Sebuah motor 11 kW yang berputar pada 2900 rpm menggerakkan pinion dengan 16 gigi, yang berpasangan dengan roda gigi 48 gigi. Pasangan roda gigi memiliki efisiensi 98%. Cari torsi keluaran T2 pada poros roda gigi.
P = 11 kWn1 = 2900 rpmN1 = 16N2 = 48η = 98%
T2 = N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit
Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (25 gigi) pada poros masukan yang berputar pada 1440 rpm menggerakkan roda gigi B (80 gigi). Roda gigi C (15 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D (16 gigi) pada poros keluaran. Cari putaran keluaran nout.
nin = 1440 rpmA = 25B = 80C = 15D = 16
nout = rpm
3.Torsi porosSedang
Poros pejal baja dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.
T = 250 N·md = 50 mmL = 2,5 mG = 80 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
Poros kuningan pejal berdiameter 40 mm dijepit pada dinding kaku di kedua ujung A dan B. Torsi 1500 N·m diberikan di C, 2 m dari A dan 3 m dari B. Cari torsi reaksi TA di dinding A.
d = 40 mmT0 = 1500 N·ma = 2 mb = 3 m
TA = N·m
5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 70 MPa, σᵧ = −40 MPa, dan τₓᵧ = −50 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τmax.
σx = 70 MPaσy = −40 MPaτxy = −50 MPa
τmax = MPa
6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = −30 MPa, σᵧ = 30 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (σz = 0). Bahan memiliki kekuatan luluh 460 MPa. Cari faktor keamanan n terhadap luluh menurut kriteria von Mises (energi distorsi).
σx = −30 MPaσy = 30 MPaτxy = 30 MPaσY = 460 MPa
n =
7.Tegangan & regangan aksialSedang
Cari regangan aksial ε pada batang baja, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).
P = 65 kNd = 16 mmL = 1 mE = 200 GPa
ε = µε
8.Tegangan & regangan aksialSulit
Sebuah segmen baja (diameter 25 mm, panjang 300 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari aluminium (diameter 40 mm, panjang 300 mm, E = 70 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 100 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ2 pada segmen 2.
segmen 1: baja, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø40 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 100 kN
σ2 = MPa
9.Tekuk kolomSedang
Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.
L = 4 mE = 200 GPa (baja)d = 80 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Kolom harus menahan 30 kN dengan faktor keamanan 3 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.
P = 30 kNn = 3L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm
11.Getaran mekanisSedang
Dalam uji getaran bebas sistem massa–pegas teredam, puncak simpangan 15 mm diikuti 3 siklus kemudian oleh puncak 5,8 mm. Cari rasio redaman ζ.
x0 = 15 mmx3 = 5,8 mmn = 3
ζ =
12.Getaran mekanisSulit
Massa 20 kg tergantung pada pegas k₃ = 40 kN/m. Ujung atas k₃ terpasang pada batang kaku yang tergantung pada dua pegas berdampingan, k₁ = 15 kN/m dan k₂ = 100 kN/m; batang tetap datar. Abaikan redaman serta massa pegas dan batang. Cari frekuensi alami fn getaran vertikal dalam Hz.
m = 20 kgk1 = 15 kN/mk2 = 100 kN/mk3 = 40 kN/m
fn = Hz
3Larutan
1.Roda gigi & rangkaian roda gigi
Jawaban: T2 = 106,5 N·m
Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.
Torsi motor
ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s
T1 = P/ω₁ = 11000/303,7 = 36,22 N·m
Torsi keluaran
T2 = 36,22·48/16·0,98 = 106,5 N·m
Jawaban
T2 = 106,5 N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigi
Jawaban: nout = 421,9 rpm
Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.
Tingkat pertama
nB = 1440·25/80 = 450 rpm = nC
Tingkat kedua
nout = 450·15/16 = 421,9 rpm
Jawaban
nout = 421,9 rpm
rasio total = 3,413 : 1
3.Torsi poros
Jawaban: φ = 0,7295 °
Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.
Momen inersia polar
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
Sudut puntir
φ = TL/(GJ) = 250·1000·2500/(80000·613592) = 0,01273 rad
φ = 0,01273·180/π = 0,7295°
Jawaban
φ = 0,7295°
4.Torsi poros
Jawaban: TA = 900 N·m
Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω. Jika kedua ujung dijepit, statika saja hanya memberi TA + TB = T₀; persamaan kedua adalah kompatibilitas (puntiran kedua bagian sama di penampang yang dibebani).
Kesetimbangan dan kompatibilitas
TA + TB = 1500
TA·a = TB·b
TA = 1500·3/5 = 900 N·m
TB = 1500·2/5 = 600 N·m
Jawaban
TA = 900 N·m
5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan
Jawaban: τmax = 74,33 MPa
Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.
Jari-jari lingkaran Mohr
τmax = R = √(((70 − −40)/2)² + −50²) = 74,33 MPa
Jawaban
τmax = 74,33 MPa
6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan
Jawaban: n = 6,26
Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σY; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σY/2.
Tegangan utama
C = 0 MPa, R = 42,43 MPa
σ1 = 42,43 MPa, σ2 = −42,43 MPa, σ3 = 0
Von Mises
σvM = √(42,43² − 42,43·(−42,43) + (−42,43)²) = 73,48 MPa
n = 460/73,48 = 6,26
Jawaban
n = 6,26
n > 1 berarti titik tersebut tidak luluh; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.
7.Tegangan & regangan aksial
Jawaban: ε = 1616 µε
Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).
Tegangan
A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 65·1000/201,1 = 323,3 MPa
Regangan (hukum Hooke)
E for baja = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 323,3/200000 = 0,001616 = 1616 µε
Jawaban
ε = 1616 µε
8.Tegangan & regangan aksial
Jawaban: σ2 = 37,61 MPa
Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.
Kekakuan
k₁ = 200000·490,9/300 = 327249 N/mm
k₂ = 70000·1257/300 = 293215 N/mm
Bagian segmen 2
F2 = 100000·293215/620465 = 47257 N
Tegangan
σ2 = 47257/1257 = 37,61 MPa (tekan)
Jawaban
σ2 = 37,61 MPa
9.Tekuk kolom
Jawaban: Pcr = 506,2 kN
Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.
Momen inersia terkecil
Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴
Panjang efektif
KL = 0,7·4000 = 2800 mm
Beban kritis
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/2800² = 506225 N = 506,2 kN
Jawaban
Pcr = 506,2 kN
10.Tekuk kolom
Jawaban: d = 82,72 mm
Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.
Beban kritis yang diperlukan
Pcr = n·P = 3·30000 = 90000 N
KL = 0,7·6000 = 4200 mm
Selesaikan untuk diameter
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·4200²/(π³·70000))^(1/4) = 82,72 mm
Jawaban
d = 82,72 mm
Periksa: kelangsingan KL/r adalah 203,1, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.
11.Getaran mekanis
Jawaban: ζ = 0,05035
Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Dekremen logaritmik
δ = (1/3)·ln(15/5,8) = 0,3167
Rasio redaman
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3167/√(39,48 + 0,1003) = 0,05035
Jawaban
ζ = 0,05035
12.Getaran mekanis
Jawaban: fn = 6,131 Hz
Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Kekakuan ekivalen
Hanya k1 dan k2 yang paralel. Pasangan itu seri dengan k3, jadi gabungkan sebagai kebalikan.
k12 = 15 + 100 = 115 kN/m
keq = 115·40/(115 + 40) = 29,68 kN/m
Frekuensi alami
ωn = √(29677/20) = 38,52 rad/s
fn = 38,52/(2π) = 6,131 Hz
Jawaban
fn = 6,131 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design